专题05几何模型综合压轴（期中复习讲义）2025-2026学年八年级数学下学期（人教版）

专题05 几何模型综合压轴 （期中复习讲义，4重难点题型+过关检测） 题型1 特殊平行四边形+折叠+全等三角形 2 题型2 正方形+十字架+三垂直全等 33 题型3 中点四边形+特殊平行四边形 58 题型4 特殊平行四边形+旋转模型+全等三角形 82 · 1. 熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，理清它们之间的逻辑关系，夯实基础知识点。 · 2. 重点突破平行四边形相关4类核心几何模型（折叠+全等、正方形十字架+三垂直、中点四边形、旋转+全等），掌握每类题型的解题思路、辅助线添加技巧及易错点。 · 3. 能灵活运用几何模型和全等三角形知识，解决期中高频考点、难点题型，提升逻辑推理、图形分析和规范书写能力。 · 4. 梳理知识脉络，形成系统的知识体系，查漏补缺，为期中检测做好充分准备，突破复习重难点。03 期中知识•梳理 知识点1：平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记作：▱ABCD，读作：平行四边形ABCD）。 2. 核心性质（重点） · 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）； · 角：对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D），邻角互补（∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°）； · 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD，O为对角线交点）； · 对称性：中心对称图形（对称中心为对角线交点），不是轴对称图形。 3. 判定定理（5种，必记） · 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； · 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； · 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； · 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； · 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 知识点2：特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 图形 定义 核心性质（额外新增，区别于平行四边形） 核心判定定理 矩形 有一个角是直角的平行四边形 1. 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）；2. 对角线相等（AC=BD）；3. 既是中心对称图形，也是轴对称图形（2条对称轴）。 1. 有一个角是直角的平行四边形；2. 对角线相等的平行四边形；3. 三个角是直角的四边形。 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 1. 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）；2. 对角线互相垂直，且平分一组对角（AC⊥BD，∠1=∠2，∠3=∠4）；3. 既是中心对称图形，也是轴对称图形（2条对称轴）。 1. 一组邻边相等的平行四边形；2. 对角线互相垂直的平行四边形；3. 四条边都相等的四边形。 正方形 既是矩形又是菱形的四边形（有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形） 1. 四条边相等，四个角都是直角；2. 对角线相等且互相垂直平分，平分一组对角；3. 既是中心对称图形，也是轴对称图形（4条对称轴）。 1. 一组邻边相等的矩形；2. 有一个角是直角的菱形；3. 对角线相等且互相垂直平分的四边形。 补充关键结论 · 1. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质； · 2. 正方形是特殊的矩形和菱形，同时具备两者的所有性质； · 3. 解决平行四边形相关问题，常通过连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题（转化思想）。 知识点3：全等三角形回顾（几何模型核心支撑） 1. 全等三角形判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专用）； 2. 全等三角形性质：对应边相等、对应角相等（核心用途：求边长、求角度、证明线段相等/平行、角度相等）； 3. 几何模型中，全等三角形常与特殊平行四边形的性质结合，用于推导线段、角度关系，是解决综合题型的核心工具。 04 期中题型•汇总 题型1 特殊平行四边形+折叠+全等三角形 解题思路（核心：抓折叠+找全等） 1. 第一步：明确折叠性质——折叠前后，图形的对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，由此得到相等的线段和相等的角（这是找全等的关键条件）； 2. 第二步：结合特殊平行四边形的性质，补充相等的条件（如矩形的直角、对边相等，菱形的邻边相等、对角线垂直等）； 3. 第三步：观察图形，寻找全等三角形，根据已知条件选择合适的全等判定定理（优先SAS、ASA、AAS），证明两个三角形全等； 4. 第四步：利用全等三角形的性质，推导所求的边长、角度，或证明线段相等、平行等结论； 5. 第五步：易错提醒——折叠问题中，注意“重叠部分”的角度和线段关系，避免忽略折痕的垂直平分性质，计算角度时注意平角、直角的应用。 【典例1】．综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【变式1】．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【变式2】．“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明； (2)若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ； (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点M，以为直径作圆，该圆与交于点A和点N，将沿翻折，若点M的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 【变式3】．已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【变式4】．综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 【变式5】．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【变式6】．小数在复习浙教版教材八下第页第题后，进行了反思和探究． 【反思】如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．若，，求的长． 【探究】小数改变条件和纸片的形状，对叠合矩形进行了如下探究： （1）如图，若，，求的长． （2）如图，菱形纸片按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． 【变式7】．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【变式8】．在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： (1)【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； (3)【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 题型2 正方形+十字架+三垂直全等 解题思路（核心：识别模型+构造全等） 1. 十字架模型（正方形内） 1. 识别特征：正方形ABCD中，线段AE⊥BF，垂足为O，AE、BF分别交正方形的边于E、F（即“十字架”）； 2. 核心结论：AE=BF（通过证明△ABE≌△BCF实现，利用正方形的边长相等、直角相等，结合垂直得到的角相等）； 3. 解题步骤：先利用正方形性质得AB=BC，∠ABC=90°，再由AE⊥BF得∠BAE+∠ABO=90°，结合∠CBF+∠ABO=90°，推出∠BAE=∠CBF，用ASA证明△ABE≌△BCF，进而得AE=BF。 2. 三垂直全等模型（正方形背景） 1. 识别特征：正方形ABCD中，过点B、D分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，或在正方形外部构造两条垂线，形成三个直角（∠E=∠F=∠BCD=90°）； 2. 核心结论：△BCE≌△CDF（或对应直角三角形全等），进而得到对应边相等、对应角相等； 3. 解题步骤：① 找三个直角，确定全等的两个直角三角形；② 利用正方形性质得BC=CD，∠BCD=90°，推导∠BCE=∠CDF（同角的余角相等）；③ 用AAS或ASA证明全等，利用全等性质求解。 【典例2】．综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【变式1】．【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【变式2】．【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【变式3】．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【变式3】．如图，在正方形中，为上一点，连接的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且． (1)写出与相等的一个角； (2)求证：； (3)若，求的长． 【变式4】．如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长． 【变式5】．已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【变式6】．【阅读材料】 在平面几何中，求两条线段和的最小值时可运用转化思想，通过平移将分散的线段转化到同一条直线上，再结合两点之间线段最短及勾股定理等基本性质求解． 【方法应用】 (1)如图①，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则______． (2)如图②，在（1）的条件下，连接和，求的最小值． (3)如图③，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，，则的最小值是______． 题型3 中点四边形+特殊平行四边形 解题思路（核心：三角形中位线定理） 1. 第一步：回忆三角形中位线定理——三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（这是解决中点四边形问题的核心依据）； 2. 第二步：连接原四边形的对角线，将原四边形分成两个（或四个）三角形，各边中点的连线即为这些三角形的中位线； 3. 第三步：根据原四边形的性质（如对角线相等、垂直），结合三角形中位线定理，推导中点四边形的边、角关系，判断其形状； 4. 第四步：核心结论（必记，期中高频）： · 原四边形是平行四边形 → 中点四边形是平行四边形； · 原四边形是矩形（对角线相等） → 中点四边形是菱形； · 原四边形是菱形（对角线垂直） → 中点四边形是矩形； · 原四边形是正方形（对角线相等且垂直） → 中点四边形是正方形； · 原四边形是任意四边形 → 中点四边形是平行四边形。 【典例3】．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【变式1】．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【变式2】．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【变式3】．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【变式4】．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【变式5】．如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【变式6】．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论：① ；② ． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （2）试探索与的数量关系，并说明理由； （3）若的最小值是4，则的长度为 ．（不需要解答过程） 【变式7】．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 题型4 特殊平行四边形+旋转模型+全等三角形 解题思路（核心：抓旋转+找全等，转化线段/角度） 1. 第一步：明确旋转性质——旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，对应边相等，对应角相等，旋转角等于对应边的夹角，由此得到相等的线段、相等的角； 2. 第二步：结合特殊平行四边形的性质，补充相等条件（如正方形的边长相等、直角相等，矩形的对角线相等）； 3. 第三步：寻找旋转后的全等三角形——旋转前后的图形通常是全等的，或能通过旋转构造出全等三角形，根据旋转角和已知条件，选择合适的全等判定定理（优先SAS、ASA）； 4. 第四步：利用全等三角形的性质，将所求的线段、角度转化为已知线段、角度，进而求解； 5. 第五步：辅助线技巧——若没有明确的旋转图形，可通过“旋转构造”辅助线（如将△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，构造全等三角形），突破解题难点； 6. 易错提醒：旋转角的识别的关键，避免混淆旋转前后的对应边、对应角；旋转构造辅助线时，要明确旋转中心和旋转角度，确保构造的三角形与原三角形全等。 【典例4】．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【变式1】．如图1，将边长为10的等边放置在正方形内部，顶点、在边、上，且满足，如图2，将在正方形内部顺时针方向进行翻滚，三角形的顶点、、的对应点、、会随之落到对应正方形的边上．已知边的中点为，且． (1)当点的对应点落在边上时，如图2，求证：≌； (2)当绕点旋转从点F在边上开始（图1）到点落在边上结束（图2），求绕点转过的角度的大小； (3)求正方形的边长； (4)在连续翻滚的过程中（接着绕点旋转，至点落在边上，再绕点旋转…），直接写出在正方形内部接触不到的面积的值． 【变式2】．问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【变式3】．【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式4】．【探索发现】（1）如图，正方形的对角线交点是正方形的一个顶点，当正方形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，总有．连接，求证：； 【类比迁移】（2）如图2，矩形的对角线交点是矩形的一个顶点，当矩形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，连接，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由： 【迁移拓展】（3）如图3，在中，点是斜边的中点，以为顶点的直角绕点旋转时，它的两边分别与直线，相交于点，，当时，直接写出线段的长度． 【变式5】．如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）    (1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________； (2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：． (3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系． 【变式6】．已知正方形边长为2，对角线相交于点O，过点作射线，，分别交，于点E，F，且．    (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线，绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为______________； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，求四边形的面积． 【变式7】．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系； 【创新拓展】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式8】．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，对角线所在的直线绕点O顺时针方向旋转，旋转中直线分别交边于点，．将四边形沿直线折叠得到四边形（点，的对应点分别为，线段交边于．） (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)若，， ①如图3，点在点左侧时，求的长； ②如图4，点在点右侧时，直接写出的长． 【变式9】．【情景感知】 （1）如图①，在正方形中，绕着点B旋转，与交于点E，与交于点F，连接，如果，请直接写出三条线段之间的数量关系为______ （2）如图②，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述问题（1）中的结论是否仍然成立？______（填“成立”或“不成立”） 【探究发现】 （3）如图③，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展应用】 （4）今年的5月1日，我国第三艘航母“福建舰”开启首次海试，我国东海舰队派出现代级驱逐舰“杭州舰”为其护航．如图所示，“福建舰”在指挥中心（O处）北偏西的A处．“杭州舰”在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，“福建舰”向正东方向以30海里/小时的速度前进，同时“杭州舰”沿北偏东的方向以35海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到“福建舰”、“杭州舰”两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心雷达观测两舰艇之间的夹角．试求此时两舰艇之间的距离．    【变式10】．【综合与实践】 【猜想】（1）如图①，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C、A不重合），则与之间满足的数量关系是______； 【问题情境】在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，在等腰中，，，O是的中点，E是直线上的一个动点，过点O作，交直线于点F． 【证明猜想】（2）如图②，当点E在线段上时，请判断线段的数量关系，并说明理由； 【类比探究】（3）如图③，当点E在线段的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？请说明理由． 【变式11】．如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式12】．点E，F是不同边上的两点（E，F不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为O，我们把的其他顶点（不妨设为D）与O的距离称为这个点D与B的“关联距离”．比如：如图（1），点B与O关于对称，若，则点D与B的“关联距离”是1． (1)如图（2），四边形是矩形，点B关于的对称点O恰好在上，若，，，则点D与B的“关联距离”=_________，点C与B的“关联距离”=_________； (2)如图（3），，点A关于的对称点O在的延长线上，若，，求点B与A的“关联距离”； (3)如图（4），四边形是菱形，，点A关于的对称点O恰好在直线上，若，，直接写出点C与A的“关联距离”． 1．嘉嘉和琪琪尝试用不同方法在一个矩形内作菱形．05 过关•检测 如图1，嘉嘉的方法如下： ①作线段垂直平分线，分别交，于点，； ②作线段垂直平分线，分别交，于点，； ③连接，，，；则四边形是菱形． 如图2，琪琪的方法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，分别交，于点，； ③连接，； 则四边形是菱形．    (1)请根据嘉嘉和琪琪的作图过程，判断她们的作图方法是否正确，并选择你认为正确的方法证明其所作的四边形是菱形（如果两种方法都正确，证明一种即可）； (2)若，求琪琪所作菱形的周长． 2．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 3．在坐标平面中，O为坐标原点，轴于点轴于点C，连接． (1)如图1，求的长： (2)如图2，点D在线段上，连接，求点D的坐标： (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，连接，作线段的垂直平分线交于H、G，点F在上，连接，连接与的周长之比是，求F点坐标． 4．中，于E，于F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接，过点作于，交于，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作于，交于，，，，求的长． 5．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小明在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小明的思路作答： (1)若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小明思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是菱形．请说明理由； (3)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 7．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明： ①； ②直接写出的大小为________度． (2)如图②，取的中点O，连结，线段长度为________，线段长度的最小值为________． (3)【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点E在边上，点F在边上，且始终保持，连结，过点C作交直线于点Q，线段的最小值为________． 8．综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________． (2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】 (3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 9．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 10．折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 11．如图1，已知正方形是边上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接并延长交于点，连接． (1)写出与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 12．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 13．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_____． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，______°，_____°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 14．课本再现： （1）如图所示的是数学课本上的一道题： 如图，在矩形中，是上不与点和点重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图①，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值．请你写出求解过程； 知识应用． （2）如图②，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处． ①当为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形．若，求的周长； ②如图③，当点在线段的延长线上运动时，若，请用含的式子直接写出与之间的数量关系． 15．小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合，正方形固定不动，然后将三角板绕着点旋转，的两边分别与正方形的边、或其延长线相交于点、，连接． (1)【探究发现】在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、相交时，如图（1）所示，则线段、、满足的数量关系：_________________．(请直接写出结果) (2)在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、的延长线相交时，如图（2）所示，则线段、、又将满足怎样的数量关系：________________．(请直接写出结果) (3)【拓展思考】若正方形的边长为6，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过边的中点时，试求线段的长(请写出解答过程)． (4)【创新应用】如图（3）所示，将三角板的锐角顶点与正方形的边中点重合，边、分别与正方形的边、交于点、．若，则线段_______．(请直接写出结果) 16．如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）连接，则线段，，之间的数量关系是__________ 【类比迁移】 （2）如图2，点为矩形的中心，矩形的边与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何模型综合压轴 （期中复习讲义，4重难点题型+过关检测） 题型1 特殊平行四边形+折叠+全等三角形 2 题型2 正方形+十字架+三垂直全等 33 题型3 中点四边形+特殊平行四边形 58 题型4 特殊平行四边形+旋转模型+全等三角形 82 · 1. 熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，理清它们之间的逻辑关系，夯实基础知识点。 · 2. 重点突破平行四边形相关4类核心几何模型（折叠+全等、正方形十字架+三垂直、中点四边形、旋转+全等），掌握每类题型的解题思路、辅助线添加技巧及易错点。 · 3. 能灵活运用几何模型和全等三角形知识，解决期中高频考点、难点题型，提升逻辑推理、图形分析和规范书写能力。 · 4. 梳理知识脉络，形成系统的知识体系，查漏补缺，为期中检测做好充分准备，突破复习重难点。03 期中知识•梳理 知识点1：平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记作：▱ABCD，读作：平行四边形ABCD）。 2. 核心性质（重点） · 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）； · 角：对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D），邻角互补（∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°）； · 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD，O为对角线交点）； · 对称性：中心对称图形（对称中心为对角线交点），不是轴对称图形。 3. 判定定理（5种，必记） · 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； · 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； · 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； · 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； · 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 知识点2：特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 图形 定义 核心性质（额外新增，区别于平行四边形） 核心判定定理 矩形 有一个角是直角的平行四边形 1. 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）；2. 对角线相等（AC=BD）；3. 既是中心对称图形，也是轴对称图形（2条对称轴）。 1. 有一个角是直角的平行四边形；2. 对角线相等的平行四边形；3. 三个角是直角的四边形。 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 1. 四条边都相等（AB=BC=CD=DA）；2. 对角线互相垂直，且平分一组对角（AC⊥BD，∠1=∠2，∠3=∠4）；3. 既是中心对称图形，也是轴对称图形（2条对称轴）。 1. 一组邻边相等的平行四边形；2. 对角线互相垂直的平行四边形；3. 四条边都相等的四边形。 正方形 既是矩形又是菱形的四边形（有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形） 1. 四条边相等，四个角都是直角；2. 对角线相等且互相垂直平分，平分一组对角；3. 既是中心对称图形，也是轴对称图形（4条对称轴）。 1. 一组邻边相等的矩形；2. 有一个角是直角的菱形；3. 对角线相等且互相垂直平分的四边形。 补充关键结论 · 1. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质； · 2. 正方形是特殊的矩形和菱形，同时具备两者的所有性质； · 3. 解决平行四边形相关问题，常通过连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题（转化思想）。 知识点3：全等三角形回顾（几何模型核心支撑） 1. 全等三角形判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专用）； 2. 全等三角形性质：对应边相等、对应角相等（核心用途：求边长、求角度、证明线段相等/平行、角度相等）； 3. 几何模型中，全等三角形常与特殊平行四边形的性质结合，用于推导线段、角度关系，是解决综合题型的核心工具。 04 期中题型•汇总 题型1 特殊平行四边形+折叠+全等三角形 解题思路（核心：抓折叠+找全等） 1. 第一步：明确折叠性质——折叠前后，图形的对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，由此得到相等的线段和相等的角（这是找全等的关键条件）； 2. 第二步：结合特殊平行四边形的性质，补充相等的条件（如矩形的直角、对边相等，菱形的邻边相等、对角线垂直等）； 3. 第三步：观察图形，寻找全等三角形，根据已知条件选择合适的全等判定定理（优先SAS、ASA、AAS），证明两个三角形全等； 4. 第四步：利用全等三角形的性质，推导所求的边长、角度，或证明线段相等、平行等结论； 5. 第五步：易错提醒——折叠问题中，注意“重叠部分”的角度和线段关系，避免忽略折痕的垂直平分性质，计算角度时注意平角、直角的应用。 【典例1】．综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）角的余角相等，即可求解； （2）由折叠可得，，，，由矩形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，结合已知可得，即可得，，三条线段的数量关系；由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，证明，可得，，点、在线段的垂直平分线上，即可判断与的位置关系； （3）按照，进行分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解：，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 【变式1】．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 【变式2】．“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明； (2)若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ； (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点M，以为直径作圆，该圆与交于点A和点N，将沿翻折，若点M的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 【答案】(1)①3；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①设，则，在中根据勾股定理列出方程，进而求得结果； ②取的中点Q，连接，可推出是梯形的中位线，从而得出，在中，根据直角三角形的性质得出，从而得出； （2）连接，交于O，连接，作点B关于的对称点，可证得，从而，进而证得是等边三角形，从而，从而得出点在以O为圆心，2为半径的上运动，根据弧长公式求得结果； （3）连接，作于X，作，交的延长线于V，设，可证得，从而，进而表示出，可证得，从而得出，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程求得a的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图1， 取的中点Q，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴； （2）解：如图2， 连接，交于O，连接，作点B关于的对称点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以O为圆心，2为半径的上运动， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3， 连接，作于X，作，交的延长线于V， 设， ∵四边形是的内接四边形，是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．涉及的知识：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；梯形；平移、旋转与对称；需要掌握的能力：与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【变式3】．已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据折叠得出，根据已知证明得出，等量代换即可得证； （2）过点作于点，证明得出，同（1）可得，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分三种情况讨论，①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，得出方程无解，故此情形不存在；②时，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，得出；③当时，过点作于点，同（1）可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， 又∵，， ∴， ∵点在上，即， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； （3）解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时， ∴， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在上， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 此方程无解，故此情形不存在； ②当时，设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， 即， 解得：； ③当时，过点作于点， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 【变式4】．综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的判定定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【详解】（1）解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠，得，， . . 又， 四边形是平行四边形； （3）解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠，得， ， 同理可得， ， 设，则，， 在中，， 即，解得， ， ， ， ， 由（1）知， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为. 【变式5】．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理． （1）根据菱形的性质结合已知条件可得，根据折叠的性质得出，则，根据等角对等边，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，根据菱形的性质可得，结合，即可证明，从而得证； （3）先求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 是菱形， ，， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 为的中点 于点 四边形是矩形； （3）解：∵为的中点，， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴，则 ∴ ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴，则 在中， 设，则， 又∵ ∴ 解得： ∴． 【变式6】．小数在复习浙教版教材八下第页第题后，进行了反思和探究． 【反思】如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．若，，求的长． 【探究】小数改变条件和纸片的形状，对叠合矩形进行了如下探究： （1）如图，若，，求的长． （2）如图，菱形纸片按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． 【答案】反思：；探究：（1）；（2） 【分析】反思：连接，利用矩形的性质和勾股定理求得，利用折叠的性质得到，利用平行四边形的判定与性质得到； （1）连接，利用全等三角形的判定与性质得到，利用矩形的性质得到，，设，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论； （2）连接交于点，过点作于点，利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，利用三角形的面积公式求得，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，则． 【详解】解：反思：连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， 折叠可由得：， 同理， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ； 探究：（1）连接，如图， 由【反思】可知：，，， ， 在和中， ， ， ． ，， ，， 设，则， 由勾股定理得：， ， ， ， 解得：，不合题意，舍去， ． 解：连接交于点，过点作于点，如图， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 由【反思】得：， ． 在菱形中，， ， ，， ， ． 由折叠可知：， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式7】．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1），证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； （3）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 【变式8】．在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： (1)【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； (3)【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先证明，得出，，求出，根据平移得出，，得出，根据平行线的性质得出，即可得出结论； （2）过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，最后求出结果即可； （3）根据折叠可知：，，根据直角三角形的性质得出，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据平移可知：，， ∴，， ∴； （2）解：过点M作于点G，如图所示： 则， 根据折叠可知：，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小， 如图，连接， ∵点Q为的中点， ∴， ∵此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴当最小时，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，折叠的性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 题型2 正方形+十字架+三垂直全等 解题思路（核心：识别模型+构造全等） 1. 十字架模型（正方形内） 1. 识别特征：正方形ABCD中，线段AE⊥BF，垂足为O，AE、BF分别交正方形的边于E、F（即“十字架”）； 2. 核心结论：AE=BF（通过证明△ABE≌△BCF实现，利用正方形的边长相等、直角相等，结合垂直得到的角相等）； 3. 解题步骤：先利用正方形性质得AB=BC，∠ABC=90°，再由AE⊥BF得∠BAE+∠ABO=90°，结合∠CBF+∠ABO=90°，推出∠BAE=∠CBF，用ASA证明△ABE≌△BCF，进而得AE=BF。 2. 三垂直全等模型（正方形背景） 1. 识别特征：正方形ABCD中，过点B、D分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，或在正方形外部构造两条垂线，形成三个直角（∠E=∠F=∠BCD=90°）； 2. 核心结论：△BCE≌△CDF（或对应直角三角形全等），进而得到对应边相等、对应角相等； 3. 解题步骤：① 找三个直角，确定全等的两个直角三角形；② 利用正方形性质得BC=CD，∠BCD=90°，推导∠BCE=∠CDF（同角的余角相等）；③ 用AAS或ASA证明全等，利用全等性质求解。 【典例2】．综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）过点E作，过点H作，则，根据矩形和正方形的性质得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即可求解． （2）过点E作，过点H作，则，根据矩形的性质和得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即，结合，即可求解． （3）过点C作交的延长线于点F，根据垂直得到，再根据等腰直角三角形的性质，可证，得到，再根据，得到，即，再将代入，即可求证． 【详解】（1）解：如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ． （2）如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 又， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）证：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握作辅助线构造全等和相似是解题的关键． 【变式1】．【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【答案】（1）①＝；②见解析；（2）水库到农田边的距离为． 【分析】（1）过点C作，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得，从而可证； （2）由平移得，，证出，根据证明，得，在上截取，连接，即是等腰直角三角形，，得，得出是的中位线，由三角形中位线性质可得结论； （2）过点作交于点，得出四边形是平行四边形，，由勾股定理求出，，连接，在上方作，交的延长线于点，证明得，，再证明，得，设，则，由勾股定理列方程可求解． 【详解】解：（1）①过点C作，交于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； ②证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∴点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ， ，即． （2）解：如图，过点作交于点， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴， ，    连接，在上方作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库到农田边的距离为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式2】．【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 【变式3】．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）的长为或或或． 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ③当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； ④当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； 综上，的长为或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式3】．如图，在正方形中，为上一点，连接的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且． (1)写出与相等的一个角； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等可得，再利用角的关系可得； （2）先证明四边形是矩形，得到，，结合即可证明，进而得到； （3）利用勾股定理求得，根据垂直平分线的性质可得，，即有，在中，利用勾股定理解得：，即有，再在中利用勾股定理即可求出，则可求． 【详解】（1）解：在正方形中，， ， ，即， 又的垂直平分线交于点， ，则， ， ； （2）证明：在正方形中，有，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，即，， 由（1）知，即， 在和中， ， ∴ ∴； （3）连接，如图， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 即的长为． 【变式4】．如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点C作分别交于点H，点M，可证明四边形是平行四边形，得到，则；证明，得到，可推出，即，则可证明； （2）过点D作交于点Q，则；证明四边形是平行四边形，得到；则可求出，；延长到点P，使得，连接，则，证明，得到，证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程可推出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点D作交于点Q， ∴； 同理可证明四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，延长到点P，使得，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式5】．已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式6】．【阅读材料】 在平面几何中，求两条线段和的最小值时可运用转化思想，通过平移将分散的线段转化到同一条直线上，再结合两点之间线段最短及勾股定理等基本性质求解． 【方法应用】 (1)如图①，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则______． (2)如图②，在（1）的条件下，连接和，求的最小值． (3)如图③，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，，则的最小值是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过P作于H，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到； （2）将正方形沿翻折，得到正方形，过点作于点，连接，则，过点Q作交于点M，则四边形为平行四边形，则，，推出当Q，M，E三点共线时， 的值最小，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）将沿对折，D的对应点为，将沿对折，E的对应点为，连接，再将沿方向平移，使A与重合，得，得出，当三点共线时，最短，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴； （2）解：将正方形沿翻折，得到正方形，过点作于点，连接，则，过点Q作交于点M，则四边形为平行四边形，则，， ∴， ∴当Q，M，E三点共线时，的值最小， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． （3）解：如图，将沿对折，D的对应点为，将沿对折，E的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使A与重合，如图，得四边形是矩形， ∴， ∴当，，三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 题型3 中点四边形+特殊平行四边形 解题思路（核心：三角形中位线定理） 1. 第一步：回忆三角形中位线定理——三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（这是解决中点四边形问题的核心依据）； 2. 第二步：连接原四边形的对角线，将原四边形分成两个（或四个）三角形，各边中点的连线即为这些三角形的中位线； 3. 第三步：根据原四边形的性质（如对角线相等、垂直），结合三角形中位线定理，推导中点四边形的边、角关系，判断其形状； 4. 第四步：核心结论（必记，期中高频）： · 原四边形是平行四边形 → 中点四边形是平行四边形； · 原四边形是矩形（对角线相等） → 中点四边形是菱形； · 原四边形是菱形（对角线垂直） → 中点四边形是矩形； · 原四边形是正方形（对角线相等且垂直） → 中点四边形是正方形； · 原四边形是任意四边形 → 中点四边形是平行四边形。 【典例3】．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)菱形；矩形；正方形 (3)2；对角线，与不垂直；菱形（答案不唯一）；见解析 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图4中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）根据中位线定理得，，，，，，结合已知条件即可判定四边形是菱形、矩形、正方形即可． 【详解】（1）解：依题意画出图形如图所示： （2）解：如下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2时：已知四边形中，对角线，与不垂直，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是菱形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，与不垂直， 与不垂直， ∴平行四边形是菱形； 选择图3时，已知四边形中，对角线，，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是矩形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，， ， ， ∴平行四边形是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， 又，，， ， ， ∴菱形是正方形． 【变式1】．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 【变式2】．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式3】．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 【变式4】．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【变式5】．如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形； ②；③ 【分析】（1）利用三角形的中位线定理即可论证； （2）①利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ②找到下角标为奇数的中点四边形周长的变化规律即可得出结论； ③利用正方形的判定方法即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①如图，连接，， ∵，，，为四边形各边中点， ∴由（1）得四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵，，，为四边形各边中点， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴为菱形， 故答案为：菱形； ②∵，， ∴四边形的周长， ∵，， ∴四边形的周长， 按规律，四边形为矩形，经计算其周长， 四边形为矩形，经计算其周长， ...． ∴四边形为矩形，其周长为：． 故答案为：； ③已证四边形为矩形， 则当时，矩形为正方形， ∵，， ∴当，即时，满足题意， 故答案为：． 【变式6】．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论：① ；② ． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （2）试探索与的数量关系，并说明理由； （3）若的最小值是4，则的长度为 ．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：（1）证明见解析；拓展应用：（2），理由见详解；（3） 【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线互相平分，相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，，，， ，． 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， 四边形各边中点分别为M、N、R、L， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ， 又 ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用： （2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， 四边形是正方形， ， ， N，F分别是的中点， ， ， （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 在和中 又M，N分别是直角三角形斜边的中点， ， ， ， ∴的最小值等于， ∵的最小值是4， ∴ ∴ 由拓展应用（2）知：， 则， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【变式7】．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】选择图2：利用三角形中位线性质证明，即可得出结论； 选择图3：利用三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，再根据，利用平行线的性质证明，即可得出结论； 选择图4：先证明四边形为菱形，再证明，即可得出结论． 【详解】解：选择图2； 提出猜想：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是菱形； 证明∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 选择图3； 提出猜想：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择图4； 提出猜想：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握三角形中位线性质和菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 题型4 特殊平行四边形+旋转模型+全等三角形 解题思路（核心：抓旋转+找全等，转化线段/角度） 1. 第一步：明确旋转性质——旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，对应边相等，对应角相等，旋转角等于对应边的夹角，由此得到相等的线段、相等的角； 2. 第二步：结合特殊平行四边形的性质，补充相等条件（如正方形的边长相等、直角相等，矩形的对角线相等）； 3. 第三步：寻找旋转后的全等三角形——旋转前后的图形通常是全等的，或能通过旋转构造出全等三角形，根据旋转角和已知条件，选择合适的全等判定定理（优先SAS、ASA）； 4. 第四步：利用全等三角形的性质，将所求的线段、角度转化为已知线段、角度，进而求解； 5. 第五步：辅助线技巧——若没有明确的旋转图形，可通过“旋转构造”辅助线（如将△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，构造全等三角形），突破解题难点； 6. 易错提醒：旋转角的识别的关键，避免混淆旋转前后的对应边、对应角；旋转构造辅助线时，要明确旋转中心和旋转角度，确保构造的三角形与原三角形全等。 【典例4】．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），；（2），；（3），直线与的夹角度数为，理由见解析；（4） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， ， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式1】．如图1，将边长为10的等边放置在正方形内部，顶点、在边、上，且满足，如图2，将在正方形内部顺时针方向进行翻滚，三角形的顶点、、的对应点、、会随之落到对应正方形的边上．已知边的中点为，且． (1)当点的对应点落在边上时，如图2，求证：≌； (2)当绕点旋转从点F在边上开始（图1）到点落在边上结束（图2），求绕点转过的角度的大小； (3)求正方形的边长； (4)在连续翻滚的过程中（接着绕点旋转，至点落在边上，再绕点旋转…），直接写出在正方形内部接触不到的面积的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质得，根据正方形的性质和已知条件利用直角三角形全等的判定定理“”得到； （2）根据全等的性质可得，由直角三角形角关系、平角的角关系得到，最后再结合等边三角形角的度数为，角之间的关系求解即可，即为绕点转过的角度的大小； （3）设正方形的边长为，在中，根据边之间的数量关系分别列出三条边长，由勾股定理列方程求解即可； （4）在正方形内部连续翻滚所覆盖的区域为边长为的正方形，则接触不到的面积用正方形的面积减去边长为的正方形面积即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形，且将在正方形内部顺时针方向进行翻滚得到， ， 在和中，，， ； （2）解：， ， 在中，， ， ， 又为等边三角形， ， ， 绕点转过的角度的大小为； （3）解：设正方形的边长为， 边的中点为，且， ，， 在中，由勾股定理得，， 即，解得，（负值舍去）， 正方形的边长为； （4）解：在正方形内部接触不到的面积的值为． 理由如下：如图所示，连续翻滚的过程中，所覆盖的区域为边长为的正方形， 在正方形内部接触不到的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、图形的旋转等知识，熟练应用相关性质和定理是解决本题的关键． 【变式2】．问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据，得出，； （2）延长交于点Q，连接，，证明，得出，，证明，得出，．根据等腰直角三角形的性质得出，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，证明，得出，证明，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，． 【详解】解：（1）延长交于点Q， ∵四边形，为正方形， ∴，，，，， ∵顶点G落在正方形的边的延长线上， ∴， ∴，， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； （2）延长交于点Q，连接，，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵正方形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形中，，，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴，， ∵在正方形中，，，四边形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式3】．【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，，，进而可得，利用等式的性质可得，利用即可证得，进而可得，于是可得； （2）由三角形的面积公式可得，由（1）可得：，由经过适当变形可得，进而可求出面积的最大值； （3）利用菱形的性质可得，，，进而可证得是等边三角形，于是可得，，利用三角形的中位线定理可证得且，利用平行线的性质可得，进而可得，，利用即可证得，进而可得，于是可得． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， 面积的最大值是； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，不等式的性质，完全平方公式，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行同位角相等等知识点，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质以及添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式4】．【探索发现】（1）如图，正方形的对角线交点是正方形的一个顶点，当正方形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，总有．连接，求证：； 【类比迁移】（2）如图2，矩形的对角线交点是矩形的一个顶点，当矩形绕点旋转，边与相交于点，边与相交于点时，连接，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由： 【迁移拓展】（3）如图3，在中，点是斜边的中点，以为顶点的直角绕点旋转时，它的两边分别与直线，相交于点，，当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）当时，或 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，根据正方形的性质得出，进而可得，根据勾股定理即可得证； （2）如图1延长与相交于点，连接．证明，则，在中，由勾股定理得：，进而即可得证； （3）①如图2，点，分别在线段，时，②如图3，点，分别在线段，的延长线上时，勾股定理得出，，设，代入数据,求得，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又四边形都是正方形， ∴，， ∴，即． 在中，由勾股定理得：， ∴； （2）成立，理由如下： 如图1延长与相交于点，连接． 点是矩形的对角线交点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，又， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）当时，或． ①如图2，点，分别在线段，时， 由（2）的结论可得：， 又在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则，又，， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点，分别在线段，的延长线上时， 同理可证得：，， 设，则，又，， ∴， ∴， ∴； 综上：当时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【变式5】．如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）    (1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________； (2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：． (3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明即可证明； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质用“”即可证明； （3）根据菱形的性质和直角三角形的性质证明，可得，进而求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）证明：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴； ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题, 涉及全等三角形, 正方形及菱形的性质, 解答本题的关键是设计三角形全等, 巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 【变式6】．已知正方形边长为2，对角线相交于点O，过点作射线，，分别交，于点E，F，且．    (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线，绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为______________； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；②1 (3)32 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，使用割补法求解面积是解决本题的关键． （1）先由四边形中的直角证明四边形是矩形，再根据是等腰直角三角形，即可得邻边相等，则可证明四边形是正方形； （2）①由正方形的性质结合角边角的证明方法证明与全等即可得数量关系； ②由①中的结论可知与全等，则有面积相等，再由正方形的面积即可求解； （3）构造辅助线，由边角边的证明方法证明与全等，再由全等可得面积相等，再证明为等腰直角三角形，求解的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， 又∵且， ∴， 又∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （2）①， 证明：∵在正方形中， ，，， ∵，即， ∵，， ∴， 在与中， 由， ∴≌， ∴； ②由（1）知，≌， ∴， ∴， ∵正方形边长为2， ∴， ∴四边形的面积为1， 故答案为：1； （3）解：延长至点G，使得，连接，如图，      ∵， ∴由四边形的内角和可得， ∵， ∴， 又∵且， 则在与中， 由， 可得≌， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴四边形， ∵， ∴． 【变式7】．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系； 【创新拓展】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析，；（2），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，进而可得，利用等式的性质可得，证得，进而可得，于是可得； （2）利用方形的性质可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，利用三角形的中位线定理可证得且，利用平行线的性质可得，进而可得，证得，进而可得，于是可得． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 如图3，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质以及添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式8】．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，对角线所在的直线绕点O顺时针方向旋转，旋转中直线分别交边于点，．将四边形沿直线折叠得到四边形（点，的对应点分别为，线段交边于．） (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)若，， ①如图3，点在点左侧时，求的长； ②如图4，点在点右侧时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据证明，利用全等三角形的性质可证； （2）设与的交点为，在上截取，连接证明得，再证明是等边三角形得，证明得，进而可证； （3）①过作于，则，证明四边形、是矩形得、，证明，由勾股定理求出，设，则，根据求出，进而可求出； ②过作于，同理，．设，则，由求出，可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ． 又， ， ； （2）证明：如图2，设与的交点为，在上截取，连接 ∵四边形是矩形， 与相等且互相平分， ， ． 四边形沿直线折叠得到四边形， ． 又， ， ， ． ， ． ， ， 设，则， ． ， ， ，即． ， 是等边三角形， ， ． 又， ， ． ， ，即； （3）①如图3，过作于，则， ∵四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． 同理四边形是矩形，． ， ． 又折叠， ， ， ． 在中，根据勾股定理得，． 设，则． ， ， ， ； ②如图4，过作于，同理， ． 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 【变式9】．【情景感知】 （1）如图①，在正方形中，绕着点B旋转，与交于点E，与交于点F，连接，如果，请直接写出三条线段之间的数量关系为______ （2）如图②，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述问题（1）中的结论是否仍然成立？______（填“成立”或“不成立”） 【探究发现】 （3）如图③，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展应用】 （4）今年的5月1日，我国第三艘航母“福建舰”开启首次海试，我国东海舰队派出现代级驱逐舰“杭州舰”为其护航．如图所示，“福建舰”在指挥中心（O处）北偏西的A处．“杭州舰”在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，“福建舰”向正东方向以30海里/小时的速度前进，同时“杭州舰”沿北偏东的方向以35海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到“福建舰”、“杭州舰”两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心雷达观测两舰艇之间的夹角．试求此时两舰艇之间的距离．    【答案】（1）；（2）成立；（3）成立；理由见解析；（4）130海里 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可； （2）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可； （3）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可； （4）连接，延长相交于点G，根据题意可得，，可得符合（3）中的条件，再由（3）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长到点G，使，连接，    在正方形中，， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：如图，延长到点G，使，连接，则，    在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：成立 （3）结论成立，理由如下： 如图，延长到点G，使，连接，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）连接，延长相交于点G，      ∵， ∴， ∵， ∴符合（3）中的条件， 由（3）得：， 由题意得：海里/小时，海里/小时， ∴（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为130海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式10】．【综合与实践】 【猜想】（1）如图①，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C、A不重合），则与之间满足的数量关系是______； 【问题情境】在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，在等腰中，，，O是的中点，E是直线上的一个动点，过点O作，交直线于点F． 【证明猜想】（2）如图②，当点E在线段上时，请判断线段的数量关系，并说明理由； 【类比探究】（3）如图③，当点E在线段的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？请说明理由． 【答案】（1）（2），理由见解析（3）成立，理由见解析 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键： （1）证明即可得出结论； （2）连接，三线合一，得到，，证明，即可得出结论； （3）连接，证明即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，如图， ∵，，O是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）结论仍然成立，理由如下： 连接，如图， ∵，，O是的中点， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式11】．如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式12】．点E，F是不同边上的两点（E，F不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为O，我们把的其他顶点（不妨设为D）与O的距离称为这个点D与B的“关联距离”．比如：如图（1），点B与O关于对称，若，则点D与B的“关联距离”是1． (1)如图（2），四边形是矩形，点B关于的对称点O恰好在上，若，，，则点D与B的“关联距离”=_________，点C与B的“关联距离”=_________； (2)如图（3），，点A关于的对称点O在的延长线上，若，，求点B与A的“关联距离”； (3)如图（4），四边形是菱形，，点A关于的对称点O恰好在直线上，若，，直接写出点C与A的“关联距离”． 【答案】(1)2， (2) (3)或 【分析】（1）连接，．根据题意，结合矩形性质，先在中，运用勾股定理，求出，再通过，求出点D与B的“关联距离”．最后在中，运用勾股定理，求出点C与B的“关联距离”． （2）连接，延长交于点H，过点O作于点G．先求，在中，计算出的长，根据图形对称的性质，求出的长，在中，求得、的长，从而求得的长，最后在中，运用勾股定理，求出点B与A的“关联距离”． （3）考虑点O在线段上以及点O在射线上（点B下方）分别讨论，求出点C与A的“关联距离”． 【详解】（1）解：如图，连接，． ∵点B关于的对称点O恰好在上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中， ， ∴， ∴点D与B的“关联距离”为2． ∵在中， ， ∴点C与B的“关联距离”为． （2）解：如图，连接，延长交于点H，过点O作于点G． ∵在中，， ∴， ∵点A与点O关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴在中， ， ∴点B与A的“关联距离”为． （3）解：分两种情况讨论： ①若点O在线段上，如图，过点E作于点N，连接． ∴， ∵，， ∴在中， ， ， ∵在菱形中， ， ∴， ∴在中， ， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵在菱形中， ， ∴， ∵点A与点O关于对称， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴点C与A的“关联距离”为； ②若点O在射线上（点B下方），如图，过点E作于点N，连接． 由①同理可得， ∴， ∴点C与A的“关联距离”为； 综上所述，点C与A的“关联距离”为或． 1．嘉嘉和琪琪尝试用不同方法在一个矩形内作菱形．05 过关•检测 如图1，嘉嘉的方法如下： ①作线段垂直平分线，分别交，于点，； ②作线段垂直平分线，分别交，于点，； ③连接，，，；则四边形是菱形． 如图2，琪琪的方法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，分别交，于点，； ③连接，； 则四边形是菱形．    (1)请根据嘉嘉和琪琪的作图过程，判断她们的作图方法是否正确，并选择你认为正确的方法证明其所作的四边形是菱形（如果两种方法都正确，证明一种即可）； (2)若，求琪琪所作菱形的周长． 【答案】(1)嘉嘉正确，琪琪正确，证明见解析 (2)琪琪所作菱形的周长为15 【分析】（1）嘉嘉的方法证明可得四边形为矩形，再证明即可；琪琪的方法证明可得，，即可判断四边形为平行四边形，再根据，即可判断四边形为菱形； （2）设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉的方法正确，琪琪的方法正确， 嘉嘉的方法证明：设直线与交于点， 四边形为矩形， ， 垂直平分，垂直平分， ，，， 四边形为矩形， ，， 同理可得四边形，四边形，四边形为矩形， ，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； 琪琪的方法证明：由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 直线为线段的垂直平分线， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形为矩形， ，， ， ， 四边形是菱形； ， 设，则， 在中，， ，解 得， ， 菱形的周长为， 琪琪所作菱形的周长为15． 2．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 【答案】(1)、； (2)13 (3)图见解析，，或， 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案； （3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，； 折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长． 【详解】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； （3）解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∵， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 3．在坐标平面中，O为坐标原点，轴于点轴于点C，连接． (1)如图1，求的长： (2)如图2，点D在线段上，连接，求点D的坐标： (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，连接，作线段的垂直平分线交于H、G，点F在上，连接，连接与的周长之比是，求F点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴，轴，可判断四边形是矩形，由点得，，由勾股定理可得； （2）设，则，求出，根据列方程，求出的值即可． （3）过点作于点，求出，过点作于点，得出，过点作于点，连接，得，，设，，，得，根据列式求出，得的周长为64，再用的代数式表示出的周长，由与的周长之比是列式为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：设，则， 又， ∴， ∵， ∴， 展开得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∵垂直平分， ∴， ∴， 过点作于点，则是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点，连接，则四边形是矩形， ∴，， 设，，， ∴ ∴ ∵ ∴, ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴的周长； 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴的周长， ∵与的周长之比是， ∴， 整理得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴点的坐标为． 4．中，于E，于F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接，过点作于，交于，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作于，交于，，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明四边形是矩形，由此即可得证； （2）先证出，则可得，再得出，由此即可得证； （3）先求出的长，再过点作于点，过点作于点，连接，证出，则，，利用勾股定理求出的长，则可得的长，然后设，利用的面积求出，最后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴平分． （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 由（2）已证：， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∴四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， 在中，， 在中，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题的难点在于题（3），解决问题的关键是构造全等三角形，利用勾股定理求出相应线段的长． 5．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质设，则，由作弧可得，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）由作图可知是线段的垂直平分线，则，进而得到，根据矩形的性质得到，结合等腰三角形的性质得到，设，则，，进而求出，根据三角形外角和定理得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、、， 设，则， 以为圆心，长为半径作弧，交于点， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的长为5； （2）证明：由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ， 、， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 是的外角， ， 即． 【点睛】本题考查矩形的性质、垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、外角和定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小明在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小明的思路作答： (1)若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小明思考问题的方法，解决以下问题： (2)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是菱形．请说明理由； (3)如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】(1)四边形还是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据中位线定理，可得，，，，从而，，再根据平行四边形的判定，即可说明； （2）根据中位线定理，易得，，从而，再根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可说明； （3）根据中位线定理，易得，，从而且，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可说明． 【详解】（1）解：四边形还是平行四边形，理由如下： 如图，连接， E，F分别是，的中点， ，， 同理可得，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形．理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， G，F分别是，的中点， ， ，， ， 四边形是菱形； （3）解：当且时，四边形是正方形．理由如下： 由（2）可知，四边形是菱形， G，F分别是，的中点， ， ，， ，即， 四边形是正方形． 7．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明： ①； ②直接写出的大小为________度． (2)如图②，取的中点O，连结，线段长度为________，线段长度的最小值为________． (3)【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点E在边上，点F在边上，且始终保持，连结，过点C作交直线于点Q，线段的最小值为________． 【答案】(1)①见解析；② 90 (2)4， (3) 【分析】（1）①利用证明，即可得出结论；②根据，，可得，进而可得； （2）斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据进行求解即可； （3）设和交于点O，取的中点P，连接，过点P作，证明，得到，根据斜边上的中线得出，勾股定理得出的长，根据即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； ②解：，， ， ； （2）解：由（1）知， O为的中点， ， 在中，， ， ，当O，C，P三点共线时等号成立， 线段长度的最小值为； （3）解：设和交于点O，取的中点P，连接，过点P作， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，P为的中点， ， ，， ， ， ， ， ，当D，Q，P三点共线时等号成立， 线段长度的最小值为． 8．综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________． (2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】 (3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 【答案】(1)；； (2)小海说法正确；理由见解析 (3) 【分析】（）利用正方形的直角与两次折叠的角平分性质，推导出；结合折叠的线段相等关系和三点共线，得到； （）设正方形边长，用勾股定理列方程求解，得出是的三分之一，验证了是的三等分点； （）先设正方形边长为，利用折叠性质得出折痕为中位线、；再通过证明，设，在中用勾股定理列方程求出，进而得到；最后结合前序结论，计算出与的比值为． 【详解】（1）解：① 由折叠性质：折叠后，，正方形中， ∴，即， ∴， ② 由折叠得：，，且题目给出三点共线， ∴， 即：； （2）解：设正方形边长为，则， 设，则， 由（）得， 在中，， 由勾股定理： ， 代入得：， 展开化简：， 整理得， 解得，即， ∴是三等分点，小海说法正确； （3）解：设正方形边长为， ∵与重合，得到折痕， ∴为中位线，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， 由勾股定理：， 解得：，即， ∴， ∵， ． 9．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)， (2)； (3)四边形为正方形，证明见解析 【分析】本题主要考查中位线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定． （1）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是菱形，再由，证明菱形是正方形； （2）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是矩形；当时，证明四边形是菱形； （3）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，再由，证明四边形为菱形，最后由证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为；，； （2）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当时，可得， ∴四边形是矩形； 当时，可得， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形为正方形． 证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点 ∴，，，， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 四边形为菱形， ∵，，， ， ∴， ， ∴菱形为正方形． 10．折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 11．如图1，已知正方形是边上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接并延长交于点，连接． (1)写出与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明． （2）先证明，设，，则，推出，，根据，构建关系式即可解决问题． （3）如图3中，过点作直线交，于，．证明，推出，，设．，推出，即可得出结论． 【详解】（1），理由如下： 四边形是正方形，点关于直线的对称点为， ，，， ， ， ． （2），理由如下 如图2中， ， ，， ， ， ， ， 设，，则， ，， ， ， ， ， ，即 （3）结论：　　　 理由：如图中，过点作直线交，于，． 则四边形为矩形， ，， ， ，， ， ， ， ，， 设．， ， 四边形为矩形，四边形是正方形， ， ， ， 12．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 13．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_____． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，______°，_____°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①15，15；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，则可证是等边三角形，结合矩形的性质即可求解； （2）①、②根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接， 折叠 ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：（或）． （2）解：四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ①，， ∴， ， ， ， 故答案为：，． ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得，， ，， ， ， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ， ，， 由（2）可知，， 设 ， 即， 解得：， ∴； 当点在点的上方时，如图， ， ，， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 14．课本再现： （1）如图所示的是数学课本上的一道题： 如图，在矩形中，是上不与点和点重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图①，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值．请你写出求解过程； 知识应用． （2）如图②，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处． ①当为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形．若，求的周长； ②如图③，当点在线段的延长线上运动时，若，请用含的式子直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；过程见解析；（2）①；② 【分析】（1）连接由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）①连接过点证再由勾股定理得然后由三角形面积求出即可解决问题； ②同①得再由勾股定理得，然后由三角形面积得即可解决问题． 【详解】解：（1）四边形为矩形， ，，，，， ，， ，， ， ， 解得． （2）①四边形为矩形， ，，， ． 连接，过点作于点，如图①所示， 则四边形为矩形， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ． ，， ． ， 的周长． ②与之间的数量关系为． 连接，过点作于点，如图②所示． 由（1）同理可得 ， ， ． ，， ． ， ． 四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握面积法是解题的关键． 15．小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合，正方形固定不动，然后将三角板绕着点旋转，的两边分别与正方形的边、或其延长线相交于点、，连接． (1)【探究发现】在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、相交时，如图（1）所示，则线段、、满足的数量关系：_________________．(请直接写出结果) (2)在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边、的延长线相交时，如图（2）所示，则线段、、又将满足怎样的数量关系：________________．(请直接写出结果) (3)【拓展思考】若正方形的边长为6，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过边的中点时，试求线段的长(请写出解答过程)． (4)【创新应用】如图（3）所示，将三角板的锐角顶点与正方形的边中点重合，边、分别与正方形的边、交于点、．若，则线段_______．(请直接写出结果) 【答案】(1)； (2)； (3)5或； (4) 【分析】（1）延长至使，先证得，再证，得到． （2）在上截取，先证得，再证，得到． （3）分两类讨论：①点是边的中点，设，由，结合勾股定理列方程得；②过中点中点，先证得，设，由，勾股定理列方程得，故或． （4）构造中点辅助线得正方形，设，在中用勾股定理解得，再由中位线性质得，最终． 【详解】（1）解：如图，延长至，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，在上截取，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． （3）解：①如图，当点是边的中点时， ∵正方形的边长为6， ∴， ∵是中点， ． 设，由（1）结论，得，． 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ． ②如图，当经过的中点时， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，． ∵是的中点， ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． 设，由（2）结论， ∴，． 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ∴； 综上，的长为或； （4）解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、交于点，设交于点． ∵，，，分别是正方形四边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形， 由（1）的结论可知，设， ∵，， ∴，，， 在中，∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是正方形半角模型的内角夹角的结构，需要利用截长补短法构造全等三角形，交边时“补短”：延长使，交延长线时“截长”：在上截，使用两步全等，把分散的线段、转化到同一条线段上，直接得到与它们的和差关系． 16．如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）连接，则线段，，之间的数量关系是__________ 【类比迁移】 （2）如图2，点为矩形的中心，矩形的边与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】（1）证明，可得，在中，利用勾股定理解答即可； （2）证明，可得，，再由线段垂直平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理解答即可； （3）设，分两种情况：当点E在边上时，当点E在的延长线上时，由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】解：（1）∵四边形，均为是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故答案为： （2）∵四边形，均为矩形， ∴， ∴， ∵点为矩形的中心， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）设， 当点E在边上时，此时， 由（2）得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当点E在的延长线上时，如图，把直角补充成矩形，延长交延长线于点P，连接，则，此时，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $