重难点 一次函数9类几何综合压轴题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

重难点 一次函数9类几何综合压轴题型 目录 题型一、一次函数与线段长、线段关系 1 题型二、一次函数与线段最值 12 题型三、一次函数与动点最值 19 题型四、一次函数与角度关系 25 题型五、一次函数与面积问题 35 题型六、一次函数与等腰三角形 44 题型七、一次函数与全等三角形、直角三角形 55 题型八、一次函数与45度角 77 题型九、一次函数与四边形 94 【核心笔记整理】 1.一次函数与面积问题3种解题方法归纳 割补法 当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用割补法将所求图形的面积转化为两个规则图形的面积的和或差. 铅垂法 当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接运用三角形面积公式，水平底×铅垂高 或 铅垂底×水平高 三边均不满足时，作铅垂高分拆为两个三角形计算 平行转化法 同底等高三角形面积相等，过顶点作平行线转化面积 题型一、一次函数与线段长、线段关系 1．如图， 直线 ：，直线： ， (1)点C的坐标是 ； 当 时， (2)点 D 在直线上， 若 ，求点 D的坐标； (3)作直线轴， 并分别交直线，于点E， F， 若的长度不超过3，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3) 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两条直线的交点坐标，坐标与图形性质，线段中点坐标公式，利用了数形结合的思想，弄清题意是解本题的关键． （1）联立两直线解析式求出与的值，即为坐标，根据坐标，利用函数图象找出时的范围即可； （2）由，结合中点坐标公式求解即可； （3）设，则，可得，则，再利用绝对值的含义与不等式组的解法可得答案； 【详解】（1）解：联立两个方程可得：， 解得：， ∴； 当时，， ∴, ∴当时；； （2）解：如图，点 D 在直线上，   ， ∴为的中点，或， 当为的中点，， ∴， 当，即为的中点， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解：如图， ∵直线轴， 并分别交直线，于点E， F， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：； 2．综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． (1)特征探究；求直线的表达式； (2)坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； (3)规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 【答案】(1) (2) (3)线段的长度不变，且，理由见解析 【分析】本题考查求一次函数表达式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，理解题意，正确求得函数表达式，以及利用全等三角形的性质探究线段关系是解答的关键． （1）先直线的表达式求得点A坐标，再利用待定系数法求解直线的表达式即可； （2）先求得点D坐标，进而求得直线的表达式，再和直线的表达式联立方程组求解即可； （3）如图1，先推导出，则，再证明得到，在图2中，过Q作轴于H，证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， ∴当时，，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵点D为的中点，， ∴， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴点E坐标为； （3）解：线段的长度不变，且． 理由：如图1，∵直线与x轴交于点B， ∴当时，由得，则， ∴，则， 又，， ∴， ∴，即， 在图2中，过Q作轴于H， 则，又，， ∴， ∴，， ∴； 在和中， ， ∴ ∴ ∴． 3．如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，、交于轴上一点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求证：； (3)规律探究：将向左平移个单位长度得到图2，与轴交于点，在的延长线上取一点，使，连接交轴于点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况． 【答案】(1) (2)见解析 (3)在向左平移的过程中，线段的长度不变 【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式． （2）先求出点和点的坐标，得出，根据线段垂直平分线的性质定理即可证明； （3）过点作轴，证明，算出，再证明，即可得出，即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）证明：令，有， 解得：， 则点坐标为； 令，有，解得：， 故点的坐标为； ∴， 又∵， ∴． （3）解：的长度不变，理由如下： 过点作轴， ∴， 由（2）可知， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∴在向左平移的过程中，线段的长度不变． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是作辅助线并证明三角形全等． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点． (1)点C的坐标是________； (2)D是线段上的一动点，以为边向右作正方形． ①若D是线段的中点，求点F的坐标； ②连接，若，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据直线：交轴于点，交轴于点，可确定，，再根据点是点关于直线的对称点，易得出四边形是正方形，确定正方形的边长即可得到答案； （2）①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，由点是的中点，先得出，然后证明，再求出和即可； ②连接，，证明，推出，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接、、， ∵直线：交轴于点，交轴于点， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点是点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 由（1）可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ∵轴，，轴， ∴， ∵， ∴， 在和和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图，连接，， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由①可知，在中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴，， 由①得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 题型二、一次函数与线段最值 5．已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 【答案】(1)此一次函数的解析式为； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称—最短路线问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （）把，代入，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式； （）根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据即可求解； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：由一次函数得，令，得到， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴点的坐标为． 6．已知一次函数的图象过和两点，且与x轴交于A点，点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点M在x轴上，若使的值最小，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键是掌握待定系数法求解函数解析式，割补法求解面积以及将军饮马模型求线段最值． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据求解； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点，则，再由两点间距离公式求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过和两点， ∴， 解得 ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1 ∴；， 解得 ∴，， 如图： ∴ （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点， ∴ ∴． 7．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，． (1)直接写出直线的解析式； (2)如图1，点在轴正半轴上，，求点的坐标； (3)如图2，点在上，过作交于点，将点向下平移长度到点，连接，当点从点运动至点过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求出的坐标，进而得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）在轴上取点，使，连接，作交的延长线于，作轴于，如图所示，由已知条件，利用三角形全等的判定与性质得到，再由待定系数法确定函数关系式求出直线，最后由一次函数图象与性质求解即可得到答案； （3）设，，根据题意，分两种情况讨论，由，得到点坐标，从而消去，得到点的运动轨迹，从而由动点最值问题-点线模型，结合等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，，即；当时，，即； 点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为，将、代入得，解得， 直线的解析式为； （2）解：在轴上取点，使，连接，作交的延长线于，作轴于，如图所示： 由（1）知、、， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， 在等腰中，，则，即是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， 设，将、代入得，解得， 直线，则直线与轴的交点的坐标为； （3）解：设，， 当时，， ， ，则令，消去得，即在线段长运动， 当时，在处；当时，在处；如图所示： 利用点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时，有最小值， 、， ，， ，即， 当时，， ， ，则令，消去得，即在线段长运动， 当时，在处；当时，在处；则线段交轴于点，如图所示： 利用点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时，有最小值， ， ，， ，即， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合，综合性强、难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题-点线模型、两点之间距离公式、等面积法求线段长等知识，熟记一次函数图象与性质、数形结合是解决问题的关键． 题型三、一次函数与动点最值 8．如图，函数的图象交x轴于点 A ，交y轴于点 B ，若点P 为线段上一动点，过P分别作轴于点 E ，轴于点 F ，则线段的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，矩形的性质，等腰三角形三线合一，垂线段最短，解题的关键是利用矩形的性质，用代替的长，以便求出最小值． 【详解】解：当时，，当y=0时，，解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 连接，， ∵轴，轴，， ∴是矩形， ∴， 当时，值最小，即值最小， 这时， 故选B． 9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C为直线l上一点，且纵坐标为3，点D为的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图象和性质，轴对称的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．作点关于原点的对称点，连接、，由轴对称的性质得出，即当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点，根据一次函数解析式求出点的坐标，进而得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】解：如图，作点关于原点的对称点，连接、， ， ， 当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点， 直线与y轴交于点B， 当时，， ， 点D为的中点， ， ， 点C为直线l上一点，且纵坐标为3， ，解得：， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，，解得：， 点P的坐标是， 故选：C    10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形，点是上一个动点，过点作于点，点在的延长线上，且，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、勾股定理，三角形面积的求法和三点共线及最值，掌握相关知识是解题的关键． 根据直线先确定和的长，证明四边形是矩形，得 再证明四边形是平行四边形，则在 中，是定值，所以只要的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直线分别交x轴，y轴于A，B两点， 当时，，当时，，则，， ∵C是的中点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 要使的值最小，只需C、H、Q三点共线即可， ∵点在的延长线上，且， 又∵点， 根据勾股定理可得 此时，， 即的最小值为 故答案为：． 11．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． (1)求点A，B的坐标； (2)设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)28 【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标； （2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解； （3）分①当时，②当时两种进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴当时，得：， 解得：， 当时，得：， ∴，； （2）解：设的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴的解析式为， ∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，， ∴，， ∴， ∵为定值，即为定值， ∴， 解得：； （3）①当时， （定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即， ∴长方形周长的最大值：， ②当时， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∴， ∴长方形的周长为：， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，长方形周长的最大值为：， 综上所述，长方形周长的最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 题型四、一次函数与角度关系 12．如图，直线：与轴，轴分别交于点，，与直线：交于点． (1)求的长及点的坐标； (2)点在直线上，且位于下方，的面积为． ①求点的坐标； ②求证：． 【答案】(1)； (2)①，②见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，勾股定理： （1）分别令，即可得出A，B的坐标，联立直线解析式，即可得出C的坐标； （2）①过点作轴，交于点，设，则，根据的面积为，可得，再将代入，即可求解；②过点作，根据的面积为，可得，从而得到，再由，可得，即可求证． 【详解】（1）解：在中， 当时，， ． 当时，，解得， ． ，． ． 联立，解得， ． （2）解：过点作轴，交于点，设，则， ， 解得， 将代入得：， ． ②过点作， ，， ， ， ， ， ， ， 直线：交轴于点，交轴于点， ，又， ， ， 即． 13．在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、C，直线交x轴于点B，交y轴于点C，，，的面积为6． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，D为线段一点， 过点D作轴交直线于点H，点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下， 连接交y轴于点F， E为延长线上一点，连接，，若，，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数综合，涉及待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形和矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用几何求出、坐标，用待定系数法即可； （2）表示出和即可解决； （3）过点作轴于，轴于，作的角平分线交轴于点，过点作交于点，交于点，本题的关键是利用，，转化为，再结合的角平分线利用几何方法求解． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴ 解得：（负值舍）， ∴，， 设直线的解析式为， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点D的横坐标为t，轴， ∴点，点， ∴； （3）解：过点作轴于，轴于，作的角平分线交轴于点，过点作交于点，交于点， ∴，四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 可得直线解析式为：， ∴， ∵轴，轴，点D的横坐标为t，直线的解析式为， ∴，， ∴， ∴， 由，， 可得直线解析式为：， ∵，代入， 得， ∴， 化简得：（）， 得：， 得：， ∴． 14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线（为常数，且）交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点是线段上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，点是轴的负半轴上一点，连接，，且，在线段的延长线上取一点，使得，过点作轴，点在第一象限内，连接，且．过点作，点在点的右侧，连接，，延长交于点，且，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过作于，，则，根据即可求解； （3）先求出点的坐标，得到，推出，证明，得到，，过作于，延长交轴于点，过作于，则四边形和四边形均为矩形，推出，证明，得到，则，得到四边形是正方形，推出，设，，得到，得到，，延长至点，使，则，得到，进而得到，证明，得到，即，求出，进而可求出，，得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：， ； （2）， ， 过作于， 设， ， ； （3）设， 在中，令，则， ， ， ，， ， ，，， ， ，， ， ； 过作于，延长交轴于点，过作于， 则四边形和四边形均为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 则四边形是正方形， ， ， 可设，， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 延长至点，使，则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 题型五、一次函数与面积问题 15．在平面直角坐标系中，直线 （是不等于0的常数）与x轴交于点A，与y轴交于点，若直线与关于y轴对称，与x轴的交点为点，则的面积是（　　） A．18 B．27 C．54 D．81 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的坐标特点，以及对称的性质，利用与y轴交于点，算出的值，得到直线解析式，算出与x轴的交点A，再根据直线与关于y轴对称，与x轴的交点为点，得到点的坐标，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：与y轴交于点， ，解得， 当时，直线， 当时，， ， 直线与关于y轴对称，与x轴的交点为点， ， 的面积是， 当时，直线， 当时，， ， 直线与关于y轴对称，与x轴的交点为点， ， 的面积是． 16．如图，矩形被直线分成面积相等的两部分，，若线段的长是正整数，则矩形面积的最小值是（　　）    A． B．81 C． D．121 【答案】A 【分析】连接，两线相交于F，设，由题意可得点E、F的坐标；由直线平分矩形的面积，则它必过点F，设直线的解析式为，由点E、F在直线上，可得m与a的关系式，根据关系式可求得a的值，从而求得矩形面积的最小值，确定答案． 【详解】解：连接，两线相交于F，如图， 设， ∵， ∴， ∴， 点E、F的坐标分别为； ∵直线平分矩形的面积， ∴它必过点F， 设直线的解析式为， ∵点E、F在直线上， ∴， 两式相比消去k，得：， ∵线段的长是正整数， ∴当时，最小， 即， ∴矩形的面积为：， 故选：A．    【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，由矩形性质得到直线过F时平分矩形面积是关键． 17．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为______． 【答案】或 【分析】由得，解得，可得，，可得四边形得面积为7；分两种情况：P在上方时，过点P作交x轴于点M，连接，可得，即，可得，直线为：，解得，当P在下方时，过点作交x轴于点，同理可得． 【详解】解：在中，令，则， ， 在中，令，则，当，则， ， ∴， 解，得， ， ，， ； P在上方时，过点P作交x轴于点M，连接，如图：   ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线为：， 将代入得：， ， 直线为：， 解，得， ， 当P在下方时，过点作交x轴于点，如图：   ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线为：， 将代入得：， ， 直线为：， 解，得， ， 综上所述，P得坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及四边形、三角形面积，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是通过作平行，转化三角形的面积． 18．如图，已知直线经过点和点．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1) (2)； (3)9 【分析】（1）利用待定系数法把点，代入可得关于、得方程组，再解方程组即可求得直线的解析式； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可求得的坐标，根据直线与轴交于点，当时，，即可得出点D的坐标； （3）设直线交轴于点E，过点C作于F，求得直线、直线与轴的交点E坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把点，分别代入得， 解得，， 直线解析式为； （2）解：由解得，故， 点坐标； 直线与轴交于点， ， 当时，， ， （3）解：设直线交轴于点E，过点C作于F，如图，    令,则 ∴， ∵点，，． ∴，，， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，关键是正确求出直线的解析式． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线交于，且．    (1)求点A的坐标； (2)求函数的解析式； (3)点D为直线上一动点，其横坐标为t（），轴于点F，交于点E，且，求点D的坐标； (4)在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为，．若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【分析】（1）作于．利用等腰三角形的性质得到，即可求出结果； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可； （3）根据点D的横坐标，表示出，，，再根据，列出绝对值方程，解之即可； （4）首先求出过点P的直线为，设直线与y轴交于点Q，与直线交于点R，分别表示出点Q和点R的坐标，表示出，，再根据已知得出四边形的面积为四边形的或，表示出四边形的面积，列出方程，再求解，结合图形即可得出m的范围． 【详解】（1）解：如图，过点P作于． ，， ， ， 点，    （2）把代入中得， ，则， 把，代入得， ， 解得， ∴； （3）∵点D的横坐标为t，分别代入中， 得，， ∴，，， ∵， ∴， 当时，解得， ， 当时，解得， ． （4）由（3）可得：，，， 在中，令，则， ∴， ∵直线过点， ∴，即， ∴， 如图，设直线与y轴交于点Q，与直线交于点R， 令，则， ∴； 令，则， ∴， ∴，， ∵过点P的直线将四边形分为两部分，且， ∴四边形的面积为四边形的或， ∵，， ∴或， 解得：或， ∴m的范围是．    【点睛】本题考查一次函数综合题，考查了等腰三角形的性质，待定系数法，与坐标轴的交点问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 题型六、一次函数与等腰三角形 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点 (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用函数图象交点求不等式解集，等腰三角形的性质，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键． （1）把点代入正比例函数即可得到的值，把点和点的坐标代入求得，的值即可； （2）根据图象解答即可写出关于的不等式的解集； （3）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数，得 ，解得：， ∴， 把，代入一次函数，得 ，解得：， ∴一次函数表达式为：． （2）解：由图象可得不等式的解集为：． （3）解：对于一次函数， 当时，， ∴ ∵ ∴， 分两种情况：①当时，如图， ∴ ∴， ∴或； ②当时，如图，过点C作轴于D， ∵，轴于D， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上，P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值与一次函数解析式； (2)在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，，， 【分析】（1）根据正比例函数过，可得，设一次函数解析式为（k≠0）．把，代入，即可求解； （2）先求出AB=5，然后分两种情况：或，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数过， ， ， ∴点， 设一次函数解析式为（k≠0）． 将，代入，得 ， ， ∴一次函数解析式为． （2）（2），， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若， 设，则， 解得：或-1， ，； ②若，则， ， 综上，，，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和图象，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图象，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交于点． (1)求m的值与一次函数解析式； (2)如图，一动直线分别与两直线交于P，Q两点，若，求t的值； (3)在y轴上是否存在点M，使得是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，且点或或 【分析】本题考查了一次函数交点的应用，待定系数法求一次函数的解析式，分类计算线段的长度；分类判定等腰三角形． (1)根据正比例函数过点，确定点，设一次函数的解析式为，构建方程组解答即可． (2)根据正比例函数，一次函数，设，，根据，得到，求解即可． (3)根据一次函数，确定，计算，分别以B为圆心，A为圆心，5为半径画弧，与y轴的交点就是所求的点M，利用等腰三角形的性质，确定坐标即可． 【详解】（1）∵正比例函数过点， ∴， 解得， 故点， 设一次函数的解析式为， ∴， 解得， 故一次函数的解析式为． （2）∵正比例函数，一次函数，直线分别与两直线交于P，Q两点， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或． （3）存在，且点或或．利用如下： ∵一次函数与y轴交于点B，， ∴， ∴， 故以B为圆心，5为半径画弧，与y轴的交于点， ∴ 解得， 故点，； 以A为圆心，5为半径画弧，交y轴于点，根据等腰三角形三线合一性质，得到， 故， 综上所述，存在这样的点M，且点或或． 23．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接． (1)求与的值； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或或或或或 【分析】（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式进行求解t，然后再代入正比例函数解析式进行求解k即可； （2）由点的坐标可得出点、的坐标，进而可得出的长度，由的长度结合三角形的面积公式即可求出的面积； （3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，当点在轴上时，设点的坐标为，分及两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于、的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入一次函数得：， 解得：， ∴， 把代入正比例函数得：， ∴； （2）解：轴，， 把代入中， 解得：， ， 把代入中， 解得：， ， ． 又， ， ； （3）解：假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，当点在轴上时，设点的坐标为． ， ， 是以为腰的等腰三角形， 分及两种情况考虑． ①当时，有或， 解得：，， 点的坐标为或或或； ②当时，有或， 解得：，（舍去）或，（舍去）， 点的坐标为或． 综上所述：在坐标轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出两函数的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标；（3）分及两种情况求出点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边，在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点 （），连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证： (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出的度数； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)， 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，，则，然后可根据“”可判定，从而得出结论； (2)由△是等边三角形知，再由知，根据可得结论； （3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，求得，据此得到，即可得出点C的位置，再利用的解析式求出点D的坐标，即可求出结论． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）点C的运动过程中，的度数不会发生变化， 理由如下： 是等边三角形， ， ， ， ， 点C的运动过程中，的度数不会发生变化，； （3）， ， 又， ，， 以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰， ∵点A的坐标为(2,0)， ， 在中，， ， ，， ， 当点C的坐标为，时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形 ， ， ， ， 点D的横坐标为5， 设的直线解析式为，过，， ，解得， 则的直线解析式为， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合问题，一次函数的应用，坐标与图形，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标． 题型七、一次函数与全等三角形、直角三角形 25．已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，， 【分析】（1）在中，令，则，求得，设直线对应的函数关系式为，解方程组即可得到结论； （2）过点C作轴于点D．构造全等三角形解决问题即可； （3）根据勾股定理得到，①当时，如图1，由全等三角形的性质得到，于是得到，，②当时，如图2，根据全等三角形的性质得到，于是得到，，③当时，这种情况不存在． 【详解】（1）解：在中， 令，则， ， ， 设直线对应的函数关系式为， ∴， ， ∴直线对应的函数关系式为； （2）证明：过点C作轴于点D． ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中， 令，则， ，， 由勾股定理得， ①当时，如图1， ， ， ，， ②当时，如图2， ， ， ，． ③当时，这种情况不存在， 综上所述：点Q的坐标为：． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 26．【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 27．如图1，直线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A，B，且，P为直线上一动点，点． (1)直接写出点A的坐标及的面积； (2)连接，并以为边作等边，连接． ①随着点P的位置变化，点C，Q可以在直线的异侧（如图2），也可以在直线的同侧（如图3），请你选择图2或图3，求的度数； ②当为直角三角形时，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)点A的坐标为；的面积为 (2)①选择图2或图3，都等于；②或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，等边三角形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）由直线的解析式，得出，利用勾股定理求出，进而可得点A的坐标及的面积； （2）①选择图2，在上截取，证明，推出，进而可求的度数； 选择图3，在上截取，证明，推出，进而可求的度数； ②由①知，当为直角三角形时，分或， 利用勾股定理和三角形全等的判定和性质求出的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：当时，， ，， ， ， ， 由勾股定理得，， 即，解得， ， ． （2）解：选择图2，如图2，在上截取， 又， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， 又， ， ， ； 选择图3，如图3，在上截取， 又， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， 又， ， ， ； ②由①知，当为直角三角形时，或， 当时，如图4，过点Q作轴于N， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， 又， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入，可得， 解得， 直线的解析式为； 当时，如图5，过点P作轴于M， 同上述的解答思路，同理可求，，直线的解析式为； 综上可知，当为直角三角形时，直线的表达式为或． 28．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最小值时点的坐标 (3)存在；或或 【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可； （2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可； （3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，， ∴A与B关于原点对称， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为 ∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2， 即，， 把代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 则点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴取得最小值时点P的坐标为． （3）解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴， ∴， ∵边交轴于点， ∴, ∵是的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知：点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 29．【全等模型】 如图1，已知在中，，，，，垂足分别为点，．易证：． （1）如图1，若，则_____； 【迁移应用】 （2）已知：如图2，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，当的取值变化，点随之在轴正半轴上运动时，在轴右侧过点作，并且，连接，的面积_____（填“会”或“不会”）发生变化？若不变，请直接写出其面积的值；若变，请说明理由； （3）如图3，，，点的坐标为，连接交轴，轴于点，将所在直线绕点旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 （4）如图4，四边形为长方形，其中点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）9；（2）不会，8；（3）直线的函数表达式为或；（4）点的坐标为或 【分析】（1）由，得到，，先据此求解即可； （2）先求得点的坐标为，作轴于点，由【全等模型】知，求得，由的面积即可求解； （3）过点和分别作轴的垂线，垂足分别为点和，利用全等三角形的判定和性质求得点的坐标为，求得直线的解析式，再求得点的坐标为，要两种情况讨论，当将所在直线绕点顺时针或逆时针旋转得到直线时，利用全等三角形的判定和性质求解即可； （4）分点在长方形内部和外部两种情况，通过作辅助线构造全等三角形，利用对应边相等列方程求解点坐标．据此可判定，即可得出结论； 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：9； （2）令，则， ∴点的坐标为， ∴， 作轴于点， ∵，， 由【全等模型】知， ∴， ∴的面积， ∴的面积不会发生变化，其面积的值为8； （3）过点和分别作轴的垂线，垂足分别为点和， ∵，，点的坐标为， 同理， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 当将所在直线绕点顺时针旋转得到直线时， 过点作，使，连接，则，所在直线即为直线，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作直线的垂线，垂足为点， 同理，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数表达式为， 当将所在直线绕点逆时针旋转得到直线时， 过点作，使，连接，则，所在直线即为直线，过点作轴的平行线，过点和分别作的垂线，垂足分别为点和， 同理，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数表达式为， 综上，直线的函数表达式为或； （4）当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况， 第一种情况：当点在长方形的内部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ， 由()可得，，则， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，，符合题意； 第二种情况：当点在长方形的外部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设， ∴，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ∴， ∴， 此时，，， ，符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要涉及一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形全等的知识．本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 题型八、一次函数与45度角 30．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，点B的坐标为或 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 31．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或为对角线时，同理可解； （3）证明，则且，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，当时，； ∴， ∵，则，即点， 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 则直线l2的表达式为：； （2）解：设点、点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或； （3）解：设点、点， 设直线交x轴于点， 过点T作交于点M，则为等腰直角三角形，则， 过点T作轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N， ∵， ∴， ∴， 则且， 则，且， 解得：，则点， 将点P的坐标代入得：， 解得：． 32．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 33．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线交于点； (1)求点的坐标和的值； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由． (3)如图3，点是轴上一动点，连接，将沿翻折，当点对应点刚好落在轴上时，请直接写出所在直线解析式． 【答案】(1)点的坐标为，的值是2 (2)或 (3)或 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得； （3）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ， 把代入得：， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 设直线解析式为 代入，可得，解得：， 直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： 同理可得， 设直线解析式为 代入，得：，解得： 直线解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或； （3）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图： 由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ，解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图： ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 34．（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1）等腰直角；（2）；（3）或 【分析】（1）证明（），由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作轴于点，证明，从而得到、，则可得到点的坐标； （3）当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，由一次函数解析式求出，，证明，求出点坐标，求出直线的解析式，则可得出答案．当点D在点B的左侧时，画出图形，用同样的方法求出结果即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角； （2）过点作轴于点，如图，    则：． ∴， ∴−−−． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图，当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点， 把代入中，得， ∴点的坐标为， ∴， 把代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 当点D在点B的左侧时，过点B作，交于点E，过点E作轴于点F， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴点的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型九、一次函数与四边形 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，且与正比例函数的图象交点为若为线段上的动点，过点作轴交于点设点的横坐标为，线段的长为． 问题提出 (1)与的函数关系式为______； (2)若为等腰三角形，请求出点的坐标； 问题探究 (3)平面内是否存在一点，使以，A，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) (2) (3)的坐标为或或． 【分析】（1）由，，可得； （2）求出，根据为线段上的动点，为等腰三角形，可得，即可求得； （3）设，分三种情况：当，为对角线，则，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线，则，的中点重合，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：轴，点的横坐标为， ，， ， （2）解：在中，令得， ， ，， ，， 为线段上的动点，为等腰三角形， ， 解得：或此时不在线段上，舍去， ； （3）解：存在一点，使以，A，，为顶点的四边形是平行四边形，设， 又，，， 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； 当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ； 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 36．如图，一次函数的图像交x轴于点A，，与正比例函数的图像交于点B，B点的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标； (3)平面直角坐标系内是否存在点P，使以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，平行四边形的性质： （1）先求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，根据，列出方程进行求解即可； （3）分分别为对角线，利用中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，当时，， ∴； ∴，解得：， ∴； （2）∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）存在； ∵，，， 当以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况： ①为对角线时，则的中点坐标为：， ∴的中点坐标为：， ∴； ②当为对角线时，则的中点坐标为：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，则的中点坐标为：， ∴点的坐标为； 综上：点P的坐标是或或． 37．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标． （2）点在轴上从点向点以每秒1个单位长的速度运动（），过点分别作，，交、于点、，连接，点为的中点． ①判断四边形的形状并证明； ②求出为何值时线段的长最短． （3）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）①矩形，理由见解析；②3；（3），或，或或 【分析】（1）根据有一个角为30°的直角三角形的性质，求出OB，再利用待定系数法即可求解； （2）由有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断出四边形DEBF是矩形，再利用点到直线的距离中垂线短最短即可； （3）设出点P（0，m）的坐标，先利用平行四边形的性质作出图形，求出点Q的坐标，再利用菱形的四边相等求出m即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 在直线上， ， 直线的解析式为， 点在轴上， ． （2）解：如图1， ①四边形为矩形， ，， 四边形为平行四边形， ∵，， ∴OB=，OC=3， ∴BC===2OB， ∴∠OBC=60°， ∴∠ABC=∠OBC+∠ABO=90°， 平行四边形为矩形． ②为中点， 为矩形的对角线的交点， 要使最短，也就是最短， 只有时，最短， ， ； （3）如图2，在坐标平面内是存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 设且，， 直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， ①以为对角线时，有， ， 四边形为菱形， ，即：， ， ， ，， ②以为边时， Ⅰ、为对角线时， 点，， ， 点是轴上的点， 或 解析式为， 解析式为或， 四边形为菱形， 点过点且轴的直线上， 或； Ⅱ、以为边时， ， 点， 存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，，或，或或． 【点睛】本题是一次函数中简单的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，平面内两点之间距离公式，利用方程组求直线的交点坐标，解本题的关键是利用两直线平行，比例系数相等，设出直线解析式如直线的解析式为，直线的解析式为，作，则直线的解析式为；作，则直线的解析式为；作，则直线的解析式为． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)存在，或 (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、菱形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的面积，进而求得，设，然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标； （3）分是菱形的一条边、是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线的解析式为 （2）解：∵直线的解析式为， ∴,, ∵点， ∴，即， 设， ∴，解得：或1， ∴或 （3）解：存在， ∵直线的解析式为， ∴,， ∴； ①当是菱形的一条边时， 当点与点B关于x轴对称时，则点是点A关于y轴的对称点，四边形是菱形； 当点Q在x轴上方，菱形为时，则，即点； 同理：当菱形为时，点； ②当是菱形的对角线时， 设点，点， ∴的中点即为的中点，且（即：）， ∴，，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为，，， 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点D、C，直线AB与轴交于点，与直线CD交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）点E是射线CD上一动点，过点E作轴，交直线AB于点F，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标； （3）设P是射线CD上一动点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的个数及其中一个点Q的坐标；否则说明理由． 【答案】（1）；（2）点E的坐标为或；（3）符合条件的点Q共3个，坐标为（3，1），（-6，4）或 【分析】（1）先确定出A的坐标，再利用待定系数法即可得出结论； （2）先表示出EF=|a+4-（-2a-2）|=|3a+6|，进而建立方程|3a+6|=4，求解即可得出结论； （3）分三种情况，利用菱形的性质和中点坐标公式即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点在上． ∴，解得， 即点A的坐标为（-2，2）， 设直线AB的解析式为， ∴． 解得， ∴直线AB的解析式为． （2）由题意，设点E的坐标为，则 ∵轴，点F在直线上， ∴点F的坐标为， ∴， ∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，∴． ∵直线与轴交于点， ∴点的坐标为（0，4）， ∴，即， 解得：或， ∴点E的坐标为或． （3） 如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称， ∵B（0，-2），C（0，4）， ∴点P的纵坐标为1， 将y=1代入y=x+4中，得x+4=1， ∴x=-3， ∴（-3，1）， ∴（3，1） 当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n）， ∴BQ的中点坐标为， 代入直线y=x+4中，得  ①， ∵CQ=CB， ∴②， 联立①②得， （舍）或， ∴（-6，4）， 当PB是对角线时，PC=BA=6， 设P（c，c+4）， ∴， ∴（舍）或， ∴P， 设Q（d，e） ∴， ∴， ∴Q， 符合条件的点Q共3个，坐标为（3，1），（-6，4）或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，菱形的性质，中点坐标公式，建立方程求解是解本题的关键． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，且与x轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点E为射线上一点，过点E作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求m的值； ②在y轴上取点M，在直线上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①；②或450 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等： （1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A的坐标，再求出的长，最后根据三角形面积计算公式求解即可； （3）①分别表示出，的坐标，再根据建立方程，可求得的值．②由，两点在直线上，且点为定点作为突破口，以为对角线分两类讨论，再结合正方形的性质，可解决问题． 【详解】（1）解；在中，当时，，则， 把，代入中得：， 解得． 直线的表达式：； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：①点为射线上一点， ， ∵轴交于点， ∴． ， ， ， 又， ， 解得：； ②由①知：． 当为正方形的对角线，点在点的右上方时，如图， 分别过点，作轴垂线，垂足为，． ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 当为正方形的对角线，点在点的左下方时，如图， 分别过点，作轴垂线，垂足为H，K． 同理可得， ∴，， 方法同上，令，则， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 即． 综上所述：正方形的面积为或450． 41．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】题目主要考查一次函数的图象及面积问题，分类讨论及勾股定理解三角形，理解题意，根据题意分情况分析是解题关键． （1）直接根据一次函数的性质求解即可； （2）根据题意得出，然后设，结合图形得，即可求解； （3）设点，根据勾股定理确定，分两种情况分析：当时，当时，分别利用一次函数的性质及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴当时，；当时，， ∴； （2）∵直线，当时，；当时，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）设点， ， ， 解得：， ∴， 当时，如图所示： ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得：, ， ∴或； 当时，过点A作轴，过点D作，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D纵坐标为：， ∴； 综上可得：或或． 试卷第1页，共3页 1 / 113 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 一次函数9类几何综合压轴题型 目录 题型一、一次函数与线段长、线段关系 1 题型二、一次函数与线段最值 12 题型三、一次函数与动点最值 19 题型四、一次函数与角度关系 25 题型五、一次函数与面积问题 35 题型六、一次函数与等腰三角形 44 题型七、一次函数与全等三角形、直角三角形 55 题型八、一次函数与45度角 77 题型九、一次函数与四边形 94 【核心笔记整理】 1.一次函数与面积问题3种解题方法归纳 割补法 当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用割补法将所求图形的面积转化为两个规则图形的面积的和或差. 铅垂法 当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接运用三角形面积公式，水平底×铅垂高 或 铅垂底×水平高 三边均不满足时，作铅垂高分拆为两个三角形计算 平行转化法 同底等高三角形面积相等，过顶点作平行线转化面积 题型一、一次函数与线段长、线段关系 1．如图， 直线 ：，直线： ， (1)点C的坐标是 ； 当 时， (2)点 D 在直线上， 若 ，求点 D的坐标； (3)作直线轴， 并分别交直线，于点E， F， 若的长度不超过3，求x的取值范围． 2．综合应用 如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，交于y轴上一点A． (1)特征探究；求直线的表达式； (2)坐标探究：过的中点D，作交于点E，求E点坐标； (3)规律探究：将将向左平移m个单位长度得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况? 3．如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，、交于轴上一点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求证：； (3)规律探究：将向左平移个单位长度得到图2，与轴交于点，在的延长线上取一点，使，连接交轴于点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点． (1)点C的坐标是________； (2)D是线段上的一动点，以为边向右作正方形． ①若D是线段的中点，求点F的坐标； ②连接，若，请直接写出点F的坐标． 题型二、一次函数与线段最值 5．已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 6．已知一次函数的图象过和两点，且与x轴交于A点，点和点Q在一次函数图象上，且点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为1． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点M在x轴上，若使的值最小，求的最小值． 7．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，． (1)直接写出直线的解析式； (2)如图1，点在轴正半轴上，，求点的坐标； (3)如图2，点在上，过作交于点，将点向下平移长度到点，连接，当点从点运动至点过程中，求的最小值． 题型三、一次函数与动点最值 8．如图，函数的图象交x轴于点 A ，交y轴于点 B ，若点P 为线段上一动点，过P分别作轴于点 E ，轴于点 F ，则线段的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C为直线l上一点，且纵坐标为3，点D为的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形，点是上一个动点，过点作于点，点在的延长线上，且，则的最小值为__________． 11．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． (1)求点A，B的坐标； (2)设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 题型四、一次函数与角度关系 12．如图，直线：与轴，轴分别交于点，，与直线：交于点． (1)求的长及点的坐标； (2)点在直线上，且位于下方，的面积为． ①求点的坐标； ②求证：． 13．在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、C，直线交x轴于点B，交y轴于点C，，，的面积为6． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，D为线段一点， 过点D作轴交直线于点H，点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下， 连接交y轴于点F， E为延长线上一点，连接，，若，，求点D的坐标． 14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线（为常数，且）交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点是线段上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，点是轴的负半轴上一点，连接，，且，在线段的延长线上取一点，使得，过点作轴，点在第一象限内，连接，且．过点作，点在点的右侧，连接，，延长交于点，且，，求点的坐标． 题型五、一次函数与面积问题 15．在平面直角坐标系中，直线 （是不等于0的常数）与x轴交于点A，与y轴交于点，若直线与关于y轴对称，与x轴的交点为点，则的面积是（　　） A．18 B．27 C．54 D．81 16．如图，矩形被直线分成面积相等的两部分，，若线段的长是正整数，则矩形面积的最小值是（　　）    A． B．81 C． D．121 17．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为______． 18．如图，已知直线经过点和点．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线交于，且．    (1)求点A的坐标； (2)求函数的解析式； (3)点D为直线上一动点，其横坐标为t（），轴于点F，交于点E，且，求点D的坐标； (4)在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为，．若，直接写出m的取值范围． 题型六、一次函数与等腰三角形 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点 (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值与一次函数解析式； (2)在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交于点． (1)求m的值与一次函数解析式； (2)如图，一动直线分别与两直线交于P，Q两点，若，求t的值； (3)在y轴上是否存在点M，使得是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接． (1)求与的值； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边，在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点 （），连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证： (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出的度数； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时的长度． 题型七、一次函数与全等三角形、直角三角形 25．已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 26．【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 27．如图1，直线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A，B，且，P为直线上一动点，点． (1)直接写出点A的坐标及的面积； (2)连接，并以为边作等边，连接． ①随着点P的位置变化，点C，Q可以在直线的异侧（如图2），也可以在直线的同侧（如图3），请你选择图2或图3，求的度数； ②当为直角三角形时，请直接写出直线的表达式． 28．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．【全等模型】 如图1，已知在中，，，，，垂足分别为点，．易证：． （1）如图1，若，则_____； 【迁移应用】 （2）已知：如图2，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，当的取值变化，点随之在轴正半轴上运动时，在轴右侧过点作，并且，连接，的面积_____（填“会”或“不会”）发生变化？若不变，请直接写出其面积的值；若变，请说明理由； （3）如图3，，，点的坐标为，连接交轴，轴于点，将所在直线绕点旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 （4）如图4，四边形为长方形，其中点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 题型八、一次函数与45度角 30．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 32．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 33．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线交于点； (1)求点的坐标和的值； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由． (3)如图3，点是轴上一动点，连接，将沿翻折，当点对应点刚好落在轴上时，请直接写出所在直线解析式． 34．（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 题型九、一次函数与四边形 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，且与正比例函数的图象交点为若为线段上的动点，过点作轴交于点设点的横坐标为，线段的长为． 问题提出 (1)与的函数关系式为______； (2)若为等腰三角形，请求出点的坐标； 问题探究 (3)平面内是否存在一点，使以，A，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    36．如图，一次函数的图像交x轴于点A，，与正比例函数的图像交于点B，B点的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标； (3)平面直角坐标系内是否存在点P，使以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标． （2）点在轴上从点向点以每秒1个单位长的速度运动（），过点分别作，，交、于点、，连接，点为的中点． ①判断四边形的形状并证明； ②求出为何值时线段的长最短． （3）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点D、C，直线AB与轴交于点，与直线CD交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）点E是射线CD上一动点，过点E作轴，交直线AB于点F，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标； （3）设P是射线CD上一动点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的个数及其中一个点Q的坐标；否则说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，且与x轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点E为射线上一点，过点E作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求m的值； ②在y轴上取点M，在直线上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积． 41．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 113 学科网（北京）股份有限公司 $