精品解析：河南郸城县第一高级中学2025-2026学年度下学期高二年级第一次月考数学试卷

郸城一高2025-2026学年度下期高二年级第一次月考 数学试卷 注意：本试卷共4页，四大题，19小题，满分150分，时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目的要求. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B. 当相关系数 时，两个变量负相关； C. 甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D. 线性回归直线必过样本数据的中心点； 2. 等差数列的第9项为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 3. 曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 已知 ，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知抛物线的焦点为 ，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某空间站由， ，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知， 为两个随机事件，，分别表示， 的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， 相互独立，则 D. 若，则 10. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 11. 已知异面直线，，，，，，，，四点A，B，P，Q不共面，O是线段的中点， ，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线，所成角为 C. 点O到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，，则________. 13. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为________. 14. 如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到 的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 16. 在平面直角坐标系中，设动直线恒过定点；直线， 为平面上的一个动点， 到的距离为；且. （1）求的坐标； （2）求 的轨迹的方程； （3）设关于轴的对称点为 ，，过作与 轴垂直的直线，求 被分成的左，右两个部分面积之比的取值范围. 17. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于 的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为 ，用样本平均数 作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ， ， ．） （2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是 元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 18. 如图，在中，.将以 为轴旋转至，动点与原来的形成三棱锥 ，点 在棱 上，且. （1）证明：平面 . （2）记二面角为 ，二面角为. （i）证明：为定值； （ii）当取最大值时，求. 19. 设集合（），为 的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中得最大元素和最小元素的数值． （1）若的概率为，求； （2）若，求且 的概率； （3）已知：对于随机变量，，有．求随机变量的均值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郸城一高2025-2026学年度下期高二年级第一次月考 数学试卷 注意：本试卷共4页，四大题，19小题，满分150分，时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目的要求. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B. 当相关系数 时，两个变量负相关； C. 甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D. 线性回归直线必过样本数据的中心点； 【答案】D 【解析】 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项A错误； 选项B：当相关系数 时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C：模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,，所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D：回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项D正确. 2. 等差数列的第9项为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】A 【解析】 【详解】因为等差数列的公差为， 所以该等差数列的第9项为. 3. 曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数在处的切线的斜率即可得答案. 【详解】因为，所以， 设在处的切线的倾斜角为， 由导数的几何意义得， 而，可得. 4. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 5. 已知 ，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程表示圆，所以，解得 或. 当 时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 6. 已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题设，利用题设条件与焦准距可得，再由三角形面积计算即得. 【详解】由题意可知：，则， 设，则，可得，即， 又因为的面积为，解得. 7. 设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】令等比数列的公比为，则， 因此，数列是等比数列，即； 令，， ，即数列是等比数列， 令 ，则，显然，数列 不是等比数列， 所以是的充分不必要条件. 8. 某空间站由， ，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组 人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排 人，其余三人分成两组，一组人，一组 人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知， 为两个随机事件，，分别表示， 的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， 相互独立，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系，结合互斥事件的概率公式，可判断A、B的正误；根据独立事件的概率公式，可判断C的正误；根据全概率公式及条件概率公式，可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得A、B互斥， 所以，故B正确； 选项C：若， 相互独立，则 所以，故C错误； 选项D：因为，所以， 则，故D正确. 10. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对称性求出，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及偶函数性质推理判断D. 【详解】由函数与函数的图象关于y轴对称，得， 对于A，由，得 ，由，得 ，则与有相同的零点，A正确； 对于B，，则， 为偶函数，B正确； 对于C，由，求导得，当时， ，当 ， ， 函数有唯一极值点，由，求导得，当时， ， 当， ，函数有唯一极值点，C错误； 对于D，令，函数都是上的增函数， 则是上的增函数，当时，，则， 由为偶函数，得当时，，因此 ，都有，D正确. 11. 已知异面直线，，，，，，，，四点A，B，P，Q不共面，O是线段的中点，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线，所成角为 C. 点O到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过 点作，根据题意，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，可得，，， 若，则，得， 又，解得，即. 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以直线所成角为，故B错误； 对于C，易知且， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正态分布的对称性，求得，由二项分布的性质，结合题意得,从而求得. 【详解】随机变量，且， 所以，即. 因为， 所以. 所以. 13. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 则第4项必为中间项，故为偶数，且，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，故， 所以展开式中的系数为. 14. 如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到 的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】（1），与完全负相关 （2） （3）16元 【解析】 【小问1详解】 ，， 故， 故与完全负相关． 【小问2详解】 ， 故，回归方程为． 【小问3详解】 由题设，此时，故，故定价最高为16元． 16. 在平面直角坐标系中，设动直线恒过定点；直线，为平面上的一个动点，到的距离为；且. （1）求的坐标； （2）求的轨迹的方程； （3）设关于轴的对称点为 ，，过作与轴垂直的直线，求 被分成的左，右两个部分面积之比的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用直线的性质求解必过的定点即可. （2）结合题意化简求出椭圆方程即可. （3）结合题意将目标式表示为一元函数，再结合导数求解取值范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，则，故的坐标为. 【小问2详解】 设，因为，所以， 则，化简得. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 记的坐标为，由题意知，点不可能位于轴上， 故根据椭圆对称性，不妨设点在第一象限或在轴正半轴上， 即，，又，， 则直线的方程为， 设与轴，分别交于点，， 因为，所以，， 所以的面积与的面积之比如下， 为， 令，则， 当时， ，当时， ， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为，，， 所以的值域是，所以，得到， 根据对称性， 被分成的左，右两个部分面积之比的取值范围是. 17. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为 ，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ， ， ．） （2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是 元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】（1） （2）（ⅰ） 期望 ；（ⅱ）时利润最大. 【解析】 【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率 即可； （2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算； （ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值. 【小问1详解】 根据直方图可得， ， 由题知 ， ，则， 等品的质量指标值不小于， 即 . 【小问2详解】 （ⅰ）指标值在和的总件数为 ， 指标值在的件数是 ， 由题知，可能的取值是 . ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知， ， 由（1）知，等品的概率为 ， 则 ，于是 ， ， 记 ， 则 ， 则 递增， 递减， 故当时利润最大. 18. 如图，在中，.将以为轴旋转至，动点与原来的形成三棱锥 ，点在棱上，且 . （1）证明：平面 . （2）记二面角为，二面角为. （i）证明：为定值； （ii）当取最大值时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）（i） 过点分别向引垂线，垂足分别为 ，根据线面垂直的性质定理证明，由此可得，同理，再计算即可； （ii）根据均值不等式计算，设，可得，表示，根据计算即可. 【小问1详解】 因为，所以 . 因为，所以∽ ， 所以，即 . 由已知可得≌，同理，在中可证. 又，且两直线在平面内，所以平面 . 【小问2详解】 （i）由（1）知平面 ，所以平面平面， 则点在平面内的射影在直线 上. 如图，过点分别向引垂线，垂足分别为 ， 连接，则四边形是矩形. 由于，且两直线在平面内，所以平面， 从而，因此，同理. 因此， 从而，为定值. （ii）由题意可知，由（i）知. 所以， 当且仅当时等号成立. 设此时（ 为钝角时，在 的延长线上，为负）. 计算可得，则，， .由，得， 解得（舍去），所以. 19. 设集合（），为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中得最大元素和最小元素的数值． （1）若的概率为，求； （2）若，求且 的概率； （3）已知：对于随机变量，，有．求随机变量的均值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质来计算概率即可； （2）利用组合数思想，来计算这六个数中选取不同个数的组合数的和，就能计算该事件的概率； （3）利用两个随机变量的分布列来分别计算它们的期望，再利用加法原理，来对它们求和即可. 【小问1详解】 的非空子集个数为， 所以，， 解得，即． 【小问2详解】 当集合中的最大元素和最小元素分别为9，2时， 集合元素个数最少时，； 集合元素个数最多时，， 所以，集合的可能情况有种， 当时，集合的非空子集个数为个， 所以，． 【小问3详解】 集合的非空子集个数为， 最大值为的子集可视为的子集与集合的并集，共计个， 同理，为的子集共计个，为的子集共计个，……，为1的子集共计个， 所以，， 最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共计个， 同理，为2的子集共计个，为3的子集共计个，……，为的子集共计个， 所以，， 所以， ， 所以，． 【点睛】关键点点睛：首先从第一问和第二问找到解决问题的办法，其实就是研究包含某些元素的子集个数的研究，只有特殊的弄清楚了计算原理，对于后面的就是写清楚概率通项公式，即可求期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $