第9章 二元一次方程组 （易错点讲义）2025-2026学年青岛版数学七年级下册

第9章 二元一次方程组 易错点解析 总 错 汇 点 易 易错点1.对二元一次方程定义理解偏差（忽略未知数次数或系数条件） 易错点2.列方程组时等量关系提取错误（实际问题中数量关系混淆） 易错点3.代入消元法中代入表达式书写错误（未用一个未知数表示另一个未知数） 易错点4.加减消元法中系数配平计算失误（漏乘或符号错误） 易错点5.混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，误将单个方程当作方程组 易错点6.解方程组过程中，求解一个未知数后代入求另一个未知数时出现计算错误 易错点7.应用题中，设未知数时未明确单位或设错未知数 易错点8.解应用题后，未检验所得解是否符合实际意义就直接作答 析- 错 解 点 易 易错点1：对二元一次方程定义理解偏差（忽略未知数次数或系数条件） 例题：下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A.3x+2y=z　　B.x+xy=1　　C.2x+3y=5　　D.x+=3 避错指南： 1. 牢记二元一次方程定义的三个核心要素：两个未知数、最高次数为1、整式方程。 2. 特别注意避免以下错误：①误认含三个未知数的方程为二元一次方程；②忽略未知数乘积项（如xy）的次数；③将分式方程（分母含未知数）误认为整式方程。 3. 检查时可按“未知数个数→次数→是否整式”的顺序逐一验证。 即时小练： 1. 方程2+3y=5是二元一次方程，则m的值为（　　） 2. 下列属于二元一次方程的是（　　） A.+y=0 　B.x=2y+3　C.x+=3　D.xy=1 3. 判断：方程3x+2y=1中，x的系数是3，y的系数是2，所以是二元一次方程。（　　） 易错点2：列方程组时等量关系提取错误（实际问题中数量关系混淆） 例题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，设甲种票购买x张，乙种票购买y张，下列方程组正确的是（　　） A.　　B. .　　D. 避错指南： 1. 列方程组时，先明确题目中的已知量、未知量及关键数量关系。 2. 寻找等量关系的常用方法：①根据题目中的“共”“和”“差”“倍”“比”等关键词确定；②利用基本数量公式（如路程=速度×时间、总价=单价×数量等）；③借助图表或线段图梳理数量关系。 3. 注意区分“谁比谁多（少）”“谁是谁的几倍”等易混淆的表述，避免将数据对应错误。 即时小练： 1. 某校七年级学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。设原计划租用45座客车x辆，七年级学生有y人，根据题意可列方程组为（　　） 2. 某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓12个或螺母18个。设安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列方程组正确的是（　　） A.　B. .　D. 3. 小明用10元钱购买了面值为4角和8角的邮票共17张，设4角邮票购买了x张，8角邮票购买了y张，根据题意可列方程组为（　　） 易错点3：代入消元法中代入表达式书写错误（未用一个未知数表示另一个未知数） 例题：用代入消元法解方程组，以下变形正确的是（　　） A. 由①得y=1-x，代入②　　B. 由①得x=1-y，代入② C. 由①得x=y+1，代入②　　D. 由②得y=，代入①后无法求解 避错指南： 1. 用代入消元法时，先观察方程组中哪个方程的未知数系数较简单（通常为±1），优先选择该方程变形。 2. 变形时要注意移项变号，如由x-y=1得y=x-1（而非y=1-x），由2x+y=3得y=3-2x（而非y=2x-3）。 3. 代入时，需将表示出的代数式整体代入另一个方程，避免漏代或代错位置。 即时小练 1. 用代入消元法解方程组，第一步由①得y=______，代入②后可求解。 2. 用代入法解方程组，若先消去y，则正确的变形是（　　） A. 由①得y=4-2x，代入②　　B. 由①得y=2x-4，代入② C. 由②得y=，代入①　　D. 由②得x=5-2y，代入① 3. 若用代入法解方程组，将①代入②后得到的方程是（　　） 易错点4：加减消元法中系数配平计算失误（漏乘或符号错误） 例题：用加减消元法解方程组为消去y，正确的变形是（　　） A.　　B. .　　D. 避错指南： 1. 加减消元时，先确定要消去的未知数，再找出该未知数系数的最小公倍数，将两个方程分别乘适当的数，使该未知数的系数互为相反数或相等。 2. 注意“整体乘”原则：方程两边的每一项都要乘同一个数，避免漏乘常数项。 3. 系数配平后，若系数互为相反数则用加法消元，若系数相等则用减法消元，注意减法消元时的符号变化（减式中的每一项都要变号）。 即时小练： 1. 用加减消元法解方程组，消去x时，①×2得______，与②相减得______。 2. 解方程组时，消去y的正确方法是（　　） A. ①×2+②　　B. ①×2-②　　C. ①×5-②×3　　D. ①×5+②×3 3. 用加减消元法解方程组，若消去y，则①×______，②×______，然后两式______。 易错点5：混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，误将单个方程当作方程组 例题：下列选项中是二元一次方程组的是（　　） A. x + y = 5　 B. x + y = 3，2x - y = 7　　 C. x^2 + y = 5，x - y = 3　 D. x + y = 4，xy = 3 避错指南： 要明确二元一次方程和二元一次方程组的区别。二元一次方程是单个方程，而二元一次方程组是由两个或两个以上的二元一次方程联立而成的。判断一个式子是否为二元一次方程组，需满足两个条件：一是方程组中每个方程都是二元一次方程；二是方程组中含有两个未知数。 即时小练： 1. 下列属于二元一次方程组的是（　　） A.x + 2y = 3，z - y = 1　　 B.2x - y = 5，3x + 4y = 1　　 C. x + y = 6，x^2 - y = 2　　 D. x + 1 = 2，y - 3 = 4 2. 判断“2x + y = 4是二元一次方程组”这句话是否正确，并说明理由。 3. 下列说法正确的是（　　） A. 二元一次方程组一定含有两个二元一次方程 B. 含有两个未知数的方程一定是二元一次方程 C. 二元一次方程组中的每个方程都是二元一次方程 D.x + y = 3，x - z = 2是二元一次方程组 易错点6：解方程组过程中，求解一个未知数后代入求另一个未知数时出现计算错误 例题：解方程组： 避错指南： 在解方程组代入求值时，要注意以下几点：一是代入时要将表示一个未知数的代数式整体代入另一个方程；二是去括号时，要根据乘法分配律正确计算，注意符号的变化；三是计算过程中要仔细，先算乘除后算加减，确保每一步计算的准确性。解完后可以将求得的解代入原方程组进行检验，看是否满足两个方程。 即时小练： 1. 解方程组： 2. 解方程组：时，某位同学的解题过程如下：由第二个方程得y = 3 - 2x，代入第一个方程得4x - 3(3 - 2x) = 5，4x - 9 - 6x = 5，-2x = 14，x = -7，y = 3 - 2×(-7) = 17。请指出该同学的错误并给出正确解答。 3. 解方程组： 易错点7：应用题中，设未知数时未明确单位或设错未知数 例题：某商店购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品3件和乙商品2件，共需120元；购进甲商品5件和乙商品4件，共需220元。求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（设未知数时未明确单位） 避错指南： 在应用题中设未知数时，要明确未知数所代表的具体含义及单位。设未知数时，一般设题目中所求的量为未知数，如果有多个未知量，根据题目中的数量关系合理设出未知数，设完后要检查是否能根据题意列出方程。同时，单位要统一，在设未知数时就明确写出单位，避免后续计算和作答时出现单位混乱。 即时小练： 1. 某学校组织学生去春游，若租用45座客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。求参加春游的学生人数和原计划租用45座客车的数量。（设未知数时未明确单位） 2. 某工厂生产A、B两种产品，已知生产A产品3件和B产品2件，共需消耗原材料12千克；生产A产品5件和B产品4件，共需消耗原材料22千克。求生产一件A产品和一件B产品分别消耗原材料多少千克？（设错未知数） 3. 甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。经过几小时两人相遇？（设未知数时未明确单位） 易错点8：解应用题后，未检验所得解是否符合实际意义就直接作答 例题：某班组织学生去看电影，每张电影票售价为30元，若购买团体票，满30人可享受八折优惠。已知该班有45名学生，问购买团体票比购买个人票节省多少钱？ 避错指南： 解应用题得到解后，一定要检验所得解是否符合实际意义。检验时要考虑未知数的取值范围（如人数不能为负数、物品数量不能为小数等）、题目中的限制条件（如购买团体票的人数要求、时间不能为负数等）。只有符合实际意义的解才是正确的答案。 即时小练： 1. 某工厂要生产一种零件，原计划每天生产50个，12天完成任务，实际每天生产60个，实际多少天完成任务？（未检验解的实际意义） 2. 某商店准备购进A、B两种商品，已知购进A商品10件和B商品5件，共需200元；购进A商品5件和B商品3件，共需110元。求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？（未检验解的实际意义） 3. 一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，求这个长方形的长和宽。（未检验解的实际意义） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 二元一次方程组 易错点解析 总 错 汇 点 易 易错点1.对二元一次方程定义理解偏差（忽略未知数次数或系数条件） 易错点2.列方程组时等量关系提取错误（实际问题中数量关系混淆） 易错点3.代入消元法中代入表达式书写错误（未用一个未知数表示另一个未知数） 易错点4.加减消元法中系数配平计算失误（漏乘或符号错误） 易错点5.混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，误将单个方程当作方程组 易错点6.解方程组过程中，求解一个未知数后代入求另一个未知数时出现计算错误 易错点7.应用题中，设未知数时未明确单位或设错未知数 易错点8.解应用题后，未检验所得解是否符合实际意义就直接作答 析- 错 解 点 易 易错点1：对二元一次方程定义理解偏差（忽略未知数次数或系数条件） 例题：下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A.3x+2y=z　　B.x+xy=1　　C.2x+3y=5　　D.x+=3 答案：C 解析：二元一次方程需满足三个条件：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都是1；③整式方程。 A选项含有三个未知数，不符合；B选项中xy项的次数是2，不符合；C选项满足所有条件；D选项中不是整式，不符合。避错指南： 1. 牢记二元一次方程定义的三个核心要素：两个未知数、最高次数为1、整式方程。 2. 特别注意避免以下错误：①误认含三个未知数的方程为二元一次方程；②忽略未知数乘积项（如xy）的次数；③将分式方程（分母含未知数）误认为整式方程。 3. 检查时可按“未知数个数→次数→是否整式”的顺序逐一验证。 即时小练： 1. 方程2+3y=5是二元一次方程，则m的值为（　　） 答案：2 解析：由二元一次方程定义知x的次数为1，即m-1=1，解得m=2。 2. 下列属于二元一次方程的是（　　） A.+y=0 　B.x=2y+3　C.x+=3　D.xy=1 答案：B 解析：A选项x的次数为2；C选项只含一个未知数；D选项xy的次数为2；B选项满足二元一次方程定义。 3. 判断：方程3x+2y=1中，x的系数是3，y的系数是2，所以是二元一次方程。（　　） 答案：√ 解析：该方程含有两个未知数x、y，含未知数的项的次数都是1，且为整式方程，符合二元一次方程定义。 易错点2：列方程组时等量关系提取错误（实际问题中数量关系混淆） 例题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，设甲种票购买x张，乙种票购买y张，下列方程组正确的是（　　） A.　　B. .　　D. 答案：A 解析：题目中的等量关系有两个：①购票总人数为35人，即甲种票张数+乙种票张数=35，可列方程x+y=35；②购票总费用为750元，即甲种票费用+乙种票费用=750，甲种票费用为24x元，乙种票费用为18y元，可列方程24x+18y=750。故正确方程组为A选项。 避错指南： 1. 列方程组时，先明确题目中的已知量、未知量及关键数量关系。 2. 寻找等量关系的常用方法：①根据题目中的“共”“和”“差”“倍”“比”等关键词确定；②利用基本数量公式（如路程=速度×时间、总价=单价×数量等）；③借助图表或线段图梳理数量关系。 3. 注意区分“谁比谁多（少）”“谁是谁的几倍”等易混淆的表述，避免将数据对应错误。 即时小练： 1. 某校七年级学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。设原计划租用45座客车x辆，七年级学生有y人，根据题意可列方程组为（　　） 答案： 解析：等量关系①：45座客车坐满的人数+15人=总人数，即45x+15=y；②：60座客车（数量比原计划少1辆）坐满的人数=总人数，即60(x-1)=y。 2. 某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓12个或螺母18个。设安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列方程组正确的是（　　） A.　B. .　D. 答案：B 解析：配套关系为“一个螺栓套两个螺母”，即螺母数量是螺栓数量的2倍。生产螺栓人数+生产螺母人数=28，即x+y=28；螺母数量=2×螺栓数量，即18y=2×12x，整理得2×12x=18y，故选B。 3. 小明用10元钱购买了面值为4角和8角的邮票共17张，设4角邮票购买了x张，8角邮票购买了y张，根据题意可列方程组为（　　） 答案： 解析：等量关系①：邮票总张数为17张，即x+y=17；②：总费用为10元（100角），4角邮票费用为0.4x元，8角邮票费用为0.8y元，即0.4x+0.8y=10。 易错点3：代入消元法中代入表达式书写错误（未用一个未知数表示另一个未知数） 例题：用代入消元法解方程组，以下变形正确的是（　　） A. 由①得y=1-x，代入②　　B. 由①得x=1-y，代入② C. 由①得x=y+1，代入②　　D. 由②得y=，代入①后无法求解 答案：C 解析：代入消元法的关键是用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。由方程①x-y=1，移项可得x=y+1，此为正确变形。A选项应为y=x-1；B选项应为x=y+1；D选项变形正确，但代入①后可求解，故A、B、D错误，C正确。 避错指南： 1. 用代入消元法时，先观察方程组中哪个方程的未知数系数较简单（通常为±1），优先选择该方程变形。 2. 变形时要注意移项变号，如由x-y=1得y=x-1（而非y=1-x），由2x+y=3得y=3-2x（而非y=2x-3）。 3. 代入时，需将表示出的代数式整体代入另一个方程，避免漏代或代错位置。 即时小练 1. 用代入消元法解方程组，第一步由①得y=______，代入②后可求解。 答案：3x-5 解析：由①3x-y=5，移项得-y=5-3x，两边同乘-1得y=3x-5。 2. 用代入法解方程组，若先消去y，则正确的变形是（　　） A. 由①得y=4-2x，代入②　　B. 由①得y=2x-4，代入② C. 由②得y=，代入①　　D. 由②得x=5-2y，代入① 答案：A 解析：消去y需用x表示y，由①2x+y=4移项得y=4-2x，A正确；B选项符号错误；C、D是消去x的变形，不符合题意。 3. 若用代入法解方程组，将①代入②后得到的方程是（　　） 答案：3(2y+3)-8y=14 解析：将①中x=2y+3整体代入②的x，得3(2y+3)-8y=14。 易错点4：加减消元法中系数配平计算失误（漏乘或符号错误） 例题：用加减消元法解方程组为消去y，正确的变形是（　　） A.　　B. .　　D. 答案：B 解析：要消去y，需使y的系数互为相反数或相等。y的系数为4和-6，最小公倍数是12，所以①×3得9x+12y=48，②×2得10x-12y=66，此时y的系数互为相反数，可相加消去y。B选项中①×3、②×2后等号右边也乘了相应倍数，变形正确；A、D选项等号右边漏乘；C选项y的系数未变为相反数，故选B。 避错指南： 1. 加减消元时，先确定要消去的未知数，再找出该未知数系数的最小公倍数，将两个方程分别乘适当的数，使该未知数的系数互为相反数或相等。 2. 注意“整体乘”原则：方程两边的每一项都要乘同一个数，避免漏乘常数项。 3. 系数配平后，若系数互为相反数则用加法消元，若系数相等则用减法消元，注意减法消元时的符号变化（减式中的每一项都要变号）。 即时小练： 1. 用加减消元法解方程组，消去x时，①×2得______，与②相减得______。 答案：4x+6y=14；11y=11 解析：①×2得4x+6y=14③，③-②得(4x+6y)-(4x-5y)=14-3，去括号得4x+6y-4x+5y=11，合并同类项得11y=11。 2. 解方程组时，消去y的正确方法是（　　） A. ①×2+②　　B. ①×2-②　　C. ①×5-②×3　　D. ①×5+②×3 答案：A 解析：y的系数为-2和4，①×2得6x-4y=10，与②5x+4y=1相加，-4y+4y=0，可消去y，故选A。 3. 用加减消元法解方程组，若消去y，则①×______，②×______，然后两式______。 答案：5；3；相加 解析：y的系数为-3和5，最小公倍数是15，①×5得25x-15y=5，②×3得6x+15y=21，两式相加可消去y。 易错点5：混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，误将单个方程当作方程组 例题：下列选项中是二元一次方程组的是（　　） A. x + y = 5　 B. x + y = 3，2x - y = 7　　 C. x^2 + y = 5，x - y = 3　 D. x + y = 4，xy = 3 答案：B 解析：二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程；二元一次方程组是由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组。 选项A只有一个二元一次方程，不是方程组； 选项C中x^2 + y = 5含有二次项，不是二元一次方程，所以该选项不是二元一次方程组； 选项D中xy = 3含有未知数的乘积项，次数为2，不是二元一次方程，所以该选项不是二元一次方程组；选项B由两个二元一次方程组成，是二元一次方程组。 避错指南： 要明确二元一次方程和二元一次方程组的区别。二元一次方程是单个方程，而二元一次方程组是由两个或两个以上的二元一次方程联立而成的。判断一个式子是否为二元一次方程组，需满足两个条件：一是方程组中每个方程都是二元一次方程；二是方程组中含有两个未知数。 即时小练： 1. 下列属于二元一次方程组的是（　　） A.x + 2y = 3，z - y = 1　　 B.2x - y = 5，3x + 4y = 1　　 C. x + y = 6，x^2 - y = 2　　 D. x + 1 = 2，y - 3 = 4 答案：B 解析：选项A含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义；选项C中x^2 - y = 2是二次方程，不是二元一次方程；选项D中的两个方程都只含有一个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程；选项B由两个二元一次方程组成，且含有两个未知数，是二元一次方程组。 2. 判断“2x + y = 4是二元一次方程组”这句话是否正确，并说明理由。 答案：不正确。 解析：二元一次方程组是由两个或两个以上的二元一次方程组成的，而2x + y = 4只是一个二元一次方程，不能称为方程组。 3. 下列说法正确的是（　　） A. 二元一次方程组一定含有两个二元一次方程 B. 含有两个未知数的方程一定是二元一次方程 C. 二元一次方程组中的每个方程都是二元一次方程 D.x + y = 3，x - z = 2是二元一次方程组 答案：C 解析：选项A，二元一次方程组可以由两个或两个以上的二元一次方程组成，不一定只是两个，所以该说法错误； 选项B，含有两个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程才是二元一次方程，如x + y^2 = 5含有两个未知数，但不是二元一次方程，所以该说法错误； 选项C，二元一次方程组中的每个方程都必须是二元一次方程，该说法正确； 选项D含有三个未知数，不是二元一次方程组，所以该说法错误。 易错点6：解方程组过程中，求解一个未知数后代入求另一个未知数时出现计算错误 例题：解方程组： 答案： 解析：由第一个方程2x + y = 5可得y = 5 - 2x，将其代入第二个方程x - 3y = 6中，得到x - 3(5 - 2x) = 6，去括号得x - 15 + 6x = 6，合并同类项得7x - 15 = 6，移项得7x = 21，解得x = 3。将x = 3代入y = 5 - 2x，得y = 5 - 2×3 = 5 - 6 = -1。所以方程组的解为。 常见错误：在代入计算时，去括号忘记变号，如将x - 3(5 - 2x)错误计算为x - 15 - 6x，导致后续计算错误；或者在计算y = 5 - 2x时，代入x = 3后，错误计算为y = 5 - 2×3 = 5 - 5 = 0等。 避错指南： 在解方程组代入求值时，要注意以下几点：一是代入时要将表示一个未知数的代数式整体代入另一个方程；二是去括号时，要根据乘法分配律正确计算，注意符号的变化；三是计算过程中要仔细，先算乘除后算加减，确保每一步计算的准确性。解完后可以将求得的解代入原方程组进行检验，看是否满足两个方程。 即时小练： 1. 解方程组： 答案： 解析：：由3x - y = 2得y = 3x - 2，代入x + 2y = 7，x + 2(3x - 2) = x + 6x - 4 = 7x - 4 = 7，7x = 11，x = ，y = 3× - 2 = - = ，所以正确答案应该是。 2. 解方程组：时，某位同学的解题过程如下：由第二个方程得y = 3 - 2x，代入第一个方程得4x - 3(3 - 2x) = 5，4x - 9 - 6x = 5，-2x = 14，x = -7，y = 3 - 2×(-7) = 17。请指出该同学的错误并给出正确解答。 答案：该同学在去括号时出现错误，-3(3 - 2x)应等于-9 + 6x，而不是-9 - 6x。 解析：正确解答：由第二个方程2x + y = 3得y = 3 - 2x，代入第一个方程4x - 3y = 5，得4x - 3(3 - 2x) = 5，去括号得4x - 9 + 6x = 5，合并同类项得10x - 9 = 5，移项得10x = 14，解得x = 1.4，将x = 1.4代入y = 3 - 2x，得y = 3 - 2×1.4 = 3 - 2.8 = 0.2，所以方程组的解为。 3. 解方程组： 答案： 解析：由第二个方程2x - y = 1得y = 2x - 1，将其代入第一个方程3x + 2y = 12，得3x + 2(2x - 1) = 12，去括号得3x + 4x - 2 = 12，合并同类项得7x - 2 = 12，移项得7x = 14，解得x = 2，将x = 2代入y = 2x - 1，得y = 2×2 - 1 = 3，所以方程组的解为。 易错点7：应用题中，设未知数时未明确单位或设错未知数 例题：某商店购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品3件和乙商品2件，共需120元；购进甲商品5件和乙商品4件，共需220元。求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（设未知数时未明确单位） 答案：甲商品每件进价20元，乙商品每件进价30元。 解析：正确的设未知数应为：设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元。根据题意可列方程组，解方程组，解得y = 30，将y = 30代入x = 20。所以甲商品每件进价20元，乙商品每件进价30元。 常见错误：设未知数时只写“设甲商品进价为x，乙商品进价为y”，未明确单位“元”；或者设错未知数，如设甲商品3件的进价为x元，乙商品2件的进价为y元，导致后续列方程错误。 避错指南： 在应用题中设未知数时，要明确未知数所代表的具体含义及单位。设未知数时，一般设题目中所求的量为未知数，如果有多个未知量，根据题目中的数量关系合理设出未知数，设完后要检查是否能根据题意列出方程。同时，单位要统一，在设未知数时就明确写出单位，避免后续计算和作答时出现单位混乱。 即时小练： 1. 某学校组织学生去春游，若租用45座客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。求参加春游的学生人数和原计划租用45座客车的数量。（设未知数时未明确单位） 答案：参加春游的学生人数为240人，原计划租用45座客车5辆。 解析：设原计划租用45座客车x辆，参加春游的学生人数为y人。根据题意可列方程组，x = 5，将x = 5代入y = 45x + 15，得y = = 240。所以参加春游的学生人数为240人，原计划租用45座客车5辆。 若设未知数时未明确单位，如只设“租用45座客车x，学生人数y”，则不够规范。 2. 某工厂生产A、B两种产品，已知生产A产品3件和B产品2件，共需消耗原材料12千克；生产A产品5件和B产品4件，共需消耗原材料22千克。求生产一件A产品和一件B产品分别消耗原材料多少千克？（设错未知数） 答案：生产一件A产品消耗原材料2千克，生产一件B产品消耗原材料3千克。 解析：正确设未知数：设生产一件A产品消耗原材料x千克，生产一件B产品消耗原材料y千克。根据题意列方程组，解方程组，x = 2，将x = 2代入y = 3。 若设错未知数，如设生产A产品消耗原材料x千克，生产B产品消耗原材料y千克，未明确是“一件”，则可能导致理解偏差，列方程错误。 3. 甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。经过几小时两人相遇？（设未知数时未明确单位） 答案：经过10小时两人相遇。 解析：设经过x小时两人相遇。根据路程=速度×时间，可列方程6x + 4x = 100，10x = 100，解得x = 10。设未知数时应明确单位“小时”，若只设“经过x两人相遇”，则不规范。 易错点8：解应用题后，未检验所得解是否符合实际意义就直接作答 例题：某班组织学生去看电影，每张电影票售价为30元，若购买团体票，满30人可享受八折优惠。已知该班有45名学生，问购买团体票比购买个人票节省多少钱？ 答案：购买团体票比购买个人票节省270元。 解析：个人票总价：45×30 = 1350（元），团体票总价：45×30×0.8 = 1080（元），节省金额：1350 - 1080 = 270（元）。检验：团体票要求满30人，该班有45人，满足团体票条件，计算结果合理，符合实际意义。 常见错误：若题目中该班人数为25人，此时若按团体票计算，就不符合“满30人”的条件，所得解就不符合实际意义，但未检验直接作答，导致错误。 避错指南： 解应用题得到解后，一定要检验所得解是否符合实际意义。检验时要考虑未知数的取值范围（如人数不能为负数、物品数量不能为小数等）、题目中的限制条件（如购买团体票的人数要求、时间不能为负数等）。只有符合实际意义的解才是正确的答案。 即时小练： 1. 某工厂要生产一种零件，原计划每天生产50个，12天完成任务，实际每天生产60个，实际多少天完成任务？（未检验解的实际意义） 答案：实际10天完成任务。 解析：设实际x天完成任务，根据工作总量=工作效率×工作时间，可得50×12 = 60x，600 = 60x，解得x = 10。检验：每天生产60个，10天生产60×10 = 600个，与原计划生产总量相等，且天数为正数，符合实际意义。 2. 某商店准备购进A、B两种商品，已知购进A商品10件和B商品5件，共需200元；购进A商品5件和B商品3件，共需110元。求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？（未检验解的实际意义） 答案：A商品每件进价10元，B商品每件进价20元；最多能购进50件A商品。 解析：首先求A、B商品进价，设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元，列方程组，由第一个方程得y = 40 - 2x，代入第二个方程得y = 40 - 2×10 = 20。 然后设购进A商品m件，B商品n件，根据题意得，由m ≥ 2n得n ≤ ，代入第一个不等式得20m ≤ 1000，m ≤ 50，但n为商品数量，应为正整数，当m = 50时，n ≤ 25，此时总费用10×50 + 20×25 = 500 + 500 = 1000元，符合条件。正确答案应为50件。 检验：当购进A商品50件，B商品25件时，总费用为1000元，且50 ≥ 2×25，符合实际意义。 3. 一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，求这个长方形的长和宽。（未检验解的实际意义） 答案：长方形的长为6厘米，宽为4厘米。 解析：设长方形的宽为x厘米，则长为(x + 2)厘米，根据周长公式可得2(x + x + 2) = 20，2(2x + 2) = 20，4x + 4 = 20，4x = 16，x = 4，长为4 + 2 = 6厘米。 检验：长6厘米，宽4厘米，周长为2×(6 + 4) = 20厘米，且长比宽多2厘米，符合实际意义，长和宽均为正数，合理。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $