第二章 图形与坐标章节复习（2大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

第二章 图形与坐标章节复习 教学目标 1. 理解平面直角坐标系概念，掌握点与有序实数对的一一对应，能根据坐标描点、由点写坐标并判断象限，夯实坐标基础。 2. 能为简单图形（三角形、矩形等）建立合适坐标系，写出顶点坐标并画图；掌握轴对称、平移的坐标变化规律，会求变换后图形坐标。 3. 经历探索过程，体会数形结合思想，提升几何直观与推理能力，能用坐标解决位置确定、图形变换等简单实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）平面直角坐标系的构建与点的坐标表示，掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征；能建立合适坐标系描述物体位置，写出简单图形顶点坐标。 （2）轴对称、平移变换的坐标变化规律，能熟练求出变换后点与图形的坐标，画出变换后的图形，理解图形变换与坐标变化的对应关系。 2.难点 （1）灵活建立平面直角坐标系，根据图形特征选择合适原点与坐标轴，简化坐标表示；将实际问题抽象为坐标模型，用坐标解决方位确定等问题。 （2）从具体变换中抽象出一般坐标规律，区分轴对称与平移的坐标差异。 知识点01 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。 一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴称为纵轴或y轴。 2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。 注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。 3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。 注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。 ②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。 ③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。 知识点02 轴对称与坐标的变化 平面直角坐标系中点的变换 1．坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 2．坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 题型01 位置的确定 【典例1】（25-26六年级上·上海·期末）点A在点B的南偏东方向上，则点B在点A的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．西偏北方向上 【答案】B 【分析】本题考查方位角的相对性，利用两点相对位置的方向相反、角度相等的性质求解，正确理解方位角定义是关键. 【详解】解：∵点A在点B的南偏东方向上， ∴根据方位角的相对性，观测点互换后，方向相反，角度相等， ∴点B在点A的北偏西方向上． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）河南嵖岈山享有 “华夏盆景”“ 中州独秀”“中原石林”的美誉．下列信息能确定嵖岈山具体位置的是（    ） A．驻马店市遂平县 B．在郑州市南偏西方向 C．东经，北纬 D．距郑州市直线距离180公里 【答案】C 【分析】本题考查确定具体位置的条件，依据初中数学中确定平面内点的位置需要唯一定位信息的知识点来判断选项即可． 【详解】A选项，“驻马店市遂平县”覆盖范围广，无法锁定嵖岈山的具体位置． B选项，仅给出方向，缺少距离信息，不能唯一确定位置． C选项，东经、北纬是唯一的地理坐标，可精准确定嵖岈山的具体位置． D选项，仅给出距离，缺少方向信息，不能唯一确定位置． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，长方形，点和点的位置分别用有序数对表示是、，那么点的位置用数对表示为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有序数对．根据有序数对的表示方法解答即可． 【详解】解：∵点和点的位置用数对表示分别是、， ∴点的位置用数对表示为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图是两艘舰艇的位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 【答案】南偏西，海里处 【分析】本题考查用方向角和距离表示实际位置，根据方向角的表示方法，得到舰在舰的北偏东，距离海里处，进而得到舰相对舰的位置为南偏西，距离海里处，即可． 【详解】解：由图可知：舰在舰的北偏东，海里处， ∴舰相对舰的位置为南偏西，海里处； 故答案为：南偏西，海里处 题型02 判断点所在的象限 【典例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：小手盖住的点在第二象限，其坐标可能是． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据横纵坐标的正负判断该点所在象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴，， ∵， ∴该点在第三象限． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）点在坐标系上第_____象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据各个象限点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：∵点的坐标是，其横坐标为负，纵坐标为正， ∴这个点在第二象限， 故答案为：二． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果点在第二象限，那么点在第________象限． 【答案】一 【分析】此题主要考查了点的坐标，根据点P在第二象限，得出且，从而，进而判断点Q的坐标符号，确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 题型03 已知点所在的象限求参数 【典例3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若点在第二象限，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】平面直角坐标系中第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，由此求解． 【详解】解：若点在第二象限，则， 观察选项，只有． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）点在轴上，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再代入计算纵坐标，即可得到点P的坐标. 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·期末）若点在轴上，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数．根据点在x轴上的性质，其纵坐标为0，由此求出参数a的值，再代入横坐标表达式即可． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， 解得． 代入横坐标， ∴P点坐标为． 故答案为 【变式3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若点在第二象限，化简：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，化简绝对值，根据第二象限点的坐标特征，横坐标小于，纵坐标大于，列出不等式组求出的范围，再根据的范围化简绝对值即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ， 解得：． 故， ∴． 故答案为：． 题型04 求点到坐标轴的距离 【典例4】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在平面直角坐标系内有一点，若点位于第二象限，并且点到轴和轴的距离分别为1，2，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限点的符号特点，以及点到坐标轴距离与坐标的关系解答即可． 【详解】解：∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点到x轴的距离为1，到y轴的距离为2， ∴点的纵坐标绝对值为1，横坐标绝对值为2， ∴点的坐标为 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合第四象限点的坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负），以及点到两坐标轴距离相等的条件（横、纵坐标的绝对值相等），列不等式组与方程求解的值，同时验证解的合理性． 【详解】解：点在第四象限， ， 解不等式组得， 点到两坐标轴的距离相等， ， 又，， ， 即， 移项得， 解得， ，符合条件， 的值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、解一元一次不等式组、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系的相关知识． 【变式2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，关键是熟知点的坐标的含义；平面直角坐标系内一个点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，到轴的距离是其横坐标的绝对值． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离为：， 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，一个点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是到y轴距离的2倍， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得， 故答案为：． 题型05 根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 【典例5】（25-26八年级上·山西太原·期末）太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据隆恩寺 和城隍庙 的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，再根据坐标系确定县衙的坐标． 【详解】解：以隆恩寺 和城隍庙 为参考， 设水平向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，由两点坐标可确定原点位置， 建立平面直角坐标系如下： 进而得到县衙的位置是 ． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件建立直角坐标系，确定点B坐标即可． 【详解】解：根据条件建立如图所示的直角坐标系， 由直角坐标系可知点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）2025年我校正式成为河南省科技厅“小小科学家科技创新操作室”建设单位，将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“科”的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置．根据“创”“新”的坐标可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“科”的坐标即可． 【详解】解：根据“创”“新”的坐标分别为，， 可得如图的坐标系：    则“科”的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，由比赛规则找出黑棋放的位置，进而根据平面直角坐标系写出黑棋的坐标即可，根据点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键. 【详解】解：∵白①的位置是，黑①的位置是， ∴建立平面直角坐标系如下： 当黑棋放在图中三个黑棋的两头位置，就能获胜， ∴黑棋放的位置为或， 故答案为：或． 题型06 坐标的平移变换 【典例6】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移坐标变化，解题关键是掌握点平移时坐标变化规律． 根据向左平移横坐标减去平移距离即可求解． 【详解】解：若点的坐标为， ∴点向左平移2个单位后对应的点的坐标为，即． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可． 【详解】解：点向上平移个单位， 纵坐标变为，此时点为； 又向左平移个单位， 横坐标变为， 此时点为. 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，熟练掌握坐标平移的特征是解题的关键． 点向上平移后纵坐标增加3，平移后的点在x轴上，纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】解：已知点向上平移3个单位后，． 点在x轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 题型07 坐标的旋转变换 【典例7】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 由旋转可得：，， ， 轴，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标变换公式，掌握平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证，求得，再根据点在第一象限即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由， 线段绕点逆时针旋转得到， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 点在第一象限， 点的坐标为， 故答案为：B． 【变式2】（25-26九年级上·贵州·期末）如图，点A的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；因此此题可根据旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴， 将绕点O顺时针旋转得到，如图， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，将线段的旋转转化为直角三角形的旋转是解题的关键． 根据A点坐标得到，绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到， ，再写出点的坐标． 【详解】解：如图：轴于B，轴于C，则， ∵绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴点的坐标为． 题型08 坐标的对称变换 【典例8】（25-26九年级上·山东滨州·期末）点关于原点成中心对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点中心对称的坐标变化规律，规律为对称点的横纵坐标均为原坐标的相反数． 【详解】解：点关于原点成中心对称点的坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变化规律，理解绕原点旋转就是关于原点对称是解决问题的关键． 绕原点旋转实质是求关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标性质即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后的坐标就是求点关于原点对称的点的坐标， ∴把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为， ∴故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）点的坐标是，点关于轴的对称点是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点的坐标是关于轴的对称点是． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 题型09 点在平面直角坐标系中的规律探究问题 【典例9】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解． 【详解】解：点 ∴ 的横坐标为6，且， 的横坐标为， …… ∴的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律． 根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第2025次后点坐标即可． 【详解】解：根据旋转可得，点的运动规律是周期性的，循环周期为4， 第2025次旋转，循环次数为， ∴此时，点位于第四象限， ∵四边形为平行四边形，且点，的坐标分别为，， ∴轴，， ∴， ∴当点位于第四象限时，坐标为， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 题型10 由坐标的变化求参数值或取值范围 【典例10】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，正确掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期末）若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数，据此先求出、的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称 ∴两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数 ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期末）若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 【答案】1 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，a的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于y轴对称点的坐标是， ∴ 解得， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，根据点在第三象限，结合原点对称的坐标特征确定点所在象限，进而列出不等式组求解的取值范围． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限， ∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限， ∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 一、单选题 1．（25-26七年级下·黑龙江·月考）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负的特征判断即可． 【详解】解：A、横坐标为负，纵坐标为负，位于第三象限，不符合要求， B、横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，不符合要求， C、横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限，符合要求， D、横坐标为正，纵坐标为正，位于第一象限，不符合要求． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）在平面直角坐标系中，点，且轴，则点坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，确定点A的纵坐标，再根据的长度列等式求点A的横坐标，分为点A可在点B左侧或右侧，进行求解即可． 【详解】解：∵点，点，轴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可知点A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，根据正方形对角线求C的纵坐标． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线， 即A、C的横坐标均为1， ∵， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，根据旋转得，，证明得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵点， ∴，， 根据旋转得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点坐标为． 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，则第次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知点的横坐标即为运动的次数，纵坐标每次一轮，分别为，，，，据此规律求解即可，解题关键是发现点的横坐标、纵坐标的规律． 【详解】解：第一次运动后的坐标为：， 第二次运动后的坐标为：， 第三次运动后的坐标为：， 第四次运动后的坐标为：， 第五次运动后的坐标为：， ， ∴可以得出规律：点的横坐标即为运动的次数，纵坐标每次一轮，分别为，，，， ∵， ∴点的横坐标是运动次数即，纵坐标与第二次运动到达的点的纵坐标相同即， ∴第次运动后的坐标为：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建漳州·期中）点在轴上，则______． 【答案】 【分析】本题考查轴上点的坐标特征，解一元一次方程，熟练掌握轴上点的坐标特征是解题的关键．根据轴上点的纵坐标为，列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为，即， 移项得， 系数化为得． 7．（25-26七年级下·北京西城·月考）在平面直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】由已知点坐标可知，点和点都在轴上，可得到的长度作为三角形的底，点到轴的距离作为高，代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：，， 点和点都在轴上， ． ， 点到轴的距离，即底边上的高为， ． 8．（25-26九年级下·山东泰安·期中）如图所示，在平行四边形中，点O为坐标原点，点C的坐标为，点A的坐标为，则顶点B的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且点C的坐标为， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴顶点B的坐标是． 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，这是简笔画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，且点，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，进行确定点的坐标即可． 【详解】解：由题意，画出坐标系如图： ∴点的坐标为． 10．（2026·山东青岛·一模）如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，由矩形的性质和勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据“两点之间，线段最短”可知，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，在矩形中，，，， 在中，， ∵由沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标； （2）第一象限角的平分线上的点横纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标和点A与点B的距离． 【详解】（1）解：∵轴， ， ， 点的坐标为． （2）点在第一象限角的平分线上， ， ， 点的坐标为． 、两点间的距离为． 12．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，文化馆，超市的坐标； (3)已知游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度，请在图中标出游乐场位置，并写出点坐标． 【答案】(1)见详解 (2)体育场：，文化馆：，超市： (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与坐标表示，解题关键是根据已知点的坐标确定原点位置，再据此写出其他点的坐标，并结合方向与距离确定未知点的位置．先由火车站的坐标确定x轴与y轴，再根据方格纸写出各点坐标，最后根据方向和距离确定游乐场的位置与坐标． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系； （2）解：如图，体育场：，文化馆：，超市：； （3）解：如图，市场的坐标为， 游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度， 所以在方格纸中，沿该方向移动个单位，即向左、向下各移动2个单位长度， 点P的坐标为． 13．（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至处，其中点O的对应点，且．连接，． (1)点C的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若点D是x轴正半轴上一动点，当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）本题利用算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，再根据平移规律求点B坐标。 （2）利用三角形面积公式，根据面积关系列方程求解，注意分类讨论 【详解】（1）解： 又， 解得： 点C的坐标为 线段平移至处 平移规律为：向右平移2个单位，向上平移3个单位 点B的坐标为 （2）解：设点D的坐标为，其中 由题意： 化简得：· 当时：， 解得 当时：， 解得． 14．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （2）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （3）连接，结合成中心对称的图形特点，以及中点坐标公式求解，即可解题； （4）利用割补法求出三角形面积即可． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：连接， 由图知，， 对称中心的坐标为，即； （4）解：的面积为：． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点为___________，二次反射点为___________； (2)若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，，求射线与轴所夹锐角的度数． (3)若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 【答案】(1)， (2)射线与轴所夹锐角的度数为或； (3)见解析 【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）分两种情况：当点A靠近y轴在第二象限时，当点A靠近x轴在第二象限时，作出相应图形，然后利用各角之间的关系及轴对称的性质求解即可； （3）分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时；分别利用等腰直角三角形的性质及轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：点关于y轴的对称点为， 所以一次反射点为， 关于直线l的对称点为， 所以二次反射点为； （2）解：如图1中，当点A靠近y轴在第二象限时，如图所示：    点，关于直线l对称，点A、关于y轴对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线与轴所夹锐角的度数为； 同理当点A靠近x轴在第二象限时， 射线与轴所夹锐角的度数为， 综上可得：射线与轴所夹锐角的度数为或； （3）解：设点，则，， ∵是等腰直角三角形， ∴分三种情况： ①当时， ，即, 且，即， 解得：，即上的点均满足，如图所示：    ②当时，不存在； ③当时，，且，即， 解得,即在x轴的负半轴上，如图所示：    综上所述，点A在轴的负半轴上或直线上． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 图形与坐标章节复习 教学目标 1. 理解平面直角坐标系概念，掌握点与有序实数对的一一对应，能根据坐标描点、由点写坐标并判断象限，夯实坐标基础。 2. 能为简单图形（三角形、矩形等）建立合适坐标系，写出顶点坐标并画图；掌握轴对称、平移的坐标变化规律，会求变换后图形坐标。 3. 经历探索过程，体会数形结合思想，提升几何直观与推理能力，能用坐标解决位置确定、图形变换等简单实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）平面直角坐标系的构建与点的坐标表示，掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征；能建立合适坐标系描述物体位置，写出简单图形顶点坐标。 （2）轴对称、平移变换的坐标变化规律，能熟练求出变换后点与图形的坐标，画出变换后的图形，理解图形变换与坐标变化的对应关系。 2.难点 （1）灵活建立平面直角坐标系，根据图形特征选择合适原点与坐标轴，简化坐标表示；将实际问题抽象为坐标模型，用坐标解决方位确定等问题。 （2）从具体变换中抽象出一般坐标规律，区分轴对称与平移的坐标差异。 知识点01 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。 一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴称为纵轴或y轴。 2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。 注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。 3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。 注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。 ②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。 ③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。 知识点02 轴对称与坐标的变化 平面直角坐标系中点的变换 1．坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 2．坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 题型01 位置的确定 【典例1】（25-26六年级上·上海·期末）点A在点B的南偏东方向上，则点B在点A的（    ） A．东偏北方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．西偏北方向上 【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）河南嵖岈山享有 “华夏盆景”“ 中州独秀”“中原石林”的美誉．下列信息能确定嵖岈山具体位置的是（    ） A．驻马店市遂平县 B．在郑州市南偏西方向 C．东经，北纬 D．距郑州市直线距离180公里 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，长方形，点和点的位置分别用有序数对表示是、，那么点的位置用数对表示为___________． 【变式3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图是两艘舰艇的位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 题型02 判断点所在的象限 【典例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）点在坐标系上第_____象限． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果点在第二象限，那么点在第________象限． 题型03 已知点所在的象限求参数 【典例3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若点在第二象限，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）点在轴上，则点的坐标为 A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·期末）若点在轴上，则点的坐标为_________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）若点在第二象限，化简：_______． 题型04 求点到坐标轴的距离 【典例4】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在平面直角坐标系内有一点，若点位于第二象限，并且点到轴和轴的距离分别为1，2，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_____． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 题型05 根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 【典例5】（25-26八年级上·山西太原·期末）太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）2025年我校正式成为河南省科技厅“小小科学家科技创新操作室”建设单位，将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“科”的坐标为_____． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 当黑棋放在图中三个黑棋的两头位置，就能获胜， ∴黑棋放的位置为或， 故答案为：或． 题型06 坐标的平移变换 【典例6】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 题型07 坐标的旋转变换 【典例7】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州·期末）如图，点A的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为__________． 题型08 坐标的对称变换 【典例8】（25-26九年级上·山东滨州·期末）点关于原点成中心对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）点的坐标是，点关于轴的对称点是_____． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 题型09 点在平面直角坐标系中的规律探究问题 【典例9】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 题型10 由坐标的变化求参数值或取值范围 【典例10】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期末）若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．4 C． D．1 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期末）若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 【变式3】（25-26九年级上·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 一、单选题 1．（25-26七年级下·黑龙江·月考）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）在平面直角坐标系中，点，且轴，则点坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，则第次运动到点（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建漳州·期中）点在轴上，则______． 7．（25-26七年级下·北京西城·月考）在平面直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 8．（25-26九年级下·山东泰安·期中）如图所示，在平行四边形中，点O为坐标原点，点C的坐标为，点A的坐标为，则顶点B的坐标是________． 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，这是简笔画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，且点，，则点的坐标为________． 10．（2026·山东青岛·一模）如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 三、解答题 11．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 12．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，文化馆，超市的坐标； (3)已知游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度，请在图中标出游乐场位置，并写出点坐标． 13．（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至处，其中点O的对应点，且．连接，． (1)点C的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若点D是x轴正半轴上一动点，当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 14．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 15．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点为___________，二次反射点为___________； (2)若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，，求射线与轴所夹锐角的度数． (3)若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $