专题二 追及相遇问题 讲义-2027届高三物理一轮复习

专题二 追及相遇问题 讲义 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 1．二者距离变化与速度大小的关系(以甲追乙为例，如图所示) (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)若v甲＝v乙，甲、乙间的距离保持不变。 (3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2．解决追及和相遇问题的三个关系 (1)速度关系：①速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 ②速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 (2)位移关系：根据两物体初始运动时的距离，画出运动示意图，建立位移关系。 (3)时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系。 3．追及相遇问题的常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。 能否追上的判断方法(临界条件法)： 物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 (2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系： ①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。 a．若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； b．若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇； c．若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 ②当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。 (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。　４.相遇与追及问题的基本类型如下表。 类型 图像 说明 一定能 追上 匀加速追匀速 （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间距不断增大。 （2）t＝t0时，两物体速度相等，相距最远为x0＋Δx（x0是开始追以前两物体之间的距离）。 （3）t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小，直到追上。 （4）能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速　 类型 图像 说明 不一定能追上 匀减速追匀速 （1）t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离在不断减小。 （2）当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件； ②若Δx＜x0，则不能追上，此时两物体最小距离为x0－Δx； ③若Δx＞x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇 匀速追匀加速 匀减速追匀加速　 典例1：假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　) A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等 C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞 答案Ｃ 解析　由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝m＝90 m<x0＝100 m，即两车在t＝6 s时距离最近，最近距离为x0－Δx＝10 m，故A、B错误，C正确；t＝6 s时，两车相距10 m，且甲车在前、乙车在后，在6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9 s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误。 典例２：玩具车甲、乙在两条平行的直轨道上运行，它们的－t图像如图所示。初始时刻，两车在运动方向上相距l=1 m，甲在前，乙在后，下列说法正确的是(　　) A.甲、乙两车之间的距离先减小后增加 B.甲车做加速度大小为a=0.5 m/s2的匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动 C.在t=t0时刻甲、乙两车共速 D.0~t0，甲车的平均速度大小为4 m/s 答案　D解析　由x=v0t+at2，得=v0+at，由图像可知，甲车初速度v0=2 m/s，由a= m/s2得a=1 m/s2，所以甲车做初速度为v0=2 m/s，加速度为a=1 m/s2的匀加速直线运动，乙车做v=4 m/s的匀速直线运动，故B错误;由v=v0+at得共速时t=2 s，此时x甲=t=6 m，x乙=vt=8 m，Δx=x乙－x甲=2 m>l，则共速前乙车已追上甲，整个过程中两车可相遇两次，甲、乙两车之间的距离先减小后增加，再减小再增加，故A错误;t0时刻二者平均速度相等，则有v=，得t0=4 s，此时v甲=v0+at0=2 m/s+1×4 m/s=6 m/s，不等于乙车的速度，故C错误;0~t0，甲车的平均速度为==4 m/s，故D正确。 典例３：在水平轨道上有两列火车A和B相距为x，后面的A车做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞(未相遇)，A车的初速度v0应满足什么条件? 答案　v0< 解析　假设经过时间t，A车能追上B车，对A车有xA=v0t－×2at2 对B车有xB=at2　　　　则有xA=x+xB 即v0t－×2at2=x+at2 整理得3at2－2v0t+2x=0 两车不相撞，t无实数解，则Δ=(－2v0)2－4×3a×2x<0 则A车的初速度v0应满足的条件是v0<。 典例4：(2025·山东潍坊模拟)如图所示，甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1=72 km/h，乙车的速度大小v2=36 km/h。当甲、乙两车相距x0=20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a=2 m/s2，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求: (1)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx; (2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t。 答案　(1)45 m　(2)12 s 解析　(1)当两车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等，由v1=72 km/h=20 m/s，v2=36 km/h=10 m/s 则v1－at1=v2　　解得t1=5 s 在t1时间内甲车位移为x1=t1=×5 m=75 m 乙车位移为x2=v2t1=10×5 m=50 m 两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离 Δx=x0+x1－x2=20 m+75 m－50 m=45 m。 (2)设经过时间t2甲车停下来，根据运动学公式可得t2== s=10 s 在t2时间内，甲车的位移x1'=t2=×10 m=100 m 乙车的位移为x2'=v2t2=10×10 m=100 m 说明甲车速度减小到零时，甲、乙两车还相距20 m， 两车并排时乙车再运动的时间为t3== s=2 s 所以从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t=t2+t3=12 s。 典例5：在水平轨道上有A和B两辆儿童遥控赛车，开始时两者相距x。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。（试用多种方法求解） 运动过程如图所示。 答案：v0≤ 解析：方法一　物理情景分析法 利用位移公式、速度公式求解，对A车有 xA＝v0t＋·（－2a）·t2，vA＝v0＋（－2a）·t 对B车有xB＝at2，vB＝at 两车位移关系有x＝xA－xB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。 方法二　极值法 利用判别式求解，由方法一可知 xA＝x＋xB，即v0t＋×（－2a）·t2＝x＋at2 整理得3at2－2v0t＋2x＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当判别式Δ＝（－2v0）2－4·3a·2x＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。 方法三　图像法 利用v-t图像求解，先作A、B两车的v-t图像，如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车，有vA＝v'＝v0－2at 对B车，有vB＝v'＝at 以上两式联立解得t＝ 经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影部分的面积表示，由图像可知x＝v0·t＝v0·＝ 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。 学科网（北京）股份有限公司 $