专题3.2 一次函数（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题3.2 一次函数 教学目标 1. 理解一次函数与正比例函数的概念，掌握一般形式 y=kx+b、y=kx，明确 k≠0 及两者关系。 2. 能根据定义判断函数类型，会根据实际问题列出函数解析式，确定自变量取值范围。 3. 经历从实例抽象出函数模型的过程，体会函数思想，提升抽象概括与数学应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一次函数、正比例函数的定义与结构特征，能准确区分、判断两类函数。 （2）能从实际情境中找出变量关系，正确写出一次函数或正比例函数解析式。 2.难点 （1）理解概念中 k≠0 的意义，区分一次函数与正比例函数的联系与区别。 （2） 将实际问题转化为函数模型，准确分析数量关系，合理确定自变量取值范围。 知识点01 一次函数的定义 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 【即学即练1】1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、为常数，，自变量的次数为1的整式函数），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：中的最高次数是2，不是一次函数； B选项：，不是整式函数，故不是一次函数； C选项：符合一次函数的形式，是一次函数； D选项：不是整式函数，故不是一次函数； 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若函数是一次函数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 正比例函数的定义 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 【即学即练2】4．（25-26九年级上·广西玉林·期末）已知正比例函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征．利用函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值． 【详解】∵正比例函数的图象过点， ∴， 解得， 故选：D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【详解】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 6．（24-25八年级下·四川资阳·月考）若是关于x的正比例函数，则常数______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（是常数，）的函数叫做正比例函数． 根据正比例函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：2． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正比例函数的概念，根据正比例函数的表达式即可求解． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，不符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若与x成正比例，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系 【答案】B 【分析】根据正比例的定义列出关系式，整理后结合一次函数的定义判断函数类型． 【详解】解：∵与x成正比例， ∴设（，k为常数）， ∴， ∵，符合一次函数（，b为常数）的定义， ∴y是x的一次函数． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由定义得函数形式应为（），因此常数项必须为0，且一次项系数不为0，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 ，且， 解得， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在中，若是的正比例函数，则值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数表达式中的常数项必须为零，且比例系数不为零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 题型02 一次函数的识别 【典例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）函数①；②；③；④中，是的一次函数的有_____（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，按照一次函数一般形式判定是解决问题的关键．依据一次函数的定义，按照形如的函数，逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是正比例函数，也是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④不是一次函数； 综上所述，是的一次函数的有①②， 故答案为：①②． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤（a是常数）；⑥，其中是一次函数的是___________（填序号）． 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查一次函数的定义，正确掌握知识点是解题的关键． 【详解】根据一次函数的解析式：k、b为常数）可知符合条件的是②，④、⑤、⑥． 故答案为②④⑤⑥． 题型03 根据一次函数的定义求参数 【典例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不能为0，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）当__________时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，一次函数解析式 的结构特征：（1）是常数， ；（2）自变量的次数是；（3）常数项可以为任意实数． 根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴， 解得. 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）是一次函数，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数定义得一次项的系数不为零，由此可得出答案． 【详解】解：是一次函数， ， ， 故答案为：． 题型04 求一次函数自变量或函数值 【典例4】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知点在一次函数的图像上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将点代入一次函数并求解即可． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点在直线上，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，代数式求值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特征．先将点代入直线解析式得到与的关系式，再对所求代数式变形，代入关系式计算即可得出结果． 【详解】解：点在直线上， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）点在一次函数的图象上，则____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，点在一次函数图象上，则其坐标满足函数解析式． 将代入求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，关键是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到与的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴得，即， ∴； 故答案为：． 题型05 列一次函数解析式并求值 【典例5】（25-26八年级上·陕西西安·期中）子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质可求出x的值每增加1，y的值就增加k，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴x的值每增加1，y的值就增加k， 由表格可知，当时，x的值每增加1，y的值就减少3， 而时的函数值相对于时的函数值减少2， ∴点不在该一次函数的图象上， 故这组错误的数据是． 故选：A． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 【变式2】（25-26七年级上·山西晋城·月考）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式 【典例6】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知y与x成正比例，当时，，那么函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式．利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴函数解析式为． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若正比例函数的图象经过点，则该正比例函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正比例函数的解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．用待定系数法即可求该函数的解析式，即可解答． 【详解】解：设这个正比例函数的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴这个正比例函数的解析式为， 当时，，则该正比例函数的图象必经过点，不过点， 当时，，则该正比例函数的图象必经过点，不过点， 当时，，则该正比例函数的图象必经过点，不过点， 故选：B． 【变式2】（21-22八年级上·辽宁沈阳·月考）若与成正比例，与成正比例，且当1时，；当时，，则与的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握利用待定系数法求解析式． 根据题意设，将x与y的两对值代入求出k与m的值，即可确定出y与x的函数关系式． 【详解】解：设，则， ∴． 将和代入，得： ， 解得：， 所以． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）若与成正比例，当时，，则y与x之间的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数以及待定系数法，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．由题意可设，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意可设，则有： 当时，， 解得：， ∴，即 故答案为． 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是一次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数的定义求参数，解题关键是掌握一次函数的定义． 根据一次函数的定义，一次项系数不能为零求解． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列各点中，在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上点的坐标一定满足直线的解析式，只需将各点横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】解：∵直线上任意一点的坐标都满足该解析式， ∴A，当时，，与该点纵坐标相等，符合要求； B，当时，，不符合； C，当时，，不符合； D，当时，，不符合； 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数上点的特点以及代数式求值，利用一次函数图象上点的坐标特征，得出b与a的关系，进而将变形后代入求值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：∵正比例函数的形式为（）， A、，可写为，含项，不符合形式，不符合题意； B、，即形式，且，符合定义，符合题意； C、，含常数项，不符合形式，不符合题意； D、，含常数项，不符合形式，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把点代入，得出，求出即可． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）声音在空气中传播时，声音速度与空气温度满足一次函数关系．部分数据如下表所示，则的值为_________ ． 0 10 20 30 324 330 336 348 【答案】342 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，利用表格数据找到规律，再计算即可． 【详解】解：由表格发现，空气温度每增加，声音速度增加， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东青岛·周测）当______时，关于x的函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件．根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数 ∴且， ∴ 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的标准形式和特点是解题关键． 正比例函数的形式为（），故函数表达式中的常数项必须为零，据此进行计算即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，可知，解得． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，代数式求值，将点的坐标代入解析式中计算是关键．由点在函数图象上，可得与的关系式，代入到所求代数式中求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，对于函数，当___________时，． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，将代入解析式求解，即可解题． 【详解】解：当时，， 则或， 解得或； 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3）当时，． 12．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了轴上的点的特征，一次函数的性质． （1）根据轴上的点纵坐标为0，得出，解答即可． （2）根据点在一次函数的图象上，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ． （2）解：∵点在一次函数的图象上， ， 解得：． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】(1)，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数 (2)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 【详解】（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知与成正比，当时，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，先理解与成正比，得，再代入数值，得，即可作答． 【详解】解：∵与成正比， ∴设， 当时，，可得 解得， ∴ ∴． 15．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.2一次函数 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1一次函数的定义 知识清单 知识点2正比例函数的定义 题型1正比例函数的定义 一次函数 题型2一次函数的识别 题型了根据一次函数的定义求参数 题型精讲 题型4求一次函数自变量或或函数值 题型5列一次函数解析式并求值 题型6根据正比例函数的定义求函数表达式 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解一次函数与正比例函数的概念，掌握一般形式y=kx+b、y=kx,明确k≠0及两 者关系。 教学月标 2.能根据定义判断函数类型，会根据实际问题列出函数解析式，确定自变量取值范围。 3.经历从实例抽象出函数模型的过程，体会函数思想，提升抽象概括与数学应用能力。 1.重点 (1)掌握一次函数、正比例函数的定义与结构特征，能准确区分、判断两类函数。 (2)能从实际情境中找出变量关系，正确写出一次函数或正比例函数解析式。 教学重难点 2.难点 (1)理解概念中k≠0的意义，区分一次函数与正比例函数的联系与区别。 (2)将实际问题转化为函数模型，准确分析数量关系，合理确定自变量取值范围。 知识清单 知识点01一次函数的定义 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1)一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 【即学即练1】1.（25-26八年级下·全国课后作业)下列函数中，y是x的一次函数的是() A.y=x2+2x B.y=-3 C.y=x+5 D.y=√2x+1 2.(2025八年级上全国.专题练习)若函数y=(m-1x+m是关于x的一次函数，则m的取值范围是() A.m≠1 B.m=1 C.m≠0 D.m为任意实数 3.(25-26七年级上山东烟台期末)若函数y=(k-3x2-3是一次函数，则k的值为 知识点02正比例函数的定义 1)一般地，形如ykx+b（k,b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当bO时，ykx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 【即学即练2】4.(25-26九年级上·广西玉林·期末)已知正比例函数y=x的图象过点(-2,4，则k的值 为() A.2 B.1 C.0 D.-2 5.(25-26八年级下.全国·课后作业)下列关系中，是正比例函数关系的是（) A.淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B.总价一定时，数量和单价 C.三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D.匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 6.(24-25八年级下.四川资阳月考)若y=(m+2)x+m2-4是关于x的正比例函数，则常数= 题型精讲 题型01正比例函数的定义 【典例1】(25-26八年级上：广西贺州期末)下列函数中，是正比例函数的是() A.y=-5x B.y=5 C.y=5x2+1 D.y=5x+1 x 【变式1】(25-26八年级下·全国课后作业)若y-5与x成正比例，则y是x的() A.正比例函数B.一次函数 C.其他函数 D.不存在函数关系 【变式2】(25-26八年级上·安徽阜阳·期末)若关于x的函数y=(m-2)x+m是正比例函数，则该函数的表达 式为 【变式3X25-26八年级上江苏无锡月考)在y=(k-2)x+k2-4中，若y是x的正比例函数，则k值为 题型02一次函数的识别 【典例2】(25-26八年级上·江苏宿迁·期末)下列函数中，是一次函数的是() 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.y=4x2 B.y=3x-8 C.y=5 D.y= x-1 【变式1】(25-26八年级下·全国·课后作业)下列说法错误的是() A.y=-24x是正比例函数，也是一次函数 B.y=5π是一次函数，也是正比例函数 C.商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D.如果y=m2-4x+9是一次函数，那么m≠±2 【变式2】(2425八年级上江苏无锡月考)函数①y=:②y=2x-1,③y:④y=1中，y是x 的一次函数的有（填序号）。 1 【变式3】(2025八年级下·全国专题练习)下列函数：①y=-x2+2x+1;②y=2πr;③y=;④ y=5-1x;⑤y=(a+x)(a是常数)：⑥s=6t,其中是一次函数的是 (填序号). 题型03根据一次函数的定义求参数 【典例3】(25-26八年级上江苏盐城期末)若函数y=(m-1)x-5是一次函数，则m的值为() A.-1 B.1 C.1 D.任意实数 【变式1】(24-25八年级下·云南红河期末)已知函数y=(m-2)xm-3是关于x的一次函数，则m的值为() A.-2 B.2 C.±2 D.4 【变式2】(25-26八年级上·安徽合肥期末)当m= 时，函数y=x1+m-2是一次函数. 【变式3】(25-26八年级上·江苏镇江·期末)y=(m-1)x+2是一次函数，则m的取值范围为 题型04求一次函数自变量或函数值 【典例4】(25-26八年级上：四川成都月考)已知点(a,4)在一次函数y=2x-4的图像上，则a的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1(25-26八年级上·四川成都期末)若点P(a,b)在直线y=2x+1上，则代数式4a-2b+1的值为() A.3 B.-1 C.2 D.0 【变式2】(25-26八年级上江苏南京·期末)点P(a,4)在一次函数y=2x+6的图象上，则a=. 【变式3】(25-26七年级上山东烟台期末)若点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，则代数式-6a+2b+2的 值为 题型05列一次函数解析式并求值 【典例5】(25-26八年级上陕西西安期中)子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知 其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是() -3 -2 0 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14 11 8 53 A.(1,3 B.0,5 C.-1,8) D.（-2,11 【变式1】(23-24八年级下福建相州期未)一次函数y=x+3图象经过点(a,2到，则的雀是() A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2】(25-26七年级上山西晋城月考)鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律.在 网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子，脚长（单位：Cm)与中国鞋码的 部分对照如下表： 脚长/cm 23 23.5 24 24.5 中国鞋码 36 37 38 39 小陈的脚长为acm,则他在网购时选择的中国鞋码为 (用含a的代数式表示). 【变式3】(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元， 钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元)与x(个)之间的函数关系式为 ·(不用写出自变 量x的取值范围) 题型06根据正比例函数的定义求函数表达式 【典例6】(25-26八年级上广东梅州月考)己知y与x成正比例，当x=1时，y=8,那么函数y=的解 析式是() A.y=x B.y=7x C.y=8x D.y=9x 【变式1】(24-25八年级上·安徽宿州期末)若正比例函数的图象经过点(2，-1)，则该正比例函数的图象必 经过点() A.（-2,4 B.-2,1 C.-1,-2 D.（4,2 【变式2】(21-22八年级上辽宁沈阳月考)若y与z成正比例，z+1与x成正比例，且当x=1时，y=1; 当x=0时，y=-3,则y与x的函数关系式为 【变式3】(25-26八年级上·安徽合肥月考)若y-1与2x+1成正比例，当x=-1时，y=7,则y与x之间 的函数表达式为 强化训练 一、单选题 1.(2025八年级上·全国.专题练习)若函数y=(m-1)x+2是一次函数，则m的取值范围是() A.m≠1 B.m=1 C.m>1 D.m<1 2.(25-26八年级上，贵州毕节·期末)下列各点中，在直线y=1-2x上的是() 4/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(1,-1 B.-2,-3 C.（2,-5) D.3,5 3.(24-25八年级上浙江丽水期末)已知点(a,b)在一次函数y=2x-1的图象上，则4a-2b的值为() A.1 B.-1 C.-2 D.2 4.(25-26八年级上·重庆期末)下列函数中，y是x的正比例函数的是() A.y= B.y C.y=2(x+1) D.y=3x+1 3x 5.(25-26八年级上江苏南京·月考)一次函数y=x+b中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的 值为() m-1 m m+2 4 2 A. B. C.2 D.-2 二、填空题 6.(25-26八年级上浙江嘉兴期末)声音在空气中传播时，声音速度v(m/s与空气温度tC满足一次函 数关系.部分数据如下表所示，则a的值为 ℃ -10 0 10 20 30 v(m/s) 324 330 336 a 348 7.(25-26八年级上山东青岛周测)当m=时，关于x的函数y=(m-2)xm-3+5是一次函数， 8.(25-26八年级上江西景德镇期末)函数y=x+a-2是关于x的正比例函数，则a的值为， 9.(25-26八年级上安徽合肥期末)一次函数y=2x-3的图象经过点M(a,b,则5-2a+b= 10.(25-26七年级上山东青岛期末)如图，对于函数y=2x+7,当x= 时，y=3. =2x+7 6-5-4-3-2- 1.2345x 三、解答题 11.(25-26八年级上江苏徐州·月考)已知y-1与x成正比例，且x=3时y=4. (I)求y与x之间的函数关系式； 5/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当y=-1时，求x的值， (3)当x=2时，求y的值. 12.(25-26八年级上·安徽滁州期末)已知点M的坐标为a+3,a-1). (I)若点M在x轴上，求a的值： (2)若点M在一次函数y=3x-6的图象上，求a的值. 13.(25-26八年级下·全国·课后作业)写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函 数？是否为正比例函数？ (I)正方形的面积ycm)与它的边长x(cm)之间的关系： (2)某地居民用电收费标准是0.53元/(kw·h),应缴电费y(元)与用电量x(kw·h)之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，己知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y(元)与购买的 黑色签字笔x(支)之间的关系 14.(25-26八年级上·安微阜阳·期末)己知y-1与x+3成正比，当x=5时，y=2,求y与x之间的函数关 系式 15.(25-26七年级上山东淄博月考)已知函数y=(4-2m)xm-+(n+3). (I)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m,n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 6/6