3.1.2 函数的表示法 教学设计2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第一课时《3.1.2 函数的表示法》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《函数的表示法》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第一节第二课时的内容。本节课承接上一节函数概念，系统介绍图象法、列表法、公式法三种表示方式。通过等边三角形拼图、上学路程等实例，引导学生体会不同表示法的特点与优势，为后续一次函数图象与性质的学习搭建桥梁，体现“从具体到抽象、从单一到多元”的函数认知路径。 学习者分析 学生已初步理解函数定义，能识别变量与常量，但对函数多种表示方法的转换与应用尚不熟练。他们对直观图象、生活实例兴趣浓厚，但在从具体情境抽象为函数表达式、分析图象信息时易出现偏差，需通过分层练习强化方法理解。 教学目标 1.掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能说出各自的优点。 2.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 3.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。 教学重点 掌握函数的三种表示法，能根据情境选择合适的方法表示函数。 教学难点 理解不同表示法的内在联系，能从函数图象中准确提取信息解决实际问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 【做一做】下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. (1) y ：一个数的立方根； x ：这个数。 (2) y ：小明跑步的路程； x ：小明跑步的时间。 (3) y ：一个数的绝对值； x ：这个数。 教师提问：怎么判断一个关系是否是函数关系? 教师讲授： 判断一个关系是否是函数关系的方法： 1.看是否在一个变化过程中； 2.看是否存在两个变量； 3.看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 . 以上三者(简称“三要素”)缺一不可 . 学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真回顾，举手回答问题 认真听讲 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：新知探究 教师活动2： 探究：函数的三种表示方法 【说一说】教材P83“思考”中的问题(1)(2)(3)分别是怎样表示因变量与自变量之间的函数关系的？ 教师讲授：建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由这些点组成的图形称为这个函数的图象.这种表示函数关系的方法称为图象法. 列一张表格，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法. 用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数表达式（或函数解析式）. 【思考】用边长为1的等边三角形拼成如图所示的图形，用y表示拼成的图形的周长，用n表示等边三角形的个数. （1）填写下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 y （2）用公式法表示y与n的关系； （3）用图象法表示y与n的关系. 【议一议】用图象法、列表法、公式法表示函数关系，各有什么优点和缺点？ 教师讲授： 表示方法 优点 缺点 图象法 可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化 两个变量的读值不准确，不能准确地反映函数关系 列表法 可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 取的对应值有限,不能直接看出两个变量之间对应规律 公式法 可以方便地计算函数值 有些实际问题中的函数关系不一定能用公式法表示出来 学生活动2： 认真观察，感受函数的表示法 认真听讲，了解函数的三种表示法 认真思考，举手回答问题 填写表格 认真作图 合作交流，举手回答问题 认真听讲 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1某天7时，小楠从家骑自行车上学，途中到一家早餐店吃早餐花了一段时间，然后继续骑行，按时到达学校.下图反映了他骑车的整个过程.结合图象，回答下列问题： （1）小楠停车进早餐店是在什么时间？此时离家有多远？ （2）小楠吃早餐花了多长时间？吃完早餐后又花了多长时间到达学校？ （3）小楠从家到学校的平均速度是多少？ 解:（1）从横坐标看出，小楠停车进早餐店的时间是7：05；从纵坐标看出，此时离家1000m. （2） 从横坐标看出，小楠吃早餐花了 15 min；小楠吃完早餐后又花了10 min到达学校. （3） 从纵坐标看出，小楠家离学校 2100m；从横坐标看出，他在路上共花了30min. 因此，他从家到学校的平均速度是2100÷30=70（m/min）. 例2已知等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x. （1） 求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围； （2） 当腰长为4时，求底边长. 解：（1）由已知得，则. 由于x，y为该等腰三角形的边长， 所以. 于是且. 解上述两个不等式组成的不等式组，可得2. 5 < x < 5. （2）当腰长=4时， 底边长=102×4=2. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 表示方法 优点 缺点 图象法 可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化 两个变量的读值不准确，不能准确地反映函数关系 列表法 可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 取的对应值有限,不能直接看出两个变量之间对应规律 公式法 可以方便地计算函数值 有些实际问题中的函数关系不一定能用公式法表示出来 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 2.一正方形边长为3，各边长减少x后得到新正方形的面积为，则关于的函数表达式为(　　) A． B． C． D． 3.如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（　　） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 选做题： 4.长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为　 　． 5.如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是　 　. 6.物理课上老师带领学生探究气体压强与气体体积的关系，他们在气缸内充入了一定量的气体，当保证温度不变时，记录气缸内的气体压强与气体体积（），数据如下： 气缸内的气体压强 240 200 160 120 96 80 气缸内气体体积（m3） 1 则用式子表示与之间的关系是　 　． 【综合拓展类作业】 7.水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止． （1）写出蓄水量与注水时间之间的关系式 （2）当时，V的值是多少？ （3）要注满水池容积80%的水，需要多少小时？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在太阳和月球的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位．如图是某海港某天的实时潮位图．某海港某日0时到24时的水深随时间的变化如图所示．下列从图象中得到的信息正确的是（　　） A．24时水深最高 B．两次最高水深的时间间隔12小时 C．12时的水深为 D．0时到12时之间水深持续上升 2.老张购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量与售价元之间的关系如表： 重量 售价元 根据表中数据可知，售价元与重量之间的关系式为　 　． 3.如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为　 　． 【综合拓展类作业】 4.如图，在长方形ABCD中，BC=8，CD=5，E为边AD上一动点，连结CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化. （1）写出四边形ABCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的关系式； （2）当x=3时，求y的值； （3）当四边形ABCE的面积为35时，求DE的长. 教学反思 本节课通过拼图、上学路程等实例导入，有效帮助学生感知三种表示法的特点，多数学生能完成基础的函数表示任务，但在图象信息提取和实际问题分析时仍有疏漏。后续需增加不同情境的变式练习，强化方法选择与信息解读能力，同时关注学困生对函数表达式与图象对应关系的理解。 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $