第27讲 图形的相似与位似（复习讲义，4考点18题型2重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第27讲 图形的相似与位似 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 相似图形的基本概念与性质 题型01比例的性质 题型02成比例线段 题型03黄金分割 题型04判断两个图形是否相似 题型05相似多边形的性质求解 命题点二 平行线分线段成比例 题型01 由平行判断成比例的线段 题型02 由平行线截线段成比例求解 题型03 常见模型之“A”字型 题型04 常见模型之“8”字型 题型05 常见模型之“A”+“8”字型 题型06 平行线分线段成比例实际应用 命题点三 位似图形 题型01 位似图形的有关概念 题型02 根据位似图形求解 题型03 画已知图形放大或缩小后的位似图形 题型04 位似图形的实际应用 命题点四 坐标系与位似图形 题型01 求位似图形对应的坐标 题型02 求坐标中位似图形的位似比或周长比或面积比 题型03 在坐标系中画位似图形 05·重难突破·思维进阶难 62 突破一 相似图形与函数综合 突破二 与平行线分线段成比例几何综合 06·优题精选·练能提分 76 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 比例线段的概念与性质 / / 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质（内项积等于外项积），能进行比例式的变形和计算。 相似图形的概念及其性质 长沙市卷T25 湖南省卷 T25 T26 长沙市卷T10 T24 湖南省卷 T9 理解相似图形的概念，掌握相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）。 平行线分线段成比例 长沙市卷T25 湖南省卷 T26 湖南省卷 T9 掌握平行线分线段成比例定理，能运用该定理进行比例线段的计算和证明。 位似图形 / / 理解位似图形的概念，掌握位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行），能进行位似作图和相关计算。 命题预测 1. 比例线段基础考查（选择题/填空题，3-6分） 比例性质：比例的基本性质（交叉相乘相等）;比例中项：a:b=b:c，b²=ac;黄金分割：较长段:全长=-1/2≈0.618 2. 相似三角形的性质与判定高频考查（解答题，8-12分） 相似判定：AA、SAS、SSS相似判定;相似性质：对应边成比例、面积比等于相似比的平方 ;与全等结合：全等是相似比为1的特殊情况 3. 平行线分线段成比例必考（填空题/解答题，6-8分） 基本定理：一组平行线截两条直线，对应线段成比例;推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例;与中点结合：中位线定理是该定理的特例 4. 位似图形综合考查（解答题，8-10分） 位似变换：以某点为位似中心放大或缩小图形;与坐标系结合：求位似变换后的坐标;与函数结合：函数图像的位似变换 备考建议 1. 基础知识巩固 比例性质：内项积=外项积，合比、分比、等比性质;相似判定：AA、SAS、SSS;相似性质：对应边成比例、面积比=相似比²;平行线分线段：一组平行线截两条直线，对应线段成比例;位似性质：对应点连线交于一点，对应边平行 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇平行线 → 构造A字型或8字型相似;遇中点 → 考虑中位线或倍长中线; 遇垂直 → 考虑母子相似（射影定理）;模型识别：A字型、8字型、母子型、一线三等角; 方程思想：设未知数列比例方程 3. 重点突破题型 ① 相似三角形判定与性质证明② 平行线分线段成比例求线段③ 利用相似测高（实际问题）④ 位似变换与坐标系结合⑤ 动态几何中的相似问题 考点一 比例线段的概念与性质 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 比例的性质： 1）基本性质： 2）变形： 核心内容： 3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. 1.（2025·湖南永州·模拟预测）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2.（2025·湖南衡阳·模拟）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质∶熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 3.（2026·湖南·一模）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 考点二 相似图形的概念及其相关性质 (一)相似图形与相似多边形 1.相似图形 核心：只看形状，与大小、位置、方向无关。 特例：全等图形是相似比为1的特殊相似图形。 常见相似图形：所有的圆、所有的边数相同的正多边形(如正三角形、正五边形)、所有的正方形。 2.相似多边形 判定条件(缺一不可)：①对应角相等；②对应边成比例。 相似比：相似多边形对应边的比k。 (二)相似多边形的性质(重点) 1.基本性质：对应角相等，对应边成比例。 2.周长性质：相似多边形的周长比等于相似比。公式： 3.面积性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方。公式： 易错点：计算面积时，切勿忘记对相似比进行平方运算。 (三)黄金分割(美学与数学结合) 1.定义：点C在线段AB上，且满足，则点C叫做线段AB的黄金分割点。 2.黄金比： 2.黄金比：设，则。 由定义得方程，解得。 黄金比：(这是一个无理数，通常取近似值0.618)。 3.应用：建筑设计（如帕特农神庙）、绘画构图（达芬奇《蒙娜丽莎》）、舞台报酬位置等，利用黄金分割带来的视觉美感。 1.（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的特征，掌握相似图形的特征是解题的关键，即相似图形强调形状相同而大小可变，而平移、轴对称和旋转均不改变图形大小．根据图案造型完全一致，仅尺寸放大或缩小，这符合图形相似的定义，即形状相同但大小不同，即可得解． 【详解】解： 图形形状相同但大小改变， 图形相似，即体现了数学中图形的相似． 故选：C． 2.（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，， ∴ ∴， ∴支撑点C，D之间的距离为， 故答案为：． 3.（2026·湖南怀化·模拟）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 4.（2025·湖南株洲·模拟）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是(         ) A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较 【答案】A 【分析】原来的图形和放大的图形是相似的,根据相似三角形的对应角相等,可以判定∠A＝∠C. 【详解】由于图形放大或缩小后,形状没有发生变化,结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等,可判定∠A＝∠C. 故选A. 【点睛】题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等.熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键. 考点三 平行线分线段成比例 1.核心定理：平行线分线段成比例 文字语言：两条直线被一组三条或更多相互平行的直线所截，所得的对应线段成比例。 符号语言：若，则，如图所示。 口诀：上比下=上比下；全比全=全比全。 2.核心推论：三角形中的平行线(重中之重)，这是中考考查最频繁的形式。 文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 基本图形： A型图：平行线在三角形内部。若，则，如图所示。 X型图(8字型)：平行线在三角形外部(延长线相交)。若，则依然有，如图所示。 1.（2025·湖南长沙·学易金卷二模）如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 当时，原分式有意义， ∴的长为， 故选：C ． 2.（2025·湖南永州·模拟预测）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如图，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 3.（2025·湖南武冈·模拟）如图，是的中线，，交于点，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线的性质得出，是中位线，设，则，，得出，即可求解． 【详解】解：是的中线， 点是中点， ， 点是中点， 是中位线， ，， ， 是中位线， ， 设，则，， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点四 位似图形相关求解 一、位似图形的定义 两个图形满足以下两个条件，即为位似图形： 1.两个图形相似； 2.每一组对应点所在的直线都经过同一个点(这个点称为位似中心)。 关键词：①相似+共点=位似；②位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。 位似比：相似多边形的相似比，即位似比k。 二、位似图形的重要性质(必考) 1.对应点共点 所有对应点的连线相交于同一点——位似中心。 2.对应线段平行 不经过位似中心的对应线段互相平行。（这是位似变换的保平行性） 3.距离比等于位似比 设位似中心为点O，对应点为A与A，则(k为位似比) 4.对应角相等 位似变换不改变图形的角度大小。 5.面积比等于位似比的平方 1.（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，可得，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的性质，解题关键是利用位似图形的对应边成比例，以及周长比等于相似比来求解．先通过找出四边形与四边形的相似比即，即可得出周长比． 【详解】解析：四边形与四边形关于点位似， ， ， 四边形ABCD与四边形的周长比为． 故选：C． 3.（2025·湖南武冈·模拟冲刺）如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（　　） ①ABC与DEF是位似图形； ②ABC与DEF是相似图形； ③ABC与DEF的周长比为1：2； ④ABC与DEF的面积比为4：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似的定义可得，与是位似图形，也就是特殊的相似图形，故①②正确； ∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴与的位似比为2∶1，周长比为2∶1，面积比为4∶1，故③错误，④正确． 故选：C 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决问题的关键． 4.（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，按相似比 把线段缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质．分在原点同侧和异侧两种情况进行讨论，的坐标分别乘以和，即可求解． 【详解】解：依题意，原点为位似中心，相似比为，把线段缩小， 则点的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 命题点一 相似图形的基本概念与性质 ►题型01 比例的性质 性质名称 条件 结论 解题思路 基本性质 比例化整式，交叉相乘 合比性质 分子加分母，整体比不变 分比性质 分子减分母，差比不变 合分比性质 出现和差结构直接用 等比性质 一串比例相等，分子和÷分母和 【典例】（2025·湖南长沙·一模）已知，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质：先将化简，再与选项对比即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025·湖南常德·二模）若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题给出等式（ ），要求的值，可通过等式变形来求解．本题考查等式的基本性质以及分式的化简．解题关键在于根据所求式子的形式，合理利用等式性质，在已知等式两边同时除以合适的非零式子（ ），从而得到的值． 【详解】解：∵ ∴在等式两边同时除以， 得到 ． ∴ , 故答案为：． 【变式2】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 【变式3】（2025·湖南湘西·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：6． ►题型02 成比例线段 【典例】（2025·湖南株洲·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，比例中项，熟练掌握解二元一次方程组的方法和比例中项的定义是解题的关键．由题给出了关于、满足的二元一次方程组，可以解得，由比例中项的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∵是、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南湘西·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 【变式2】（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． ►题型03 黄金分割 黄金分割 解题思路 一、先认准三个量 一条线段AB被点C黄金分割，一定有三个量： 全长AB、较长段AC、较短线段BC，且。 二、核心等式（一定要背） 变形： 三、黄金比（固定值） 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：E为线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先由，得，再由证，可得，即可得出结论； （2）先证明，根据相似三角形的性质得，再由已知，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E为线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定及性质，黄金分割点的定义． 【变式1】（2025·湖南武冈·模拟）已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】解：当AC＜BC时， ∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴， 同理当AC＞BC时，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 【变式2】（2025·湖南湘潭·二模）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点是线段的黄金分割点是解答关键． 利用黄金分割的定义来进行计算求解． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）短文阅读，解决问题． 若矩形的四个顶点都在三角形的边上，且矩形一组邻边的比为．我们称这个矩形是该三角形的“内接黄金矩形”．如图．矩形的四个顶点在的边上，满足，则矩形为的“内接黄金矩形”．若中，，，四边形为的“内接黄金矩形”且． (1)求边上的高 及的面积 (2)求的长． (3)如图2，连接，动点P从G出发沿方向，向点F匀速运动，同时点Q从点E出发沿方向，向点D匀速运动，它们的速度分别是每秒，每秒，过点Q作分别交于点M、N．设运动时间为t秒（）当时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，解求解出，即可求解三角形面积； （2）过点A作，垂足为H，交于点J，则题意得，设则， ，由，得到，则，即可求解； （3）先求出，由题意得，，可得四边形为矩形，则，表示出，，由，表示出，当时，则，则得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：过点A作，垂足为H，交于点J， ∵四边形为矩形 ∴，             ∵四边形是的内接黄金矩形， ∴ 设，则， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：； （3）解：∵，， ∴ 由题意得，， 在矩形中， ∵， ∴四边形为矩形         ∴， ∴， ， ∵， ∴，   ∴=     ∴，         ∴， ∵当时， ∴＝即 ∵ ∴，即 解得： ∴当时，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次根式的混合运算，矩形的判定与性质，解直角三角形，黄金比等知识点，难度较大． ►题型04 判断两个图形是否相似 一、判断一般图形是否相似 只看一条标准：形状完全相同，与大小、位置、方向无关。 二、判断两个多边形是否相似(必须同时满足两条) ①对应角相等；②对应边成比例 两条缺一不可，只满足一条不能判定相似。 三、特殊图形直接判定相似 所有的圆一定相似 所有边数相同的正多边形一定相似(如所有正方形、所有正三角形、所有正五边形) 全等图形一定相似(相似比=1) 四、常见易错判断(一定要记住) ①两个矩形不一定相似(角相等，边不一定成比例) ②两个菱形不一定相似(边成比例，角不一定相等) ③两个等腰三角形不一定相似 ④两个直角三角形不一定相似 五、最简单判断步骤 1.看是不是圆、同边数正多边形：是就直接相似 2.若是一般多边形：检查对应角相等且对应边成比例 3.只看形状，不看大小、方向、位置 【典例】（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）下列图形不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个圆 C．两个等腰直角三角形 D．两个正方形 【答案】A 【分析】本题考查了相似的判定，根据相似图形的判定方法求解即可． 【详解】解：A、角不一定相等，边不一定对应成比例，故两个菱形不一定相似，符合题意； B、两个圆的半径对应成比例，则两个圆相似，不符合题意； C、两个等腰直角三角形中，有一个直角，两个的锐角，对应相等，则两个等腰直角三角形相似，不符合题意； D、两个正方形中，四个角都是直角，对应相等，对应边成比例，则两个正方形相似，不符合题意； 故选：A ． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟）下列说法不一定正确的是            （   ） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是的等腰三角形相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的矩形都相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的识别，把形状相同的图形叫做相似图形．根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、所有的等边三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； B、有一个角是的等腰三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； C、所有的正方形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误． 故选D． 【变式2】（2025·湖南·模拟）下列各组图形中，不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A. 两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意 B. 两个图形是相似图形，不符合题意； C. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意； D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意． 故选：C． ►题型05 相似多边形的性质求解 【典例】（2024·湖南·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 【变式1】（2026九年级上·湖南岳阳汨罗·期末）如图，四边形四边形，，，，，则和的度数分别为（   ）． A．3.5和 B．7和 C．3.5和 D．7和 【答案】A 【分析】此题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出，，进而解答即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴ 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块的长方形成果展板，其成本是元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的倍，那么扩大后长方形展板的成本是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 直接利用相似多边形的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的倍， ∴面积扩大为原来的倍， ∴扩大后展板的成本为（元）， 故选C． 【变式3】（2025·湖南·模拟）如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴相似多边形的相似比为； ∴它们的面积比为； 故选：C． 【变式4】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， 又∵，， ∴，解得：， 故选D． 命题点二 平行线分线段成比例 ►题型01 由平行判断成比例的线段 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴A错误； 故选：A． 【变式2】（2025·湖南郴州·培优）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，得到四边形BDEF是平行四边形是解题的关键． 由，则四边形是平行四边形，得到，则，可判断A，可判断C，根据得到，即可判断B和D． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， ， 即，， 故A不符合题意； 若，，与已知条件不符， 故不成立，C符合题意； B、， ，， 故B、D选项不符合题意； 故选：C． ►题型02 由平行线截线段成比例求解 【典例】（2024·湖南·模拟预测）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，将数据代入即可求出答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：6． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，理解“同高的两个三角形，面积比等于底的比”是解题关键． 先由同高三角形面积比得，通过平行线证明，利用相似性质得，再通过平行线证明，最后由面积比等于相似比的平方求出结果． 【详解】解：与的高相同，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，，，则等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，由题意得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵ ∴， 故选：A 【变式4】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，，与相交于点G，若，，则的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选B． ►题型03 常见模型之“A”字型 【典例】（2024·湖南·二模）如图，在中，D，E分别为边上的点，且，若，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：4． 【变式1】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在△的边上，，分别过点作，，交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得到，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南怀化·一模）如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； 故选D． 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟）如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 【变式4】（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． ►题型04 常见模型之“8”字型 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，与相交于点，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，线段的和差运算，由推导与的数量关系是解题关键． 通过平行线得内错角相等，结合对顶角相等可证，再由推出与的比例，利用相似三角形对应边成比例求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应线段； 由平行可得比例线段，即可求得的长． 【详解】解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．先根据平行四边形性质得到，，再利用平行线分线段成比例定理得出，设，则，求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行线的性质证明． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选C． ►题型05 常见模型之“A”+“8”字型 【典例】（25-26九年级上·湖南·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，，、相交于O点，点E在上，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，进一步证明，进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴， ∴，，故B不正确， ∴不正确，故D不正确， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A正确， 由于与无边相等，不能判定两三角形全等级，故C错误， 故选：A． 【变式2】（2025·湖南·三模）如图，四边形是平行四边形，点，分别在的延长线，的延长线上，连接分别交，于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断不符合题意；由得，所以，可判断不符合题意；由得，所以，可判断不符合题意；由证明，得，则，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， ， 故C不符合题意； ， ， ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质正确地列出比例式是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行线分线段定理可得，即；再证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【变式4】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． (1)若，求的长； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)8 (2)12 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，从而求出，，即，，从而求出，，，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵, ∴，， ∴， ∴． ►题型06 平行线分线段成比例实际应用 【典例】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， 解得：， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·月考）如图，，是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档，，互相平行．已知，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理应用，根据平行线分线段成比例定理，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是___________． 【答案】4 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】（2025·湖南·模拟）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（    ）． A． B． C．50 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】解：， ， 即， ， 的长是． 故选：D． 命题点三 位似图形 ►题型01 位似图形的有关概念 【典例】（2025·湖南衡阳·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 【变式1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）下列命题中，假命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．多边形的外角和为360° C．若两个三角形相似，则它们一定位似 D．圆柱的主视图与左视图都是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了判断真假命题，多边形的外角的性质，位似的定义，三视图，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 两点之间，线段最短，是真命题，故该选项不符合题意； B. 多边形的外角和为360°，是真命题，故该选项不符合题意； C. 若两个三角形相似，则它们不一定位似，原命题是假命题，故该选项符合题意； D. 圆柱的主视图与左视图都是矩形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， C、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D∴与的周长之比为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． ►题型02 根据位似图形求解 【典例】（2025·湖南娄底·二模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（2025·湖南·一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，涉及相似三角形的面积比是相似比的平方等知识，先由题意得到，求出即可得到答案，熟记相似三角形性质、位似图形性质是解决问题的关键． 【详解】解：与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为， ，则， ， 故选：A． 【变式2】（2024·湖南岳阳·一模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（    ） A．4 B． C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为：， ∵的周长为8， ∴的周长为16． 故选：C． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 【变式4】（2025·湖南永州·一模）已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵与是位似三角形，且， ∴，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． ►题型03 位似图形的实际应用 【典例】（2025·湖南衡阳·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为_______． 【答案】2 【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等，解直角三角形等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，确定正方形的面积为8，得到正方形的边长为，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为18， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2． 【变式1】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，证明△△，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：正方形和正方形是位似图形， ， △△， ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（    ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B．线段中点与线段中点的连线不一定经过点 C．∽ D．蜡烛火焰长 【答案】B 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解，位似图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，结合，可得，从而可判断C； 根据相似三角形的性质列出比例式，即可得出蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，从而可判断A； 将已知线段的长代入比例式，可求得，从而可判断D； 先证明，再证明、、三点共线，从而可判断B． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∴， ∴蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形， 故A正确； ∵，，蜡烛火焰倒立像， ∴， ∴， ∴蜡烛火焰长， 故D正确； ∵，， ∴， 取的中点，的中点，如图， 则，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴线段中点与线段中点的连线一定经过点O， 故B错误， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，小鸟①与小鸟②位似，点是它们的位似中心，其中，则小鸟①与小鸟②的面积的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意得到相似比为，再由面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：小鸟①与小鸟②位似，点是它们的位似中心，其中， ∴， ∴， ∴小鸟①与小鸟②的面积的比为， 故选：D ． 命题点四 坐标系与位似图形 ►题型01 求位似图形对应的坐标 【典例】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，有两点，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 根据位似变换的性质可知，，相似比是，根据已知数据可以求出点的坐标． 【详解】解：由题意得，，相似比是， ， 又，， ，， 点的坐标为：， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，．以坐标原点为位似中心，将平行四边形放大为原图形的倍．则点对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质；根据位似变换的性质，以原点为位似中心，相似比为，点的对应点坐标应为原坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，点的坐标为， 点的对应点'的坐标为或， 即或． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（　　） A．（，1） B．（-，-1） C．（8，16）或（﹣16，﹣8） D．（8，16）或（﹣8，﹣16） 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答． 【详解】∵以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的4倍，得到△OA'B'，A（2，4）， ∴点A的对应点A′的坐标是：（，）或， 即（，）或（，）． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 【变式3】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或根据位似图形的概念得到，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与是以O为位似中心的位似图形， ， ∵，， 与的相似比为， 点B的坐标为， 点D的坐标是， 故选：C． ►题型02 求坐标中位似图形的位似比或周长比或面积比 【典例】（2026·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 【答案】 4 【分析】先说明，再求出相似比，然后相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵与位似，且点O是位似中心， ∴． ∵点， ∴， ∴， 则与的相似比为2， ∴与的面积比是4． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【答案】6 【分析】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 利用位似的性质得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心， ∴，即， ∴． 故答案是：6． 【变式2】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． ►题型03 在坐标系中画位似图形 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标分别为，，． (1)在给定的网格中，以点为位似中心，将扩大为原来的倍，得到，请画出； (2)画出以为邻边的平行四边形，则顶点的坐标为 ； (3)在图中标出边的中点． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)作图见详解 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握位似图形的作图方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据位似图形的定义及作图即可求解； （2）根据平行四边形的判定和性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据位似作图的方法，图示如下， ，，，， ∴，， ∴即为所求图形； （2）解：已知的坐标分别为，，， 根据平行四边形的性质作图如下， ∴， 故答案为：； （3）解：根据平行四边形对角线相互平分，作图如下， ∴点即为所求点的位置． 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：∵，且相似比为， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南湘西·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． (1)画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； (2)以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； (3)直接写出与的面积比． 【答案】(1)见解析，点； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查作图---中心对称变换、位似变换以及相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （3）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：如图，即为所作； （3）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 突破一 相似图形与函数综合 【典例】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）根据“心形图”关于直线对称可知：当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点， 当时，，则 当时，可得，解得，则， 将，代入抛物线，可得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：设，， 过点作于点，过点作轴交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大为， 点到直线的最大值为； （3）解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 则， ， ， 当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时， 直线解析式的值与直线解析式的值相同，为， 直线与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称可知， 上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线， 上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等， 根据平行线分线段成比例可得， 故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线与“心形图”有交点． 【变式1】如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且， ______． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数的比例系数的几何意义及三角函数，解题的关键是证，利用相似和勾股定理求 ． 作辅助线构造直角三角形，通过角的关系证．利用反比例函数的几何意义，结合相似三角形面积比与相似比的关系，得出的值．设、的表达式，用勾股定理求，最后依据三角函数定义算出 ． 【详解】过作轴于，过作轴于． ∵， ∴， ∵， ∴． 且， ∴． 设，，在上，在上， ∴，． ∴， ∴， 设，． 在中， 根据勾股定理． ∴ ． 故答案为：． 【变式2】如图，动点在函数的图象上运动，轴于，轴于，线段、分别与直线交于点、，则的值等于________． 【答案】1 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质，数形结合是关键．过点、分别作、，两式相乘，得，，代入中，解得． 【详解】解：如图，过点、分别作、， ，， 两式相乘，得， 直线 交坐标轴与，两点， ，， 在的图象上， ， 代入中， 得， 解得． 故答案为：1． 突破二 与平行线分线段成比例几何综合 【典例】在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式1】中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，在中，是一条对角线，且，，E，F是边上两点，点F在点E的右侧，，连接并延长，的延长线与的延长线交于点G． (1)如图1，M是边上一点，连接与交于点N，． ①若M为中点，求证：； ②求的长； (2)如图2，连接，H是上一点，连接．若，且，求的长． 【答案】(1)①见解析，②2 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质与判定等知识点，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由平行线的性质可得，，则可求出，再证明，即可得到；②由平行四边形的性质得到，证明，可得，则； （2）连接，可证明，得到，则，导角证明，得到，由平行线分线段成比例定理推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ∵M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 1.（2025·湖南·一模）已知，那么_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积成为解题的关键． 依据可得，再代入代数式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2.（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 3.（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比的应用，由胡克定律公式得到即可求解，解题的关键是由题意得到． 【详解】由题意得：， ∴ 故选：． 4.（2025九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知，，，则的长是（  ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5.（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 6.（2026·湖南郴州·模拟）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 7.（25-26九年级下·湖南武冈·月考）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】B 【分析】根据题意得出，，再根据对应线段的比和周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，． 相似比为， ，与的周长比是，与的面积比是， ， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 8.（2025·湖南怀化·二模）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 9.（2025·湖南武冈·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点A的对应点A′的坐标为或，即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 10.（25-26九年级下·湖南·开学考试）如图，中，，，，，，求和长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段此比例定理即可得到的长，证明，即可求得的长，证明，利用相似三角形性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 11.（2025·湖南永州·二模）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标； 【答案】画图见详解， 【分析】本题考查了位似作图和旋转作图，按要求画图，写出的坐标，即可求解；掌握位似作图及旋转作图的作法是解题的关键． 【详解】解：如图， 、为所求作， ． 12.（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，． (1)求证： (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． （1）由，求得，由求得，据此即可得到； （2）设，，求得，，再根据可求得，再根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的长为10． 13.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图--线段的垂直平分线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用作线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由平行线分线段成比例定理得到是中点，由直角三角形斜边上中线得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 由题意得，， ∴， ∴， ∴点M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 14.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例； （1）由平行线可得，即，结合可得四边形是平行四边形，由三线合一可得即可得到四边形是矩形； （2）先求出，，即可求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明∵，点E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形； （2）解：∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 1.（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 2.（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 3.（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4.（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 5.（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 6.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 7.（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 8.（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 9.（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 10.（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第27讲 图形的相似与位似 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 相似图形的基本概念与性质 题型01比例的性质 题型02成比例线段 题型03黄金分割 题型04判断两个图形是否相似 题型05相似多边形的性质求解 命题点二 平行线分线段成比例 题型01 由平行判断成比例的线段 题型02 由平行线截线段成比例求解 题型03 常见模型之“A”字型 题型04 常见模型之“8”字型 题型05 常见模型之“A”+“8”字型 题型06 平行线分线段成比例实际应用 命题点三 位似图形 题型01 位似图形的有关概念 题型02 根据位似图形求解 题型03 画已知图形放大或缩小后的位似图形 题型04 位似图形的实际应用 命题点四 坐标系与位似图形 题型01 求位似图形对应的坐标 题型02 求坐标中位似图形的位似比或周长比或面积比 题型03 在坐标系中画位似图形 05·重难突破·思维进阶难 28 突破一 相似图形与函数综合 突破二 与平行线分线段成比例几何综合 06·优题精选·练能提分 30 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 比例线段的概念与性质 / / 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质（内项积等于外项积），能进行比例式的变形和计算。 相似图形的概念及其性质 长沙市卷T25 湖南省卷 T25 T26 长沙市卷T10 T24 湖南省卷 T9 理解相似图形的概念，掌握相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）。 平行线分线段成比例 长沙市卷T25 湖南省卷 T26 湖南省卷 T9 掌握平行线分线段成比例定理，能运用该定理进行比例线段的计算和证明。 位似图形 / / 理解位似图形的概念，掌握位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行），能进行位似作图和相关计算。 命题预测 1. 比例线段基础考查（选择题/填空题，3-6分） 比例性质：比例的基本性质（交叉相乘相等）;比例中项：a:b=b:c，b²=ac;黄金分割：较长段:全长=-1/2≈0.618 2. 相似三角形的性质与判定高频考查（解答题，8-12分） 相似判定：AA、SAS、SSS相似判定;相似性质：对应边成比例、面积比等于相似比的平方 ;与全等结合：全等是相似比为1的特殊情况 3. 平行线分线段成比例必考（填空题/解答题，6-8分） 基本定理：一组平行线截两条直线，对应线段成比例;推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例;与中点结合：中位线定理是该定理的特例 4. 位似图形综合考查（解答题，8-10分） 位似变换：以某点为位似中心放大或缩小图形;与坐标系结合：求位似变换后的坐标;与函数结合：函数图像的位似变换 备考建议 1. 基础知识巩固 比例性质：内项积=外项积，合比、分比、等比性质;相似判定：AA、SAS、SSS;相似性质：对应边成比例、面积比=相似比²;平行线分线段：一组平行线截两条直线，对应线段成比例;位似性质：对应点连线交于一点，对应边平行 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇平行线 → 构造A字型或8字型相似;遇中点 → 考虑中位线或倍长中线; 遇垂直 → 考虑母子相似（射影定理）;模型识别：A字型、8字型、母子型、一线三等角; 方程思想：设未知数列比例方程 3. 重点突破题型 ① 相似三角形判定与性质证明② 平行线分线段成比例求线段③ 利用相似测高（实际问题）④ 位似变换与坐标系结合⑤ 动态几何中的相似问题 考点一 比例线段的概念与性质 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 比例的性质： 1）基本性质： 2）变形： 核心内容： 3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. 1.（2025·湖南永州·模拟预测）若，则（　　） A． B． C． D． 2.（2025·湖南衡阳·模拟）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·湖南·一模）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 考点二 相似图形的概念及其相关性质 (一)相似图形与相似多边形 1.相似图形 核心：只看形状，与大小、位置、方向无关。 常见相似图形：所有的圆、所有的边数相同的正多边形(如正三角形、正五边形)、所有的正方形。 2.相似多边形 判定条件(缺一不可)：①对应角相等；②对应边成比例。 相似比：相似多边形对应边的比k。 (二)相似多边形的性质(重点) 1.基本性质：对应角相等，对应边成比例。 2.周长性质：相似多边形的周长比等于相似比。公式： 3.面积性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方。公式： (三)黄金分割(美学与数学结合) 1.定义：点C在线段AB上，且满足，则点C叫做线段AB的黄金分割点。 2.黄金比： 2.黄金比：设，则。 由定义得方程，解得。 黄金比：(这是一个无理数，通常取近似值0.618)。 3.应用：建筑设计（如帕特农神庙）、绘画构图（达芬奇《蒙娜丽莎》）、舞台报酬位置等，利用黄金分割带来的视觉美感。 1.（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 2.（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______．（结果保留根号） 3.（2026·湖南怀化·模拟）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南株洲·模拟）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是(         ) A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较 考点三 平行线分线段成比例 1.核心定理：平行线分线段成比例 文字语言：两条直线被一组三条或更多相互平行的直线所截，所得的对应线段成比例。 符号语言：若，则，如图所示。 2.核心推论：三角形中的平行线(重中之重)，这是中考考查最频繁的形式。 文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 基本图形： A型图：平行线在三角形内部。若，则，如图所示。 X型图(8字型)：平行线在三角形外部(延长线相交)。若，则依然有，如图所示。 1.（2025·湖南长沙·学易金卷二模）如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2.（2025·湖南永州·模拟预测）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南武冈·模拟）如图，是的中线，，交于点，则(　　) A． B． C． D． 考点四 位似图形相关求解 一、位似图形的定义 两个图形满足以下两个条件，即为位似图形： 1.两个图形相似； 2.每一组对应点所在的直线都经过同一个点(这个点称为位似中心)。 关键词：①相似+共点=位似；②位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。 位似比：相似多边形的相似比，即位似比k。 二、位似图形的重要性质(必考) 1.对应点共点 所有对应点的连线相交于同一点——位似中心。 2.对应线段平行 不经过位似中心的对应线段互相平行。（这是位似变换的保平行性） 3.距离比等于位似比 设位似中心为点O，对应点为A与A，则(k为位似比) 4.对应角相等 位似变换不改变图形的角度大小。 5.面积比等于位似比的平方 1.（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 3.（2025·湖南武冈·模拟冲刺）如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（　　） ①ABC与DEF是位似图形； ②ABC与DEF是相似图形； ③ABC与DEF的周长比为1：2； ④ABC与DEF的面积比为4：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，按相似比 把线段缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D．或 命题点一 相似图形的基本概念与性质 ►题型01 比例的性质 性质名称 条件 结论 解题思路 基本性质 比例化整式，交叉相乘 合比性质 分子加分母，整体比不变 分比性质 分子减分母，差比不变 合分比性质 出现和差结构直接用 等比性质 一串比例相等，分子和÷分母和 【典例】（2025·湖南长沙·一模）已知，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南常德·二模）若，则___________． 【变式2】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【变式3】（2025·湖南湘西·一模）如果，那么的值为 ． ►题型02 成比例线段 【典例】（2025·湖南株洲·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 【变式1】（2025·湖南湘西·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【变式2】（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． ►题型03 黄金分割 黄金分割 解题思路 一、先认准三个量 一条线段AB被点C黄金分割，一定有三个量： 全长AB、较长段AC、较短线段BC，且。 二、核心等式（一定要背） 变形： 三、黄金比（固定值） 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：E为线段的黄金分割点． 【变式1】（2025·湖南武冈·模拟）已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2025·湖南湘潭·二模）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）短文阅读，解决问题． 若矩形的四个顶点都在三角形的边上，且矩形一组邻边的比为．我们称这个矩形是该三角形的“内接黄金矩形”．如图．矩形的四个顶点在的边上，满足，则矩形为的“内接黄金矩形”．若中，，，四边形为的“内接黄金矩形”且． (1)求边上的高 及的面积 (2)求的长． (3)如图2，连接，动点P从G出发沿方向，向点F匀速运动，同时点Q从点E出发沿方向，向点D匀速运动，它们的速度分别是每秒，每秒，过点Q作分别交于点M、N．设运动时间为t秒（）当时，求t的值． ►题型04 判断两个图形是否相似 一、判断一般图形是否相似 只看一条标准：形状完全相同，与大小、位置、方向无关。 二、判断两个多边形是否相似(必须同时满足两条) ①对应角相等；②对应边成比例 两条缺一不可，只满足一条不能判定相似。 三、特殊图形直接判定相似 所有的圆一定相似 所有边数相同的正多边形一定相似(如所有正方形、所有正三角形、所有正五边形) 全等图形一定相似(相似比=1) 四、常见易错判断(一定要记住) ①两个矩形不一定相似(角相等，边不一定成比例) ②两个菱形不一定相似(边成比例，角不一定相等) ③两个等腰三角形不一定相似 ④两个直角三角形不一定相似 五、最简单判断步骤 1.看是不是圆、同边数正多边形：是就直接相似 2.若是一般多边形：检查对应角相等且对应边成比例 3.只看形状，不看大小、方向、位置 【典例】（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）下列图形不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个圆 C．两个等腰直角三角形 D．两个正方形 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟）下列说法不一定正确的是            （   ） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是的等腰三角形相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的矩形都相似 【变式2】（2025·湖南·模拟）下列各组图形中，不相似的是（    ） A． B． C． D． ►题型05 相似多边形的性质求解 【典例】（2024·湖南·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【变式1】（2026九年级上·湖南岳阳汨罗·期末）如图，四边形四边形，，，，，则和的度数分别为（   ）． A．3.5和 B．7和 C．3.5和 D．7和 【变式2】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块的长方形成果展板，其成本是元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的倍，那么扩大后长方形展板的成本是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式3】（2025·湖南·模拟）如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 命题点二 平行线分线段成比例 ►题型01 由平行判断成比例的线段 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南郴州·培优）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 由平行线截线段成比例求解 【典例】（2024·湖南·模拟预测）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长为________． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，，，则等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式4】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，，与相交于点G，若，，则的值是（　　）    A． B． C． D． ►题型03 常见模型之“A”字型 【典例】（2024·湖南·二模）如图，在中，D，E分别为边上的点，且，若，则的长为______． 【变式1】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在△的边上，，分别过点作，，交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南怀化·一模）如图，在中，，且分别交，于点D，E，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟）如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． ►题型04 常见模型之“8”字型 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，与相交于点，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是______． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型05 常见模型之“A”+“8”字型 【典例】（25-26九年级上·湖南·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，，、相交于O点，点E在上，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·三模）如图，四边形是平行四边形，点，分别在的延长线，的延长线上，连接分别交，于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为__________． 【变式4】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． (1)若，求的长； (2)若，求平行四边形的面积． ►题型06 平行线分线段成比例实际应用 【典例】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·月考）如图，，是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档，，互相平行．已知，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是___________． 【变式3】（2025·湖南·模拟）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（    ）． A． B． C．50 D．30 命题点三 位似图形 ►题型01 位似图形的有关概念 【典例】（2025·湖南衡阳·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【变式1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）下列命题中，假命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．多边形的外角和为360° C．若两个三角形相似，则它们一定位似 D．圆柱的主视图与左视图都是矩形 【变式2】（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 ►题型02 根据位似图形求解 【典例】（2025·湖南娄底·二模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·一模）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖南岳阳·一模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（    ） A．4 B． C．16 D．32 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南永州·一模）已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ________ ． ►题型03 位似图形的实际应用 【典例】（2025·湖南衡阳·一模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为_______． 【变式1】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（    ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B．线段中点与线段中点的连线不一定经过点 C．∽ D．蜡烛火焰长 【变式3】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，小鸟①与小鸟②位似，点是它们的位似中心，其中，则小鸟①与小鸟②的面积的比为（   ） A． B． C． D． 命题点四 坐标系与位似图形 ►题型01 求位似图形对应的坐标 【典例】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，有两点，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，．以坐标原点为位似中心，将平行四边形放大为原图形的倍．则点对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（　　） A．（，1） B．（-，-1） C．（8，16）或（﹣16，﹣8） D．（8，16）或（﹣8，﹣16） 【变式3】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（ ） A． B． C． D． ►题型02 求坐标中位似图形的位似比或周长比或面积比 【典例】（2026·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【变式2】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． ►题型03 在坐标系中画位似图形 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标分别为，，． (1)在给定的网格中，以点为位似中心，将扩大为原来的倍，得到，请画出； (2)画出以为邻边的平行四边形，则顶点的坐标为 ； (3)在图中标出边的中点． 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【变式2】（25-26九年级上·湖南湘西·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． (1)画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； (2)以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； (3)直接写出与的面积比． 突破一 相似图形与函数综合 【典例】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 【变式1】如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且， ______． 【变式2】如图，动点在函数的图象上运动，轴于，轴于，线段、分别与直线交于点、，则的值等于________． 突破二 与平行线分线段成比例几何综合 【典例】在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【变式1】中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，在中，是一条对角线，且，，E，F是边上两点，点F在点E的右侧，，连接并延长，的延长线与的延长线交于点G． (1)如图1，M是边上一点，连接与交于点N，． ①若M为中点，求证：； ②求的长； (2)如图2，连接，H是上一点，连接．若，且，求的长． 1.（2025·湖南·一模）已知，那么_______． 2.（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3.（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 4.（2025九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知，，，则的长是（  ）    A．3 B．6 C．9 D．12 5.（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 6.（2026·湖南郴州·模拟）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26九年级下·湖南武冈·月考）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C．与的周长比是 D．与的面积比是 8.（2025·湖南怀化·二模）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则_____． 9.（2025·湖南武冈·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 10.（25-26九年级下·湖南·开学考试）如图，中，，，，，，求和长． 11.（2025·湖南永州·二模）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标； 12.（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，． (1)求证： (2)已知，，求的长． 13.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 14.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 1.（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 2.（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 3.（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 4.（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 7.（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 8.（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 9.（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 10.（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $