9.4 三元一次方程组 讲义 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

9.4三元一次方程组 知 识 清 单 知识点1 三元一次方程组的定义 含有三个未知数的一次方程组，叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【知识解读】 理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点2 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元，把三元一次方程组转化成二元一次方程 组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值。 消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 【知识解读】 1.解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中 的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中含第三个未知数的一个系数比较简单的方程， 得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{ ”合写在一起. 有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法. 素 养 提 升 考点1 三元一次方程组 例题讲解： 例1．下列方程组不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D．【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误； B、x2﹣4＝0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确； C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误； D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误； 故选：B． 跟踪训练： 1．下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 2．下列不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； B．方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意． C．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 3．下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该方程组是三元一次方程组，符合题意； B．该方程组的第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； C．该方程组的第一个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； D．该方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 4．下列各方程组中，不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：是三元一次方程组，故A不符合题意； 是三元一次方程组，故B不符合题意； 是三元一次方程组，故C不符合题意； 不是三元一次方程组，故D符合题意； 故选：D． 考点2 整体思想求代数式的值 例题讲解： 例1．已知是方程组的解，则a+b+c的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【解答】解：由题意将代入方程组得： ， ①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a＝2+3+7， 即4a+4b+4c＝4（a+b+c）＝12， 则a+b+c＝3． 故选：A． 跟踪训练： 1．已知，则x+y+z的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：三个方程相加得2（x+y+z）＝12， 解得x+y+z＝6． 故选：B． 2．方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【解答】解：解方程组得： 根据题意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0 解得：k＝2 故选：B． 3．已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【解答】解：， ①+②+③得：4x+4y+4z＝8， 解得：x+y+z＝2， 故选：B． 4．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【解答】解：已知方程组， 将三个方程相加可得2x+2y+2z＝18， 则x+y+z＝9， ∵方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6， ∴3k＝6+x+y+z＝6+9＝15， ∴k＝5， 故选：C． 5．如果，则x+y+z的值为　4　 ． 【分析】把三个方程相加即可． 【解答】解：根据方程组特点和所求形式，把三个方程相加可得：3x+3y+3z＝12， 所以x+y+z＝4， 故答案为：4． 考点3 三元一次方程组——代入求值 例题讲解： 例1．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得 ， 解得，， ∴a+b+c＝1+3+2＝6， 故选：C． 跟踪训练： 1．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（　　） A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5 B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5 C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3 D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2 【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3； ∴， 解得：； 故选：B． 2．已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝1时，y＝50；x＝2时，y＝60；x＝3时，y＝70．则当x＝﹣1时，y的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：根据题意得：， 整理得：， ②﹣①得：3a+b＝3④， ③﹣①得：8a+2b＝﹣6，即4a+b＝﹣3⑤， ⑤﹣④得：a＝﹣6， 把a＝﹣6代入④得：b＝21， 把a＝﹣6，b＝21代入①得：c＝34， ∴y＝x3﹣6x2+21x+34， 当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣6﹣21+34＝6， 故选：B． 3．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝3时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣3．则这个等式为（　　） A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x﹣3 【解答】解：∵x＝﹣1时y＝0；x＝3时y＝0；x＝0时y＝﹣3 从而得方程组， 解得a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3． ∴y＝x2﹣2x﹣3， 故选：A． 4．在代数式ax2+bx+c中，当x＝1，2，3时，代数式的值依次是0，3，28． （1）求a，b，c的值； （2）当x＝﹣1时，求这个代数式的值． 【解答】解：（1）∵在代数式ax2+bx+c中，当x＝1，2，3时，代数式的值依次是0，3，28， ∴代入得： ②﹣①得：3a+b＝3④， ③﹣②得：5a+b＝25⑤， 由④和⑤组成方程组， 解得：a＝11，b＝﹣30， 把a＝11，b＝﹣30代入①得：11﹣30+c＝0， 解得：c＝19； （2）代数式为11x2﹣30x+19， 把x＝﹣1代入得：11x2﹣30x+19＝11×（﹣1）2﹣30×（﹣1）+19＝60． 考点4 三元一次方程组——解方程 例题讲解： 例1．解方程组：． 【解答】解：①+②得：9x﹣2z＝20④， ④﹣③得：8x＝16， 解得：x＝2， 把x＝2代入③得：2﹣2z＝4， 解得：z＝﹣1， 把x＝2，z＝﹣2代入②得：10﹣y﹣1＝7， 解得：y＝2， 则方程组的解为． 跟踪训练： 1．解下列方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）此题用相加法求解， ， ②+①得：2x+4z＝6，④ ①+③得：5x﹣2z＝9，⑤ 解由④⑤组成的方程组得x＝2，z，把z代入②得y＝﹣3， ∴方程组的解为； （2）此题用相加法求解， ， ②+③得：5x+5y＝25，④ ①+③得：4x+3y＝18，⑤ 解由④⑤组成的方程组得x＝3，y＝2，把x＝3，y＝2，代入①得z＝5， ∴方程组的解为． 2．解下列方程组： （1） （2）． 【解答】解：（1）， ①+②得：5x﹣2z＝14④， ①+③得：4x+2z＝15⑤， ④+⑤得：9x＝29，即x， 把x代入④得：z， 把x，z代入③得：y， 则方程组的解为； （2）， ①+③×4得：17x+4y＝85④， ①×3+②×4得：23x+16y＝115⑤， ④×4﹣⑤得：45x＝225，即x＝5， 把x＝5代入④得：y＝0， 把x＝5，y＝0代入①得：z＝﹣3， 则方程组的解为． 考点5 三元一次方程组——拓展 例题讲解： 例1．已知，且x+2y+z＝12，求x﹣2y+z的值． 【解答】解：设t，则x+y＝2t，y+z＝3t，z+x＝4t， ∴x+y+y+z+z+x＝9t，即x+y+zt， ∴xt﹣3tt，yt﹣4tt，zt﹣2tt， ∵x+2y+z＝12， ∴t+tt＝12，解得t， ∴x，y，z＝6， ∴x﹣2y+z26． 跟踪训练： 1．已知x：y：z＝3：4：5，x+y+z＝24，求x2+3y的值． 【解答】解：由x：y：z＝3：4：5，得到x＝3k，y＝4k，z＝5k， 代入x+y+z＝24中，得：3k+4k+5k＝24，即12k＝24， 解得：k＝2，即x＝6，y＝8，z＝10， 则原式＝36+2459． 2．若，且3a+b﹣2c＝3，试求a：b：c． 【解答】解：设k， 则有a＝2k﹣2，b＝3k+1，c＝4k﹣3， 代入3a+b﹣2c＝3中得：6k﹣6+3k+1﹣8k+6＝3， 解得：k＝2， ∴a＝2，b＝7，c＝5， 则a：b：c＝2：7：5． 考点6 三元一次方程组的实际应用——坡度问题 例题讲解： 例1．甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 【解答】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据题意得： ， 解得． 答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米． 跟踪训练： 1．甲地到乙地全程3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡如果保持上坡每小时走3km，平路每小时4km，下坡每小时5km，那么甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．从甲到乙时，上坡、下坡、平路各走了多少？【解答】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据题意得： ， 解得． 答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米． 2．A，B两地相距68km，小强步行从A地到B地需要13h，返回时花了15h，已知小强在平路上的速度为5km/h，上坡时的速度为4km/h，下坡时的速度为6km/h，这段路中平路有多少？从A地到B地上、下坡各有多少？ 【解答】解：设这段路中平路有x千米、从A地到B地上坡路有y千米、下坡路有z千米．依题意得 ， 解得． 答：这段路中平路有20千米、从A地到B地上坡路有12千米、下坡路有36千米． 3．某汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶．因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时18分钟．如果汽车在平地上每小时行30千米，上坡每小时行20千米，下坡每小时行40千米．问从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？ 【解答】解：设甲地到乙地地行驶过程中平路、上坡、下坡各是x千米、y千米、z千米．则 ， 解得 答：甲地到乙地地行驶过程中平路、上坡、下坡各是54千米，12千米，4千米． 考点7 三元一次方程组的实际应用——数字问题 例题讲解： 例1．一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数． 【解答】解：这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z． 把①代入③得y＝7， 把y＝7代入①得x+z＝7④， 代入②得7z＝x+9⑤ ④+⑤得z＝2， ∴x＝5， ∴这个三位数为2×100+7×10+5＝275． 答：这个三位数是275． 跟踪训练： 1．一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数字，百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2，求这个三位数．【解答】解：这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z． ， 把①代入③得y＝7， 把y＝7代入①得x+z＝7④， 代入②得7z＝x+9⑤ ④﹣⑤得z＝2， ∴x＝5， ∴这个三位数为2×100+7×10+5＝275． 答：这个三位数是275． 2．一个三位数三位上的数字和是11，如果把百位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大693，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大54，求这个三位数． 【解答】解：设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得：， 故原来的三位数是128． 答：原来的三位数是128． 3．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数． 【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z． 由题意可列：， 将②代入③得：4z＝12， ∴z＝3， 将z代入①，②得：， ⑤﹣④，得：3y＝12， 解得：y＝4， 将y＝4代入⑤，得：x＝5， ∴方程组的解为， 答：这个数是543． 4．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 【解答】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z． 由题意列方程组 ②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7， 由①得x﹣z＝1⑤， 将y＝7代入③得 x+z＝7⑥， ⑤+⑥得2x＝8， 即x＝4，那么z＝3， 答：这个三位数是473． 考点8 三元一次方程组的实际应用——材料阅读题 例题讲解： 1．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③ ③得：2x+y+z＝3， 所以2x+y+z的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【解答】解：（1）， ①+②得：6x+8y+10z＝36③， ③得：3x+4y+5z＝18， ∴3x+4y+5z的值为18； （2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元， 由题意得：， ②﹣①×2得：a+b+c＝10③， ③×45得：45a+45b+45c＝450， 答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱． 跟踪训练： 1．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　2　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【解答】解：（1）， ∴①﹣②得，2x+y＝2． 故答案为：2． （2）， ∴①+②得，3x＝3a+1， ∴x． 把x代入②得， 2y＝2﹣a， ∴y． ∴x+y． ∴无论a取何值，x+y的值始终不变． （3） 由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元， 丙1件z元， 则， ∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420， ∴2x+2y+2z＝150． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 2．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： （1）已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【解答】解：（1）∵实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②， ∴①﹣②得x﹣4y＝﹣2， ①+②×2得7x+5y＝19， 即x﹣4y的值为﹣2，7x+5y的值为19； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意列二元一次方程组得：， 由①×2﹣②可得m+n+p＝6， ∴5m+5n+5p＝6×5＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． $ 9.4三元一次方程组 知 识 清 单 知识点1 三元一次方程组的定义 含有三个未知数的一次方程组，叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【知识解读】 理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点2 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元，把三元一次方程组转化成二元一次方程 组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值。 消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 【知识解读】 1.解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中 的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中含第三个未知数的一个系数比较简单的方程， 得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{ ”合写在一起. 有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法. 素 养 提 升 考点1 三元一次方程组 例题讲解： 例1．下列方程组不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练： 1．下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各方程组中，不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 考点2 整体思想求代数式的值 例题讲解： 例1．已知是方程组的解，则a+b+c的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 跟踪训练： 1．已知，则x+y+z的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 3．已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 4．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 5．如果，则x+y+z的值为　 　 ． 考点3 三元一次方程组——代入求值 例题讲解： 例1．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 跟踪训练： 1．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（　　） A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5 B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5 C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3 D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2 2．已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝1时，y＝50；x＝2时，y＝60；x＝3时，y＝70．则当x＝﹣1时，y的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝3时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣3．则这个等式为（　　） A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x﹣3 4．在代数式ax2+bx+c中，当x＝1，2，3时，代数式的值依次是0，3，28． （1）求a，b，c的值； （2）当x＝﹣1时，求这个代数式的值． 考点4 三元一次方程组——解方程 例题讲解： 例1．解方程组：． 跟踪训练： 1．解下列方程组： （1）； （2）． 2．解下列方程组： （1） （2）． 考点5 三元一次方程组——拓展 例题讲解： 例1．已知，且x+2y+z＝12，求x﹣2y+z的值． 跟踪训练： 1．已知x：y：z＝3：4：5，x+y+z＝24，求x2+3y的值． 2．若，且3a+b﹣2c＝3，试求a：b：c． 考点6 三元一次方程组的实际应用——坡度问题 例题讲解： 例1．甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 跟踪训练： 1．甲地到乙地全程3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡如果保持上坡每小时走3km，平路每小时4km，下坡每小时5km，那么甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．从甲到乙时，上坡、下坡、平路各走了多少？ 2．A，B两地相距68km，小强步行从A地到B地需要13h，返回时花了15h，已知小强在平路上的速度为5km/h，上坡时的速度为4km/h，下坡时的速度为6km/h，这段路中平路有多少？从A地到B地上、下坡各有多少？ 3．某汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶．因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时18分钟．如果汽车在平地上每小时行30千米，上坡每小时行20千米，下坡每小时行40千米．问从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？ 考点7 三元一次方程组的实际应用——数字问题 例题讲解： 例1．一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数． 跟踪训练： 1．一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数字，百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2，求这个三位数． 2．一个三位数三位上的数字和是11，如果把百位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大693，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大54，求这个三位数． 3．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数． 4．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 考点8 三元一次方程组的实际应用——材料阅读题 例题讲解： 1．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③ ③得：2x+y+z＝3， 所以2x+y+z的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 跟踪训练： 1．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　2　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 2．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： （1）已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ $