第三章 一次函数章节复习（4大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章一次函数章节复习 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1函数的概念 知识点2一次函数的表达式 知识清单 知识点3一次函数的图象与性质 知识点4一次函数的实际应用 题型1函数概念的理解 题型2从函数图象中获取信息 一次函数章节复 题型3一次函数的识别 习 题型4利用一次函数的定义求参数 题型5一次函数的图象与性质 题型精讲 题型6利用一次函数的性质求解 题型7求一次函数的表达式 题型8一次函数与二元一次方程的关系 题型9一次函数的实际应用 题型I0一次函数与几何图形的综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解变量、常量及函数的意义，掌握一次函数、正比例函数的概念，能准确判断函 数类型，会求简单函数的自变量取值范围。 2.掌握一次函数的图象画法与性质，理解k、b的几何意义，能结合图象分析函数变化 教学目标 规律，解决简单函数计算问题。 3.体会数形结合思想，能将实际问题转化为一次函数模型，运用一次函数解决实际应 用问题，提升数学建模与应用能力。 1.重点 教学重难点 (1)一次函数与正比例函数的概念、图象及性质，熟练掌握函数图象的绘制方法，理 解k、b对图象位置与变化趋势的影响。 1/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)运用一次函数的图象与性质解决实际问题，建立函数模型，将文字情境转化为函 数表达式并进行分析求解。 2.难点 (1)理解一次函数中k、b的几何意义，结合图象抽象概括函数性质，理清解析式与 图象之间的对应关系。 (2)从复杂实际问题中提取变量关系，准确构建一次函数模型，结合函数取值范围与 图象综合解决实际应用问题。 知识清单 知识点01函数的概念 函数的概念 1)函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值，变量y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：(1)有两个变量；(2)一个变量的变化随另一 个变量的变化而变化；(3)自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 知识点02一次函数的表达式 一次函数与正比例函数的概念 1)一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b0时，ykx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 知识点03一次函数的图象与性质 一次（正比例)函数的图象与性质 1)一次函数图象是一条直线： 2)己知两点可以作图，也可求出解析式； 3)交y轴于点(0，b,交x轴于点(-是，0： 4)过象限、增减性 b>0(过一、二象限) b<0(过三、四象限) b=0(过原点) k>0 (过一、三象限) y随x的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k<0 (过二、四象限) y随x的增大而减小 经过第一、 二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 知识点04一次函数的实际应用 一次函数的实际应用 1)数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既 合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、 抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型， 2)正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后 根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点 3)选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等， 寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。 题型精讲 题型01函数概念的理解 【典例1】(24-25八年级下·湖北武汉·期末)下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是() B 【变式1】(25-26八年级上·广西崇左·期末)下列关系式中y不是x的函数的是() A.y2=x B.y=x C.y=x D.y=-x 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级下广东河源期末)半圆的面积公式S=πR2中，常量是 【变式3】(2425八年级下山西临汾期末)“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地 区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是 题型02从函数图象中获取信息 【典例2】(25-26八年级上·安微合肥期末)甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地.乙车出发1h后，甲 车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇 图中的折线段表示从甲车出发到返回与乙车相遇为止，两车之间的距离y(km)与甲车行驶的时间x(h) 的函数关系的图象，则下列说法正确的是() y(km) 80 60 1.5 bcd ) A.乙车速度是80km/h B.函数图象中b的值是4 C.甲车出发4.5h最终与乙车相遇 D.A,B两地的距离是350km 【变式1】(25-26八年级上浙江宁波期末)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电 池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100W·h时，摩托车将自动 报警.根据图象，下列结论正确的是() ty/W.h 600 500 400 300 200H 100 可51015202530x/km A. 电池能量最多可充600Wh B.摩托车每行驶10km消耗能量300Wh C.摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 D.一次性充满电后，摩托车最多行驶25km 【变式2】(25-26七年级上·山东青岛期末)甲、乙两家公司在2025年最近几个月份的销售收入情况如图所 示，其中销售收入增长较快的是 (填甲公司或乙公司) 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 甲公司的销售收入/万元 乙公司的销售收入/万元 125 140 120 130 120 115 110 110 100 90 105 80 100 8 9 10 11月份 1011月份 【变式3】(25-26八年级上·浙江台州·期末)甲、乙两人从各自家中出发前往学校.Z,☑分别表示甲、乙 离家的路程s(单位：米)和甲出发时间t(单位：分钟)的函数图象（如图）.已知甲比乙早4分钟出发， 乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多480米.若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为 米 s/米 046 107分 题型03一次函数的识别 【典例3】(25-26七年级上山东淄博·期末)下列函数中，是一次函数的是() A.y=x2-1 B.y=-2x+1 C.y=kx+b D.y=3 【变式1】(24-25八年级下·上海期末)下列四个函数中，一次函数是() A.y=x2-2x B.y=x2-(x-1)2 C.y= D.y=vx+1 x-3 【变式2】(24-25八年级上·广西百色·期末)下列函数为一次函数的有() ①y=2x+4;②y-4x=8(x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x; A.①②④ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①② 【变式3】(23-24八年级下·广西贵港期末)写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 题型04利用一次函数的定义求参数 【典例4】(25-26八年级上广东梅州期中)已知函数y=(m-3)xm-8+4是关于x的一次函数，则m的值是 () A.-3 B.3 C.±3 D.9 【变式1】(24-25八年级下广东汕头期末)若y=(m+1x2m+1是关于x的一次函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.±1 D.±2 【变式2】(25-26八年级上安徽期末)已知y=(k-1)x州-m是一次函数，则k的值为一 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上·辽宁沈阳·期末)要使y=(m-1)xm-2-4是关于x的一次函数，则m的值为 题型05一次函数的图象与性质 【典例5】(24-25八年级下.甘肃临夏·期末)如图，一次函数的图象，则k、b的符号是() A.k>0,b<0B.k<0,b>0 C.k<0,b<0D.k>0,b>0 【变式1】(25-26八年级上山西晋中.期末)己知点(-4，，2，y2),(-1,)都在直线y=2x-1上，则 y2日的大小关系为() A.y<y2<y3 B.y2<y3<y C.y<y3<y2 D.y2<y1<y3 【变式2】(25-26八年级上山西运城期末)若点A(-1,y),B(3,2)在一次函数y=-3x+2的图象上，则 .（填“>”、“<”或“=”) 【变式3】(25-26八年级上·浙江湖州·期末)在平面直角坐标系x0y中，直线y=-3x+2与y轴的交点坐标 是 题型06利用一次函数的性质求解 【典例6】(25-26八年级上江苏扬州期末)己知一次函数y=-5x+2,当1≤x≤4时，y的最大值是() A.2 B.7 C.-3 D.-18 【变式1】(25-26八年级上·全国期末)已知一次函数y=kc+b的图象经过(-1，a,a,l),若a<-1,则() A.k>0,b>0B.k<0,b<0 C.k>0,b<0 D.k(0,b)0 【变式2】(25-26九年级上安微马鞍山期末)已知点P(4m,m-3)在平面直角坐标系中，若点P在第三象 限的角平分线上，则m= 【变式3】(25-26八年级上·江苏无锡期末)一次函数y=x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B, 且OA=3,则k的值为一· 题型07求一次函数的表达式 【爽例7】(2425八年级上重庆北酪期末)若一次函数y=红+bk:0)的图象与直线片=+2平行，且 与y轴交于(0,3)，则该一次函数的解析式为 【变式1】(25-26八年级下·江苏连云港·开学考试)己知一次函数y=x+b的图象与直线y=2x-3平行， 且经过点(0,4)，则该一次函数的解析式为 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上江西吉安·期末)已知一次函数y=c-4,当x=2时，=-3 (1)求一次函数的表达式； (②)求这个一次函数图象与x轴交点的坐标 【变式3】(25-26八年级上·安徽六安期末)已知y-2与x+1成正比例，当x=1时，y=4. (1)求y与x之间的函数关系式 (2)若点P(-6,m+4)在该函数图象上，求m的值. 题型08一次函数与二元一次方程的关系 【典例8】(25-26八年级上·广东佛山期末)如图，直线y=-3x+b与直线y=kc-2相交于点A(2,1),则方 程组 y=-3x+b y=-2 的解是() v=-3x+b =kx-2 x=2 x=1 x=0 A. B D. y=1 y=2 y=1 【变式1】(24-25八年级下·甘肃临夏·期末)如图直线y=-x+m与yx3的图象，则关于x的不等式 -x+m>x+3的取值范围为() y=x+3 y=-x+m -2 A.x<1 B.x<0 C.x<-1 D.x<-2 【变式2】(25-26八年级上广东佛山期末)在同一平面直角坐标系中，直线y=2x-1与y=-3x+4相交于 2x-y-1=0 点A1,m),则关于x,y的方程组 的解为 3x+y-4=0 【变式3】(25-26八年级上·四川成都期末)如图，直线y=-2x+2与直线y=x+b(k、b为常数，k≠0) [y=-2x+2 相交于点A-1,m,则方程组 的解为 v=kx+b 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 v=kx+b y=-2x+2 题型09一次函数的实际应用 【典例9】(25-26八年级上·山西运城期末)在一条笔直的公路上A、B两地相距120km,甲车从A地开往 B地，乙车从B地开往A地，甲车比乙车先出发.设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为 x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是() /km 120 60 3 5x/h A.甲车行驶3小时时两车相遇 B.甲车的速度为20km/h,乙车的速度为30km/h C.甲车出发1小时后乙车才出发 D.当甲、乙两车相距10km时，乙车行驶了1.8小时 【变式1】(25-26八年级上·河南郑州·期末)已知某品牌养生壶内装有1.5升水，在初始温度20℃时以恒定功 率烧水直至水沸腾100℃)，然后自动启动保温模式：当水温降至50℃时，养生壶会再次加热使水温达到 60℃，如此循环往复.如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温y随时间x 的变化关系的图象： 下列说法正确的是() y/℃ 100 507 20 016 116x/分钟 A.烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高5℃ B.该 养生壶水温下降阶段满足关系式y=0.5x+108 C.养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为50℃ D.养生壶从启动烧水开始两小 时内，仅有一次显示温度55℃ 【变式2】(25-26八年级上·山西晋中期末)声音在空气中传播的速度（称为声速）y(单位：m/s)是气温 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x(单位：℃)的一次函数， 下表列出了不同气温时的声速： x(c) 0 5 10 15 20 y(m/s) 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧5s后才听到声响，当时的气温为-5℃，小明与烟花所在地相距m.(光传播所用 的时间忽略不计) 【变式3】(24-25八年级上陕西榆林·期末)经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购 进草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示 川元 480 B A 300 10 25年克 (I)求出AB段y与x之间的函数表达式； (2)当该经销商付款420元时，该经销商购进多少千克草莓？ 题型10一次函数与几何图形的综合 【典例10】(2425八年级上山西太原月考)如图，直线)=了x+8分别交x轴、y轴于A、B两点，在y 轴的负半轴上有一点D,若将△DAB沿直线AD折叠得到△DAC,点C在x轴上，则点D的坐标为 VA D 【变式1】(2526八年级上江西吉安期末)如图，直线y=-2x+3与X轴、y轴分别交于点4，B,在x轴 4 上作一点C,使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则点C的坐标为 9/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上江苏盐城期末)如图，在平面直角坐标系中，点A-6,0),，点B(m,4),直线 AB与y轴交于点C,直线OB的关系式为y=2x B O m (1)m的值为-； (2)求△OBC的面积. 【变式3】(25-26八年级上·浙江宁波期末)如图，一次函数y=x+b(k、b为常数，且k≠0)与正比例 函数y2=x交于点C,与坐标轴分别交于点A和点B,0A=20B=6. (1)求一次函数片的解析式； (2)求△A0C的面积： (3)若点P是x轴上的一个动点，连接CP,当SPc=4时，请求出点P的坐标. 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级下·福建宁德月考)函数y=x-2的图象为() 10/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下河南周口期中)嘉嘉的手表只剩10%的电量，接上充电器5mi后，手表显示的电量为 35%.若充电器匀速稳定充电，则手表的电量y(%与充电时间x(min之间的函数关系式为() A.y=10x+5 B.y=5x+10 C.y=5x-10 D.y=10x-5 3.(25-26九年级下.陕西·期中)己知直线y=x+3(k为常数，且k≠0)经过点(1,9)，则关于x的方程 x+3=0的解是() A.x=9 C.x=3 D=月 4.(24-25七年级下山东烟台·期中)A,B两地相距2千米，甲步行从A地出发到B地，同时乙骑自行车 从B地出发到A地，乙到达A地12分钟后甲到达B地，如图，(，Z分别表示甲、乙离A地的距离y(千 米)和所用时间x(分钟)之间的函数关系。下列结论：①4的表达式为y=8:②的表达式为 ”=05x+2:@甲、乙相超时，距B地号千米：其中正确的有（) 1.5 01 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 5.(2026河北石家庄.一模)如图，一次函数y=kx+b经过点A0,4),与x轴交于点B,与正比例函数 y=kx交于点P(1,2),则下列结论正确的是() A A.k-k2>0 B.方程kx+b=k2x的解是x=2 11/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.P为AB的中点 D.当x>1时，kx+b>k2x 二、填空题 6.(25-26八年级下·福建龙岩月考)函数y=√-1中，自变量x的取值范围是 6八年级下全困：单元测试)如图，已知函数y+)}和y=x+3图象交于点P,点卫 1 1 为1，则关于x,y的方程组2-少=一2的解是 x-y=-3 Py-2 y=ax+3 8.(25-26八年级下陕西宝鸡月考)一次函数y=-3x x+3的图象如图所示，当y>-3时，x的取值范围是 3-2-1912入345x -4 9.(25-26八年级下·全国·课后作业)某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了 降价销售，销售金额y(元)与销售量x(件)的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为 元 y/元个 1300 800--- 40 80x/件 10.(25-26八年级下·河南周口期中)如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=3x+3与直线2： 3 y=-二x+3相交于点B,直线(，马分别交x轴于点C,A.若直线（上的一点M到直线的距离是1，则 4 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点M的坐标为 VA B 三、解答题 11.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，直线4：y=x+b与x轴交于点A4,0),与y轴交于点 B(0,-4),与直线Z:y2=-x交于点C(m,-2). (1)求直线的解析式： (2)当x取何值时，月>y2· 12.(25-26八年级下·北京·期中)某运动员在10m跳台跳水过程中，竖直方向的运动速度与时间t对应的 数据如下表所示，其中速度向上为正，向下为负. t/s 0 0.3 0.6 1.5 v/ms） 3 -12 (I)根据表中数据，写出速度与时间t的函数解析式 (2)若运动员约在起跳后1.75s入水，试求出他入水时的速度. 13.(2026陕西西安模拟预测)某品牌热水器内恒有初始温度为100℃的10升热水，通过向热水器内加入 温度为20℃的常温水来调节水温，己知热水器的蓄水量y(升)和加水时间x（分钟)的关系如图所示. y(升)个 34 10 012 x(分钟) (I)求y与x的函数关系式： (2)已知加水过程中，热水器内水的最终温度t(度)和加入常温水水量m(升)满足关系式： 13/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 t=20m+1000 求加水15分钟后，热水器内水的温度. m+10 14.(2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习)如图1，直线4与x轴交于点A-6,0)、与y轴交于点B(0,-3). D B B 图1 图2 (1)求直线的表达式： 1 直线，y三)x与直线4交于点C,点D0,3,直线马上是否存在一点G,使得S 若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 15.(25-26八年级下·山东聊城月考)如图，直线的函数解析式为y=-2x+4;且4与x轴交于点D,直 线经过点A、B,直线(，Z交于点C. D 4 A(5,0)x (1)求直线的函数解析式： (2)求△ADC的面积： (3)在直线上是否存在点P,使得△CDP面积是△ADC面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果 不存在，请说明理由。 16.(22-23八年级下河南新乡·期中)某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数”，=x-2+1的图象 和性质进行了探究，探究过程如下. 14/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 5 4 3 -4-3-2-10 12345678 -2 -3 ()【知识回顾】自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： -3 -2 -1 y 6 a 4 ①表中a的值为 ,b的值为 ②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺 序连线，画出该函数的图象，并观察图象写出该函数的一条性质： (②)【迁移探究】在函数y=x-2+1的图象所在坐标系中，作片=。x的图象，交=x-2+1的图象于点A 5 ,B(A在B的左侧)，结合图象，解答下列问题. y=x-2+1 ①请求出方程组 4的解 y=5 ②不等式x-2+1<号的解架为 15/15 第三章 一次函数章节复习 教学目标 1. 理解变量、常量及函数的意义，掌握一次函数、正比例函数的概念，能准确判断函数类型，会求简单函数的自变量取值范围。 2. 掌握一次函数的图象画法与性质，理解k、b的几何意义，能结合图象分析函数变化规律，解决简单函数计算问题。 3. 体会数形结合思想，能将实际问题转化为一次函数模型，运用一次函数解决实际应用问题，提升数学建模与应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）一次函数与正比例函数的概念、图象及性质，熟练掌握函数图象的绘制方法，理解k、b对图象位置与变化趋势的影响。 （2）运用一次函数的图象与性质解决实际问题，建立函数模型，将文字情境转化为函数表达式并进行分析求解。 2.难点 （1）理解一次函数中k、b的几何意义，结合图象抽象概括函数性质，理清解析式与图象之间的对应关系。 （2）从复杂实际问题中提取变量关系，准确构建一次函数模型，结合函数取值范围与图象综合解决实际应用问题。 知识点01 函数的概念 函数的概念 1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 知识点02 一次函数的表达式 一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 知识点04 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型01 函数概念的理解 【典例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数，本题考查了函数的定义． 【详解】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值 ∴y不是x的函数 对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义 综上，答案选A， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·期末）半圆的面积公式中，常量是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了常量的定义，常量是在事物的变化中保持不变的量，据此可得答案． 【详解】解；半圆的面积公式中，常量是， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山西临汾·期末）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是________． 【答案】气温 【分析】本题考查了函数自变量和因变量，根据自变量和因变量的定义：自变量是会引起其他变量发生变化的变量，是被操控的；因变量是由一些变化而被影响的量，是被测定或被记录的；进行求解即可． 【详解】解：∵气温随时间的变化而变化 ∴其中自变量是时间，因变量是气温． 故答案为：气温． 题型02 从函数图象中获取信息 【典例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从甲车出发到返回与乙车相遇为止，两车之间的距离y（）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则下列说法正确的是（    ） A．乙车速度是 B．函数图象中b的值是4 C．甲车出发最终与乙车相遇 D．A，B两地的距离是 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据函数图象解决行程问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据函数图象获得准确信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，故选项A错误，不合题意； B.甲车出发小时就追上乙，因此速度差为千米/小时， 故甲车的速度为千米/小时， 甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为（小时）， 甲车行全程需要（小时）， ∴，故B选项错误，不符合题意； D.全程为千米，故选项D正确，符合题意； C.此时乙车出发（小时）， 甲车休息小时准备返回时乙车行（小时）， 此时乙车距B地（千米）， 返回时相遇时间为小时， 此时甲车行驶的时间为（h），故选项C错误，不合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．摩托车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，摩托车最多行驶 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据当时，可判断A；求出每千米消耗的电量，再乘以即可判断B；求出消耗电量时，行驶的路程可判断C；根据当时，可判断D． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故A错误，不符合题意； ∵由函数图象可知，一次性充满电后，摩托车最多行驶，电池能量最多， ∴（千米小时） ∴， ∴摩托车每行驶消耗电量，故B错误，不符合题意； ∵， ∴摩托车充满电后，行驶超过将自动报警，故C错误，不符合题意． ∵由函数图象可知，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·期末）甲、乙两家公司在年最近几个月份的销售收入情况如图所示，其中销售收入增长较快的是_____（填甲公司或乙公司） 【答案】甲公司 【分析】本题主要考查了折线统计图的信息提取、增长量的计算与比较，熟练掌握从统计图中获取数据并进行定量分析的方法是解题的关键．先从统计图中提取甲、乙两家公司8月和11月的销售收入数据，分别计算两家公司这段时间内的销售收入增长量，再通过比较增长量的大小，判断哪家公司销售收入增长更快． 【详解】解：∵甲公司月销售收入为万元，月为万元， ∴甲公司增长量（万元）， ∵乙公司月销售收入为万元，月为万元， ∴乙公司增长量（万元）， ∵， ∴销售收入增长较快的是甲公司， 故答案为：甲公司． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 【答案】 【分析】本题考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟，根据图象列方程组，解方程组求得甲的速度为米/分钟，再将速度乘以时间，即可求解． 【详解】解：设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟， 根据图象，可得， 解得， 甲家到学校的路程为米． 故答案为：． 题型03 一次函数的识别 【典例3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 【变式2】（24-25八年级上·广西百色·期末）下列函数为一次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤； A．①②④ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不合题意； ④不是一次函数，不合题意； ⑤是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②⑤， 故选：． 【变式3】（23-24八年级下·广西贵港·期末）写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 题型04 利用一次函数的定义求参数 【典例4】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，在函数中，的指数必须为，且系数不为零，所以且，据此求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， 指数满足，且系数满足， 由得，， 由得， ， 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·期末）已知是一次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的两个条件是解题关键． 根据一次函数的定义，的指数必须为且系数不为零，据此进行计算． 【详解】解：是一次函数， ，即， 系数为， ，即， 可得． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使是关于的一次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查一次函数的定义，由一次函数定义，得 且，解得或，然后代入判断即可，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由一次函数定义，得 且， 解得或， 当 时，，不符合条件； 当时，，符合条件； ∴， 故答案为：． 题型05 一次函数的图象与性质 【典例5】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象经过第一、二、四象限， 则，． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）已知点都在直线上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点，，都在直线，且，即y随x的增大而增大， 又， ∴； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期末）若点，在一次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到与的大小关系. 【详解】解：对于一次函数 ，   ， 随 的增大而减小， ， . 【变式3】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】此题考查了求一次函数和y轴的交点坐标，将代入即可求解． 【详解】解：当时，， 所以直线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 题型06 利用一次函数的性质求解 【典例6】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．先由得到当时有最大值，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，一次函数在有最大值， 即， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象经过，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据题意在坐标系中作出点，其中，再根据图象即可求解． 【详解】解：在坐标系中作出点，且 ∴从点到，随着的增大而减小， ∴ ∵，在第二象限，在第三象限， ∴直线与轴负半轴相交， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，根据第三象限的角平分线得到正比例函数是解题的关键． 首先根据点P在第三象限角平分线上得到方程为，则横纵坐标相等，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵第三象限角平分线的方程为， ∴点P的横坐标与纵坐标相等，即，解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且，则的值为___ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数与坐标轴的交点特征，求出点的坐标，利用建立方程求解． 【详解】解：一次函数 与 轴交于点， 令 ，得 ， 解得：， 点的坐标为 ， ，即点到原点的距离为， ， 即 ， 解得：， ． 故答案为：． 题型07 求一次函数的表达式 【典例7】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 【变式1】（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】先根据平行关系确定的值，再代入已知点坐标求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）已知一次函数，当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)求这个一次函数图象与轴交点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，代入解析式，确定k值即可． （2）令，得，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得． ∴， ∴一次函数解析式为：． （2）解：当时，得 解得：    ∴这个一次函数的图像与轴交点的坐标为． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数关系式为，把，代入求出k，即可求出结果； （2）将点代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：设函数关系式为， ∵当时，， ∴， 所以， 把代入得， ， 故函数关系式为． （2）解：将点代入， 得， 解得． 题型08 一次函数与二元一次方程的关系 【典例8】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴点的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，核心知识点是：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．解题时先利用点在直线上的性质求出交点的完整坐标，再结合一次函数与方程组的对应关系，直接得出方程组的解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴点的坐标为； 又∵方程组可变形为， 而直线与的交点为， ∴该方程组的解为； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与直线(、为常数，)相交于点，则方程组的解为______________________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．先根据点在直线上求出点的纵坐标，再结合交点坐标与方程组解的对应关系得出最终结果． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴点的坐标为． ∴方程组的解为； 故答案为：． 题型09 一次函数的实际应用 【典例9】（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知某品牌养生壶内装有升水，在初始温度时以恒定功率烧水直至水沸腾，然后自动启动保温模式：当水温降至时，养生壶会再次加热使水温达到，如此循环往复．如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温y随时间x的变化关系的图象： 下列说法正确的是（    ） A．烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高 B．该养生壶水温下降阶段满足关系式 C．养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为 D．养生壶从启动烧水开始两小时内，仅有一次显示温度 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的应用，灵活运用一次函数的相关知识以及数形结合思想是解题的关键． 根据所给函数图像中的关键点的坐标以及图像的形状逐项求解即可． 【详解】解：烧水状态下，函数图像为一条线段，所以水温y是x的一次函数，水温在16分钟内上升了，所以每分钟上升，即， ∴一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高，故A选项正确，符合题意； 该养生壶水温下降阶段的函数图像不是一条线段，故不能用一次函数来表示，即B选项错误，不符合题意； 养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为：，即C选项错误，不符合题意； 如图，当时，对应的时间有3个，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 【答案】1640 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求出段与之间的函数表达式； (2)当该经销商付款元时，该经销商购进多少千克草莓？ 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以求出段与之间的函数表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：设段与之间的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段与之间的函数表达式为； （2）将代入，得：， 解得， 答：当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓． 题型10 一次函数与几何图形的综合 【典例10】（24-25八年级上·山西太原·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴的负半轴上有一点D，若将沿直线折叠得到，点C在x轴上，则点D的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质、勾股定理的应用等，解决问题的关键是根据折叠的性质得出，．先求得点A、B的坐标，进而求得，由题意得：，故点，设点D的坐标为：，根据，即可得到m的值． 【详解】解：∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴， 故点， 设点D的坐标为：， ∵， ∴， 解得：， 故点． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】根据一次函数表达式，解得点、的坐标，得出的长度，假设点的坐标为，对、进行分类讨论，解得的值，即可得出结果． 【详解】解：对于直线， 当时，， 即点， 当时，得， 即点， 故，， 由勾股定理得， 令点的坐标为， 故当时， 即， 解得（舍去）或， 即， 当时， 故， ∴， 得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线与y轴交于点C，直线的关系式为． (1)m的值为 ； (2)求的面积． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】本题主要考查了两直线相交、一次函数图像上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入直线的关系式为，即可求得m的值； （2）先用待定系数法求得点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，直线的关系式为， ∴，解得：． 故答案为：2． （2）解：∵，点， ∴， 设直线的直线解析式为， 则，解得：， ∴直线的直线解析式为， ∵直线与y轴交于点C， ∴，即， ∴的面积． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，直角坐标系下三角形面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． （1）根据可得点A和点B的坐标，将点代入求解即可； （2）先求解点C的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （3）先由面积求解出的长度，由此可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，即，， ∴，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：由题意，联立，解得， ∴点C的坐标为， ∴； （3）解：∵，解得， 设点P的坐标为， ∵点，即， ∴，， 解得，， ∴或． 一、单选题 1．（25-26九年级下·福建宁德·月考）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中， ∴的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后，手表显示的电量为．若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知的初始电量和充电后的电量可得到每分钟充电量，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意得：每分钟充电量为， ∴手表的电量与充电时间之间的函数关系式为． 3．（25-26九年级下·陕西·期中）已知直线（为常数，且）经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入直线求出的值，再代入方程求解即可． 【详解】解：将点代入直线得： ， 解得， 将代入方程得： ， 解得， 因此，方程的解为：． 4．（24-25七年级下·山东烟台·期中）A，B两地相距2千米，甲步行从A地出发到B地，同时乙骑自行车从B地出发到A地，乙到达A地12分钟后甲到达B地，如图，，分别表示甲、乙离A地的距离y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系．下列结论：①的表达式为；②的表达式为；③甲、乙相遇时，距B地千米；其中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】设的表达式为，将和代入解析式可得的表达式为，即可判断②正确；求出甲到达地所用时间为，则经过点，待定系数法求出的表达式为，即可判断①正确；联立，求解即可判断③错误． 【详解】解：设的表达式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴的表达式为，故②正确； 当时，， 解得， ∴乙到达地所用时间为， ∵乙到达A地12分钟后甲到达B地， ∴甲到达地所用时间为， ∴经过点， 设的表达式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴的表达式为，故①正确； 联立，解得， ， 故甲、乙相遇时，距B地千米，③错误； 综上所述，正确的是①②． 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由函数可得，二次根式的被开方数需为非负数， ． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，已知函数和图象交于点，点的横坐标为1，则关于，的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将代入求得，将代入，求得，将代入解方程组即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 将代入，得，解得， ∴ 得解得， 将代入②得，解得， ∴方程组的解是． 8．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数的图象，找到当时对应的的取值范围即可得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，x的取值范围是． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 【答案】1125 【分析】求出函数解析式，把代入求解即可； 【详解】当时，设函数解析式为， 把点代入可得：， 解得：， ； 当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：， 解得：， ， 与的函数关系式为， 当时，． 10．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线，分别交轴于点，．若直线上的一点到直线的距离是1，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先说明，再分点在边上和点在的延长线上两种情况，分别运用等面积法求解即可． 【详解】解：由条件可知，点，， ． 把代入，可得，， 点，， ． 分两种情况： ①如图1，当点在边上，过点作，，垂足分别为，，连接． ， ， ， ． 把代入，可得，解得， 点的坐标为； ②如图2，当点在的延长线上，过点作，，垂足分别为，，连接． ， ， ， ． 把代入，可得，解得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）将点、点的坐标代入，解方程组求出、的值，即可求出函数解析式； （2）把代入，求出的值，根据图像即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴由图象可知，当时，． 12．（25-26八年级下·北京·期中）某运动员在跳台跳水过程中，竖直方向的运动速度与时间对应的数据如下表所示，其中速度向上为正，向下为负． 0 0.3 0.6 1 1.5 3 0 (1)根据表中数据，写出速度与时间的函数解析式____________； (2)若运动员约在起跳后入水，试求出他入水时的速度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察表格数据可知，v是t的一次函数，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）将代入函数解析式求出对应的v值即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，v是t的一次函数，设函数解析式为， 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， 解得， 因此函数解析式为； （2）解：将代入得， 答：他入水时的速度为． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）某品牌热水器内恒有初始温度为的10升热水，通过向热水器内加入温度为的常温水来调节水温，已知热水器的蓄水量y（升）和加水时间x（分钟）的关系如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知加水过程中，热水器内水的最终温度t（度）和加入常温水水量m（升）满足关系式：，求加水15分钟后，热水器内水的温度． 【答案】(1) (2)加水15分钟后，热水器内水的温度为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进而求出的值，再代入解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴． 答：加水15分钟后，热水器内水的温度为． 14．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）如图，直线与轴交于点、与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)如图，直线与直线交于点，点，直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）联立，的关系式成二元一次方程组，求得点的坐标，进而求出直线的表达式，求出其与轴的交点坐标，计算出的面积， 设， 表示出， 根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将、代入得， ，解得， 直线的表达式为； （2）解：存在，如图，设与轴相交于点，过点作轴于点， 联立，解得， ， ， ， 设直线的表达式为， 将、代入得， ，解得， 直线的表达式为； 令， 即，解得， ， ， ， ， 设， ， ，即， 解得，， 或． 15．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 【点睛】在一次函数与面积的综合问题中，通常要结合图形中点的不同位置全面考虑，分别求解． 16．（22-23八年级下·河南新乡·期中）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． (1)【知识回顾】自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 6 a 4 3 2 1 2 b 4 5 6 … ①表中a的值为________，b的值为________； ②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象写出该函数的一条性质：________； (2)【迁移探究】在函数的图象所在坐标系中，作的图象，交的图象于点A，B（A在B的左侧），结合图象，解答下列问题． ①请求出方程组的解； ②不等式的解集为________． 【答案】(1)①5，3；②见解析，性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (2)①或；② 【分析】（1）①分别把，代入解析式，即可求解； ②描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线即可； （2）①分两种情况解答即可； ②根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，， 所以； 当时，， 所以； ②画出该函数的图象，如下图： 该函数图象的最低点为或函数的最小值为1或当时，y随x的增大而减小或函数图象关于对称（答案不唯一）； （2）解：①如图所示，当时，有方程组， 解得， 当时，有方程组， 解得； 综上，原方程组的解为或； ②结合①中方程组的解，函数的图象在的图象下方的部分对应的范围是， 所以不等式的解集为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $