第25讲 尺规作图与定义、命题、定理（复习讲义，2考点14题型1重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第25讲 尺规作图与定义，命题，定理 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 尺规作图 题型01 作线段 题型02 作一个角等于已知角 题型03 尺规作角的和、差 题型04 过直线外一点作已知直线的平行线 题型05 作三角形 题型06 作角平分线 题型07 作垂线 题型08 作等腰三角形 题型09 画圆 题型10 作正多边形 命题点二 定义、命题、定理 题型01 判断是否是命题 题型02 判定命题的真假 题型03 逆命题 题型04 反证法 05·重难突破·思维进阶难 51 突破一 尺规作图与几何图形的综合 06·优题精选·练能提分 59 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 尺规作图 湖南省卷 T16 长沙市卷 T19 湖南省卷 T17 长沙市卷 T19 掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线），能识别作图痕迹，能根据作图步骤进行推理计算。 定义，命题，定理 长沙市卷 T16 T24 湖南省卷 T6 长沙市卷 T24 理解命题、定义、定理的概念，能判断命题的真假，能区分条件和结论，能进行简单的推理证明。 命题预测 1. 尺规作图痕迹识别与推理（填空题/解答题，6-10分） 角平分线作图：识别作图痕迹，利用角平分线性质解题；垂直平分线作图：识别作图痕迹，利用垂直平分线性质解题；作一个角等于已知角：识别作图痕迹，进行角度计算；过一点作垂线：识别作图痕迹，证明垂直关系 2. 根据作图步骤进行推理计算（解答题，8-10分） 求角度：根据作图过程求角的度数；求线段长：根据作图过程求线段长度；证明结论：根据作图过程证明几何结论 3. 命题真假判断（选择题/填空题，3-6分） 真命题判断：判断命题是否正确；假命题反例：找出反例说明命题为假；逆命题：写出命题的逆命题并判断真假 备考建议 1. 基础知识巩固 五种基本作图：熟记作图步骤和作图原理；命题结构：能找出条件和结论，能写出逆命题； 真假判断：真命题要证明，假命题举反例 2. 解题能力提升 作图识别：根据弧的交点判断是什么作图；性质应用：角平分线性质、垂直平分线性质；推理严谨：避免除以0等常见错误 4. 重点突破题型 ① 角平分线作图的性质应用② 垂直平分线作图的性质应用③ 根据作图痕迹求角度、线段长④ 命题真假判断与反例构造⑤ 新定义命题的理解与判断 考点一 尺规作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图, 五种基本作图： 1）作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2）作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3）作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4）过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5）作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 1.（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键． 根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可． 【详解】解：由作图知，是的角平分线， ∴，故A不符合题意； 由作图知垂直平分， ∴，，故B，D不符合题意； 无法证明，故C符合题意， 故选：C． 4.（2026·湖南株洲·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为________． 【答案】 2 【分析】根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，从而得到为的中点且，结合可证，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ∴, ∴， ∵， ， ， ． 5.（2024·湖南长沙·模拟预测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线和直线外一点.求作：直线，使直线直线． 作法：如图2， ①在直线上任取一点，作射线； ②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接； ③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： (1)根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）． ①   ②   ③    ④ (2)完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， __________. 又， ___________. ， ， ， 直线直线．（___________）（填写推理依据） 【答案】(1)① (2)；；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角、平行线的判定等知识． （1）根据作图可知，即可证明，得到答案； （2）由角平分线作图可知， ． 由等边对等角可知. 由三角形外角的性质得到，则，则，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由作图可知，， ∴， 故选：①； （2）证明：由作图可知平分， . 又， . ， ， ， 直线直线．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，，同位角相等，两直线平行 考点二 定义、命题、定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 1.（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 2.（2025·湖南·模拟预测）下列命题中是假命题的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若，则当时， D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用一元二次方程根的判别式、垂线的性质、不等式的性质、矩形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式、垂线的性质、不等式的性质、矩形的判定等知识逐项判断命题的真假即可解答． 【详解】解：A．方程，根的判别式为，当时一元二次方程有两个相等的实数根，故该命题是真命题，不符合题意； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．这是垂线的基本性质，符合初中几何公理，故该命题是真命题，不符合题意； C．若，则当时，，故该命题是真命题，不符合题意； D．对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，故该命题是假命题，符合题意． 故选：D． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于相似比 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、相似三角形以及三角形内角和定理的相关性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：A选项： 平行四边形无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，A选项错误，不符合题意； B选项： 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而不是矩形，B选项错误，不符合题意； C选项： 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是相似比，C选项错误，不符合题意； D选项： 已知在中，，设，则，． 因为三角形内角和为，所以，即，解得． 那么，有一个角为的三角形是直角三角形，所以是直角三角形，D选项正确，符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了真命题，平行四边形的性质、矩形和菱形的判定、相似三角形的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握轴对称图形的定义、矩形和菱形的判定定理、相似三角形面积比与相似比的关系以及三角形内角和定理是解题的关键． 4.（2025·湖南邵阳·三模）判断命题“对任意实数，都有”是假命题，只需要举出反例，反例中的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据平方的性质解答即可． 【详解】解：A、当时，，不能说明”是假命题，故该选项不符合题意； B、当时，，不能说明”是假命题，故该选项不符合题意； C、当时，，不能说明”是假命题，故该选项不符合题意； D、当时，，不能说明”是假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 5.（2025·湖南·模拟）用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设． 故选：B． 命题点一 实数的分类 ►题型01 作线段 【典例】（2025-2026·湖南怀化·模拟）如图，已知线段和线段． (1)用直尺和圆规在线段上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—线段的倍数，线段中点的性质，线段的和差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的倍数进行尺规作图即可； （2）根据线段的中点性质以及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，点即为所求； （2）解：如图2． 因为点是的中点，， 所以． 因为，， 所以． 所以． 【变式1】（24-25九年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解， 本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式． 【详解】解：由作图可知：，， 在中，， ∴， , 故选：C． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟）如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理，线段作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据作图可知，因此，同样根据作图可得，再根据勾股定理可求得，即可进一步得到答案． 【详解】以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D， ， ， 以点A为圆心，为半径画弧，交于点E， ， ， ， ． 故答案为：2． ►题型02 作一个角等于已知角 【典例】（2025·湖南邵阳·一模）在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则___________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了作图——作等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由作法可知，，证明出，进而得到，即可求解． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南武冈·模拟）已知直线，嘉嘉和淇淇想画出的平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线； ②含角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边与量角器的刻度线重合，则． 淇淇： ①作射线； ②在射线上任取点A，用尺规作与相等的角，即； ③连接，则． 下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意，嘉嘉利用同旁内角互补得出两直线平行，淇淇利用同位角相等得出两直线平行． 【详解】解：嘉嘉： 斜边与量角器的刻度线重合， ∴ 又∵直角板， ∴， ∴， ∴， 则嘉嘉的作法正确， 淇淇：∵， ∴， 则淇淇的作法正确， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． ►题型03 尺规作角的和、差 【典例】（24-25九年级上·湖南益阳·开学考试）如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则  ___________．（用含 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角等于已知角、作角的平分线，与角平分线相关的角的运算，关键是掌握利用角平分线的定义和角的和差的计算． 根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：由作法可得，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 【变式1】如图，一副三角板中，，，． (1)在图1中，以为一边，作一个；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，将三角板的顶点A和顶点F重合，如果恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，几何图形中角的计算，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法． （1）方法1：以点E为角的顶点，为角的一条边，在上方作，则即为所求； 方法2：以点E为角的顶点，为角的一条边，在上方作，则即为所求； （2）根据角平分线定义得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：方法1：即为所求作的角； 方法2：即为所求作的角； （2）解：∵，平分， ∴， ∵ ∴． 【变式2】已知：线段a，b，，．求作： (1)线段； (2)．（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查了尺规作图-作线段和作角． （1）先画一条射线，再以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，交射线于点C，此时得到，再以C为圆心，线段b的长度为半径画弧，交射线于点B，此时得到，所以，得到所求线段； （2）先画一条射线，然后以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于两点，再以O为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于一点，连接该点至点O，延长至点M；紧接着以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于两点，再以O为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于一点，连接该点至点O，延长至点N，此时． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求： （2）解：如图所示，为所求． ►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例】要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【变式1】如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 以点为圆心为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，然后以点为圆心为半径画弧交前弧于点，作射线，则即为所求作，其中弧是以点为圆心为半径画的弧． 【详解】解：弧是以点为圆心为半径画的弧． 故选：D． 【变式2】如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． ►题型05 作三角形 【典例】课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 【变式1】课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 【变式2】如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 【详解】解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． ►题型06 作角平分线 【典例】（2025·湖南永州·二模）已知，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的作图、平行线的性质和菱形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据题意得，，则，则有，进一步得，即可判定四边形为菱形，则，结合已知即可得，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故， 故选：D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为____________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，由作图得是的平分线，根据角平分线的性质作高后证得平分，从而发现是内外角平分线的夹角．体现了对几何综合的运算能力，推理能力的核心素养要求． 【详解】解：如图，过点 D 作交的延长线于点M，作交的延长线于点 N，作交于G． 由作图得是的平分线， ∴． ∵，， ∴，， ∴，即平分． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴平分． ∴； 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南株洲·三模）如图，在平行四边形中，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由作法可知，平分，再结合平行四边形的性质，可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：由作法可知，平分， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 连接， 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 【变式4】（2024·湖南长沙·一模）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义求出； （2）根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 由题意平分， ； （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式5】如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G． (1)连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）． ①；②；③；④ (2)当，______； (3)若，，P为上一动点，求的最小值． 【答案】(1)④； (2)； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质： （1）连接、，证明，即可得出答案； （2）先求出，再根据全等三角形的性质得出，得出，进而得出答案； （3）过点G作于H，即为的最小值，先根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：连接、， 在和中， ， ∴， 故选：④； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点G作于H，即为的最小值， ∵，，， ∴， ∵，，是的平分线， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值． ►题型07 作垂线 【典例】（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为_____． 【答案】15 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，基本作图-作线段垂直平分线等知识点．由含30度角的直角三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长是． 【详解】解：，， ， 由题意知：D在线段的垂直平分线上， ， 的周长． 故答案为：15． 【变式2】如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图的原理及等量代换的思想，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等这一性质是解题的关键． 先由作图步骤得出是的垂直平分线及，再利用垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，最后通过等量代换求出的长度． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵以点为圆心，为半径画弧， ∴． ∴． ∵的周长为， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的__________；（填序号） ①高线    ②角平分线     ③垂直平分线    ④中线 (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)③；② (2) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答． （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；② （2）解：， ， 由（1）得是的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得平分 ∴． ►题型08 作等腰三角形 【典例】如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF 【答案】A 【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可. 【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK 所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形. 故选：A 【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键. 【变式2】如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 【答案】A 【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：∵所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确， 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键． ►题型09 画圆 【典例】下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ）    A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③ 【答案】B 【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆， ∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴正确的操作步骤是②①④③ 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点． 【变式2】如图，在中，， (1)尺规作图：作，使圆心在边上，且与边相切于点、点（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，，求的半径 【答案】(1)图见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线及作圆、切线的性质及相似三角形的判定与性质， （1）先作的平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为圆心，为半径作，与边相切于点，则即为所求作； （2）连接，先求出，，再证明四边形是正方形，设半径为r，则，可得，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； ； （2）解：连接， 在中，，，， ， ， 与边相切于点、点， ， ， 四边形是正方形， 设半径为r，则， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴的半径为． ►题型10 作正多边形 【典例】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式1】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【变式2】阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据题目要求作出图形即可； （2）由作图可知，可知，利用勾股定理可求，根据正六边形的性质可知是等边三角形，并且，所以可得点坐标为． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求； （2）将正六边形绕点顺时针旋转，如下图所示，连接， 由作图可知， 则， ， 点的坐标为， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形，， ， 正六边形绕点顺时针旋转，此时点坐标为． 【变式3】教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 【答案】(1)， (2)，证明五边形是正五边形见详解 【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案； （2）首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得，由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形． 故答案为：，； （2）解：根据题意，可得，， ∵点为半径的中点， ∴， ∴在中，， ∵以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点， ∴； 如下图，连接，，，，， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴五边形是正五边形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 命题点二 定义、命题、定理 ►题型01 判断是否是命题 【典例】下列命题中，正确的命题是（    ） A．度数相等的弧是等弧 B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．垂直于弦的直径平分弦 D．三角形的外心到三边的距离相等 【答案】C 【分析】根据等弧或垂径定理，正多边形的性质一一判断即可； 【详解】A、完全重合的两条弧是等弧，错误； B、正五边形不是中心对称图形，错误； C、垂直于弦的直径平分弦，正确； D、三角形的外心到三个顶点的距离相等，错误； 故选：C． 【点睛】此题考查命题与定义，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1】下列语句中，不是命题的是（      ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行 C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A. 相等的角是对顶角是命题； B. 两条直线不平行是命题； C. 延长AB到C使BC=AB不是命题；     D. 两点之间线段最短是命题； 故选C. 【点睛】本题考查的是命题的概念，一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 【变式2】下列语句是命题 (       ) . A．将27开立方 B．任意三角形的三条中线相交于一点吗? C．锐角小于直角 D．作一条直线和已知直线垂直 【答案】C 【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断. 【详解】A. 将27开立方,没有做出判断，不是命题； B. 任意三角形的三条中线相交于一点吗? 没有做出判断，不是命题； C. 锐角小于直角，将锐角和直角比较，作出了大小判断，故是命题； D. 做一条直线和已知直线垂直，没有做出判断，不是命题； 故选C. 【点睛】本题考查命题的概念，判断一件事情的语句叫做命题，牢记概念是解题的关键. ►题型02 判定命题的真假 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．面积相等的三角形全等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 【答案】D 【分析】本题考查了命题与真理，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，根据平行线的性质可判断A，根据全等三角形的性质可判断B，根据乘法法则可判断C，根据三角形外角定理可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故选项不符合题意； B、面积相等的三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意； C、若，则，原命题是假命题，故选项不符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）下列命题中，属于假命题的是（   ） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．平行四边形是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解角平分线的性质、对顶角的定义、平行线的性质、平行四边形的性质．利用角平分线的性质、对顶角的定义、平行线的性质、平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，为真命题，不符合题意； B、对顶角相等，正确，为真命题，不符合题意； C、两条直线平行，同位角相等，错误，是假命题，符合题意； D、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·湖南衡阳·三模）判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　） A．2 B．0 C． D．-5 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，即可进行判断． 【详解】解：∵． 当时，此时“若，则”是真命题； 当时，，若，则，此时命题“若，则”是假命题． 故选：B． 【变式3】（2025·湖南衡阳·二模）下列四个命题中，真命题是（   ） A．同位角相等 B．若，那么 C．的立方根是 D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题、平行线的性质、立方根的定义和一次函数图象的平移等知识； 根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项判断即可得解. 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B、若，那么，故原命题是假命题； C、的立方根是，故原命题是真命题； D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题； 故选：C 【变式4】（2025·湖南湘潭·模拟预测）下列命题中，假命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．多边形的外角和为360° C．若两个三角形相似，则它们一定位似 D．圆柱的主视图与左视图都是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了判断真假命题，多边形的外角的性质，位似的定义，三视图，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 两点之间，线段最短，是真命题，故该选项不符合题意； B. 多边形的外角和为360°，是真命题，故该选项不符合题意； C. 若两个三角形相似，则它们不一定位似，原命题是假命题，故该选项符合题意； D. 圆柱的主视图与左视图都是矩形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C． ►题型03 逆命题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则， B．有两个角都是60°的三角形是等边三角形 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，对顶角相等，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意； B. 逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形有两个角都是，真命题，不符合题意； C. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D. 逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·湖南株洲·三模）命题“若，那么”的逆命题为_____，此逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，那么 真 【分析】本题考查命题及逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据实数的平方判断真假．熟记逆命题的概念、真假命题的判断方法是解题的关键． 【详解】解：命题“若，那么”的逆命题为“若，那么”，此逆命题是真命题． 故答案为：若，那么；真． 【变式2】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．三边长为3、4、5的三角形为直角三角形 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题的概念，判断命题真假，熟练掌握相关知识点是解题关键．先分别写出逆命题，再根据不等式的性质，勾股定理，角平分线的性质，绝对值的意义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，则的逆命题是“若，则，” ，则，或，， 逆命题是假命题，不符合题意； B、三边长为3、4、5的三角形为直角三角形的逆命题是“直角三角形的三边长为3、4、5”， 直角三角形的三边长还可以为6、8、10或5、12、13或……， 逆命题是假命题，不符合题意； C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是“角的平分线上的点到角的两边距离相等”，是真命题，符合题意； D、若，则的逆命题是“若，则”， ，则， 逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C 【变式3】我们认为，一个命题的真假和其逆命题的真假相反，则该命题为“黑白命题”．在下列命题中，“黑白命题”的数量为（　　）个． 【命题一】等弧所对的弦相等． 【命题二】正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【命题三】直角梯形是有两个内角为直角的四边形． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查命题及其逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义及性质定理．据弧、弦之间的关系定理、正比例函数的图像性质、直角梯形的概念判断即可． 【详解】命题一：等弧所对的弦相等，是真命题，其逆命题为相等的弦所对的弧相等，是假命题，所以本命题是“黑白命题”； 命题二：正比例函数的图像是一条过原点的直线，是真命题，其逆命题为过原点的一条直线是正比例函数的图象，是假命题，例如坐标轴经过原点，但不是正比例函数的图象，故本命题是“黑白命题”； 命题三：直角梯形是有两个内角为直角的四边形，是真命题，其逆命题是有两个内角为直角的四边形是直角梯形，是假命题，故本命题是“黑白命题”； 故选：D． ►题型04 反证法 【典例】我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 【答案】A 【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答． 【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于． 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾． 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 以上步骤符合反证法的步骤． 故推理使用的证明方法是反证法． 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 【变式1】反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设 A．AB=AC B．∠B=∠C C．AB>AC D．AB<AC 【答案】A 【分析】根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC”，第一步应是假设AB=AC， 故选A． 【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【变式2】用反证法证明命题“若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，使用反证法时，需假设原命题的结论不成立．原命题的结论是，其否定应为． 【详解】解：命题为“若，则”．其中条件是，结论是． 假设结论不成立，即在原条件下，结论的否定成立． 的否定是， 故选：D 突破一 尺规作图与几何图形的综合 【典例】如图，在平行四边形中，是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)猜想与证明：连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据线段垂直平分线、平行四边形及菱形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：四边形是菱形， 理由：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【变式1】如图，为的内接三角形，其中是的直径．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；过点作射线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作一个角等于已知角，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）连接，先利用直径所对的圆周角是得出，得出，再利用等腰三角形的性质得出，再利用作图可知，即可得，即可证明； （2）设的半径为，利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即的半径为． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）探究：用尺规作图作过直线外一点作已知直线的平行线时，小美的作法是：①在直线上任取两点、，连接；②以为圆心长为半径画圆弧；③以为圆心长为半径画圆弧，两圆弧交于点；④作直线． 问题1：根据小美的作法，证明： 问题2：作的角平分线，交于点，若，求的长． 【答案】问题1：见解析；问题2：作图见解析， 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，尺规作图——作线段和角平分线及等腰三角形的判定与性质． 问题1：连接，由作图可得，易证四边形是平行四边形，即可证明； 问题2：根据角平分线的作法作图即可；由问题1可知，即，易证，再根据四边形是平行四边形，推出，由即可求解． 【详解】问题1：证明：如图，连接， 由作图可得， ∴四边形是平行四边形， ∴； 问题2：如图所示，为的角平分线， 由问题1可知，即， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）综合与探究 【课本再现】 课本67页有这样一道题：如图，在中，，于点D，找出图中所有的相似三角形，并说明理由，图中存在3组相似三角形，兴趣小组发现这道题是个很好的素材，可以得出结论：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形相似，且都与原三角形相似． 【初步探究】 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，_______． （1）请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． 【动手实践】 （2）请在下列小题中选择一个进行作图，不写作法，保留作图痕迹． ①请利用尺规在图中作边上的高； ②如图，的顶点均在网格图的格点上，请仅用直尺画出边上的高． 【拓展探究】 （3）如图，在中，，于点D，F为线段延长线上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）是直角三角形，理由见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）利用相似三角形的判定即可证明； （2）①根据过已知点作已知直线的垂线的作法解答即可；②根据网格图的特征解答即可； （3）证明，可得．由（1）知，可得，可证明，可得，再由，即可解答． 【详解】解：（1）； 选择第一个： 证明：在中，， ， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 选择第二个： 证明：在中，，， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 选择第三个： 证明：因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． （2）①如图所示，即为所求作． ②如图所示，即为所求作． （3）是直角三角形． 理由如下： 因为，， 所以． 所以． 所以． 由（1）知， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以是直角三角形． 【变式4】小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 1.（2025·湖南·模拟预测）下列命题中，为假命题的是（    ） A．矩形的四个角相等 B．平行四边形的对角相等 C．有两角相等的三角形是等腰三角形 D．菱形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判断、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，根据相关概念和性质即可解答． 【详解】解：A：矩形的四个角均为，故A为真命题； B：平行四边形的对角相等，故B为真命题； C：等角对等边，故有两角相等的三角形是等腰三角形，C为真命题； D：菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，矩形的对角线相等，故D为假命题． 故选：D． 2.（2025·湖南岳阳·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形 C．相似三角形的面积比等于相似比 D．圆内接四边形对角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质是解决此题的关键．利用无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原选项错误，是假命题，不符合题意； B、由得三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故原选项正确， 是真命题，符合题意； C、 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故原选项错误，是假命题，不符合题意； D、圆内接四边形对角互补，故原选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 3.（2025·湖南·模拟预测）数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查作图−−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图步骤逐步分析即可． 【详解】解：步骤②应为：以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N． 故选B． 4.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过D点作于H点，由题中作法得平分，根据得，根据含直角三角形的性质，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过D点作于H点， 由题中作法得平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 5.（24-25九年级上·湖南山东·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； C．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意． 故选：D． 6.（2025·湖南·模拟预测）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理和证明，熟练掌握它们的定义是解题的关键，根据题意分别找到各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 【详解】解：A．此选项的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； B．此选项的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，此选项符合题意； C．此选项的逆命题是“等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； D．此选项的逆命题是“两个角的和等于的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意． 故选：B． 7.（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知，，，小红进行了如下作图：（1）分别以点A和点B为圆心、大于为半径作弧，两弧相交于E，F两点；（2）作直线与相交于点D．解决如下两个问题：    (1)以上作图是如下___________的基本作图；（在横线上填序号） ①作一个角的平分线；②作已知线段的垂直平分线；③作已知直线的垂线． (2)若，求的长． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及勾股定理． （1）由作图痕迹即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质求得，推出，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由作图痕迹知，直线是线段的垂直平分线， 故答案为：②； （2）解：∵，， ∴， 由上题可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 8.（2025·湖南长沙·三模）小聪与小慧一起研究尺规作图问题： 如图1，在锐角三角形中，，是边上的中线．现在要找一点，使四边形是平行四边形． 小聪：以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连结，． 小慧：以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧交于点，连结，． (1)图2为小聪的作图，请证明作出的四边形是平行四边形． (2)小慧作图依据是_____（填序号） ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题考查尺规作图-作平行四边形，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）由作图方法可知：，再根据是边上的中线，得，即可由平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出结论； （2）依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案． 【详解】（1）证明：由作图可知：， ∵是边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由作图可知：，， 依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得 四边形是平行四边形． 故答案为：③． 9.（2025·湖南长沙·模拟预测）四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 10.．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， (1)求的周长； (2)在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 【答案】(1)23 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （1）根据作图过程可得是线段的垂直平分线，得，进而可得的周长； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，∵是的垂直平分线， ∴， 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 11.（2026·湖南娄底·一模）阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据双关联线段的定义得到且，进而证得矩形是正方形，从而得到，利用求解即可； （2）易证明，进而得到、，延长交于点，根据易得到，利用三角形内角和定理得到，从而得出结论； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，过点、作直线，此时；以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，此时，即线段是相应线段的双关联线段． 【详解】（1）解：与互为双关联线段， ，且， 矩形是正方形， 、， ； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 延长交于点， 在中，， ， ， ， ， 线段是线段的双关联线段； （3）解：如图，即为所求． 12.（24-25九年级下·湖南长沙·月考）如图，是的直径，，连接交于点． (1)尺规作图：如图①，作出的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下连接，求证：是的切线； (3)如图②，交于点，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的性质定理，线段的垂直平分线，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）作的垂直平分线，交于点，则点为所求； （2）连接，先证明为的中位线，再证明，推出，得出，得出，进而可得出答案； （3）连接，设交于点， 证明，得出，再得出，设，则，得出，证明，得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如解图①，作的垂直平分线，交于点，则点为所求； （2）证明：连接，如解图②， ， ， ， 为的中位线， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：连接，如解图③， 设交于点， 是的直径， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 是的直径，， ， 5． 1．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 4．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 5．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键； 先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴, 由题意可得：平分，即， 设交于点M，作于点N，如图， 则， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A. 6．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 10．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可； 理由：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 12．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2)见解析 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【详解】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 13．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）由作图得，，，得到，然后结合即可证明； （2）由菱形的性质得到，，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由作图得，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ 由作图得， ∴ ∴． 14．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)；． 【分析】根据矩形的周长公式计算即可； 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求； 根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求； 过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切； 连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； （2）解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； （3）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； （4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第25讲 尺规作图与定义，命题，定理 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 尺规作图 题型01 作线段 题型02 作一个角等于已知角 题型03 尺规作角的和、差 题型04 过直线外一点作已知直线的平行线 题型05 作三角形 题型06 作角平分线 题型07 作垂线 题型08 作等腰三角形 题型09 画圆 题型10 作正多边形 命题点二 定义、命题、定理 题型01 判断是否是命题 题型02 判定命题的真假 题型03 逆命题 题型04 反证法 05·重难突破·思维进阶难 23 突破一 尺规作图与几何图形的综合 06·优题精选·练能提分 26 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 尺规作图 湖南省卷 T16 长沙市卷 T19 湖南省卷 T17 长沙市卷 T19 掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线），能识别作图痕迹，能根据作图步骤进行推理计算。 定义，命题，定理 长沙市卷 T16 T24 湖南省卷 T6 长沙市卷 T24 理解命题、定义、定理的概念，能判断命题的真假，能区分条件和结论，能进行简单的推理证明。 命题预测 1. 尺规作图痕迹识别与推理（填空题/解答题，6-10分） 角平分线作图：识别作图痕迹，利用角平分线性质解题；垂直平分线作图：识别作图痕迹，利用垂直平分线性质解题；作一个角等于已知角：识别作图痕迹，进行角度计算；过一点作垂线：识别作图痕迹，证明垂直关系 2. 根据作图步骤进行推理计算（解答题，8-10分） 求角度：根据作图过程求角的度数；求线段长：根据作图过程求线段长度；证明结论：根据作图过程证明几何结论 3. 命题真假判断（选择题/填空题，3-6分） 真命题判断：判断命题是否正确；假命题反例：找出反例说明命题为假；逆命题：写出命题的逆命题并判断真假 备考建议 1. 基础知识巩固 五种基本作图：熟记作图步骤和作图原理；命题结构：能找出条件和结论，能写出逆命题； 真假判断：真命题要证明，假命题举反例 2. 解题能力提升 作图识别：根据弧的交点判断是什么作图；性质应用：角平分线性质、垂直平分线性质；推理严谨：避免除以0等常见错误 4. 重点突破题型 ① 角平分线作图的性质应用② 垂直平分线作图的性质应用③ 根据作图痕迹求角度、线段长④ 命题真假判断与反例构造⑤ 新定义命题的理解与判断 考点一 尺规作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图, 五种基本作图： 1）作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2）作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3）作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4）过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5）作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 1.（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·湖南株洲·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为________． 5.（2024·湖南长沙·模拟预测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线和直线外一点.求作：直线，使直线直线． 作法：如图2， ①在直线上任取一点，作射线； ②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接； ③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： (1)根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）． ①   ②   ③    ④ (2)完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， __________. 又， ___________. ， ， ， 直线直线．（___________）（填写推理依据） 考点二 定义、命题、定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 1.（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 2.（2025·湖南·模拟预测）下列命题中是假命题的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．若，则当时， D．对角线相等的四边形是矩形 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于相似比 D．在中，若，则是直角三角形 4.（2025·湖南邵阳·三模）判断命题“对任意实数，都有”是假命题，只需要举出反例，反例中的可以是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南·模拟）用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 命题点一 实数的分类 ►题型01 作线段 【典例】（2025-2026·湖南怀化·模拟）如图，已知线段和线段． (1)用直尺和圆规在线段上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点是的中点，，，求的长． 【变式1】（24-25九年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟）如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为_______． ►题型02 作一个角等于已知角 【典例】（2025·湖南邵阳·一模）在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则___________． 【变式1】（2025·湖南武冈·模拟）已知直线，嘉嘉和淇淇想画出的平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线； ②含角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边与量角器的刻度线重合，则． 淇淇： ①作射线； ②在射线上任取点A，用尺规作与相等的角，即； ③连接，则． 下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． ►题型03 尺规作角的和、差 【典例】（24-25九年级上·湖南益阳·开学考试）如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则  ___________．（用含 的代数式表示） 【变式1】如图，一副三角板中，，，． (1)在图1中，以为一边，作一个；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，将三角板的顶点A和顶点F重合，如果恰好平分，求的度数． 【变式2】已知：线段a，b，，．求作： (1)线段； (2)．（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） ►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例】要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【变式1】如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 【变式2】如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A．B．C． D． ►题型05 作三角形 【典例】课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1】课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式2】如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． ►题型06 作角平分线 【典例】（2025·湖南永州·二模）已知，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在上分别截取线段，使得；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线．连接， 若，，则的度数为____________． 【变式2】（2025·湖南株洲·三模）如图，在平行四边形中，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为___________． 【变式3】（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·湖南长沙·一模）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 【变式5】如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G． (1)连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）． ①；②；③；④ (2)当，______； (3)若，，P为上一动点，求的最小值． ►题型07 作垂线 【典例】（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为___________． 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为_____． 【变式2】如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的__________；（填序号） ①高线    ②角平分线     ③垂直平分线    ④中线 (2)在（1）所作的图中，求的度数． ►题型08 作等腰三角形 【典例】如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF 【变式2】如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 ►题型09 画圆 【典例】下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【变式1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ）    A．②①③④ B．②①④③ C．①②④③ D．①④②③ 【变式2】如图，在中，， (1)尺规作图：作，使圆心在边上，且与边相切于点、点（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，，求的半径 ►题型10 作正多边形 【典例】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【变式1】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【变式2】阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【变式3】教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 命题点二 定义、命题、定理 ►题型01 判断是否是命题 【典例】下列命题中，正确的命题是（    ） A．度数相等的弧是等弧 B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．垂直于弦的直径平分弦 D．三角形的外心到三边的距离相等 【变式1】下列语句中，不是命题的是（      ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行 C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短 【变式2】下列语句是命题 (       ) . A．将27开立方 B．任意三角形的三条中线相交于一点吗? C．锐角小于直角 D．作一条直线和已知直线垂直 ►题型02 判定命题的真假 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．面积相等的三角形全等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）下列命题中，属于假命题的是（   ） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．平行四边形是中心对称图形 【变式2】（2025·湖南衡阳·三模）判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　） A．2 B．0 C． D．-5 【变式3】（2025·湖南衡阳·二模）下列四个命题中，真命题是（   ） A．同位角相等 B．若，那么 C．的立方根是 D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 【变式4】（2025·湖南湘潭·模拟预测）下列命题中，假命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．多边形的外角和为360° C．若两个三角形相似，则它们一定位似 D．圆柱的主视图与左视图都是矩形 ►题型03 逆命题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则， B．有两个角都是60°的三角形是等边三角形 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【变式1】（2025·湖南株洲·三模）命题“若，那么”的逆命题为_____，此逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【变式2】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．三边长为3、4、5的三角形为直角三角形 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．若，则 【变式3】我们认为，一个命题的真假和其逆命题的真假相反，则该命题为“黑白命题”．在下列命题中，“黑白命题”的数量为（　　）个． 【命题一】等弧所对的弦相等． 【命题二】正比例函数的图像是一条过原点的直线． 【命题三】直角梯形是有两个内角为直角的四边形． A．0 B．1 C．2 D．3 ►题型04 反证法 【典例】我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（    ） A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法 【变式1】反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设 A．AB=AC B．∠B=∠C C．AB>AC D．AB<AC 【变式2】用反证法证明命题“若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 突破一 尺规作图与几何图形的综合 【典例】如图，在平行四边形中，是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)猜想与证明：连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】如图，为的内接三角形，其中是的直径．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；过点作射线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）探究：用尺规作图作过直线外一点作已知直线的平行线时，小美的作法是：①在直线上任取两点、，连接；②以为圆心长为半径画圆弧；③以为圆心长为半径画圆弧，两圆弧交于点；④作直线． 问题1：根据小美的作法，证明： 问题2：作的角平分线，交于点，若，求的长． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）综合与探究 【课本再现】 课本67页有这样一道题：如图，在中，，于点D，找出图中所有的相似三角形，并说明理由，图中存在3组相似三角形，兴趣小组发现这道题是个很好的素材，可以得出结论：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形相似，且都与原三角形相似． 【初步探究】 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，_______． （1）请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． 【动手实践】 （2）请在下列小题中选择一个进行作图，不写作法，保留作图痕迹． ①请利用尺规在图中作边上的高； ②如图，的顶点均在网格图的格点上，请仅用直尺画出边上的高． 【拓展探究】 （3）如图，在中，，于点D，F为线段延长线上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． 【变式4】小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 1.（2025·湖南·模拟预测）下列命题中，为假命题的是（    ） A．矩形的四个角相等 B．平行四边形的对角相等 C．有两角相等的三角形是等腰三角形 D．菱形的对角线相等 2.（2025·湖南岳阳·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形 C．相似三角形的面积比等于相似比 D．圆内接四边形对角相等 3.（2025·湖南·模拟预测）数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_____． 5.（24-25九年级上·湖南山东·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6.（2025·湖南·模拟预测）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 7.（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知，，，小红进行了如下作图：（1）分别以点A和点B为圆心、大于为半径作弧，两弧相交于E，F两点；（2）作直线与相交于点D．解决如下两个问题：    (1)以上作图是如下___________的基本作图；（在横线上填序号） ①作一个角的平分线；②作已知线段的垂直平分线；③作已知直线的垂线． (2)若，求的长． 8.（2025·湖南长沙·三模）小聪与小慧一起研究尺规作图问题： 如图1，在锐角三角形中，，是边上的中线．现在要找一点，使四边形是平行四边形． 小聪：以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连结，． 小慧：以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧交于点，连结，． (1)图2为小聪的作图，请证明作出的四边形是平行四边形． (2)小慧作图依据是_____（填序号） ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 9.（2025·湖南长沙·模拟预测）四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 10.．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， (1)求的周长； (2)在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 11.（2026·湖南娄底·一模）阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． (2)问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． (3)问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 12.（24-25九年级下·湖南长沙·月考）如图，是的直径，，连接交于点． (1)尺规作图：如图①，作出的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下连接，求证：是的切线； (3)如图②，交于点，连接交于点，若，，求的长． 1．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 5．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 6．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 10．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 14．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $