数学（内蒙古卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A D D B D C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9． 10．96 11． 12．或． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分） 【解析】解：（1）方程两边都乘．得．（2分） 解得．（4分） 经检验，是原方程的根；（5分） （2）原式 ．（3分） ∵，，且为整数， 可取，（4分） 当时，原式．（5分） 14．（7分） 【解析】（1）解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数；（0.5分） 被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为， B组人数所占百分比，即；（1分） 被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人）， C组人数为：（人）， D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数．（1.5分） 补全频数分布直方图如下： （2分） （2）解：（人）， 答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128．（4分） （3）解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）．（7分） 15．（10分） 【解析】（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得     （1分） 解得    （2分） 答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人（3分） （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得   解得：    （4分） 取正整数， ，，，（5分） 共有种租车方案     设总租金为元，则（6分） 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱（7分） （3）设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴，     ，即 解得    （8分） 或 解得（9分） 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米．（10分） 16．（12分） 【解析】（1）证明：如图，连接，（1分） ∵， ∴， ∴，（2分） ∵所对的弧为， ∴， ∴， ∴，（3分） ∵是的切线，是半径， ∴， ∴，（4分） ∵， ∴，（5分） ∴， ∴；（6分） （2）解：如图，连接，（7分） ∵是的直径， ∴， ∵的半径为， ∴，（8分） 在中，， ∵，， ∴，（8分） ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴，（9分） ∴， 在Rt中，， ∴，（10分） ∵，， ∴，（11分） ∵， ∴．（12分） 17．（12分）【解析】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为，（2分） 把代入，得， 解得，（3分） 该抛物线的表达式为．（4分） （2）解：当时，，（5分） 解得：，（6分） ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于，（7分） 距离地面高度不低于的水平飞行距离为．（8分） （3）解：与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由如下： 由题意知，新抛物线解析式为，（4分） 当时，，（4分） 解得：（不符合题意，舍去），（4分） ， 与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内．（12分） 18．（13分）【解析】（1）解：如图所示： 四边形是矩形． ，， ， ，（1分） 是边的中点， ． ， ，（2分） ， 是等腰直角三角形， ． 将绕点顺时针旋转得到 ， ；（4分） （2）解：①如图所示： ， ，（4分） 将绕点顺时针旋转得到． ．（5分） 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ， ，（7分） 点在线段的垂直平分线上 垂直平分．（8分） ②． 理由如下： 垂直平分， ， ． ， ， ．（9分） ， ， ， ．（10分） 设， ， ， ， ，（11分） 旋转得到 ， ． 在中，．（12分） 设，则， ， ， 在中，， ．（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4A][B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 9 10. 11 12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 13.(10分) (1)解方程：1+1=，3 x+1 2x+21 @》先化简+，名}广年g然后从-：的冠日肉选限-个合话饰坠数作为的代入 求值. 14.(7分)认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：a=，b= ，m= ；并补全频数直方图： (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八 年级跳绳个数不少于140个的总人数， (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 被抽取的男同学跳绳个数频数 被抽取的女同学跳绳 分布直方图 个数扇形统计图 个频数 6 6 5 B m% 3 3 A10% 2 E 10%/ D20% 0 A BC DE 组别 15.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16(12分) D D B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(12分) 5m 0-24im O -24im 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) D A D G B E B E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．数轴上表示的点到原点的距离是（  ） A． B． C． D． 2．金蛇穿云去，紫骝踏雪来．恰逢马年新春，网络上各类与“马”元素相关的创意设计图也层出不穷，或灵动飘逸，或大气磅礴，让人目不暇接．下列四个创意设计图中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别与，相交于点，，是上一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 8．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A．34米 B．35米 C．36米 D．37米 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．因式分解：________． 10．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为__________． 11．如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 12．如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）（1）解方程：． （2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 14．（7分）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 15．（10分）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 16．（12分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 17．（12分）．综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 18．（13分）如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． (1)如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数； (2)如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分）》 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 10. 11 12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 13.(10分) (1)解方程： 1+1= 3 x+1 2x+2 2)先化简1+乙2广。x然后从2≤x≤2的袍用内遮取个合适的整数作为x的恒代四 求值. 14(7分)认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：a= ,b= ,m= ；并补全频数直方图. (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八 年级跳绳个数不少于140个的总人数， (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 被抽取的男同学跳绳个数频数 被抽取的女同学跳绳 分布直方图 个数扇形统计图 频数 6 6 B m% 3 A10% 2 E10%/ 1 D20% 0 A B C D E组别 15.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16(12分) E D E B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(12分) 5m -24m 24m 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) A D D G B E B E C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．数轴上表示的点到原点的距离是（  ） A． B． C． D． 2．金蛇穿云去，紫骝踏雪来．恰逢马年新春，网络上各类与“马”元素相关的创意设计图也层出不穷，或灵动飘逸，或大气磅礴，让人目不暇接．下列四个创意设计图中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别与，相交于点，，是上一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 8．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A．34米 B．35米 C．36米 D．37米 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．因式分解：________． 10．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为__________． 11．如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 12．如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）（1）解方程：． （2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 14．（7分）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 15．（10分）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 16．（12分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 17．（12分）．综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 18．（13分）如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． (1)如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数； (2)如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．数轴上表示的点到原点的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义，求-7的绝对值，即可． 【详解】∵=7， ∴数轴上表示的点到原点的距离是7． 故选D． 2．金蛇穿云去，紫骝踏雪来．恰逢马年新春，网络上各类与“马”元素相关的创意设计图也层出不穷，或灵动飘逸，或大气磅礴，让人目不暇接．下列四个创意设计图中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故符合题意； 故选D． 3．斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据立体图形的特点，其俯视图为， 故选：A ． 4．如图，直线，直线分别与，相交于点，，是上一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，利用树状图展示出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如下： 由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种， 所以 故选：D 6．如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质和图象上点的坐标特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等， ∴ 点在该函数图象上，选项D正确． 8．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图．在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房，小王同学在小楼房楼底处测得建筑物的顶部处的仰角为，在小楼房楼顶处测得建筑物的顶部处的仰角为（在同一平面内，在同一水平面上），则该建筑物的高为（　　）（参考数据：，tan） A．34米 B．35米 C．36米 D．37米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，得到四边形是矩形，继而得到，米，得出，得到，即，求出米，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ，四边形是矩形， ，米， ， ， ， ， 在中，， ， ， 米， 米， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 10．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为__________． 【答案】96 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 11．如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】过E作交的延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交的延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 12．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点 分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．） 13．（10分）（1）解方程：． （2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【详解】解：（1）方程两边都乘．得． 解得． 经检验，是原方程的根； （2）原式 ． ∵，，且为整数， 可取， 当时，原式． 14．（本题7分）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 【详解】（1）解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数； 被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即； 被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数． 补全频数分布直方图如下： （2）解：（人）， 答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128． （3）解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． 15．（本题10分）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得      解得     答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得   解得：     取正整数， ，，， 共有种租车方案     设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 （3）设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴，     ，即 解得     或 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 16．（本题12分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵所对的弧为， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（本题12分）综合与实践 问题情境： 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模： 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【详解】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：当时，， 解得：， ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于， 距离地面高度不低于的水平飞行距离为． （3）解：与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内，理由如下： 由题意知，新抛物线解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ， 与表演台中心水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 18．（本题13分）如图，在矩形中，是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． (1)如图1，若是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接．求的度数； (2)如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：如图所示： 四边形是矩形． ，， ， ， 是边的中点， ． ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 将绕点顺时针旋转得到 ， ； （2）解：①如图所示： ， ， 将绕点顺时针旋转得到． ． 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上 垂直平分． ②． 理由如下： 垂直平分， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 设， ， ， ， ， 旋转得到 ， ． 在中，． 设，则， ， ， 在中，， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $