专题05平行线的判定与性质期中复习讲义(13大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题05平行线的判定与性质期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 抓核心、辨本质 1.分清判定（由角定线）和性质（由线定角），彻底搞懂因果逻辑 2.吃透三线八角、5 种判定 + 3 条性质，精准识别复杂图形中的角与线 3.掌握拐点辅助线、经典模型的核心结论 练硬功、提效率 1.秒辨判定 / 性质使用场景，杜绝因果倒置 2.快速搞定角度计算、几何证明，规范书写不丢分 3.会用辅助线破复杂题，掌握模型秒解技巧 冲高分、稳满分 1.基础题零失误，中档题全拿分，压轴题抢步骤分 2.规避 “同一平面内” 遗漏、角位置误判等高频陷阱 3.提速解题节奏，为整张试卷留足时间 题型1.三线八角的识别与判定 题型2.平行公理及推论应用 题型3.平行线的判定 题型4.平行线的性质 题型5.由平行线性质探究角的关系 题型6.由平行线性质求角的度数 题型7.平行线实际应用问题 题型8.由平行线判定与性质求角度 题型9.由平行线性质与判定证明 题型10.平行线拐点模型问题 题型11.平行线与角平分线综合问题 题型12.平行线折叠问题 题型13.平行线多线角度传递问题 解答题5题 知识点01.核心概念：三线八角（识别基础） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，核心三类： 同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一侧，呈 “F” 型 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间，呈 “U” 型 知识点02.探索直线平行的条件（平行线的判定：由角定线） 1.核心判定定理（3 条） 2. 拓展判定方法（2 条） 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点03.平行线的性质（由线定角） 核心性质定理（3 条，与判定一一对应） 知识点04.判定与性质的核心区别（必考点） 1.逻辑方向：判定是「角的关系→线的平行」，性质是「线的平行→角的关系」 2.因果关系：判定中角是因、平行是果；性质中平行是因、角是果 3.核心作用：判定用于证明两直线平行，性质用于计算角度、证明角相等 / 互补 4.绝对禁忌：严禁因果倒置，不能用性质证平行，也不能用判定求角度 知识点05.提分关键：高频模型与辅助线 1. 经典拐点模型（必背结论） 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 2. 通用辅助线技巧 过拐点作已知直线的平行线，将复杂图形拆解为多个 “三线八角” 基本模型，是解决所有平行线综合题的万能方法。 1.垂直推论、平行推论的前提是同一平面内，不可省略 2.三线八角识别必须先找截线，再判断角的位置，避免误判 3.几何证明中每一步推理都要有依据，杜绝循环论证 题型01.三线八角的识别与判定 【典例】如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是_____ 【跟踪专练1】如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【跟踪专练2】如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【跟踪专练3】两条平行直线被第三条直线所截时关于产生的八个角，有如下说法：①一组同位角的角平分线互相平行；②一组内错角的角平分线互相平行；③一组同旁内角的角平分线互相垂直．其中说法正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型02.平行公理及推论应用 【典例】如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 【跟踪专练1】在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【跟踪专练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【跟踪专练3】已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 题型03.平行线的判定 【典例】张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是_____． 【跟踪专练1】将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    【跟踪专练3】小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 题型04.平行线的性质 【典例】如图，直线被直线所截，，则_______． 【跟踪专练1】如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即)，若则的度数是________ 【跟踪专练3】如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型05.由平行线性质探究角的关系 【典例】如图，已知直线，的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部． （1）若，则__________； （2）若的度数为，且，则∠3与∠4的数量关系为__________．（用含的式子表示） 【跟踪专练1】如图，若，，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点顺时针旋转一周，速度分别为2度/秒和12度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a，b首次平行． 【跟踪专练3】如图，直线，与分别交于点M，N，，平分交于点P．点E在线段上，平分交于点F．若，则下列各角的度数一定等于x的是（   ） A． B． C． D． 题型06.由平行线性质求角的度数 【典例】如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是______． 【跟踪专练1】如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 【跟踪专练3】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型07.平行线的实际应用问题 【典例】如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【跟踪专练1】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【跟踪专练2】如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是_______，的度数为_______． 【跟踪专练3】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 题型08.由平行线判定与性质求角度 【典例】如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 【跟踪专练1】机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线，与的角平分线交于点E，的延长线交于点F，过点F作，交延长线于点点M在线段上，点N在线段上，且平分，连接，若，的度数为______． 【跟踪专练3】如图是一张台球桌的桌面示意图，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向点．已知，滚动路径，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型09.由平行线性质与判定证明 【典例】已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 【跟踪专练1】如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是__________（填序号）． 【跟踪专练3】（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 题型10.平行线拐点模型问题 【典例】如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【跟踪专练1】如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则____________． 【跟踪专练2】如图，，分别平分和，若，则的度数是__________． 【跟踪专练3】【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【跟踪专练4】综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 题型11.平行线与角平分线综合问题 【典例】如图，平分，，则_______． 【跟踪专练1】如图，已知,,分别平分和，且交于点，若，则____________（含的代数式表示） 【跟踪专练2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【跟踪专练3】已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 题型12.平行线折叠问题 【典例】如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若________． 【跟踪专练2】动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 【跟踪专练3】如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 题型13平行线多线角度传递问题 【典例】如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】.如图，直线，点是直线与直线中间一点，点、分别在直线、上，连接并延长至点，连接，过点作，点是直线上方一点，连接，．已知，，则、与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，平分，，则________． 【跟踪专练3】如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是____（填写序号） 【解答题】 1．在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点到线段的距离即线段 的长； (4)线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 2．完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又 （______）． ______（______）． （______）． 又， ． ∴（______）． 3．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 4．如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 5．如图，，，，猜想直线和直线有怎样的位置关系？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行线的判定与性质期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 抓核心、辨本质 1.分清判定（由角定线）和性质（由线定角），彻底搞懂因果逻辑 2.吃透三线八角、5 种判定 + 3 条性质，精准识别复杂图形中的角与线 3.掌握拐点辅助线、经典模型的核心结论 练硬功、提效率 1.秒辨判定 / 性质使用场景，杜绝因果倒置 2.快速搞定角度计算、几何证明，规范书写不丢分 3.会用辅助线破复杂题，掌握模型秒解技巧 冲高分、稳满分 1.基础题零失误，中档题全拿分，压轴题抢步骤分 2.规避 “同一平面内” 遗漏、角位置误判等高频陷阱 3.提速解题节奏，为整张试卷留足时间 题型1.三线八角的识别与判定 题型2.平行公理及推论应用 题型3.平行线的判定 题型4.平行线的性质 题型5.由平行线性质探究角的关系 题型6.由平行线性质求角的度数 题型7.平行线实际应用问题 题型8.由平行线判定与性质求角度 题型9.由平行线性质与判定证明 题型10.平行线拐点模型问题 题型11.平行线与角平分线综合问题 题型12.平行线折叠问题 题型13.平行线多线角度传递问题 解答题5题 知识点01.核心概念：三线八角（识别基础） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，核心三类： 同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一侧，呈 “F” 型 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间，呈 “U” 型 知识点02.探索直线平行的条件（平行线的判定：由角定线） 1.核心判定定理（3 条） 2. 拓展判定方法（2 条） 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点03.平行线的性质（由线定角） 核心性质定理（3 条，与判定一一对应） 知识点04.判定与性质的核心区别（必考点） 1.逻辑方向：判定是「角的关系→线的平行」，性质是「线的平行→角的关系」 2.因果关系：判定中角是因、平行是果；性质中平行是因、角是果 3.核心作用：判定用于证明两直线平行，性质用于计算角度、证明角相等 / 互补 4.绝对禁忌：严禁因果倒置，不能用性质证平行，也不能用判定求角度 知识点05.提分关键：高频模型与辅助线 1. 经典拐点模型（必背结论） 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 2. 通用辅助线技巧 过拐点作已知直线的平行线，将复杂图形拆解为多个 “三线八角” 基本模型，是解决所有平行线综合题的万能方法。 知识点06.易错点警示（避坑指南） 1.垂直推论、平行推论的前提是同一平面内，不可省略 2.三线八角识别必须先找截线，再判断角的位置，避免误判 3.几何证明中每一步推理都要有依据，杜绝循环论证 题型01.三线八角的识别与判定 【典例】如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的内错角是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 【跟踪专练3】两条平行直线被第三条直线所截时关于产生的八个角，有如下说法：①一组同位角的角平分线互相平行；②一组内错角的角平分线互相平行；③一组同旁内角的角平分线互相垂直．其中说法正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据“三线八角”，平行线的性质即可求解． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等，根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线平行； ②两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线平行； ③两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直； 故①②③都正确； 故选：D． 题型02.平行公理及推论应用 【典例】如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练1】在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练3】已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 题型03.平行线的判定 【典例】张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是_____． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 【跟踪专练1】将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【详解】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 【跟踪专练3】小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如下图，作以下标记E： 第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 题型04.平行线的性质 【典例】如图，直线被直线所截，，则_______． 【答案】110 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．先通过平行线性质得到，再通过邻补角性质求出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角． 由，可得，结合已知可得，由，可得，从而可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即)，若则的度数是________ 【答案】/150度 【分析】本题主要考查平行线的性质定理，解答此题的关键是作辅助线；   过点B作，由题知，，可得到关系，从而得到与以及与的关系． 【详解】 解：如图，过点B作， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 题型05.由平行线性质探究角的关系 【典例】如图，已知直线，的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部． （1）若，则__________； （2）若的度数为，且，则∠3与∠4的数量关系为__________．（用含的式子表示） 【答案】 /90度 【分析】本题考查的是平行线的性质． （1）由，利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据即可求出结论； （2）利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据由等量代换得，再由（2）即可得到的度数． 【详解】解：（1）， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，若，，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质，通过找中间角建立与的关系． 利用和，结合平行线的性质，找到与、相关的角，进而得出与的关系． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点顺时针旋转一周，速度分别为2度/秒和12度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a，b首次平行． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，根据平行线的性质可得，再解方程即可． 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b首次平行，根据题意得： ， 解得：； 故答案为： 【跟踪专练3】如图，直线，与分别交于点M，N，，平分交于点P．点E在线段上，平分交于点F．若，则下列各角的度数一定等于x的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．设，，先利用角平分线的定义可得，，从而利用角的和差关系可得，，结合，进而可得，，从而可得，进而可得，可得，即，即可求解． 【详解】解：设，， ∵平分，平分 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，即：， 可得：，即：， 故选：C． 题型06.由平行线性质求角的度数 【典例】如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点C作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，两直线平行同位角相等，垂线的定义理解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用平行线的性质得出，，从而可得，再结合垂直的意义求得． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【跟踪专练2】如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 【答案】/64度 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 【跟踪专练3】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再将、的值代入即可求解． 【详解】解：， (两直线平行，内错角相等， ，， ， 的度数是． 题型07.平行线的实际应用问题 【典例】如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向左拐， A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向右拐， D错误， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是_______，的度数为_______． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项正确，符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； C、第一次向右拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 题型08.由平行线判定与性质求角度 【典例】如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点A作，则，根据平行线的性质得到，由垂线的定义可得，据此求出的度数，进而求出的度数，则可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，直线，与的角平分线交于点E，的延长线交于点F，过点F作，交延长线于点点M在线段上，点N在线段上，且平分，连接，若，的度数为______． 【答案】/45度 【分析】先求出，进而可证，设，用含的代数式表示出，再由平行线得出，进而即可得证． 【详解】解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图是一张台球桌的桌面示意图，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向桌边，碰着上的点后便反弹滚向点．已知，滚动路径，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质及垂直的性质．解题关键是熟练掌握它们的性质．由垂直的定义得到，进而求出，利用角平分线性质求出，依据平行线和垂直关系推出，得到， 再由角平分线性质确定，最后根据，用减去得出度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 的平分线垂直于，的平分线垂直于， ∴，，， ， ， ， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 题型09.由平行线性质与判定证明 【典例】已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用两直线平行，同旁内角互补求得，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（同角的补角相等） ∴．（内错角相等，两直线平行） 【跟踪专练1】如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 【跟踪专练2】如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是__________（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，错误答案为③． 故答案为：③． 【跟踪专练3】（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是利用垂直得直角、对顶角相等、角平分线分角等条件，结合平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）进行推理． （1）由、得，结合推出，利用内错角相等，两直线平行，证． （2）由对顶角相等得，结合得，证，得；再由角平分线定义得、，推出，利用内错角相等，两直线平行，证． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ． （2）证明：与是对顶角， ， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ． 题型10.平行线拐点模型问题 【典例】如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则____________． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角相等，过点作交于点，推出，推出，进而求出，由平行线的性质结合对顶角相等推出，再根据平行线的性质推出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ． ． ， ． ， ， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，分别平分和，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 【跟踪专练4】综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 题型11.平行线与角平分线综合问题 【典例】如图，平分，，则_______． 【答案】/30度 【分析】本题考查了角平分线的概念和平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可知，结合，可求出，再由角平分线的概念求出的度数，再根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知,,分别平分和，且交于点，若，则____________（含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用． 过点作，利用平行线的性质可证得可以得到与的关系，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，如图： ， ， ，， 又∵，， ∴，， ， ， ， ∴，， ， ， ， ， 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质．延长交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ，故①错误；②正确； ，， ，故③正确； 平分， ， ， ， ，故④不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：C． 【跟踪专练3】已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；②不一致， 【分析】本题考查了平行线的性质的综合应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点P作，先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，根据“等式的基本性质”，得到 ，从而证得； ②过点P作，过点E作，先证，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，从而证得 ，根据“角平分线的定义”，证得 ，最后结合①的结论，证得； （2）①先由，求得，根据平分，求得；同理可求，由（1）②可知，，从而求得 ； ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，过点P作，过点E作， 先证，再证，根据“角平分线的定义”与“补角的定义”证得． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点E作， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，证明如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型12.平行线折叠问题 【典例】如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若________． 【答案】 【分析】此题主要考查了长方形的性质，翻折变换的性质，平行线的性质，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据长方形的性质及，则，由得，由折叠的性质得，，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 或 【分析】题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．求的度数，由翻折的性质可得，，故，即得，求的度数分两种情况，画出图形，根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：如图： 由翻折的性质可得， ， ，， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：，或． 【跟踪专练3】如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 题型13平行线多线角度传递问题 【典例】如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由得，由得，整理可得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 【跟踪专练1】.如图，直线，点是直线与直线中间一点，点、分别在直线、上，连接并延长至点，连接，过点作，点是直线上方一点，连接，．已知，，则、与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 首先根据题意得到，，然后结合平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知，，平分，，则________． 【答案】135 【分析】本题考查平行线的判断及性质，垂直的定义，角平分线的定义．根据垂直的定义得到，从而，由平行线的性质得到，由平分，得到，由，，得到，从而，即可得到，因此，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：135 【跟踪专练3】如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是____（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．根据平行线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴（1）， ∵， ∴（2）， ∴（1）（2）得，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴（3）， ∵（1）， （3）（1）得，，故④正确； 综上，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【解答题】 1．在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点到线段的距离即线段 的长； (4)线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查过直线外一点作已知线段的平行线和垂线，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是正确理解题意，灵活应用所学的知识解决实际问题． （1）根据平行线的作法作图即可； （2）根据垂线的作法作图即可； （3）根据点到直线的距离，写出正确答案即可； （4）根据垂线段最短，写出正确答案即可． 【详解】（1）解：如图，直线为所求． （2）解：如图，直线为所求． （3）解：∵于点， ∴点到线段的距离即为线段的长， 故答案为：． （4）解：∵于点， ∴线段、的大小关系是， 理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 2．完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又 （______）． ______（______）． （______）． 又， ． ∴（______）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵． ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 3．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 4．如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 5．如图，，，，猜想直线和直线有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点及其应用是解题的关键．过作，根据平行性的性质有，，通过，，得出，从而可得，再由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：，理由如下： 如图，过作， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $