第3章 一次函数（高效培优单元测试·提升卷）数学新教材湘教版八年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章一次函数 (高效培优单元测试·提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列四个点中，不在正比例函数y=-3x的图象上的是（) A.（2,-6 B.(5,-15 C.(0,0 D.（-1,-3) 2.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量 是() A.太阳光强弱B.水的温度 C.所晒时间 D.热水器 3.若函数y=(2m+1)x2+(1-2mx(m为常数)是正比例函数，则m的值为() A.m>方 1 B.m= C.m<2 D.m=-2 4.下列各图中满足y是x的函数图象的是() 5.若k<0,则一次函数y=+1-k的图象不经过的象限为() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.如图，一次函数y=ax+b与一次函数y,=x+4的图象交于点P(1,3),则下列说法正确的个数是() y=ax+b x=3 ①x=1是方程ax+b=3的一个解；②方程组 y=kx+4 的解是 y=1 ③不等式ax+b>kx+4的解集是x>1;④不等式ax+b<kx+4<4的解集是0<x<1. 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=kx+4 yi=ax+b A.1 B.2 C.3 D.4 7.在“探索一次函数y=x+b中k,b与图象的关系”活动中，已知点A2,2),点P(m,n)在第一象限内， 若一次函数y=+b图象经过A,P,则下列判断正确的是() A.当m>n时，b>0 B.当m<n时，b<0 C.当m+n=2时，k>0 D.当m+n=2时，k<0 8.在同一直角坐标系中，一次函数y=c+b与y=bx+k(b≠k)的图象可能是() A y=bx+k y=bx+k A. B O1x y=kx+bl y=kx+b y=bx+k y=bx+k C D y=kx+b y=kx+b 9.如图，在平面直角坐标系中，将口ABCD置于第一象限，且AB∥x轴.直线y=-x从原点出发沿x轴正 方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度1与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图 2所示，则。ABCD的面积为() √⑧ 78 m 图1 图2 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.10 B.√50 C.5 D.√25 10.图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为36V,R为定值电阻，R为距离传感 器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s(单位：m)变化的关系图象如图②所示.当传感器到障 碍物的距离为1.5m时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为0.4A,下列说法正确的是()（温馨 提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压U=(电阻R。+电阻R)×电流I) ◆R/① ☐(A 40 R 20 0 1.5sm 图① 图② A.电阻R的初始阻值为02 B.当R的阻值为452时，报警器会报警 C.传感器到障碍物的距离越近，R的阻值越大 D.定值电阻R的阻值为502 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.函数y-2x-的自变量x的取值范围为 x+1 12.如图，y=3x与y=ar+b(a<0)的图象相交于A(m,3),则不等式ax+b≤3x的解集为 13.已知y关于x的一次函数y=(k-2)x-k2+4,若图象经过原点，则k= 14.李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米. 要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的关系 式为 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 墙 菜园 B 15.甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往120km处的B地，甲、乙两人离A地的距离s(km)与时间 t(h)之间的关系如下图所示，则a= As/(km) 120 72 a 2 3/(h) 4 6,如图，在平面直角坐标系中，点4，，4，在直线yx+上，点B,马，B,在x轴上 且△OAB,△B,AB2,△B2AB,均是等腰直角三角形，其中A,A,A,分别是它们的直角顶点，则 点A,026的纵坐标为 A: A2 A B B B3 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.已知一次函数y=c+b的图象经过M(0,2),N(1,3)两点. (1)求k,b的值； (2)若一次函数y=c+b的图象与x轴的交点为A,求一次函数y=x+b的图象与坐标轴围成三角形的面积. 18.已知y-1与x+1成正比例，当x=-2时，y=4. (I)求出y与x的函数关系式； 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)判断点P(-1,-1)是否在函数图像上. 19.如图，己知一次函数y=kx+b(k≠0的图象与正比例函数y=-3x的图象交于点A(a,3),经过点B1,1), 与x轴、y轴分别交于点C,D. 1=-3x=x+b (1)求点D的坐标； (2)求△A0C的面积. 20.某快递公司准备购买机器人来代替人工分拣.已知购买1台甲型机器人比购买1台乙型机器人多2万元： 购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需24万元. ()求甲、乙两种型号的机器人每台的价格分别为多少万元？ (2)该公司计划最多用41万元购买8台这两种型号的机器人，己知甲、乙两种型号的机器人每台每小时分拣 快递分别为1200件和1000件，该公司如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？ 21.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=cx+b的图象经过点B(4,0),与正比例函数y=3x的图象 相交于点A,点A的纵坐标为3 C B ☒1 图2 (I)求直线AB的表达式： (2)如图2，若点C是x轴上一动点，过点C作y轴的平行线，交直线y=3x于点E,交直线y=x+b于点F, 若EF=2,求点C的坐标 22.飞机飞行时距离地面的高度和相应高度处的气温有密切的联系.下面表格是飞机当日距离地面的高度 (千米)与相应高度处的气温（℃）的关系： 海拔高度h(千米》 0 2 3 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 气温(C 20 14 8 2 根据上表，回答以下问题： (1)由上表可知距离地面的高度5千米的上空气温为℃： (2)求当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式. 23.己知A、B两地相距2400m,一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于AB两地，另一位快件 派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B 地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的 函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： /米 2400Q. M W E 14 24分 (1)甲的速度为 米/分，点M的坐标为； (2)求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）： (3)请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米. 24.如图1，在平面直角坐标系中，直线l:y=kx+4与直线l2:y=k2x+4(k>0,k2<0)交于点C且分别交x 轴于点A、B,其中0A,0B的长是方程x2-12x+32=0的两个实数根(0A>0B). VA A B B 图1 图2 图3 (1)求k,k2的值； (2)如图2，E为Z上一动点，作EF∥y轴交于点F,当以O、E、C、F为顶点的四边形为平行四边形时， 求E点坐标； (3)如图3，平面内有一点M与C点关于x轴对称，P、Q分别为4、上一动点（均不与C重合），T为平 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面内一点，问：是否存在点Q,使以M、P、Q、T为顶点的四边形为正方形？若存在，求Q点坐标；若不 存在，请说明理由 25.某班“数学社团在学习“勾股定理”章节的内容后，自主探索如下问题.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，CA=6,CB=8,点D是边CB上的一个动点，连接AD.若△ABD是等腰三角形，求线段CD 的长 10 9 6 5 4 3 2 123456789 ①)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (②)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究 过程，请你补充完整： ①首先根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD、AD的长度，得出下面的表格： CD 0 2 3 AD 6 6.1 6.3 6.7 表格中a的值为 (用最简二次根式表示)： ②然后将CD的长作为自变量x(0≤x≤8)，AD的长作为x的函数，记为y,在下面平面直角坐标系中画 出了函数y关于x的图象.依据图象写出该函数的一条性质； ③小聪分析不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式： ； (3)继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线 段CD的长度的近似值（精确到0.1）. 7/7 第3章 一次函数 （高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入函数解析式，对比计算出的纵坐标与点的纵坐标是否一致，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：正比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式． A选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． B选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． C选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． D选项：当时，，与点的纵坐标不相等，故该点不在图象上． 故选：D． 2．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（    ） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 【答案】B 【分析】自变量是指由研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件．因此自变量被看作是因变量的原因．或者说，自变量是能引起因变量变化的变量，据此求解即可． 【详解】解：∵热水器里的水温随所晒时间的长短而变化， ∴自变量是所晒时间，因变量是水的温度． 3．若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 4．下列各图中满足是的函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于两个变量x、y，若对于x的任意值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、C、D这三个选项中，对于x的某些值，y有两个值与之对应， B选项中，对于x的任意值，y都有唯一的值与之对应， 故只有B选项中的图形满足是的函数图象． 5．若，则一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象和性质即可判断． 【详解】解：在一次函数中，，， ∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 6．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则下列说法正确的个数是（    ） ①是方程的一个解；②方程组的解是； ③不等式的解集是；④不等式的解集是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：①∵一次函数的图象过点 ∴当时，， 即 ∴是方程的一个解，故①正确； ②∵一次函数与一次函数的图象交于点 ∴方程组的解是，故②错误； ③由图象可知，当时，直线在直线的上方 ∴不等式的解集是，故③正确； ④对于，当时，，即图象与轴交点为， 由图象可知，当时，，即 又当时， ∴当时，，故④正确． 7．在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】由点，点在一次函数图象上，则，解得，再根据一次函数的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：∵点，点在一次函数图象上， ∴， 解得：， 、当时，则， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断正确，符合题意； 、同理可得该选项判断错误，不符合题意． 8．在同一直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论的情况，根据一次函数性质判断两个函数图象位于哪些象限，再根据当时，，进行判断即可． 【详解】解：当，图象过第一、二、三象限，过第一、二、三象限； 当，图象过第一、三、四象限，过第一、二、四象限； 当，图象过第一、二、四象限，过第一、三、四象限； 当，图象过第二、三、四象限，过第二、三、四象限； 当时，， 综上，只有D符合题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，过点D作于点G，根据题意，得，故的面积为：． 【详解】解：根据题意，得直线向右平移3个单位长度时，直线经过点A， 此时直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为M，与y轴的交点为N， 则， 故， ， 当直线经过点D，点B时，设过点D的直线与的交点为E，过点B的直线与的交点为F， 根据，得，又因为, 故四边形是平行四边形， 故， 根据函数图象，得， 设直线分别与x轴交于点H，点Q， 则四边形是平行四边形， 故， ， ，， ， 过点D作于点G， 根据题意，得， 故的面积为： 10．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【答案】D 【分析】根据时的取值可判断选项A；根据图象的变化形式可判断选项B、C，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，即可判断选项D． 【详解】解：由图象可得，当时，，故电阻的初始阻值不为，故选项A错误，不符合题意； 由图象可得，当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，当的阻值为，故选项B错误，不符合题意； 由图象可得，随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，，故，即定值电阻的阻值为，故选项D正确，符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．函数的自变量的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为零．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：． 12．如图，与的图象相交于，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：点在函数的图象上， ，解得， ， 由函数图象可知，当时，函数的值小于的值， 即不等式的解集为． 13．已知y关于x的一次函数，若图象经过原点，则______． 【答案】 【分析】首先根据一次函数的定义求出，然后将代入求解． 【详解】解：∵y关于x的一次函数， ∴ ∴ ∵图象经过原点， ∴， ∴或（舍去）． 14．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，则，即可作答． 【详解】解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴． 15．甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往处的B地，甲、乙两人离A地的距离与时间之间的关系如下图所示，则_________． 【答案】 【分析】根据函数图像先求出乙的速度，得到乙后距离A地，即可求出甲的速度，即可求解． 【详解】解：由图可知：乙的速度是：， 即：乙后距离A地， ∴甲的速度是：， ∴， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，且，，，…均是等腰直角三角形，其中，，，…分别是它们的直角顶点，则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得点的纵坐标为，点的纵坐标为 则点的纵坐标为． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)若一次函数的图象与轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出，然后根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】（1）解：把 ，两点坐标代入， 得，， 解得：，； （2）解：由（1）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴ ∴图象与坐标轴围成三角形面积为． 18．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在函数图像上 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 19．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标； （2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴, ∴． 20．某快递公司准备购买机器人来代替人工分拣．已知购买台甲型机器人比购买台乙型机器人多万元；购买台甲型机器人和台乙型机器人共需万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格分别为多少万元？ (2)该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，已知甲、乙两种型号的机器人每台每小时分拣快递分别为件和件，该公司如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？ 【答案】(1)甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元 (2)该公司购买台甲型机器人，台乙型机器人时，才能使得每小时的分拣量最大 【分析】（1）设甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元，根据购买台甲型机器人比购买台乙型机器人多万元；购买台甲型机器人和台乙型机器人共需万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买台甲型机器人，则购买台乙型机器人，根据该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，列出一元一次不等式，解之得的最大整数值为，再设每小时的分拣量为件，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元， 依题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的价格为万元，乙型机器人每台的价格为万元； （2）解：设购买台甲型机器人，则购买台乙型机器人， 依题意得：， 解得：， 为整数， 的最大整数值为， 设每小时的分拣量为件， 依题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：该公司购买台甲型机器人，台乙型机器人时，才能使得每小时的分拣量最大． 21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如图2，若点是轴上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点坐标为或 【分析】（1）先求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求解直线的函数表达式即可； （2）设，则，，结合，即可求出对应的值，得出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入中得， ∴点坐标为， 将，分别代入中得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：设，则，， ∴， 即， 解得或， ∴点坐标为或. 22．飞机飞行时距离地面的高度和相应高度处的气温有密切的联系．下面表格是飞机当日距离地面的高度（千米）与相应高度处的气温的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 根据上表，回答以下问题： (1)由上表可知距离地面的高度5千米的上空气温为_______； (2)求当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由表格直接可得结果； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律得出答案． 【详解】（1）解：由表格得距离地面的高度5千米的上空气温为； （2）解：从表格中两个变量的变化对应值的变化规律可知，海拔高度每升高1千米，气温就减少， 所以当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式为． 23．已知A、B两地相距，一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于两地，另一位快件派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的速度为_____米/分，点M的坐标为_____； (2)求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）； (3)请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米． 【答案】(1)400； (2) (3)时间为分、7分或分 【分析】（1）利用路程÷时间可得出甲的速度；由甲骑行5分钟的路程，进而可得出点Ｍ的坐标； （2）设甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式为．代入和，建立方程组求解即可； （3）分，，和，根据题意可得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：甲从A地出发，到换电站停留2分钟，图中显示甲在7分钟时离开换电站，实际骑行时间为分钟， 甲从B地返回A地用了分钟，路程为2400米， 所以甲的速度为（米/分） 甲骑行5分钟的路程为米， 所以点M的坐标为； （2）解：换电站对应的时间为7分钟，此时甲的路程为2000米， 甲到达B地的时间为分钟，对应坐标为， 设函数关系式为， 代入和得； 解得， 所以，函数关系式为： （3）解：乙的速度为米/分， 设乙的行驶的时间与路程的函数关系式为， 把，代入得：， 解得， 所以，函数关系式为； 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得：或（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得： 综上，时间为分、7分或分． 24．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）通过解方程求出线段的长度，得到，则，分别代入直线与直线即可求解； （2）设，则，用a表示出的长度，利用平行四边形的性质求解即可； （3）分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∴， ∴， 分别代入直线与直线得， ， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵轴，以O、E、C、F为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∵直线与直线交于点C， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴E点坐标为或． （3）解：存在， ∵点M与C点关于x轴对称，， ∴， 设，分三种情况： ①为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得：， ∴，与C重合，不合题意； ∴此种情况不存在； ②为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于H，交于L， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得， ∴，与C重合，不合题意； ③为对角线时，如图5，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图6，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上所述，存在，Q点坐标为或． 25．某班“数学社团”在学习“勾股定理”章节的内容后，自主探索如下问题．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接．若是等腰三角形，求线段的长． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： ①首先根据点D在边上的不同位置，画出相应图形，测量出线段、的长度，得出下面的表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 a 9.2 10 表格中a的值为______（用最简二次根式表示）； ②然后将的长作为自变量x（），的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．依据图象写出该函数的一条性质______； ③小聪分析不用测量的值，因为与满足关系式：______； (3)继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段的长度的近似值（精确到0.1）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②y随x的增大而增大；③ (3)1.8，图见解析 【分析】（1）设，则，利用勾股定理即可解答； （2）①当时，利用勾股定理求解； ②由图象可直接得到解答； ③由图形可直接得到解答； （3）在坐标系中画出，当时找到的值． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形 ∴， 设，则， 在中，利用勾股定理，可得： 解得． ∴是等腰三角形时，的长为； （2）解：①当时，； ②由图象可得，该函数的一条性质：y随x的增大而增大； ③根据图形可得，∵D在上，， ∴； （3）解：由上可知，与的关系为：，在图中画出图像如下所示， 观察图像可知，当为等腰三角形时，线段的长度的近似值为1.8． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $