重难点 一次函数3种数学思想与6类拓展培优题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

重难点 一次函数3种数学思想与6类拓展培优题型 目录 题型一、数形结合思想 1 题型二、分类讨论思想 5 题型三、函数建模思想 14 题型四、含绝对值的一次函数 21 题型五、一次函数与图形规律问题 30 题型六、新定义问题 39 题型七、综合实践问题 49 题型八、点与直线的位置关系 60 题型九、两条直线间的位置关系 66 题型一、数形结合思想 解｜题｜技｜巧 在研究一次函数的图象、性质及应用时，常常需要利用数形结合思想，如:结合一次函数图象判断 的符号，这属于化形为数;由一次函数的解析式判断图象所经过的象限，这属于化数为形.在一次函数的实际应用中，又往往利用到数形结合. 1．某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： (1)该地出租车的起步价是______元； (2)当时，求关于的函数关系式； (3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 2．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 3．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： (1)甲、乙两地之间的距离为______； (2)请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： (3)求慢车和快车的速度； (4)直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 题型二、分类讨论思想 解｜题｜技｜巧 分类讨论思想在本章中主要体现在一次函数的应用、函数图象中判断点的位置以及分段函数中.当实际问题需要具体分析或几何图形中的点、线相对位置不确定时，一般需要分类讨论. 4．已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且，若有点和点，则当的值最小时，点C的坐标为_____． 5．虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．图1是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高度是．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），关于虹吸时间（单位：s）的函数图象如图2所示． (1)图2中，_________； (2)请分别求出与x的函数关系式（不写自变量x的取值范围）； (3)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 6．某医院研究所开发了一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示． (1)服药后______小时，血液中含药量最高，接着逐步衰减； (2)服药后6小时，血液中含药量达到每毫升______微克； (3)当时，y与x之间的函数关系式是______； (4)当时，求y与x之间的函数关系式； (5)如果每毫升血液中的含药量在3微克（含3微克）以上时，治疗效果最好．那么治疗效果最好的时间能持续______小时． 7．甲和乙平时的耐力与速度相差无几，某日体育课上，老师设计了一个赛跑方案，让甲从起跑就全速前进，而让乙留着后劲儿，跑到一半时再用尽全力向前冲，并跟踪记录了赛跑的全过程，赛跑的全过程如图所示．    (1)求甲此次比赛中的平均速度； (2)当时，求乙跑过的路程与时间的函数表达式； (3)直接写出两人相距10米的时间． 8．6月份，福建多地暴雨连连，根据天气预报，6月6日起，厦门将持续下雨7天，厦门某水库A记录了6月6日24小时内的水位变化情况，结果如下： 时刻 0:00 5:00 10:00 15:00 20:00 … 水位g/m 40 40.125 40.25 40.375 40.5 … 在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系．为了保护大坝安全，当水库的水位达到43m时，必须进行泄洪．与此同时，西部某地区由于干旱，需要抽调某水库B中的水作为生活用水，这7天内（含7天）的水位y（单位：m）随时间x（单位：h）变化情况如图所示： (1)在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位g（单位：m）随时间x（单位：h）的变化规律； (2)当水库A需要进行泄洪时，若为了更快速降低水位，多开了几个泄洪闸，使水位平均每小时下降0.275m，则在这7天内（含7天），是否存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同？若有，求出此时水库B的水位；若无，说明理由． (3)假设泄洪的速度一定，当水库A泄洪后的第20小时起，水库A的水位始终不超过水库B的水位，请问：水库A最迟能否在第6天早上6点前降至原水位？ 题型三、函数建模思想 解｜题｜技｜巧 函数思想就是应用运动变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题. 9．在某次救灾过程中，需要向、两个机场分别运送吨和吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有吨，乙仓库存有吨，若从甲、乙两仓库运送物资到机场的费用(元吨)如下表所示： 机场 运费元吨 甲仓库 乙仓库 机场 机场 (1)设从甲仓库运送到机场的物资为吨，求总运费元)与吨)之间的函数关系式，并写出的取值范围 (2)请设计并说明总运费最低时的调配方案，并求出这时的最低费用． 10．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 11．下表给出的两种移动电话的计费方式： 月使用费（元） 主叫限定时间（） 主叫超时费（元/） 被叫 方式一 58 150 免费 方式二 88 350 免费 注：月使用费固定收，主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．    (1)设一个月内移动电话主叫，方式一的费用为，方式二的费用为，则与x之间的函数解析式为：，请直接写出与x之间的函数解析式． (2)在同一个坐标系内画出、的图象，并结合函数图象与解析式，选择最省钱的计费方式． (3)若某用户选择的方式二，在某月平均每分钟的花费为元，求该用户这个月的主叫时间． 12．某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】机场监控问题． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 任务3 计算时长 通过计算说明两机距不超过的时长是多少． 题型四、含绝对值的一次函数 13．在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数的一条性质______． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数的最小值为______； ②关于x的方程的解为______． 14．在平面直角坐标系中，函数的图像与轴交于点，与轴交于点．    (1)如图（1），已知点的坐标为，函数的图像与直线交于，两点，点在点左侧． ①请直接写出的值及点的坐标； ②若与的面积相等，求的值； (2)如图（2），直线分别与函数的图像和直线交于点和点，试比较与的大小，请直接写出你的结论． 15．设，其中，求的最大值和最小值． 16．我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ； ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ． (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点， ①求该一次函数的表达式． ②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积． ③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五、一次函数与图形规律问题 17．如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的横坐标为_______． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是_______；第个正方形的边长是__________． 20．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作y轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是______． 21．如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 22．如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，…，则的长为________． 题型六、新定义问题 23．定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． (1)如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； (2)若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； (3)在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 24．定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足． 若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 25．如图（1），如果两个一次函数的图象关于直线对称，则称这两个一次函数为“守望函数”，由轴对称知识可知这两条直线的交点必定在直线上，我们称这个交点为“守望点”，两条直线与坐标轴的交点为、．同样由轴对称知识可知．      图（1）                        图（2） (1)如图（1）已知函数与为守望函数，求守望点的坐标及的值； (2)如图（1）在条件（1）成立时，如果平面内有一点，使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，请求出满足条件的所有点坐标； (3)如图（2）函数与为守望函数，点为线段上一点（不含端点），连接；一动点从出发，沿线段以1单位/秒的速度运动到点，再沿线段以单位/秒的速度运动到点后停止，点在整个运动过程中所用最短时间为12秒，求这两个守望函数的解析式． 题型七、综合实践问题 26．综合与实践： 【知识背景】学校的项目式学习兴趣小组计划（用同种型号的玻璃瓶）制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高 ． 【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率f随水位高度h的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度h（） 5 10 15 20 25 频率f（Hz） 428 398 368 338 308 通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表（部分），一种音名代表一个水瓶． 音名 频率f（Hz) 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数表达式；（不需写出自变量h取值范围） (2)已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为．若进行演奏音名，请求出演奏时所使用到瓶子中的水量． 27．某校的学习兴趣小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．经查阅资料得知，频率与水位高度成一次函数关系．下表记录了不同水位高度下水瓶乐器的频率： 水位高度 频率 (1)求与之间的函数关系式； (2)当水位高度为时，求此时水瓶乐器的频率． 28．【知识背景】在平面直角坐标系中，已知，则线段的中点坐标为． 【问题提出】 （1）如图①，过点作一条直线将面积平分（不写作法）； 【问题解决】 （2）如图②，四边形是开发区改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块空地里种植两种花卉，打算连接修一条小道（小道宽度不计），以便市民观赏，已知这条小道正好平分空地的面积，建立如图②所示的平面直角坐标系，． ①求直线的函数表达式； ②若点的横坐标为10，求小路的长度． 29．知识链接： 一切浸在液体或气体中的物体，都会受到液体或气体对它向上托举的力，这个力被称为浮力． 实验背景： 为探究浮力与浸水深度的关系，小明搭建了如图1所示的实验装置：下方是盛有水的烧杯，上方用弹簧测力计悬挂着一个圆柱体．实验时，将圆柱体缓慢竖直下降，逐步浸入水中；当圆柱体完全浸没后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 弹簧测力计示数 (1)观察表中数据与图2的图象，猜想与之间的函数类型，写出关于的函数关系式，并选取表中一组数据对关系式进行验证． (2)当圆柱体完全浸入水中后，弹簧测力计示数保持恒定．结合（1）中得到的函数关系式，求该圆柱体的高度，并计算此时圆柱体受到的浮力大小． 30．【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 背景问题 6月份是崂山樱珠大量上市的季节，清纯甘甜的崂山泉水、温暖湿润的海洋气候、疏松的沙质土壤，使崂山樱珠颗粒大、皮薄、果肉厚、味道美，比其他地区的同类产品含有更多对人体有益的维生素C、矿物质、微量元素和膳食纤维，其中比较受欢迎的两个品种是“水晶”和“红灯”． 素材1 某商场用39000元采购“水晶”，用16000元采购“红灯”，且水晶的数量是红灯数量的1.5倍，每千克红灯的进价比每千克水晶的进价少10元． 素材2 端午节期间该商场购入m千克“水晶”和n千克“红灯”（m、n均为整数），刚好进价满40000元． 素材3 端午节期间该商场“水晶”售价为44元/千克，“红灯”售价为30元/千克．且购进的“红灯”的数量不超过“水晶”的． 问题解决： 任务1 确定产品进价 请运用所学知识，求出该商场“水晶”和“红灯”各自的进价． 任务2 探究产品进货 假设均购进的樱桃都能卖出，商场为获得最大利润该如向安排“红灯”和“水晶”的进货数量？ 31．【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 (1)接到温水的体积是 ，接到开水的体积是 ；（用含x的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求x的值； (4)记水杯接满水后水杯中温度为，则y关于x的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 ． 32．项目学习：认识杆秤 知识背景：阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠杆原理夸张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必正，说在得”，“衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加焉，重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤也是中华民族衡重的基本量具之一． 材料1：如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是关于x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6    材料2：    根据以上素材，解决下面问题： (1)表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 题型八、点与直线的位置关系 解｜题｜技｜巧 1. 定点动直线：恒过定点 2. 动点定直线：点在直线上 3. 点到直线距离公式： 4. 两点间距离公式： 33．对于两个一次函数，，我们称一次函数为这两个函数的复合函数． (1)一次函数与的复合函数为______； (2)若一次函数，的复合函数为，则______，_______； (3)已知一次函数与的复合函数的图像经过第一、三、四象限，常数、满足的条件是_______，______； (4)若，一次函数与的复合函数的图像是否经过定点？如果是，求出其坐标；如果不是，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，为边上一动点（不与点O重合），作点D关于y轴的对称点E，连接、交于点F，已知，． (1)连接，若是等腰三角形，则______； (2)当时，求直线的解析式和点F的坐标； (3)在点D运动过程中，试说明点F总在一条定直线上． 35．阅读材料 通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？ 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分为，，由勾股定理得，所以A、B两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离.我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离： 已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式． 计算：例如：求点到直线的距离． 解：因为直线可变形为，其中，． 所以点到直线的距离了为． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知，，求线段AB的长度； (2)点到直线的距离，并说明点P与直线的位置关系； (3)点到直线的距离； (4)已知直线与平行，求这两条直线的距离． 题型九、两条直线间的位置关系 解｜题｜技｜巧 1. 平行：， 2. 垂直： 3. 重合：且 4. 相交：；交于轴同一点： 5. 对称关系：关于/轴、原点、对称的直线特征 36．在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D． 37．已知一次函数的图象与直线平行，与轴，轴的交点分别为，，并且过点，则在线段上（包括端点，）横、纵坐标都是整数的点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 38．我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（    ）    A． B． C． D． 39．定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 40．在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，若关于轴的对称直线为，直线的有一个点，当点到直线的距离小于，则点的横坐标取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k，b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值： ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值． (2)如图，一次函数为常数且的演变函数图象与一次函数的图象相交于两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数（为常数且）的演变函数图象与轴相交于点，求的面积； ③在一次函数（为常数且）的演变函数图象上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 75 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 一次函数3种数学思想与6类拓展培优题型 目录 题型一、数形结合思想 1 题型二、分类讨论思想 5 题型三、函数建模思想 14 题型四、含绝对值的一次函数 21 题型五、一次函数与图形规律问题 30 题型六、新定义问题 39 题型七、综合实践问题 49 题型八、点与直线的位置关系 60 题型九、两条直线间的位置关系 66 题型一、数形结合思想 解｜题｜技｜巧 在研究一次函数的图象、性质及应用时，常常需要利用数形结合思想，如:结合一次函数图象判断 的符号，这属于化形为数;由一次函数的解析式判断图象所经过的象限，这属于化数为形.在一次函数的实际应用中，又往往利用到数形结合. 1．某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： (1)该地出租车的起步价是______元； (2)当时，求关于的函数关系式； (3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分段函数的实际应用，涉及由图象获取信息、待定系数法确定函数表达式、已知函数值求自变量等，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由图象即可得到答案； （2）利用待定系数法列方程组求解即可得到答案； （3）由题意可知，当时，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，该地出租车的起步价是元， 故答案为：； （2）解：当时，设关于的函数关系式为， 将、代入得到， 解得， 当时，求关于的函数关系式为； （3）解：由（1）知起步价为元， ， 由（2）知，当时，求关于的函数关系式为， 当时，，解得， 答：若某乘客一次乘出租车的车费为40元，这位乘客乘车的里程是． 2．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 【答案】(1)15；15；31；45 (2)24 (3)时，乙在甲的前面 【分析】（1）根据图像时，可知：乙比甲晚；由时，可求得提速前速度；根据时间等于路程除以速度可求提速后所用时间，即可得到m值，进而得出n的值； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）先根据（2）得结论得到和的交点横坐标，再根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，可知乙比甲晚； 当时，；当时，； 故乙提速前的速度是； ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为， 故提速后乙行走所用时间为：， ∴， ∵甲的速度是； ∴． （2）解：设段对应的函数关系式为， ∵在上， ∴，解得， ∴y=10x． 设段对应的函数关系式为， ∵在BC上， ∴，解得：， ∴， 由乙追上了甲，得，解得． 答：当x为24秒时，乙追上了甲． （3）解：由（2）可知：当x为24秒时，乙追上了甲，即和的交点横坐标为24， 由函数图像可知：当时乙在甲的前面． 3．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： (1)甲、乙两地之间的距离为______； (2)请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： (3)求慢车和快车的速度； (4)直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)900 (2)点B表示两车相遇，点表示快车到达乙地，点表示慢车到达甲地 (3)慢车速度为，快车速度为 (4)， 【分析】（1）由图象可知，当时，，即甲、乙两地之间的距离． （2）点处表示两车相遇，点处斜率变化表示快车到达终点，点处表示慢车到达终点． （3）利用慢车走完全程求慢车速度，利用两车小时相遇求快车速度． （4）先求出点坐标，再用待定系数法求线段的函数解析式． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， 甲、乙两地之间的距离为． （2）解：点：两车相遇，即两车行驶后相遇， 点：快车到达乙地，即快车行驶后到达乙地， 点：慢车到达甲地，即慢车行驶后到达甲地． （3）解：慢车速度， 设快车速度为， 两车相遇， ， 解得， 慢车速度为，快车速度为． （4）解：快车到达乙地所需时间h， 此时慢车行驶路程， 点坐标为， 设线段的函数解析式为， 将，代入： ， 解得， ，． 题型二、分类讨论思想 解｜题｜技｜巧 分类讨论思想在本章中主要体现在一次函数的应用、函数图象中判断点的位置以及分段函数中.当实际问题需要具体分析或几何图形中的点、线相对位置不确定时，一般需要分类讨论. 4．已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且，若有点和点，则当的值最小时，点C的坐标为_____． 【答案】或 【分析】分当是直线上的两个点时，当是直线上的两个点时，这两种情况讨论，利用轴对称的性质，利用待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标． 【详解】解：分两种情况： 当是直线上的两个点时， 取点关于直线的对称点，将点向右平移2个单位得点，连接交直线交于一点，如图，此时，的值最小， ∵， ∴四边形为平行四边形，则， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， 设直线的解析式为，图象过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当是直线上的两个点时， 取点关于直线的对称点，将点向右平移2个单位得点，连接交直线交于一点，如图，此时，的值最小， ∵， ∴四边形为平行四边形，则， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， 设直线的解析式为，图象过点， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，涉及轴对称的性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分情况讨论是解题的关键． 5．虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．图1是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高度是．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），关于虹吸时间（单位：s）的函数图象如图2所示． (1)图2中，_________； (2)请分别求出与x的函数关系式（不写自变量x的取值范围）； (3)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 【答案】(1)10 (2)， (3)或 【分析】（1）结合图象可知，开始时甲容器液面高，从而得出a的值； （2）利用待定系数法即可求得，； （3）根据题意列出方程，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴． （2）解：设，把及代入， 得， 解得， 与x的函数关系式为． 设，把代入，得， 解得， 与x的函数关系式为． （3）解：当时，即， 解得； 当时，即， 解得， 综上，甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间为或． 6．某医院研究所开发了一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示． (1)服药后______小时，血液中含药量最高，接着逐步衰减； (2)服药后6小时，血液中含药量达到每毫升______微克； (3)当时，y与x之间的函数关系式是______； (4)当时，求y与x之间的函数关系式； (5)如果每毫升血液中的含药量在3微克（含3微克）以上时，治疗效果最好．那么治疗效果最好的时间能持续______小时． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答； （2）根据函数图象中的数据可以解答； （3）当时，设与之间的函数关系式，把代入即可求得相应的函数解析式； （4）当时，与之间的函数关系式是，把，代入即可求得相应的函数解析式； （5）根据题意和（3）和（4）中的函数解析式，可以得到这个有效时间范围． 【详解】（1）解：由函数图象，得 服药后2小时，血液中含药量最高为每毫升6微克． （2）解：服药后6小时，血液中含药量达到每毫升微克 （3）解：当时，设与之间的函数关系式，由题意，得 ， 解得：， ． （4）解：当时，与之间的函数关系式是，由题意，得 ， 解得：， ． （5）解：由题意，得 当时，或， ∴或， 有效时间范围是：小时． 7．甲和乙平时的耐力与速度相差无几，某日体育课上，老师设计了一个赛跑方案，让甲从起跑就全速前进，而让乙留着后劲儿，跑到一半时再用尽全力向前冲，并跟踪记录了赛跑的全过程，赛跑的全过程如图所示．    (1)求甲此次比赛中的平均速度； (2)当时，求乙跑过的路程与时间的函数表达式； (3)直接写出两人相距10米的时间． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据速度路程时间求解即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）结合图象，分情况讨论：在这段时间，两人相距；在这段时间，乙追上甲之前两人相距；在这段时间，乙超过甲；在这段时间，相距，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 答：甲此次比赛中的平均速度是； （2）设当时，乙跑过的路程与时间的函数表达式， 点和在该函数图象上， ， 解得， 当时，乙跑过的路程与时间的函数表达式； （3）由图象可知，当时，乙的平均速度是， 在这段时间，两人相距，此时， 解得； 在这段时间，乙追上甲之前两人相距， ， 解得； 在这段时间，乙超过甲， ， 解得； 在这段时间内， ， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，当或或时，两人相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 8．6月份，福建多地暴雨连连，根据天气预报，6月6日起，厦门将持续下雨7天，厦门某水库A记录了6月6日24小时内的水位变化情况，结果如下： 时刻 0:00 5:00 10:00 15:00 20:00 … 水位g/m 40 40.125 40.25 40.375 40.5 … 在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系．为了保护大坝安全，当水库的水位达到43m时，必须进行泄洪．与此同时，西部某地区由于干旱，需要抽调某水库B中的水作为生活用水，这7天内（含7天）的水位y（单位：m）随时间x（单位：h）变化情况如图所示： (1)在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位g（单位：m）随时间x（单位：h）的变化规律； (2)当水库A需要进行泄洪时，若为了更快速降低水位，多开了几个泄洪闸，使水位平均每小时下降0.275m，则在这7天内（含7天），是否存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同？若有，求出此时水库B的水位；若无，说明理由． (3)假设泄洪的速度一定，当水库A泄洪后的第20小时起，水库A的水位始终不超过水库B的水位，请问：水库A最迟能否在第6天早上6点前降至原水位？ 【答案】(1)g＝x＋40； (2)不存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同，理由见解析； (3)水库A能在第6天早上6点前降至原水位． 【分析】（1）观察表格发现g和x满足一次函数关系，设g＝kx＋b，利用待定系数法即可求解； （2）先求出这7天内（含7天）的B水库水位y（单位：m）随时间x（单位：h）变化的函数解析式，再求出A水库开始泄洪的时间，再根据题意列出方程求解即可； （3）设泄洪速度为每小时下降v米，根据“水库A泄洪后的第20小时起，水库A的水位始终不超过水库B的水位”列出方程求出泄洪速度，再算出第6天早上6点时的水位即可作出判断． 【详解】（1）解：观察表格发现g和x满足一次函数关系， 设g＝kx＋b，把点(0，40)，（5，40.125）代入得 ， 解得， ∴函数解析式为g＝x＋40； （2）解：不存在，理由如下： 观察这7天内（含7天）的B水库水位y（单位：m）随时间x（单位：h）变化情况，得知y和x满足一次函数关系，设y＝mx＋n，代入（0，42），（42,38.85）得， ， 解得， ∴y＝﹣0.075x＋42（0≤x≤168）， 需要泄洪时，即g＝43时， 43＝x＋40； 解得x＝120， ∴120小时后开始泄洪， 当120≤x≤168时， ﹣0.075x＋42－[43－0.275（x－120）]＝42－40， 解得x＝180， ∵180＞168， ∴在这7天内（含7天），不存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同； （3）解：设泄洪速度为每小时下降v米，由题意得， 43－20v＝﹣0.075×（120＋20）＋42， 解得v＝0.575， 即泄洪速度为每小时下降0.575米， ∴第6天早上6点时的水位为：43－（24×5＋6－120）×0.575＝39.55（米）， ∵39.55＜40， ∴水库A能在第6天早上6点前降至原水位． 答：水库A能在第6天早上6点前降至原水位． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，用待定系数法求出一次函数解析式是基础，读懂题意正确列方程是解题的关键． 题型三、函数建模思想 解｜题｜技｜巧 函数思想就是应用运动变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题. 9．在某次救灾过程中，需要向、两个机场分别运送吨和吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有吨，乙仓库存有吨，若从甲、乙两仓库运送物资到机场的费用(元吨)如下表所示： 机场 运费元吨 甲仓库 乙仓库 机场 机场 (1)设从甲仓库运送到机场的物资为吨，求总运费元)与吨)之间的函数关系式，并写出的取值范围 (2)请设计并说明总运费最低时的调配方案，并求出这时的最低费用． 【答案】(1)； (2)总运费最低的方案是从甲仓库运送到A机场90吨，乙仓库运送到A机场10吨，乙仓库运送到B机场70吨，最低总运费是2110元． 【分析】本题主要考查了求一次函数及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据总费用等于运到A机场的费用加运到B机场的费用求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵，且， ∴， ∴总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴当时，y取得最小值，此时，，，， ∴总运费最低的方案是从甲仓库运送到A机场90吨，乙仓库运送到A机场10吨，乙仓库运送到B机场70吨，最低总运费是2110元． 10．综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； 任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可； 任务2：把代入函数关系式求出t，再进一步求解即可； 任务3：设经过的函数解析式为，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解． 【详解】解：任务1： 由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm， 所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设， 把，；，代入，得 ，解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是； 任务2：当水面高度为时，即，， 解得， 分钟小时， ∴当甲容器中的水面高度为时是小时，即； 任务3： 设经过的函数解析式为， 则 当时，， 当时，， 则当时，， 当时，， 综上，当时，w最小，此时函数的解析式是． 11．下表给出的两种移动电话的计费方式： 月使用费（元） 主叫限定时间（） 主叫超时费（元/） 被叫 方式一 58 150 免费 方式二 88 350 免费 注：月使用费固定收，主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．    (1)设一个月内移动电话主叫，方式一的费用为，方式二的费用为，则与x之间的函数解析式为：，请直接写出与x之间的函数解析式． (2)在同一个坐标系内画出、的图象，并结合函数图象与解析式，选择最省钱的计费方式． (3)若某用户选择的方式二，在某月平均每分钟的花费为元，求该用户这个月的主叫时间． 【答案】(1) (2)见解析 (3)430分钟 【分析】（1）根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法即可得出结论； （2）画出图象，根据解析式分段探讨得出答案即可； （3）可得主叫限定时间大于350分，根据总价单价数量，列出算式求得答案即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 当时，； 当时，； 当时，， ∴； （2）如图所示：   时， 方式一的付费为58元，方式二的付费为88元， ， 方式一计费省； 当时，方式一的计费由58元增加到108元，方式二是88元， 当时， 解得：， 时，方式一省钱，时，两种方式一样省钱，时，方式二省钱． 时， ， 方式二省钱． 综上所述， 当时，方式一省钱， 当时，两种方式一样省钱， 当时，方式二省钱； （3）若主叫时间在350分之内， 则分， 故不符合题意； ∴， 解得：， 答：该用户这个月的主叫时间为430分钟． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，理解题意，根据题意分段得出函数解析式是解决问题的关键． 12．某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】机场监控问题． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 任务3 计算时长 通过计算说明两机距不超过的时长是多少． 【答案】任务1：；任务2：预计2号机着陆点的坐标为；任务3： 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 任务1：设段h关于s的函数解析式为正比例函数的一般形式，根据与水平方向的夹角求出k值，从而求出对应函数解析式；根据勾股定理，求出点O与A的距离，1号机与2号机在水平方向的速度相同，由速度＝路程÷时间求出2号机的爬升速度即可； 任务2：先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出段h关于s的函数解析式；当时对应s的值，从而求得2号机着陆点的坐标； 任务3：分别求出2号机在段和段时对应的s的值，根据图象，当s处于这两者之间时不超过，根据时间＝路程÷速度求解即可． 【详解】解：任务1：∵号飞机爬升角度为， ∴上的点的横纵坐标相同． ∴． 设的解析式为：， ∴． ∴． ∴的解析式为：．     ∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方， ∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同． ∵2号机爬升到处时水平方向上移动了，飞行的距离为， 又1号机的飞行速度为， ∴2号机的爬升速度为：．         任务2：设的解析式为， 由题意：点的横坐标为， ∴， 又， ∴，解得：． ∴的解析式为．             令，则． ∴预计2号机着陆点的坐标为．         任务3：∵不超过， ∴． ∴， 解得：．                 ∴两机距离不超过的时长为：． 题型四、含绝对值的一次函数 13．在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数的一条性质______． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数的最小值为______； ②关于x的方程的解为______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大；（4）①；②或 【分析】本题考查了绝对值函数，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）把代入得，，即可得出结果； （2）根据表格画出函数图象即可； （3）根据函数图象即可得出性质； （4）①根据函数图象即可得出结果；②在中，当时，，当时，，联立方程组或，解得或，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：（1）把代入得，， ∴， 故答案为：； （2）如图所示即为所求； （3）由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大， 故答案为：当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （4）①结合图象可知，函数的最小值为； ②在中，当时，，当时，， 联立方程组或， 解得或， 结合函数图象可得，的解为或； 故答案为：或． 14．在平面直角坐标系中，函数的图像与轴交于点，与轴交于点．    (1)如图（1），已知点的坐标为，函数的图像与直线交于，两点，点在点左侧． ①请直接写出的值及点的坐标； ②若与的面积相等，求的值； (2)如图（2），直线分别与函数的图像和直线交于点和点，试比较与的大小，请直接写出你的结论． 【答案】(1)①，；② (2)时，时 【分析】（1）①将点代入解析式求出的值，当时求出点的坐标；②令，根据绝对值的意义分情况写出含有法人、两点坐标，过作轴平行线，交于，表示出即，根据表示出的面积，当时写出，得出，根据面积相等求出的值即可； （2）根据题意写出，即，再根据的大小分情况写出和的值分别进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：①在函数的图像上， ， ， 当时， ， ， ②令， 当，即，即， 当，即，即， 当时，， 当时，， ，，，，，则， 与直线的交点坐标，， 如图，过作轴平行线，交于，    当时，， ， ， ， ， 当时，，即， ， ， 解得：， ， ； （2）时，，时，，理由如下： 当时，， ，即， 当时，， ， 当时，， 即， ①当时，，，即， ， ②当时，，，即， ， ③当时，，，即， ， ④当时，，，即， ， 当时，，，即， ， 综上所述时，时． 【点睛】本题考查了绝对值函数，一次函数，涉及一次函数与坐标轴的交点，一次函数与一次函数的交点，一次函数的几何应用，运用分情况导论的思想是解答本题的关键． 15．设，其中，求的最大值和最小值． 【答案】的最大值为2，最小值为0 【分析】根据绝对值的代数意义，分段讨论，去掉绝对值后，转化为一次函数，利用一次函数图像与性质求最值即可得到答案． 【详解】解：①当时，，则去绝对值得 ， 随增大而增大，即当时，有最小值为；当时，最大值为； ②当时，，则去绝对值得 ， 随增大而减小，即当时，有最小值为； ③当时，，则去绝对值得 ， 无论取何值，恒定为； 综上所述，的最大值为2，最小值为0． 【点睛】本题考查分段函数求最值，涉及去绝对值运算、一次函数图像与性质、分段函数最值等知识，准确分类，得到各段函数，熟练运用一次函数图像与性质求最值是解决问题的关键． 16．我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ； ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ． (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点， ①求该一次函数的表达式． ②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积． ③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②1或 (2)）①；②18；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，绝对值的意义，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）①根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；②根据题目中给出的函数定义分情况用待定系数法进行求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，， ， ②点在这个一次函数的演变函数图象上， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：①3；②1或； （2）解：①将两点代入一次函数， ， 得：， ， 将代入，代入得： 解得： ， ； ②， ， ∵设一次函数与y轴交于点D， ， ， ， ； ③， ∴线段的中点为， 设点， ，， ， 整理得：，即 含点P的直线函数解析式为：， 联立解得：  ， ， 联立解得：  ， ． 题型五、一次函数与图形规律问题 17．如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点与的横坐标相同，与的纵坐标相同，再根据可求出 ，，，，，，，，通过观察这些点的坐标可得出的横坐标为，然后根据可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：与的横坐标相同，与的纵坐标相同， ∵， ∴对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， 同理可得：，，，，，， 观察这些点的坐标可得出：的横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， 故选：． 18．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的横坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类．由题意分别求出的坐标，找出或的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：过点作x轴的垂线交交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去， 与横坐标相同，与纵坐标相同， 当时，， ， ∴当时，， ， 同理得： 的横坐标为：，的横坐标为， ∵， ∴， 的横坐标为：， 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是_______；第个正方形的边长是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案． 【详解】解：由题意，，， ， 则第一个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第二个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第三个正方形的边长为， 即， ，， 以此类推， 可得，， 第2020个正方形的边长为． 故答案为：；． 20．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作y轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据题意求出点，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：∵点，轴， ∴点的横坐标为1， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∴正方形的边长为2， ∴， ∴点、的横坐标均为3， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 同理：， ∴， ∴正方形的边长为18， ∴， ……， 由此发现，， ∴． 故答案为： 21．如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 22．如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，…，则的长为________． 【答案】 【分析】先求出、的长，再根据规律可得的长． 【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴点坐标为，点坐标为，即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又∵以为边作正方形，点坐标为， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵以为边作正方形， ∴轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴正方形的边长为， 按照前面的方法可得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴， 同理：第三个正方形的边长是，，，，，， ……， 依此类推，（，为整数）， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律． 题型六、新定义问题 23．定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”． (1)如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式； (2)若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由； (3)在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数表达式，再写出其“伴随函数”的表达式即可； （2）设直线l交x轴于点H，交于点K，根据中点坐标公式求出点N的坐标，证明后，根据的性质求出一个坐标，再根据轴对称的性质求另一种情况即可； （3）在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接，当A、P、T共线时，的最小值为的长，可得的最小值为的长，利用直角三角形的性质结合勾股定理可求得点P的坐标为，求出直线的解析式为，可得，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴此一次函数的“伴随函数”表达式为； （2）解：存在，理由如下： 设直线l交x轴于点H，交于点K， 令，则， ∴，即， ∵，取线段中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 作点M关于x轴的对称点，如图， 此时，， ∴， ∴； 综上，点M坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接， ∴，即， 当A、P、T共线时，的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵将点向右平移一个单位长度得到点， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∵， ∴， 当即时， ∴，解得， ∴， ∴点Q的坐标为或； 当即时， ∴，解得或（舍）， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 24．定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足． 若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或且 【分析】（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N，Q三点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，把点在一次函数得： 解得：； 当，把点在一次函数得： 解得：； 故答案为：； （2）解：连接， ∵过， ∴，则， ∴， 设，，， ∵，，，， ∴，，， 把代入得：， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ （3）解：∵，满足， ∴，则 ∴当时，，即过定点， ∴一次函数的衍生函数过点和， ∴且点在内， 设衍生函数图象与y轴的交点为G， 点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点， 将代入得：， 解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，∴且时，图象与有两个交点，符合题意． 综上：或且时，图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质，以及正确理解题目所给“衍生函数”的定义是解题的关键． 25．如图（1），如果两个一次函数的图象关于直线对称，则称这两个一次函数为“守望函数”，由轴对称知识可知这两条直线的交点必定在直线上，我们称这个交点为“守望点”，两条直线与坐标轴的交点为、．同样由轴对称知识可知．      图（1）                        图（2） (1)如图（1）已知函数与为守望函数，求守望点的坐标及的值； (2)如图（1）在条件（1）成立时，如果平面内有一点，使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，请求出满足条件的所有点坐标； (3)如图（2）函数与为守望函数，点为线段上一点（不含端点），连接；一动点从出发，沿线段以1单位/秒的速度运动到点，再沿线段以单位/秒的速度运动到点后停止，点在整个运动过程中所用最短时间为12秒，求这两个守望函数的解析式． 【答案】(1)M（3，3）； (2)N（-1，-1）或N（1，5）或N（5，1） (3)；   【分析】（1）设守望函数y1=3x-6与y2=kx+2的守望点M（a，a），代入两个函数解析式，解方程组即得守望点M的坐标是（3，3），k的值为； （2）设N（m，n），函数y1=3x-6与x轴交点B为（2，0），函数y2=x+2与y轴交点A（0，2），M（3，3），分三种情况：①若NB、AM为对角线，则NB、AM中点重合，可得N（1，5）；②若NA、BM为对角线，则NA、BM中点重合，可得N（5，1）；③若NM、BA为对角线，则NM、BA中点重合，可得N（-1，-1）； （3）过M作MH∥x轴，过B作BH∥y轴，两平行线交于H，BH交直线y2于C，设守望函数y1=3x+n与y2=x+m的守望点M（b，b），在中，，进而可得CM=CH，故当C在BH上时，t最小，最小值即为BH，即得BH=12，有m=12，m=8，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）设守望函数y1=3x-6与y2=kx+2的守望点M（a，a）， ∴， 解得， ∴守望点M的坐标是（3，3），k的值为； （2）设N（m，n）， 函数y1=3x-6与x轴交点B为（2，0），函数y2=x+2与y轴交点A（0，2），M（3，3）， ①若NB、AM为对角线，则NB、AM中点重合， ∴， 解得， ∴N（1，5）； ②若NA、BM为对角线，则NA、BM中点重合， ∴， 解得， ∴N（5，1）； ③若NM、BA为对角线，则NM、BA中点重合， ∴， 解得 ∴N（-1，-1）， 综上所述，N的坐标为（1，5）或（5，1）或（-1，-1）； （3）过M作MH∥x轴，过B作BH∥y轴，两平行线交于H，BH交直线y2于C，如图： 设守望函数y1=3x+n与y2=x+m的守望点M（b，b）， ∴， 解得， ∴， 在y2=x+m中，令x=0得y=m， ， ， 在中， ， ∴CM=CH， ∴t=， ∴当C在BH上时，t最小，最小值即为BH， ∵点P在整个运动过程中所用最短时间为12秒， ∴BH=12， ∵， ∴m=12， 解得m=8， ∴n=-3m=-24， ∴这两个守望函数的解析式为：y1=3x-24，y2=x+8． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，平行四边形，“胡不归”问题等，勾股定理，解题的关键是读懂新定义． 题型七、综合实践问题 26．综合与实践： 【知识背景】学校的项目式学习兴趣小组计划（用同种型号的玻璃瓶）制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高 ． 【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率f随水位高度h的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度h（） 5 10 15 20 25 频率f（Hz） 428 398 368 338 308 通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表（部分），一种音名代表一个水瓶． 音名 频率f（Hz) 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数表达式；（不需写出自变量h取值范围） (2)已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为．若进行演奏音名，请求出演奏时所使用到瓶子中的水量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，有，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，频率f与水位高度h的之间为一次函数关系， 因此，设频率f 关于水位高度h的函数表达式为， 将，与，代入得 ， 解得， ∴频率f 关于水位高度h 的函数解析式为：； （2）解：∵演奏对应的振动频率为， ∴当时，有， 解得， 即有演奏所使用到的瓶子的水位高度为， ∵水瓶乐器的水量与水位是均匀变化的：当水位高度为时，所使用的水量为． ∴演奏所使用到的瓶子的水量为：． 27．某校的学习兴趣小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．经查阅资料得知，频率与水位高度成一次函数关系．下表记录了不同水位高度下水瓶乐器的频率： 水位高度 频率 (1)求与之间的函数关系式； (2)当水位高度为时，求此时水瓶乐器的频率． 【答案】(1) (2)当水位高度为时，此时水瓶乐器的频率为 【分析】本题考查一次函数的解析式求解，一次函数的求值应用，将水位高度与频率的实际关系抽象为一次函数模型是解题关键． （1）设一次函数表达式为，代入表格中的两组数据得到二元一次方程组，求解后得到函数关系式； （2）将代入已求出的一次函数关系式，计算得到此时水瓶乐器的频率． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， 故与之间的函数关系式为． 答：． （2）解：已知与之间的函数关系式为， 则当时，， 故此时水瓶乐器的频率为． 答：当水位高度为时，此时水瓶乐器的频率为． 28．【知识背景】在平面直角坐标系中，已知，则线段的中点坐标为． 【问题提出】 （1）如图①，过点作一条直线将面积平分（不写作法）； 【问题解决】 （2）如图②，四边形是开发区改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块空地里种植两种花卉，打算连接修一条小道（小道宽度不计），以便市民观赏，已知这条小道正好平分空地的面积，建立如图②所示的平面直角坐标系，． ①求直线的函数表达式； ②若点的横坐标为10，求小路的长度． 【答案】（1）见解析；（2）①；②小路的长度为． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）①过点B作，过点O作，垂足分别是点，连接，，与交于点，证明四边形是平行四边形，即可求得点坐标，利用待定系数法即可解答； ②把点的横坐标代入解析式，求得点坐标，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）如答图①，找到边的中点，连接即为所求， （2）①如图②，过点B作，过点O作，垂足分别是点，连接，，与交于点， ，平分四边形的面积， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点的坐标为，即． 设直线的函数表达式为， 将点代入， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为； ②将代入， 得， 点的坐标为， ， 小路的长度为． 29．知识链接： 一切浸在液体或气体中的物体，都会受到液体或气体对它向上托举的力，这个力被称为浮力． 实验背景： 为探究浮力与浸水深度的关系，小明搭建了如图1所示的实验装置：下方是盛有水的烧杯，上方用弹簧测力计悬挂着一个圆柱体．实验时，将圆柱体缓慢竖直下降，逐步浸入水中；当圆柱体完全浸没后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 弹簧测力计示数 (1)观察表中数据与图2的图象，猜想与之间的函数类型，写出关于的函数关系式，并选取表中一组数据对关系式进行验证． (2)当圆柱体完全浸入水中后，弹簧测力计示数保持恒定．结合（1）中得到的函数关系式，求该圆柱体的高度，并计算此时圆柱体受到的浮力大小． 【答案】(1)猜想与之间满足一次函数关系，，验证见解析 (2)圆柱体的高度，此时圆柱体受到的浮力为9.6N 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）观察表格发现弹簧测力计的初始示数为，h每增加，F减少，由此可猜想F与h的函数类型是一次函数，可设，再从表格中找两个相对简单的数值代入求出待定系数，最后选一对数值进行验证； （2）观察函数图像发现，当时，弹簧测力计的示数不再变化，将代入（1）中关系式，即可求解． 【详解】（1）解：猜想F与h之间满足一次函数关系， 设F与h之间的函数表达式为，把，与，代入，得解得 ∴， 验证：当时，， ∴符合. 故答案为猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证符合. （2）观察函数图像发现，当时，弹簧测力计的示数不再变化， 即浮力保持不变，所以圆柱体的高度 ∴当即时， ∴浮力： 答：圆柱体的高度，此时圆柱体受到的浮力为 30．【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 背景问题 6月份是崂山樱珠大量上市的季节，清纯甘甜的崂山泉水、温暖湿润的海洋气候、疏松的沙质土壤，使崂山樱珠颗粒大、皮薄、果肉厚、味道美，比其他地区的同类产品含有更多对人体有益的维生素C、矿物质、微量元素和膳食纤维，其中比较受欢迎的两个品种是“水晶”和“红灯”． 素材1 某商场用39000元采购“水晶”，用16000元采购“红灯”，且水晶的数量是红灯数量的1.5倍，每千克红灯的进价比每千克水晶的进价少10元． 素材2 端午节期间该商场购入m千克“水晶”和n千克“红灯”（m、n均为整数），刚好进价满40000元． 素材3 端午节期间该商场“水晶”售价为44元/千克，“红灯”售价为30元/千克．且购进的“红灯”的数量不超过“水晶”的． 问题解决： 任务1 确定产品进价 请运用所学知识，求出该商场“水晶”和“红灯”各自的进价． 任务2 探究产品进货 假设均购进的樱桃都能卖出，商场为获得最大利润该如向安排“红灯”和“水晶”的进货数量？ 【答案】任务1：该商场“水晶”进价为26元/千克，则“红灯”进价为16元/千克；任务2：“水晶”进1056千克，“红灯”进784千克时， 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，一次函数的应用， 任务1：设该商场“水晶”进价为x元/千克，则“红灯”进价元/千克，根据题意列出分式方程求解即可； 任务2：由题意知，表示出，然后根据题意列出不等式求出，设总利润为w元，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设该商场“水晶”进价为x元/千克，则“红灯”进价元/千克 解得 经检验，是原方程的解 答：该商场“水晶”进价为26元/千克，则“红灯”进价为16元/千克 任务2：由题意知 则 设总利润为w元，则 随m的增大而减小， 最小时w最大 m、n均为整数， 时，即“水晶”进1056千克，“红灯”进784千克时． 31．【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 (1)接到温水的体积是 ，接到开水的体积是 ；（用含x的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求x的值； (4)记水杯接满水后水杯中温度为，则y关于x的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)至少接温水21秒 (3) (4)， 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用． （1）利用接到温水的体积温水的水流速度接温水的时间，可用含x的代数式表示出接到温水的体积；利用接到开水的体积整杯水的体积接到温水的体积，即可用含x的代数式表示出接到开水的体积； （2）根据所接的温水的体积不少于开水体积的倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）利用开水体积×开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可找出y关于x的函数关系式，再结合饮水最佳温度是（包括与），即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵温水水流速度为，接温水用时x秒， ∴接到温水的体积是， 又∵共接水， ∴接到开水的体积是． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为21， 即至少应接温水21秒； （3）解：根据题意得：， 解得：， 即x的值为25； （4）解：根据题意得：， ∴， ∵饮水最佳温度是（包括与）， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是． 故答案为：，． 32．项目学习：认识杆秤 知识背景：阿基米德曾说：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话是物理学杠杆原理夸张说法，而我国战国时代的墨子也提出杠杆原理，在《墨子·经下》中说“衡而必正，说在得”，“衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加焉，重相若，则标必下，标得权也”．我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤也是中华民族衡重的基本量具之一． 材料1：如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是关于x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6    材料2：    根据以上素材，解决下面问题： (1)表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 【答案】(1)这组数据是错误的，作图见解析 (2) (3) 秤钩所挂物重是9斤 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求解函数解析式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用描点法画出图形即可判断； （2）设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可； （3）根据（2）中求得的函数解析式，当时，可求得秤钩所挂物重． 【详解】（1）解：描点如图所示： 由图可知，这组数据是错误的； （2）解：设这个一次函数的关系式为为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴这个一次函数的关系式为； （3）解：当时，得． 答：秤钩所挂物重是9斤． 题型八、点与直线的位置关系 解｜题｜技｜巧 1. 定点动直线：恒过定点 2. 动点定直线：点在直线上 3. 点到直线距离公式： 4. 两点间距离公式： 33．对于两个一次函数，，我们称一次函数为这两个函数的复合函数． (1)一次函数与的复合函数为______； (2)若一次函数，的复合函数为，则______，_______； (3)已知一次函数与的复合函数的图像经过第一、三、四象限，常数、满足的条件是_______，______； (4)若，一次函数与的复合函数的图像是否经过定点？如果是，求出其坐标；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或，； (3)，； (4)经过定点，． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，整式中不含某个字母的条件等； （1）由复合函数的定义得，即可求解； （2）由复合函数的定义得，即可求解； （3）由复合函数的定义得，再由一次函数的性质，即可求解； （4）由复合函数的定义得，由过定点的条件即可求解； 理解新定义，将过定点的条件转化为整式中不含某个字母的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； 故答案：； （2）解：由题意得 ， 由得 ，， 解得：或，， 故答案：或，； （3）解：由题意得 ， 图像经过第一、三、四象限， ， 解得：， 故答案：，； （4）解：由题意得 ， ， ， ， 当时，即， ， 此时经过定点， 故答案：． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，为边上一动点（不与点O重合），作点D关于y轴的对称点E，连接、交于点F，已知，． (1)连接，若是等腰三角形，则______； (2)当时，求直线的解析式和点F的坐标； (3)在点D运动过程中，试说明点F总在一条定直线上． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】根据题意得，以及，即可利用勾股定理求得，结合题意得，解方程即可； 根据题意得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立求得点F即可； 利用待定系数法求得直线的解析式，和直线的解析式为，联立解得点，即可判定点F总在一条定直线上． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，． ∴， ∵点D关于y轴的对称点E，， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴，即，解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， ∵直线过点A， ∴设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， 则直线的解析式为， 同理可求得直线的解析式为， 联立，解得， 则点； （3）解：∵ ∴设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， 则直线的解析式为， ∵，， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， 则点， ∴点F总在一条定直线上． 【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质和意义． 35．阅读材料 通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？ 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分为，，由勾股定理得，所以A、B两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离.我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离： 已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式． 计算：例如：求点到直线的距离． 解：因为直线可变形为，其中，． 所以点到直线的距离了为． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知，，求线段AB的长度； (2)点到直线的距离，并说明点P与直线的位置关系； (3)点到直线的距离； (4)已知直线与平行，求这两条直线的距离． 【答案】(1) (2)，点P在直线下方 (3) (4) 【分析】（1）利用公式直接计算即可； （2）利用公式直接计算即可；令，求出一次函数的值，再与P点纵坐标比较即可作答； （3）利用公式直接计算即可； （4）现在直线上取一点，再利用公式直接计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 即线段AB的长度为； （2）∵直线可变形为，其中，． ∵， ∴， 令，， ∵， ∴点P在直线下方； （3）∵直线可变形为，其中，． ∵， ∴； （4）令，， ∴点在直线上， ∵直线可变形为，其中，． ∴点到直线的距离为：， ∴直线与的距离为． 【点睛】本题主要考查了直角坐标系中两点之间的距离公式以及根据题目给出的方法求解点到直线的距离的知识，灵活运用题中给出的计算公式，细心计算，是解答本题的关键． 题型九、两条直线间的位置关系 解｜题｜技｜巧 1. 平行：， 2. 垂直： 3. 重合：且 4. 相交：；交于轴同一点： 5. 对称关系：关于/轴、原点、对称的直线特征 36．在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线：与直线：平行，得，；把代入得，解得，计算，解答即可． 本题考查了一次函数平行的条件，待定系数法，熟练掌握条件和待定系数法是解题的关键． 【详解】根据直线：与直线：平行， 得，； 把代入 得， 解得， 故， 故选A． 37．已知一次函数的图象与直线平行，与轴，轴的交点分别为，，并且过点，则在线段上（包括端点，）横、纵坐标都是整数的点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线的解析式为，将点代入可求直线的解析式，可得点，，再根据、的取值范围求解． 【详解】解：根据题意，设直线的解析式为， 由点在该函数图象上，得，解得， 所以，直线的解析式为， 令，则，令，则， 可得点，． 由，且为整数，取，2，4，6，8时，对应的是整数． 因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有5个． 故选：C． 38．我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线一定过，进而得，由垂线段最短得垂直于直线，进而利用待定系数法求得直线：，从而根据两直线垂直时，一次项系数的关系即可得解． 【详解】解：如图，    ∵对于，当时，， ∴直线一定过， ∵， ∴， ∵点到直线的距离是， ∴由垂线段最短可得垂直于直线， 设直线：， ∵过点，， ∴， 解得， ∴直线：， ∵两条直线与垂直，则， ∴直线为：， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，待定系数法求解一次函数，求函数值，熟练掌握待定系数法求解一次函数是解题的关键． 39．定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图； （2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解； （3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为， ， ． 一次函数的解析式为． 该一次函数的“相反函数”为． 作图如下． ； （2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质： ①两个函数的图象关于轴对称； ②两个函数的图象都过点．（答案不唯一） （3）解：由题意，作图如下． 由题意，是等腰三角形． 平分． 此时角平分线与对边的交点坐标为． 当平分时，作于， 又， ． ． ． ． 设， ． 又在中，， ． ． ． 直线为：． 又为， ． 过的角平分线与对边交点坐标为． 又根据对称性， 过的角平分线与对边交点坐标为． 综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键． 40．在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，若关于轴的对称直线为，直线的有一个点，当点到直线的距离小于，则点的横坐标取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性得出直线，分别求出AB=，作，设BD=x，，根据勾股定理可得，解得，，进一步可求出，分两种情况结合等积关系可得的横坐标为-1.25；再证明得，故可得的横坐标为1.25，故可得结论． 【详解】解：∵直线，关于轴的对称直线为， ∴直线的解析式为： 对于，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2 ∴A（0，4）,B（2，0） 对于，当y=0时，x=-2 ∴ ∴， 分两种情况： ①点在点A下方时，作，垂足为点D，连接 ∴ ∴ 设BD=x，则， ∴， 解得，， ∴ ∴ 设，过点作，过点作//交AB于点， 当时， ∴ 解得， 把代入，得：； 过点作//交AB于点， ∵点与点关于y轴对称， ∴ ②点在点A上方时，如图， 此时，， ∴， ∴的横坐标为1.25， ∴当点到直线的距离小于，则点的横坐标取值范围是 故选D． 【点睛】本题主要考查了直线的对称性，勾股定理，面积关系以及全等三角形的性质，根据等积式得点M的纵坐标是解答本题的关键． 41．我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k，b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值： ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值． (2)如图，一次函数为常数且的演变函数图象与一次函数的图象相交于两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数（为常数且）的演变函数图象与轴相交于点，求的面积； ③在一次函数（为常数且）的演变函数图象上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②1或 (2)）①；②24；③存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理． （1）①根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；②根据题目中给出的函数定义分情况用待定系数法进行求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，， ； ②点在这个一次函数的演变函数图象上， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：①3；②1或； （2）解：①将两点代入一次函数， 解得，， ， 将代入，代入得： 解得：， ； ②， ， ∵设一次函数与y轴交于点D， ， ， ， ； ③设点， ， ，， ， 整理得：，即 含点P的直线函数解析式为：， 联立，解得：， ， 联立解得：  ， ． 综上，点的坐标为或． 2 / 75 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 $