2025年湖南省中考数学模拟试卷一

湖南省中考数学模拟试卷一 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．的倒数是（　　） A． B．2025 C． D．﹣2025 2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（　　） A．45×108 B．4.5×109 C．4.5×108 D．4.5×1010 3．下列运算正确的是（　　） A．2a•3a＝6a B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．﹣（a3）2＝a6 D． 4．在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（　　） A．y＝﹣x B． C．y＝﹣x2+5 D．y＝3x+2 （第5题图） 5．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，a与c相交于点O，OP⊥a于点O，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 6．若不等式组无解，则m的值可能为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 7．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若四边形AOCB的面积为，则⊙O的半径为（　　） A．2 B． C． D．4 9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，，点D在边BC上运动，将△ABD沿AD所在的直线翻折得到△AB′D，连接CB′，E是线段CB′的中点，连接BE，则BE的最大值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，共8小题，共24分） 11．平面直角坐标系内与点A（2，﹣3）关于原点对称的点B的坐标是（x，y），则yx＝　 　． 12．函数中自变量x的取值范围是　 　． （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） （第15题图） （第16题图） （第17题图） 13．在英语单词polynomial（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n”的概率是 　 　． 14．已知方程2t2﹣t﹣4＝0有两个不相等的实数根α、β，则　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴上，点B（a，4），C（5，0）．若反比例函数经过点A，则k的值等于 　 　． 16．如图是某种工件的三视图，其俯视图为正六边形，它的表面积是　 　cm2． 17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在线段AC中运动，点F在射线DC上运动，其中AE＝DF，连接DE、BF，则DE+BF的最小值为　 　． 18．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），B（0，2），点C在线段AB上运动，过C点作与x轴平行的直线l，l与抛物线y＝﹣x2﹣4x+b始终有交点．设直线l与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为n，若n满足0＜n≤15，则b的取值范围为　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）计算：． 20． （6分）先化简，再求值：，其中a满足方程x2+5x+6＝0． 21．（8分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有 　 　人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是 　 　，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是 　 　分，中位数是 　 　分，平均数是 　 　分； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 22．（8分）某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23．（9分）如图，防洪大堤的横截面是梯形，背水坡AB的坡度i＝1：，AB＝20米，身高为1.7米的小明站在大堤A点，测得高压电线杆的顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30米． （1）求背水坡AB的坡角； （2）求高压电线杆CD的高度．（结果精确到0.1米．1.732） 24．（9分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，D为AB上的一点，且AB＝10． （1）当CD⊥AB时，求证：BC2＝AB•BD； （2）当点D为AB的中点时，AC＝8，点E是边BC上的动点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，连接EF、CD交于G．当EG：FG＝1：2时，求线段CE的长． （3）当∠CAB＝15°时，P是AC上一点，PA+PB的最小值为　 　． 26．（10分）在坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，﹣3），D（﹣1，﹣3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F． （1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与正方形ABCD恰有两个交点，直接写出a的取值范围． 湖南省中考数学模拟试卷一 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C C A C D A B 一．选择题（共10小题） 1．解：的倒数是﹣2025． 故选：D． 2．解：4500000000＝4.5×109． 故选：B． 3．解：A、2a•3a＝6a2，故本选项计算错误，不符合题意； B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项计算错误，不符合题意； C、﹣（a3）2＝﹣a6，故本选项计算错误，不符合题意； D、（3）2＝9×3＝27，本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．解：A、一次函数y＝﹣x的图象是一条直线，直线有无数条对称轴； B、反比例函数的图象是双曲线，双曲线是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是 y＝±x，所以对称轴的条数为2条； C、二次函数y＝﹣x2+5的图象是抛物线，抛物线有1条对称轴； D、一次函数y＝3x+2的图象是一条直线，直线有无数条对称轴． ∴对称轴条数最少的是反比例函数的图象． 故选：C． 5．解：如图所示： ∵a∥b ∴∠3＝∠1＝50°， ∵OP⊥a， ∴∠2+∠3＝90° ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°， 故选：C． 6．解：， 解不等式①，得x≥2， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴m≤4， 故选：A． 7．解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ， ． 在Rt△ABM中， ． 故选：C． 8．解：如图，连接OB，过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝BMAB， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOB60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∴AB＝OA＝OB， 在Rt△AOM中，设AM＝x，则OA＝AB＝2x，OMx， ∵四边形AOCB的面积为，即AB•OM＝8， ∴2xx＝8， 解得x＝2， ∴OA＝2x＝4， 即半径为4． 故选：D． 9．解：连接AO，BO，如图： ∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8， ∵DC＝12， ∴AO＝6， ∴OP＝10， 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠ADB＝∠AOC， ∴sin∠ADB＝sin∠AOC． 故选：A． 10．解：过点A作AH⊥BC， 由题意可得：∠ABC＝∠ACB＝30°，， ∴， ∴AC＝AB＝2， ∵翻折， ∴AB′＝AB＝2， 取AC的中点O，连接OE，BO，过点O作OF⊥BC，则：， ∴，， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上， ∴当B，O，E三点共线时，BE的值最大为． 故选：B． 2． 填空题（共8小题） 11．解：与点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是：（﹣2，3）． ∴x＝﹣2，y＝3， ∴， 故答案为：． 12．解：根据题意得， 解得x＞5． 13．解：单词polynomial中共有10个字母， 其中n出现了1次， 故任意选择一个字母恰好是字母“n”的概率为：． 故答案为：． 14．解：∵方程2t2﹣t﹣4＝0有两个不相等的实数根α、β， ∴α+β，αβ＝﹣2， ∴． 故答案为：． 15．解；如图所示，过点B作BE⊥x轴于E， ∵B（a，4），C（5，0）， ∴OC＝5，BE＝4， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝OC＝BC＝5，AB∥OC， ∴， ∴OE＝8， ∴B（8，4）， ∴A（3，4）， 把A（3，4）代入中得k＝3×4＝12， 故答案为：12． 16．解：由已知三视图得出，某种工件为六棱柱， 正六边形的面积为，（4+2）6（cm2）， 六棱柱的侧面积为，2×6×3＝36（cm2）， 所以它的表面积为：36+2×636+12（cm2）． 故答案为：36+12． 17．解：延长AB至点G，使AG＝BD，连接EG、BD、DG， ∵正方形ABCD， ∴∠CAB＝∠BDC＝45°， ， ∴△AGE≌△DBF， ∴EG＝FB， ∴DE+BF＝DE+EG≥DG， 当D、E、G三点共线时，DE+BF取最小值为DG， 在边长为5的正方形ABCD中，AD＝AB＝5，∠DAB＝90°， ∴， ∴， 即DE+BF的最小值为， 故答案为：． 18．解：由抛物线y＝﹣x2﹣4x+b＝﹣（x+2）2+b+4， 抛物线对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为：（﹣2，b+4）， 如图， ∵l与抛物线y＝﹣x2﹣4x+b始终有交点， ∴b+4≥2， ∵直线l与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为n，满足0＜n≤15，如图， ∴2≤b+4≤6， ∴b的取值范围为﹣2≤b≤2， 故答案为：﹣2≤b≤2． 三．解答题（共8小题） 19．解： ＝21 ＝2×3﹣12 ＝6﹣1 ＝5． 20．解： • ， 解方程x2+5x+6＝0得：x＝﹣2或﹣3， ∵分式中a不能为±2，0， ∴a＝﹣3， 当a＝﹣3时，原式． 21．解：（1）本次抽取的学生人数共有：16÷40%＝40（人）， 扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°36°， B等级人数为40﹣（4+16+14）＝6（人）， 故答案为：40，36°， 补全条形图如下： （2）∵70分出现的次数最多，出现了16次， ∴众数是70分； 在这40个数据中，中位数为第20、21个数据的平均数， 则中位数为70（分）， 平均数为：（4×90+6×80+16×70+14×50）＝66.5（分）； 故答案为：70，70，66.5； （4）画树状图为： 共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的有6种情况， ∴被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率为． 22．解：（1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是（x﹣100）元． 根据题意，得， 解这个方程，得x＝250． 经检验，x＝250是原方程的根，且符合题意．x﹣100＝150． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型（20﹣m）台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：20﹣m≤3m，解得m≥5． ∴W＝250×0.8m+150×0.8（20﹣m），即W＝80m+2400， ∵80＞0，∴W随m的增大而增大． ∴当m＝5时，W最小＝80×5+2400＝2800，此时20﹣m＝15． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 23．解：（1）过A点作AE垂直于CB的延长线于点E． ∵i＝1：， ∴∠ABE＝30°， （2）∵AB＝20m， ∴AEAB20＝10， BE＝ABcos30°＝2010， ∴CN＝AE+AM＝10+1.7＝11.7， MN＝CB+BE＝30+10， ∵∠NMD＝30°，MN＝30+10， ∴DN＝MNtan30°＝（30+10）10+10， ∴CD＝CN+DN＝11.7+10+1021.7+10． 24．（1）证明：连接OC． ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠A＝∠D＝30°． ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠A＝30°． ∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵∠A＝30°， ∴∠1＝2∠A＝60°． ∴S扇形BOC． 在Rt△OCD中， ∵， ∴． ∴S△OCDOC×CD2×22， ∴S阴影＝S△OCD﹣S扇形BOC ， ∴图中阴影部分的面积为： ． 25．解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠BCA＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝AB•BD； （2）∵EG：FG＝1：2， ∴△DEG和△DFG的面积之比为1：2，△CEG和△CFG的面积之比为1：2， ∴△DEC和△DFC的面积之比为1：2， 过点D作DM⊥BC于M，DN⊥AC于N， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴DM∥AC，DN∥BC，BC＝6， ∵D是AB的中点， ∴BM＝CM＝3，DMAC＝4，AN＝CN＝4，DNBC＝3， ∴DM＝CN，DN＝CM， ∴四边形DMCN是矩形， ∴∠MDN＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠MDE＝∠NDF， ∵∠DME＝∠DNF＝90°． ∴△FDN∽△EDM， ∴， 设FN＝3t，EM＝4t， ∵△DEC和△DFC的面积之比为1：2 ∴CE⋅DM：CF⋅DN＝1：2，即4（3﹣4t）：3（4+3t）＝1：2 ∴2×4（3﹣4t）＝3（4+3t）， ∴t， ∴CE＝3﹣4t； （3）法一、在△BAC外作射线AD，与射线CB交于点D，使得∠BAD＝∠BAC＝15°，过B点关于AC的对称点E，作EF⊥AD于点F，与AC交于点P，作∠ABH＝∠BAC＝15°，BH与AC交于点H，如图， 则BP＝PE，PF， ∴PA+PB＝PF+BP＝EF的值最小， ∵∠HAB＝∠ABH＝15°， ∴AH＝BH，∠BHC＝30°， ∴BH＝2BC， 设BC＝CE＝x，则AH＝BH＝2x，CH， ∵AC2+BC2＝AB2＝100， ∴， ∵x＞0， ∴x， ∴， AC＝2xx， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 法二、在如图，AC下方作∠CAM＝30°，过点P作PD⊥AM于点M， 在Rt△APD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝30°， ∴PDPA， ∴求PA+PB的最小值，即求PD+PB的最小值， 过点B作BD′⊥AM于点D′，交AC于点P′，BD′的长度即为所求； 在Rt△ABD′中，∠AD′B＝90°，∠BAD′＝15°+30°＝45°，AB＝10， ∴BD′AB＝5． 故答案为：5． 26．解：（1）把E（﹣2，0），C（2，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+c得： ， 得：， ∴， 令y＝0， ∴， ∴x2﹣2x﹣8＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴F（4，0）； （2）如图所示： 设直线CE的表达式为y＝kx+b过点E（﹣2，0），C（2，﹣3）， ∴， 解得：， ∴， 设点，则点， 把点代入， ∴， 整理得：a2+4a﹣12＝0， 解得：a1＝2，a2＝﹣6， ∴Q（﹣4，6）； （3）∵四边形ABCD是正方形，C（2，﹣3）， ∴BC＝AB＝3，OB＝2， ∴OA＝AB﹣OB＝1， ∴点A和点D的横坐标为﹣1，点B和点C的横坐标为2， 将E（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），得c＝﹣8a， y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2﹣9a， ∴顶点坐标为（1，﹣9a）， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴﹣3＜﹣9a＜0， ； ②如图，当抛物线与直线BC交点在点c下方，且与直线AD交点在点上D方时，与正方形有两个交点， ， ∴． 综上所述，a的取值范围为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/4 17:24:19；用户：高凌；邮箱：yyhyzx20@xyh.com；学号：23684392 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$