3.1 函数的概念和表示法3.1.1-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(湘教版·新教材)

该教案聚焦变量、常量及函数概念，通过《名侦探柯南》脚长与身高关系案例导入，结合地球运动、气温与海拔等生活实例，建立“一个变量变化另一个随之变化”的认知，搭建从生活现象到数学概念的学习支架。 以生活实例为载体，通过温度曲线分析、声速与气温表格等培养抽象能力，引导归纳函数“唯一对应”定义发展推理意识，“说一说”环节判断矩形面积与宽等是否为函数关系提升模型意识。学生能直观理解函数核心，教师可直接借鉴实例与互动设计，高效落实教学目标。

课题 第3章 3.1 函数的概念和表示法 3.1.1 变量与函数 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系. 二、过程与方法 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简. 三、情感、态度与价值观 从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。在经历函数概念的形成过程中，体会数学的应用价值.同时在探索两个变量之间的对应关系过程中，感悟事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想. 教学重点、 难点 教学重点：了解常量、变量的概念；了解函数的概念. 教学难点：确定简单问题的函数关系. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.情境导入 《名侦探柯南》中有这样一个故事：柯南到了一个杀人现场后，发现现场只留下一串脚印，但是柯南很快推断出了嫌疑犯的身高，你知道他为什么如此之快地推断出了嫌疑犯的身高吗? 思考：一个人脚的大小与他的身高有一定的关系？ 得出结论：人们的身高在一般情况下随着脚的大小的变化而变化. 其实生活中还有很多类似的现象.例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化；再例如：气温随着海拔高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长. 在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 2.讲授新课 1．常量与变量 思考： 1．如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T(℃)是如何随时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息? 问题： (1)这天的4时的气温是10℃，14时的气温是20℃； (2)这一天中,在4时~14时,气温(A),在14时~24时,气温(B). A.持续升高 B.持续降低 C.持续不变 思考： (1)天气温度随时间的变化而变化,即T随t的变化而变化； (2)当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？ 唯一确定 2．研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值： 思考：声速随气温的变化而变化. 3．某型无人机以120 km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y（km）与飞行时间x（h）之间的关系式为у=120x.该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？ 思考： 该型无人机飞行的路程y随飞行时间x的变化而变化. 在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如无人机匀速飞行的速度……），叫做常量．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个. 上述问题中，问题（1）中时间t，气温T；问题（2）中气温x，声速S；问题（3）中飞行时间x，飞行的路程y等都是变量.问题（3）中无人机匀速飞行的速度是常量. 2．函数的定义 议一议：如图，△ABC底边BC（设BC=a）上的高是h.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗?若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量? 在上述变化过程中，高h是常量，底边长a和面积S都是变量，并且面积随底边长的变化而变化. 做一做：请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量. 观察本节开篇“思考”中问题（1）（2）的图和表格，由图可知，对于时间t的每一个取值，气温T都有唯一的一个值与它对应.类似地，由问题（2）中的表格可知，对于实验中气温x的每一个取值，声速y都有唯一的一个值与它对应. 师生一起归纳出函数的概念： 一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f（x）.其中，x叫作自变量，y叫作因变量. 对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a)． “思考”问题1中，气温T是时间t的函数，其中t是自变量，T是因变量. “思考”问题2中，声速y是气温x的函数，其中x是自变量，y是因变量. “思考”问题3中，飞行路程y是飞行时间x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 3．自变量的取值范围 在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围.如问题(1)中，自变量t的取值范围是0≤t≤24. 说一说：下列各组给出了两变量x和y，判断y是不是x的函数. （1）y：正方形的周长；x：这个正形的边长. （2）y：矩形的面积；x：这个矩形的宽. （3）y：一个正数的平方根；x：这个正数. （4）y：一个正数的算术平方根；x：这个正数， 解：(1)(4)中，y是x的函数；(2)(3)中，y是x的函数. 3.课堂练习 1．分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S(cm2)与球的半径R(cm)的关系式是S=4πR2； (2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h=gt2(其中g取9.8m/s2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8w. 解：(1)球的表面积S(cm2)与球的半径R(cm)的关系式是S=4πR2，其中，常量是4π，变量是S，R； (2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h=gt2(其中g取9.8m/s2)，其中常量是g，变量是h，t； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8w，常量是1.8，变量是x，w. 方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化． 2．现有360本图书，借给学生阅读，每人9本，求余下的书数y(本)与学生数x(名)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 解：函数关系式为y=360-9x，自变量x的取值范围是0≤x≤40，且x为整数． 方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．在实际问题讨论自变量取值范围时，往往既要考虑自变量的非负性，同时也要考虑因变量的非负性. 3．下列说法中正确的是( ) A．变量x，y满足x+3y=1，则y是x的函数 B．变量x，y满足y=，则y可以是x的函数 C．变量x，y满足|y|=x，则y可以是x的函数 D．变量x，y满足y2=x，则y可以是x的函数 解析：A中x+3y=1，y可以看作x的函数，因为y=；B中y=，因为-x2-1<0，等式无意义，即对于变量x的任何一个取值，变量y都没有唯一确定的值，故y不是x的函数；C、D中的|y|=x和y2=x，对于变量x的任意一个正数值，变量y都有两个(不唯一)值与其对应，故y不是x的函数．故选A. 方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系． 4．写出下列函数中自变量x的取值范围． (1)y=2x－3； (2)y=； (3)y=； (4)y=. 解：(1)全体实数； (2)分母1-x≠0，即x≠1； (3)被开方数4-x≥0，即x≤4； (4)由题意得解得x≥1且x≠2. 方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数． 4.课堂小结 1．变量与函数 定 义 常量与变量 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量. 函数 一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，x叫作自变量，y叫作因变量. 函数值 对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值f（a）称为函数值. 自变量的取值范围 自变量的取值必须使函数表达式有意义；当遇上实际问题时，还必须使实际问题有意义. 2．解题策略 判断变量y是否为变量x的函数，要抓住三个特点： ①在同一变化过程中；②有两个变量；③本质上是一种对应关系，给定一个x的值，确定唯一一个y的值，而对应y的一个值，自变量x的取值不一定只有一个. 5.板书设计 1．常量和变量的概念 2．函数的概念 3．函数关系式 4．自变量的取值范围 5．函数值 教学设计 反思 通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步. 学科网（北京）股份有限公司 $