专题05多边形及其内角和期中复习讲义 (8大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题05多边形及其内角和期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透多边形 / 正多边形核心概念，辨清对角线、内外角等元素 2.熟记内角和(n−2)×180°、外角和 360° 核心公式，懂推导 3.掌握正 n 边形单角计算，牢记正多边形 “边角双等” 特征 1.会用转化思想，多边形问题转三角形轻松解 2.公式灵活互求，边数、角度计算一步到位 3.辨真假命题、避易混点，解题步骤规范完整 1.基础选择 / 填空秒解，概念 + 公式直接套用不丢分 2.中档计算题精准破题，规避公式混淆、边数漏判等易错坑 3.搞定多边形 + 三角形简单综合题，该章考点全拿下 题型1.多边形基础与对角线综合 题型2.正多边形概念辨析与内角计算 题型3.多边形内角和与外角和综合 题型4.多边形截角的边数与内角和变式 题型5.多边形内角和错算问题 题型6.复杂图形内角和与网格面积求解 题型7.多边形外角和实际应用 题型8.平面镶嵌的判定与应用 解答题7题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 知识点03:核心题型(直击考点,必会) 1.基础计算：已知边数求内角和 / 单个内（外）角度数；已知内角和求边数 2.正多边形计算：利用正多边形边角特征，求边数、内 / 外角度数（如正六边形、正八边形常考） 3.对角线计算：求 n 边形从一个顶点出发的对角线条数、总对角线条数 4.综合应用：结合内角和 + 外角和互求，或与三角形内角和结合的简单推理题 ❌ 误区 1：认为 “各边相等 / 各内角相等的多边形就是正多边形”（需双条件满足，如长方形各角相等但边不等，不是正多边形） ❌ 误区 2：混淆内角和与外角和公式，忘记外角和是固定 360°（与边数无关）❌ 误区 3：计算对角线时，忽略 “从一个顶点出发不能与相邻、自身顶点连对角线”，错算成 n 条 ❌ 误区 4：求边数时，忘记 n 为≥3 的正整数（计算结果需验证） 题型01:多边形基础与对角线综合 【典例】下列说法错误的是（　　） A．正多边形的每条边都相等 B．正多边形的每个内角都相等 C．正多边形一定是凸多边形 D．正多边形的每条对角线都相等 【跟踪专练1】一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 【跟踪专练2】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【跟踪专练3】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【跟踪专练4】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【跟踪专练5】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 题型02:正多边形概念辨析与内角计算 【典例】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【跟踪专练1】在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 【跟踪专练3】如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 题型03:多边形内角和与外角和综合 【典例】六边形的内角和为______． 【跟踪专练1】如图，是正方形和正六边形的公共边，若图中的，，是正n边形的某部分，则n的值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【跟踪专练2】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【跟踪专练3】如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【跟踪专练5】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 题型04:多边形截角的边数与内角和变式 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为_________． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 【跟踪专练3】一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是________条． 题型05:多边形内角和错算问题 【典例】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【跟踪专练1】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【跟踪专练3】已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 题型06:复杂图形内角和与网格面积求解 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【跟踪专练1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【跟踪专练3】如图，的度数为___________． 题型07:多边形外角和实际应用 【典例】小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____．    【跟踪专练1】如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____m． 【跟踪专练3】将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 题型08:平面镶嵌的判定与应用 【典例】如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为______． 【跟踪专练1】璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【跟踪专练2】如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为______． 【跟踪专练3】小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【跟踪专练4】下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（    ）    A． B． C． D． 【解答题】 1．已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 2．综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 3．如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． 4．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 5．计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 6．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 7．如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转后又沿直线前进到达点，再向左转后沿直线前进到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形及其内角和期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透多边形 / 正多边形核心概念，辨清对角线、内外角等元素 2.熟记内角和(n−2)×180°、外角和 360° 核心公式，懂推导 3.掌握正 n 边形单角计算，牢记正多边形 “边角双等” 特征 1.会用转化思想，多边形问题转三角形轻松解 2.公式灵活互求，边数、角度计算一步到位 3.辨真假命题、避易混点，解题步骤规范完整 1.基础选择 / 填空秒解，概念 + 公式直接套用不丢分 2.中档计算题精准破题，规避公式混淆、边数漏判等易错坑 3.搞定多边形 + 三角形简单综合题，该章考点全拿下 题型1.多边形基础与对角线综合 题型2.正多边形概念辨析与内角计算 题型3.多边形内角和与外角和综合 题型4.多边形截角的边数与内角和变式 题型5.多边形内角和错算问题 题型6.复杂图形内角和与网格面积求解 题型7.多边形外角和实际应用 题型8.平面镶嵌的判定与应用 解答题7题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 知识点03:核心题型(直击考点,必会) 1.基础计算：已知边数求内角和 / 单个内（外）角度数；已知内角和求边数 2.正多边形计算：利用正多边形边角特征，求边数、内 / 外角度数（如正六边形、正八边形常考） 3.对角线计算：求 n 边形从一个顶点出发的对角线条数、总对角线条数 4.综合应用：结合内角和 + 外角和互求，或与三角形内角和结合的简单推理题 知识点04:易错点警示（避坑关键） ❌ 误区 1：认为 “各边相等 / 各内角相等的多边形就是正多边形”（需双条件满足，如长方形各角相等但边不等，不是正多边形） ❌ 误区 2：混淆内角和与外角和公式，忘记外角和是固定 360°（与边数无关）❌ 误区 3：计算对角线时，忽略 “从一个顶点出发不能与相邻、自身顶点连对角线”，错算成 n 条 ❌ 误区 4：求边数时，忘记 n 为≥3 的正整数（计算结果需验证） 题型01:多边形基础与对角线综合 【典例】下列说法错误的是（　　） A．正多边形的每条边都相等 B．正多边形的每个内角都相等 C．正多边形一定是凸多边形 D．正多边形的每条对角线都相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义和性质，掌握正多边形的定义和性质是解本题的关键． 正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形(多边形：边数大于等于3).正多边形的性质：1、正多边形的各边相等，各角相等；2、正n边形有n条对称轴；3、正n边形有一个外接圆，还有一个内切圆，它们是同心圆；4、n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；n是偶数时，既是轴对称，又是中心对称图形． 根据正多边形的定义和性质逐项判断即可． 【详解】由正多边形的定义和性质知： A、B、C选项都是正确的，只有D选项错误． 故选：D 【跟踪专练1】一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 【跟踪专练2】用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 【跟踪专练3】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【跟踪专练4】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 【跟踪专练5】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 题型02:正多边形概念辨析与内角计算 【典例】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 【跟踪专练1】在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】 /24度 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 【跟踪专练4】如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】正六边形的一个内角为，根据外角的定义有，，得，再讨论即可得的值． 【详解】解：∵正六边形的一个内角为， ∴， ∵为正边形的一个内角为度数， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则的值为3或4或5或6． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得． 题型03:多边形内角和与外角和综合 【典例】六边形的内角和为______． 【答案】 【分析】将六边形的边数代入多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：六边形的边数，代入公式得：． 【跟踪专练1】如图，是正方形和正六边形的公共边，若图中的，，是正n边形的某部分，则n的值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、多边形的内角和公式、外角和定理． 先根据正方形和正六边形的性质及多边形的内角和公式求出的度数，再根据正多边形的每一个内角与外角互补，求出每个外角的度数，结合多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：正方形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， 则， 这个正n边形的每个外角是：， 所以． 故选：C． 【跟踪专练2】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 【跟踪专练4】综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于即可求出正多边形的边数． 【详解】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角， 故正多边形的边数为（条） ∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（个） 故选C． 【跟踪专练5】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 【答案】41° 【分析】此题考查多边形的内角与外角、平行线的性质，熟记多边形的外角和是及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 由每个内角都相等的六边形的每个外角都相等得出，根据三角形的内角和得出，即可根据三角形的外角定理和平行线的性质求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 六边形的每个内角都相等， 其每个外角都相等， ， ． ， ． 故答案为：． 题型04:多边形截角的边数与内角和变式 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 【跟踪专练1】一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为_________． 【答案】或或 【分析】根据直线不同位置，得出不同的情况，从而得出答案． 【详解】解：将一个长方形切去一个角后， 可得如图三类图形，即五边形，四边形和三角形， 则内角和分别为，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形内角和，角的意义以及分类讨论思想，主要考查学生的画图能力和理解能力，题目比较典型，是一道比较容易出错的题目． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 【答案】9或10或11 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少． 【跟踪专练3】一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是________条． 【答案】3 【分析】设多边形的边数为n，由题意列方程，求解n的值，再根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，由题意可得， ， 解得， ∴这个多边形从一个顶点引对角线的条数是， 故答案为：3． 【点睛】本题考查多边形内角和公式和外角和公式及对角线，熟练掌握多边形内角和和外角和公式是解题的关键． 题型05:多边形内角和错算问题 【典例】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 【跟踪专练2】在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【跟踪专练3】已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 题型06:复杂图形内角和与网格面积求解 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【跟踪专练1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 题型07:多边形外角和实际应用 【典例】小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____．    【答案】/300度 【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为即可求解． 【详解】多边形的外角和等于 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质．根据多边形的外角和定理，可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点K， ∵多边形外角和为，对应的邻补角的和等于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【跟踪专练2】如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____m． 【答案】72 【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可． 【详解】由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°， 360°÷20°＝18， 所以它是一个正18边形， 因此所走的路程为18×4＝72（m）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键． 【跟踪专练3】将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 题型08:平面镶嵌的判定与应用 【典例】如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了镶嵌，正多边形的内角，先求出正五边形的每个内角度数，进而根据图形求出等腰三角形的顶角度数，再根据等腰三角形的性质求出底角度数即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的每个内角度数为，正三角形的每个内角度数为， ∴等腰三角形的顶角度数为， ∴等腰三角形的一个底角度数为， 故答案为：． 【跟踪专练1】璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正四边形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正八边形的内角为，正五边形的内角为，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； D、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据周角求出答案．几何图形镶嵌成平面的关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练3】小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 【跟踪专练4】下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得是等边三角形，可得，延长交于点E，则，求出，即正n边形的一个外角是，进而得出这个多边形是十二边形，从而得到答案. 【详解】解：如图，由题意可得是等边三角形， ∴， 延长交于点E，则， ∴，即正n边形的一个外角是， ∴这个多边形是边形， ∴正n边形的内角和为； 故选：A.    【点睛】本题考查了正多边形的内角和外角、等边三角形的性质等知识，掌握求解的方法是关键. 【解答题】 1．已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 2．综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，多边形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （2）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （3）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （4）理解题意，根据前面三小问，进行分析总结，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形， 则四边形的内角和是； （2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形， 则五边形的内角和是； （3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形， 则六边形的内角和是； （4）解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是 3．如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，将的周长转变为的长． （2）由的度数得出的度数之和，再根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：点与点关于对称，点与点关于对称， ，，，， ． （2）解：， ． 又，， ， ． 4．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 5．计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 6．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 【答案】(1) (2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十． 【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可； （）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况； 设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌； 正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 故选：； （2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形， 根据题意得：， ∴， ∵，为正整数， ∴或， 答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形； 由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌， 则， 整理得：， ∵，，为正整数， ∴应为正整数， 则或， 当时，，此时，无正整数解， 当时，，解得正整数解为：， 故答案为：十． 【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． 7．如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转后又沿直线前进到达点，再向左转后沿直线前进到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了多少米？ 【答案】小明第一次回到出发点，一共走了米． 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以即可． 【详解】解：小明每次都是沿直线前进后向左转， 他走过的图形是正多边形，且这个正多边形的每一个外角都是， 边数， 他第一次回到出发点.时，一共走了． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $