数学（上海卷01）学易金卷：2026年中考考前预测卷

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 2 3 4 5 6 答案 A D A B A 0 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7.1 -2 8.V5+2 9.-1≤x<3 12.4 13.16 14. 5 16.4 17.18√5-6元 8名 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤) 19.计算： 1-5 1-(-2)2 sin30° tan60°-1 +(2025)°. 【答案】 1/13 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 4 【详解】解：原式=5-112+1=25-2_5+1+1=25-2-1-5-+1-5 24√3-1 444 4 20. 【答案】(1)∠BPD=90° (2)1 【详解】(1)解：如图，连接PD, B D :BD是半圆O的直径， ∠BPD=90°； (2)解：如图，连接PO, B 设半圆O的半径为r, .PO=BO=OD=r, :ABCD=BC·AD, A0-B0)(C0+0D=(B0-C0)A0+OD), 即(A0-r(C0+r=(r-C0)川A0+r), 化简得A0.C0=r2, .A0.C0=P02, 即40、PO PO CO 又：∠A0P=∠P0C, .aA0P∽△P0C, ∠A=LOPC, 2/13 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0P=0B, ∠OPB=∠OBP, .∠OPC+∠BPC=∠APB+∠A, ∠BPC=∠APB, ∠APB:∠BPC=1 21. 5 (2)见解析 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， AC=AB+AD=a+b :E2 BC3,且AD∥BC, △AOE∽aCOB,相似比为 AE 2 BC73' 0C3,即40：0c=2:3. A02 :0c=Ac=(a+=3a+36, 3 5 5 5 5 0=2AC-2ā+26， 5 5 :B0=A0-AB= 2a+26-a=-3a+26 55 5 OD=AD-A0=6- 2a+26-2a+6: 2 3 55 5 5 3 2。 故答案为： 21 3a+36,-3a+2b,-2a+36 5 5 5 5 5 (2)解：由(1)知： 作图时，过点O分别作AB、AD的平行线，交AD于M,交AB于N,则： AN=2ā(A0在a方向上的分向量) AM=2五(A0在防向上的分向量) 5 3/13 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 多M B 结论：40-2ā+ 26 55 22. 【详解】(1)证明：：AB=AC,点D为BC边的中点， AD⊥BC,BD=CD, ∠ADC=90°， :ED⊥FD, .∠EDF=90°， ∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDH=90°， .∠ADE=LCDH, :AD·DH=DE·DB, AD DE BD DH' AD DE CD DH' .a△ADEn△CDH, ∴∠BAD=∠DCH, :∠BAD+∠AGC=∠DCH+LADC, ∠AGC=∠ADC=90°， .CG⊥AB; (2)证明：：四边形DEGH为平行四边形， .EG DH,DEGH .ABII DF, .△ABC∽aFDC, :BC、AC CD CF' :AB=AC,点D为BC边的中点， :AD⊥BC,BD=CD=BC, 2 4/13 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BC AC CD CF =2, .AC=2CF, ∴AB=AC=2AF=2CF, 又：DEIIGH,CG⊥AB, ·DE⊥AB,即∠AED=90°=∠ADB, .∠BAD+∠B=∠BAD+∠ADE=90°， ∠B=∠ADE, △ADEn△ABD, ADAE AB AD .AD2=AE·AB, AD2=2AE·AF. 23. 【答案】(1)6米；(2)路灯4B的高度为7.5米：(3)y=180,(4)18 【详解】解：(1)由题意得AC‖DE, ∠ACB=∠DFE, :∠ABC=∠DEF=90°， .△ABC∽aDEF, :AB、BC DE EF' :EF=0.5米，DE=1.5米，BC=2米， AB 2 1.50.5’ AB=6米， 故答案为：6米； (2):∠ABC=∠FEC=90°，∠ACB=∠FCE, ∴△ABC∽△FEC, AB BC EF=CE' 由题意可得DG=EF=1.5米，CE=1米，GE=12米， 是-甲c-子 5/13 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠ABH=∠DGH=90°， .ABII DG, .△ABH∽△DGH, AB BH DGGH 、一1，pB=34B、 .BH =BC+CE+EG+GH=3AB, :24B+1+12+45=3AB, 3 AB=7.5米， 答：路灯AB的高度为7.5米； (3)由表格数据得4×450=6×300=8×225=10×180=1800， .xy=1800, :路灯高度(x)与照明亮度的平方(y)的关系式为y=180, (4):√450≈21.2>20，V300≈17.3，√225=15，V180≈13.4， ∴.高度为6米，8米，10米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定， 64100 :12π< π， 3 “高度为10米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为2× 100_20V5 (米) V 3 3 200÷20V5 ≈17.3，则至少需要18个路灯. 3 故答案为：18。 24. 【答案】f=+与> a2-25}-255.2-7可 2 【详期】①银：抛物线)方--号--2 2 :抛物线顶点为T1,-2), 对于箱物线方-子令=0，则= 3 6/13 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 二整物线与y轴的交点C的坐标为Q引 江0，则--0，解得x=-1,3 A-1,0),B(3,0) :点Q在抛物线上，且在y轴上， 点Q与点c重合，即Q0》 :点P(1y,)是抛物线在第一象限的点， 3 61>3,47P9 2 抛物线上P,Q两点之间的曲线部分的最高点是P-1- 3 最低点为T(1,-2), .:g=t-0=1 12-t+ 1 1 :f=h+g= 2-t++1= 12+ 2 2 22’ 关于的函数解折式为/=+>3引. (2)解：为了讨论方便，记A,T两点的特征值为fr,∫Ar=84r+hAr, P,C两点的特征值为fp.c,fp.c=8p.c+hp.c, :T(1,-2),A-1,0), ·84x=1-(-1=2, h4.r=0-（-2)=2, ∴A,T两点的特征值fAT=g47+h4T=2+2=4. gpc=-0=. ①当点P在点C的左侧，即t<0时，P,C两点之间的曲线部分的最高点为点P,最低点为点C, 7/13 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 cpc+c时P2n 2 :P,C两点的特征值与A,T两点的特征值相等， 214. 解得1=2-2√3或t=2+2√5（不满足t<0,舍去）， P2-25,9-25 ②当点P在点C的右侧，点T及其左侧，即0<1≤1时，P,C两点之间的曲线部分的最高点为点C,最低 点为点P, 3-1+1, 22 c=gc+he=g-+1-+1= 2 12+2t 2 :P,C两点的特征值与A,T两点的特征值相等， 二P+21=4,该方程没有实数解 .此情况不存在 ③当点P在点T的右侧，过点C与x轴的平行线与抛物线交点的左侧时， 对于物线宁令=则片号 2 解得x=0,x2=2, .1<t≤2， 此时P,C两点之间的曲线部分的最高点为点C,最低点为点T, 则=一-2 .frc=8nc+hnc==+ 1 1 2 :P,C两点的特征值与A,T两点的特征值相等， 1 1+24, 解得1=号（不满足1<1≤2，舍去） ④当点P过点C与x轴的平行线与抛物线交点的右侧，即1>2时，P,C两点之间的曲线部分的最高点为点 P,最低点为点T, 则e--2-+分 1 8/13 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :P,C两点的特征值与A,T两点的特征值相等， 2 解得t=√7或t=-√万（不满足t>2,舍去）， :p(7,2-万. 综上所述，点P的坐标为2-25，号25或(，2-. (3)解：：点P(1,),Q(s,y2)是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，PQ∥x轴， 点P,Q关于对称轴x=1对称，且1≥1 5=2-1,y2=1=2 3 -引-- (1 3 3 2 ①若1≤1≤2，则P,C两点之间的曲线部分的最高点为点C,最低点为点T, 8=-=4,4=-2小- 1 1 1 f=81+h=t+5=t+。 2 2 Q,C两点之间的曲线部分的最高点为点C,最低点为点Q, “6=8+=2-1-2+1=-2+2, 2 2 +5+-2+2=-2+1+ 5 +方=1+5+ 22 2 5 55 当f+方=号时， +1+，=):解得4=0,6=2 2 2 当+号时* 11 24,解得6=1- ,511 2 ，4=1+2 :不+方最小值为氵万+万最大值为 1 0≤1≤1- 巨或1+5 ≤t≤2， 2 :1≤1≤2， 1+5s1s2 2 9/13 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ②若t>2,则P,C两点之间的曲线部分的最高点为点P,最低点为点T, 8-0=1,4--122到--+号 8+么=1+21+t) 2 22 Q,C两点之间的曲线部分的最高点为点Q,最低点为点C, 821-1-2,-1(引- ∴6=5+k=1-2+4-1=-2. 当+-，-含分解得42,6-2。 当不后片时-号解= 2,5 2 :f+万最小值为了+元最大值为 s15-2或251s 2 2 :t>2, 2s1s7 综上所述，t的取值范围是1+ sts⑦ √ 2 2 25. 【答案】(1)四边形BCDF是平行四边形，理由见解析 (2)BC=2DM,理由见解析 3)80√109或16W3 109 13 【详解】(1)解：四边形BCDF是平行四边形，理由如下： F是AC的中点，∠ABC=90°， :.AF -CF=BF-7AC. ,∠BAF=∠ABF, .∠BFC=∠BAC+∠ABF=2LBAC. 由旋转的性质得CD=CF,LDCF=2LBAC, BF=CD,∠BFC=LDCF, 10/13 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .BF∥CD, :四边形BCDF是平行四边形 (2)解：BC=2DM,理由如下： :在图1中，D、E分别是AC,BC的中点， △CDE是ABC的中位线，AC=2CD,BC=2EC, .DE∥AB, ∴∠CED=∠ABC=90°； 如图3所示，设BE与CD的交点为N(此后过程都基于图3)， B M D 图3 :∠CDE=90°，线段BE经过CD的中点， :DN=CN=EN=-CD AC=2CD,BC =2EC, AC BC =2 CD CE 由旋转的性质可得∠ACB=∠DCE, .∠ACB+LBCD=LDCE+∠BCD,即∠ACD=LBCE, .△ACD∽△BCE, ∠ADC=∠BEC. 在△DNM和△ENC中， ∠MDN=∠CEN DN=EN ∠MND=∠CNE .△DNM≌△ENC(ASA), 11/13 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴DM=CE. BC=2CE, .BC 2DM (3)解：如图4所示，当点E在BC上方时，延长DE交AB于点G· G D..CE L BC. B 图4 ∠BCE=90°， 由(3)可知，∠CED=90°， ∴∠CEG=180°-∠CED=90°， 又：∠ABC=90°， :.四边形BCEG是矩形， :GE=BC,CE=BG,∠BGD=90°， AB=8,BC=6, :.DE=1AB=4.CE=BG=1BC=3, 2 GD=GE+ED=6+4=10, BD=VBG2+GD2=V32+102=√09， :AH⊥BD, sin∠ABH=AHDG AB BD :H、10 8V109' ∴AH=80-80W109 V109-109: 如图5所示，当点E在BC的下方时，过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P, 12/13 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H B ! . D E 图5 ∠BPE=90°， :∠PBC=180°-∠ABC=90°=∠CED, 四边形BCEP是矩形， .PE=BC=6,BP=CE=3, PD=PE-DE=6-4=2, :BD=PD2+BP2=22+3=3: :AH⊥BD, Sn-AH,BD=号1B-PD, 2 2 AH·BD=AB·PD, .V13AH=8x2, ∴AH=16=163 V1313 综上所述，AH的长为80109或163 109 13 13/13………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，这是石墨烯的晶格结构，石墨烯每两个相邻碳原子间的键长为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（    ） A．1 B．4 C．－1 D．－4 3．若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 4．下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果都是单位向量，那么 D．如果或，那么 5．如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．计算的结果是________． 8．计算：的结果是______． 9．不等式组的解集是__________． 10．若实数，同时满足，，则的值为______． 11．已知直线上的点与点，则k的值为_______． 12．小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 13．在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 14．学校准备在候选的名女生和名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是____． 15．如图，是的中线，，的延长线交于点，则的值为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为_________． 17．如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 18．如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．如图，点A、B、C、D、O在同一直线上，且满足，以为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点， (1)直接写出的度数； (2)求的值． 21．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，，线段交对角线于点O，设，． (1)用和表示：______；______；______． (2)作出在和方向上的分向量并用和的线性组合表示．（不要求写作法，仅需作出图形并写出结论） 22．如图，在中，，点D为边的中点，联结，点E、F分别在上，且，点G是上与E点不重合的点，联结交于点H，． (1)求证：； (2)若四边形为平行四边形，求证：． 23． 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：____________________． （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度． （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式． （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造___________________个路灯． 24．如图，抛物线与x轴相交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，点，是抛物线上的点，若，h为抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点与最低点纵坐标的差，，f叫做抛物线上P，Q两点的特征值． (1)若点P在第一象限，点Q在y轴上，求f关于t的函数解析式； (2)若点P与点C不重合，抛物线上P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等，求点P的坐标； (3)点P，Q是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，连接PQ，若轴，抛物线上P，C两点的特征值为，抛物线上C，Q两点的特征值为．若最小值为，最大值为，求t的取值范围． 25．综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，这是石墨烯的晶格结构，石墨烯每两个相邻碳原子间的键长为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（    ） A．1 B．4 C．－1 D．－4 3．若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 4．下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果都是单位向量，那么 D．如果或，那么 5．如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．计算的结果是________． 8．计算：的结果是______． 9．不等式组的解集是__________． 10．若实数，同时满足，，则的值为______． 11．已知直线上的点与点，则k的值为_______． 12．小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 13．在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 14．学校准备在候选的名女生和名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是____． 15．如图，是的中线，，的延长线交于点，则的值为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为_________． 17．如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 18．如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．如图，点A、B、C、D、O在同一直线上，且满足，以为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点， (1)直接写出的度数； (2)求的值． 21．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，，线段交对角线于点O，设，． (1)用和表示：______；______；______． (2)作出在和方向上的分向量并用和的线性组合表示．（不要求写作法，仅需作出图形并写出结论） 22．如图，在中，，点D为边的中点，联结，点E、F分别在上，且，点G是上与E点不重合的点，联结交于点H，． (1)求证：； (2)若四边形为平行四边形，求证：． 23． 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：____________________． （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度． （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式． （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造___________________个路灯． 24．如图，抛物线与x轴相交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，点，是抛物线上的点，若，h为抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点与最低点纵坐标的差，，f叫做抛物线上P，Q两点的特征值． (1)若点P在第一象限，点Q在y轴上，求f关于t的函数解析式； (2)若点P与点C不重合，抛物线上P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等，求点P的坐标； (3)点P，Q是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，连接PQ，若轴，抛物线上P，C两点的特征值为，抛物线上C，Q两点的特征值为．若最小值为，最大值为，求t的取值范围． 25．综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考考前预测卷【上海卷】 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题4分，共48分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷【上海卷】 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一===-====。==一一====。==。--== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分）》 1[A][B][C][D] 3.A][B][C][D1 5.[A1[B][C1[D1 2[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 8. 10 12 13. 16. 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分) 20.(10分) A B D A B D 图(1) 图(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) D O B 22.(10分) G F E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) D E B M E B E B 图1 图2 D 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，这是石墨烯的晶格结构，石墨烯每两个相邻碳原子间的键长为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（    ） A．1 B．4 C．－1 D．－4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，同底数幂的除法；根据运算定义结合同底数幂的除法法则，将原等式转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 3．若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果. 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中， ∴由根与系数的关系可得 ，， 对所求式子因式分解得 将，代入得 原式． 4．下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果都是单位向量，那么 D．如果或，那么 【答案】B 【分析】本题考查向量的基本概念，涉及向量相等的条件，平行向量的判定，单位向量的定义和数乘向量的结果，只需根据概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：向量相等需要模相等且方向相同，仅只能说明长度相等，方向不一定相同，故A错误； B选项：∵若，则与方向相反，方向相反的向量是平行向量，∴B正确； C选项：单位向量仅模长都为1，方向不一定相同，因此单位向量不一定相等，故C错误； D选项：当或时，，结果是零向量，不是数字，故D错误． 5．如图，在五边形中，延长，，分别交直线于点M，N．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， 即， ∴， ∵， ∴． 6．已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线经过点结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③． 【详解】①∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴即， 故①结论正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， 故②结论正确； ③∵，， ∴， 对于方程，即， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故③结论正确； 综上所述，正确结论的个数是3． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 8．计算：的结果是______． 【答案】 【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ∴的结果是． 9．不等式组的解集是__________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定方法找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， 解不等式②， 移项得， 合并同类项得， 则原不等式组的解集为． 10．若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可得，再分、两种情况，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：，， ， ①当时， ，方程组无解； ②当时， ，解得，此时； 综上，． 11．已知直线上的点与点，则k的值为_______． 【答案】/0.5 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由题意，将点与点代入， 则 由下式减上式得， 解得． 12．小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 【答案】 【分析】根据等边三角形与正六边形的性质，可知剪去的小等边三角形与原大等边三角形相似，且相似比为，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出小等边三角形的面积，再用原三角形面积减去三个小等边三角形的面积即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵剩下的纸片是正六边形， ∴剪去的三个等边三角形全等，且小等边三角形的边长等于正六边形的边长， ∴原大等边三角形的边长为倍小等边三角形的边长， ∴小等边三角形与原大等边三角形相似，相似比为， 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得面积比为， 设每个小等边三角形的面积为，则， 解得， ∴正六边形的面积为． 13．在中，，的余弦值是，，那么的长为______． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 14．学校准备在候选的名女生和名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是____． 【答案】 /0.6 【分析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.． 【详解】解：画树状图为： 共种等可能的结果数， 其中选中一男一女的结果数为， 恰好选中一男一女的概率是． 15．如图，是的中线，，的延长线交于点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作交于M，证明可得，则可推出；证明，可得，则可推出，进而得到，则． 【详解】解：如图所示，过点D作交于M， ∵是的中线， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为_________． 【答案】4 【分析】作轴，垂足为，连接，根据反比例函数k值的几何意义和题意得出，根据相似三角形的判定和性质得出，设，则，代入计算求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，连接， 点、在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 即， 解得， ∴， ∴． 17．如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 【答案】 【分析】连接，利用切线的性质得到，结合求出的长度，再分别计算的面积和扇形的面积，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ， ． 故答案为： 18．如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先证，可得，故，进而得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故，从而可知四边形是平行四边形，又根据折叠可知，得到四边形是矩形，得到，则，再根据相似三角形的性质，计算出、，进而计算出最后求比即可． 【详解】解：设与交于点M，与交于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴G是中点， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由折叠可知， ∴四边形是矩形， 设，则正方形边长为， ∴， 连接， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的分母有理化的方法、特殊角的三角函数值、幂的运算即可一次计算． 【详解】解：原式 20．如图，点A、B、C、D、O在同一直线上，且满足，以为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点， (1)直接写出的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）连接，利用直径所对的圆周角等于90°即可求解； （2）连接，设半圆O的半径为r，由，得，可化简得，则，证明，得，再利用，即可求证． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径， ∴； （2）解：如图，连接， 设半圆O的半径为r， ∴， ∵， ∴， 即， 化简得， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，，线段交对角线于点O，设，． (1)用和表示：______；______；______． (2)作出在和方向上的分向量并用和的线性组合表示．（不要求写作法，仅需作出图形并写出结论） 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． （1）先利用平行四边形性质，得到对角线向量，再判定，得出相似比，根据比例关系，分别求出 和 ．再利用向量减法，计算 和 ，得到最终表达式． （2）由（1）的结论，已知 ，过点 分别作、的平行线，构造平行四边形，得到在和方向上的分向量和，直接写出用和表示的线性组合结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵，且， ∴，相似比为， ∴，即． ∴， ， ∴ ； 故答案为：，， （2）解：由（1）知： 作图时，过点分别作、的平行线，交于，交于，则： （在方向上的分向量） （在方向上的分向量） 结论：． 22．如图，在中，，点D为边的中点，联结，点E、F分别在上，且，点G是上与E点不重合的点，联结交于点H，． (1)求证：； (2)若四边形为平行四边形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，点D为边的中点，得到，即，由，得到，易证，根据，得到，可得，证明 ，即可推出 ，再根据，进而得到，即可证明； （2）根据平行四边形的性质，证明，推出，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 23． 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：____________________． （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度． （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式． （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造___________________个路灯． 【答案】（1）米；（2）路灯的高度为米；（3）；（4） 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，反比例函数的实际应用， （1）根据题意易证，得到，由此即可得到答案； （2）证明，得到，由题意可得米，米，米，求出，再证明，推出，得到，进而得到，即可求解； （3）根据表格数据可得，即可解答； （4）先求出符合《城市道路照明设计标准》规定的路灯的高度，再求出此路灯高度下所照明范围的半径，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， 故答案为：米； （2）∵， ∴， ∴， 由题意可得米，米，米， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴米， 答：路灯的高度为米； （3）由表格数据得， ∴， ∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为； （4）∵， ∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定， ∵， ∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米）， ，则至少需要个路灯． 故答案为：． 24．如图，抛物线与x轴相交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，点，是抛物线上的点，若，h为抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点与最低点纵坐标的差，，f叫做抛物线上P，Q两点的特征值． (1)若点P在第一象限，点Q在y轴上，求f关于t的函数解析式； (2)若点P与点C不重合，抛物线上P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等，求点P的坐标； (3)点P，Q是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，连接PQ，若轴，抛物线上P，C两点的特征值为，抛物线上C，Q两点的特征值为．若最小值为，最大值为，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，得到顶点，令，得到，令，得到，．根据点Q在抛物线上，且在y轴上，得到，根据点是抛物线在第一象限的点，得到，，且抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点是，最低点为，根据特征值的定义即可列出关系式； （2）先求出A，T两点的特征值．根据点P的不同位置：①点P在点C的左侧；②点P在点C的右侧，点T及其左侧；③点P在点T的右侧，过点C与x轴的平行线与抛物线交点的左侧；④点P过点C与x轴的平行线与抛物线交点的右侧；求出P，C两点的特征值，根据P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等，列出方程求解即可； （3）根据题意得到点P，Q关于对称轴对称，且，，．分两种情况：①；②，分别求出，根据最小值为，最大值为，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线顶点为， 对于抛物线，令，则， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为， 令，则，解得，， ∴，． ∵点Q在抛物线上，且在y轴上， ∴点Q与点C重合，即． ∵点是抛物线在第一象限的点， ∴，， 抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点是，最低点为， ∴ ， ∴， ∴f关于t的函数解析式为． （2）解：为了讨论方便，记A，T两点的特征值为，， P，C两点的特征值为，． ∵，， ∴， ， ∴A，T两点的特征值． ∵，， ∴． ①当点P在点C的左侧，即时，P，C两点之间的曲线部分的最高点为点P，最低点为点C， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴， 解得或（不满足，舍去）， ∴． ②当点P在点C的右侧，点T及其左侧，即时，P，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点P， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴，该方程没有实数解， ∴此情况不存在． ③当点P在点T的右侧，过点C与x轴的平行线与抛物线交点的左侧时， 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 此时P，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点T， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴， 解得（不满足，舍去）． ④当点P过点C与x轴的平行线与抛物线交点的右侧，即时，P，C两点之间的曲线部分的最高点为点P，最低点为点T， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴， 解得或（不满足，舍去）， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． （3）解：∵点，是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，轴， ∴点P，Q关于对称轴对称，且 ∴，， ∴，， ①若，则P，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点T， ∴，， ∴． Q，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点Q， ∴，， ∴， ∴． 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∵最小值为，最大值为， ∴或， ∵， ∴． ②若，则P，C两点之间的曲线部分的最高点为点P，最低点为点T， ∴，， ∴． Q，C两点之间的曲线部分的最高点为点Q，最低点为点C， ∴，， ∴． ∴， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∵最小值为，最大值为， ∴或， ∵， ∴． 综上所述，t的取值范围是． 25．综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，由旋转的性质得，则可推出，，据此可得结论； （2）由三角形中位线定理推出，如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3），证明，得到．证明，得到，据此可得结论； （3）当点E在上方时，延长交于点．证明四边形是矩形，得到，，求出的长，进而求出的长，根据列式求解即可；当点E在的下方时，过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，可求出，再由等面积法求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 是的中点，， ， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3）， ∵，线段经过的中点， ∴ ， ． 由旋转的性质可得， ，即， ∴， ． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）解：如图4所示，当点E在上方时，延长交于点． ， ∴， 由（3）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； 如图5所示，当点E在的下方时，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ； ∵， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $