专题04 图形的性质（几何初步与三角形）6大考点（广东专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 图形的性质1 6大考点概览 考点01 几何图形初步 考点02相交线与平行线 考点03 与三角形有关的线段和角 考点04 全等三角形 考点05 等腰三角形 考点06 直角三角形 几何图形初步 考点01 1．（2026·广东惠州·一模）将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（    ） A．75° B．105° C．115° D．120° 【答案】B 【分析】根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：由题意，得， ， ， ， ， ． 2．（2026·广东广州·一模）如图所示，是内的任意一条射线，能正确反映图形的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角的和差进行求解． 【详解】解：∵是内的任意一条射线， ∴． 3．（2026·广东阳江·一模）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 故选：B． 4．（2026·广东深圳·一模）如图，将小立方块①从个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（　　） A．从上面看到的图形改变，从左面看到的图形改变 B．从上面看到的图形不变，从左面看到的图形改变 C．从前面看到的图形改变，从左面看到的图形不变 D．从前面看到的图形不变，从左面看到的图形不变 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看空间组合体，熟记常见空间几何体的平面图形，培养空间想象力是解决问题的关键． 按照题意，将小立方块①从个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，根据观察的角度得出新几何体的平面图形与原几何体的平面图形相比即可得到答案． 【详解】解：移除小立方块①前，从不同方向看几何体得到的平面图形： 移除小立方块①后，从不同方向看几何体得到的平面图形： 将小立方块①从个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，几何体从前面看到的图形不变、从左面看到的图形改变、从上面看到的图形改变， 故选：A． 5．（2026·广东广州·一模）如图，，直线l平分，，则______． 【答案】/70度 【分析】由平行线的性质得出，由邻补角的定义得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直线l平分， ∴， ∴． 6．（2026·广东珠海·一模）如图，已知，，的角平分线与的外角角平分线交于点D，则______度． 【答案】30 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得到，计算即可． 【详解】解：如图， 是的平分线， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， 是的外角， ． 7．（2026·广东阳江·一模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，求的大小． 【答案】． 【分析】根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·广东佛山·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·广东珠海·一模）如图，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 3．（2026·广东东莞·一模）如图，已知直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得的同位角与 的关系，结合邻补角定义即可求解． 【详解】解：如图， 设 为 的同位角， ， ， 又 ∵与互为邻补角， ∴， ∴． 4．（2026·广东深圳·一模）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜与挡板n形成的锐角为．一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处．设光束所在直线与挡板m的交点为D，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·广东·一模）如图，已知直线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作矩形，边所在直线交轴于点．设点的坐标为，若矩形的面积始终为，则下列说法不正确的是（   ）． A．当点在轴上时，点的坐标为 B． C．OE的长始终为 D．的取值范围为 【答案】B 【分析】对于A与B，画出点A在轴上的图，由图可得点的坐标为，同时，故A正确，B错误；对于C，作轴于点，容易证明，则，故C正确；对于D，由定弦定角可判断点在以为直径的圆上，从而得到． 【详解】解：对于A与B：如图， 由题意可知，点的坐标为， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为，即，故B错误， 在矩形中，， ∴点的坐标为，故A正确； 对于C：如图，作轴于点， ∵轴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； 对于D：∵，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，设中点为， ∴， ∵点到轴的距离为， 又∵垂线段最短， ∴，即， ∴，故D正确． 7．（2026·广东广州·一模）如图，直线，直线c与a，b分别相交于点，．若，则__________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． 8．（2026·广东广州·一模）如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为_____． 【答案】18 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，证明三角形是等腰三角形是解题的关键． 根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义证明出，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长为． 故答案为：． 9．（2026·广东广州·一模）如图，和相交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线得出相等的角，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 10．（2026·广东佛山·一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中，都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知，平分． (1)求证：． (2)现测得，坐垫点E在中管的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为．当时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)证明见详解 (2)车座点E到地面的距离为 【分析】（1）根据已知条件利用平行线的性质得出，再由角平分线定理推出，从而得出，进而证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，先根据已知条件证明是等边三角形，再由等边三角形的性质和角平分线定理得出，结合已知条件求出的长，再通过解30度直角三角形和勾股定理求出的长，从而得出结果． 【详解】（1）证明：∵，点M、C、D在同一直线上， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图，过点E作交于点F， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵后车轮圆心点D到地面的距离为， ∴车座点E到地面的距离为． 与三角形有关的线段和角 考点03 1．（2026·广东东莞·一模）下列事件中属于必然事件的是（　　） A．在比赛中，弱队战胜强队 B．用、、长线段为边构成一个三角形 C．掷出两枚硬币，都是正面向上 D．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形 【答案】D 【详解】解：A．在比赛中，弱队战胜强队可能发生也可能不发生，是随机事件，故A不符合题意； B．，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边，因此用，，长线段不能构成三角形，是不可能事件，故B不符合题意； C．掷出两枚硬币，都是正面向上可能发生也可能不发生，是随机事件，故C不符合题意； D．平行四边形一定是中心对称图形，因此任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是一定会发生的事件，是必然事件，故D符合题意． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从地运动到地，他们所走的路程分别记为．对于，它们之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为， ， 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得，； 同理和是等边三角形， 设的边长为， 可得，， 根据等边三角形的性质得，； 丙路程中，延长与，交于点（如图）， ，两边同加得， ， ， ， ， 综上所述，． 3．（2026·广东东莞·一模）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、3，4，7， ∵， ∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15， ∵， ∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13， ∵， ∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11， ∵， ∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形． 故选：C． 4．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 5．（2026·广东阳江·一模）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查是否构成三角形，涉及三角形三边关系：三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．熟记三角形三边关系判断所给线段是否能构成三角形方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不满足三边关系，故本选项错误； B、，不满足三边关系，故本选项错误； C、，不满足三边关系，故本选项错误； D、，满足三边关系，故本选项正确； 故选：D． 6．（2026·广东佛山·一模）如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：∵等腰的顶角， ∴； 由旋转得，， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为． 7．（2026·广东·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点为D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，先根据圆内接四边形对角互补求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由切线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴． 8．（2026·广东佛山·一模）如图，点A、B、C均在上，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 9．（2026·广东东莞·一模）如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若， 则的度数是 ． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质可得，则，结合，可计算出，最后用作差求出． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·广东佛山·一模）如图，为的直径，，则______． 【答案】 【分析】连接，由为的直径，可得，由圆周角定理可得，结合三角形的内角和定理计算出． 【详解】解：如图， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 12．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 13．（2026·广东惠州·一模）如图，是的中线． (1)尺规作图：过点作的平行线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若面积为36，则面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）作，直线交于点，直线为所求的平行线； （2）根据题意得到，证明，利用相似三角形的性质计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线为所求的平行线， （2）解：是的中线，， ， 由（1）知， ， ． 14．（2026·广东汕尾·一模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于与水平线平行，与的夹角为与l的夹角为．经测量：为，为，为，． (1)填空：______，______； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽的高度，并直接写出此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 【答案】(1)64，53 (2)高度约为，长度约为 【分析】（1）延长交l于点，延长交l于点，由，利用三角形的外角的性质，可求得的度数，利用平角的定义，可得到的度数； （2）延长交l于点，延长交l于点，在中，解直角三角形得，由得，进而得，在中，解直角三角形得． 【详解】（1）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64，53； （2）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为． 全等三角形 考点04 1．（2026·广东·一模）如图，正方形的边长为，为线段上一点，点为边的中点，的延长线与的延长线交于点，，交于，交的延长线于，点是的中点．连接、．下列结论：①当点为边的中点时，；②；③当时，；④若点从点运动到点，则此过程中点移动的距离为．其中正确的结论的个数为() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】当点是的中点时，由条件可知，由勾股定理求出，通过证明，可以得出，．过作于如图，可以得出，可以求出，最后由三角形的面积公式求出即可判断①．作于，于易证和，根据全等三角形的性质推出，即可判断②；求出，求出，得出，在中根据勾股定理求出，即可判断③；当在点时，为正方形中心当运动到点时，运动到，证推出，即可判断④． 【详解】解：过作于， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， 、分别为、中点， ，， 由勾股定理得：， 四边形是正方形， ，， ， 在和中 ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 在和中，，， ， ， 在中，由勾股定理得： ，①错误； 过作于， ，四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中 ， ，②正确； ，，， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，③正确； 当在点时，为正方形中心 当运动到点时，运动到， 为的中点，为中点， ， ，， ， ， ，④正确； 综上所述，正确的有个． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 由，四边形是正方形，可证明，得，故，同理可得，可证明，即得，得，从而求出，而，得，即得． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ， 在正方形中，， ，即， 同理可得， ， ，即， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 4．（2026·广东广州·一模）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 故选A． 5．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．20 C．25 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明，有，，则，则的周长等于，从而求解． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长等于， 故选：B． 6．（2026·广东深圳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，过点作于点，由正方形的性质可得，，，，由对折可得，，，推出，根据勾股定理求出，则，进而求出，证明，得到，可得，由，可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，，，， 由折叠可得，，， ， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 7．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 8．（2026·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 【答案】 【分析】连接，证明，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，等积法求出的长，三角形的中位线定理求出的长，进一步计算即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵点H为中点，M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 9．（2026·广东珠海·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过构造全等三角形确定点的运动轨迹是一条过点且与成角的直线，利用垂线段最短确定取得最小值的位置，最后通过构造等腰直角三角形求解. 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， 又∵ 在与中 是等腰直角三角形 点在过点且与成角的直线上运动。 延长交直线于点 是等腰直角三角形 点为线段上一点， 当时， 有最小值，在中，。 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键． 10．（2026·广东珠海·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据正方形的性质证明，得到，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴阴影部分面积 ． 11．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，延长，相交于点，证明，则，，证明，求出，证明，求出，则，证明，得到，则，得到，则，在中，，则，即可求出． 【详解】解：延长交于点，延长，相交于点， ∵垂直于外角的角平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）． 12．（2026·广东深圳·一模）在中，，，点是边上一动点（），连接，将绕点逆时针旋转到上，连接，，取中点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】如图，过点A作交于点O，且，推出，证明出，得到，然后得到点E在的垂直平分线上，求出，取的中点I，连接，，证明出点A，G，I三点共线，求出，然后证明出垂直平分，得到，证明出是等腰直角三角形，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点A作交于点O，且， ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∵将绕点逆时针旋转到上 ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴点E在的垂直平分线上，即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，取的中点I，连接， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∴点A，G，I三点共线 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴，即 ∴． 13．（2026·广东珠海·一模）如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连结，交于点P，则的值为______． 【答案】 【分析】记与交于点A，则点A是的中点，证明，得到，设，则，证明，得到，设，，分别求出，，即可求出结果． 【详解】解：如图，记与交于点A，则点A是的中点， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·广东佛山·一模）如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 【答案】，，是等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形得到，，结合已知条件可得，即可证明，那么，那么可得到是等边三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 15．（2026·广东东莞·一模）已知：如图，E，F为平行四边形的对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，利用证明得出，从而证明，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴． 16．（2026·广东汕头·一模）综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动． 【探究发现】如图①，在正方形中，P为对角线上一动点，连接和，则 发现与始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作，则发现始终是一个特殊的三角形． 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线延长线上且点Q在的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立． 根据以上材料，请你完成下列问题： (1)如图①， 同学们发现与始终存在的一种数量关系是 ； 如图②，始终是一个特殊的三角形，即 ． (2)请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来． 【拓展应用】 (3)如图⑤，在正方形中，P为边上任意一点，O为的中点，过点P作于点E，连接，，作的外接圆，若，求外接圆的半径． 【答案】(1)，等腰三角形 (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据正方形的性质易证明，进而得到，根据垂线的性质得到，进而得到，从而证明是等腰三角形； （2）选择图③，令与交于点，根据正方形的性质易证明，进而得到，根据垂线的性质得到，进而得到，从而证明是等腰三角形；选择图④同理证明即可； （3）连接和，易证明，进而得到，根据直角三角形的性质得到，进而得到，同理得到，进而得到是等腰直角三角形，设外接圆圆心为点F，连接和，则是等腰直角三角形，从而得到外接圆半径． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：选择图③，证明如下： 令与交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 选择图④，证明如下： 四边形是正方形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图⑤，连接和， 在正方形中，、， ， ， ， 、、为的中点， ， ， ， 同理、， 、， 是等腰直角三角形， ， 设外接圆圆心为点F，连接和， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的外接圆的半径为1． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 17．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①作的角平分线交于，过作的垂线交于，以为圆心、长为半径作，即满足要求； ②以为圆心，长为半径画弧，交于异于侧的点，连接，即为所求切线； （2）连接，由作法可知，易证明，进而得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； 证明：平分， ， 、， ， ， ， ， ， 与相切； （2）证明：连接， 与相切， ， 由作法可知：， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 直线为的切线． 18．（2026·广东东莞·一模）旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题． (1)【发现问题】如图 1，P为等边内一点，，求：以为边构成的三角形各个内角的度数． 解：如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接，请完成后面的过程； (2)【类比探究】如图 3 ，已知线段用无刻度的直尺和圆规求作等边，使内部一个顶点 P 到三个顶点的距离分别为4 ，5 ，6．（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展延伸】如图4，在四边形中，．探索线段的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1)，过程见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，据此求出和的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）先作，满足，再作等边三角形，连接，以为边作等边，则即为所求；利用可证明，则，而，故即为所求； （3）将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，则是等边三角形，可得，；证明是等边三角形，得到，证明，得到；证明，由勾股定理得，即． 【详解】（1）解：如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接， ∵是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴以为边构成的三角形即为， ∴以为边构成的三角形的三个内角的度数分别为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：，证明如下： 如图所示，将绕点B逆时针旋转60度得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 19．（2026·广东湛江·一模）根据要求解决问题： (1)【新知探究】 对于正数a、b，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： a，b的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 m ， 3 ①表格中的________； ②根据表格，猜想________（比较大小） (2)【理解应用】 ①已知，，当________时，代数式取得最大值是________； ②如图1，已知，在中，，，求周长的最大值． (3)【拓展提升】 如图2，已知正方形的边长为4，P为边上的动点，交于E，过点E作交边于点F，连交于点G，求面积的最小值． 【答案】(1)①；② (2)①，100；② (3) 【分析】（1）①根据几何平均数的定义求；②根据表格猜想结论即可； （2）①观察表格发现，当时，；当时，，据此可得当时，代数式取得最大值，即可得解；②由勾股定理可得，则，当时，最大，最大值为18，即可得解； （3）连接交于，连接，根据正方形和等腰三角形的性质，推出，根据可知，当时，最小，此时是的垂直平分线，过作于，过作于，根据角平分线的性质，设，则，根据的长列方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②根据表格猜想：； （2）解：①观察表格发现，当时，；当时，； 当时，代数式取得最大值， 时，最大值为100； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，， 当时，最大，最大值为18， 周长的最大值为：； （3）解：如图，连接交于，连接， 由正方形的对称性可得：，， 正方形的边长为4， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 当时，最小； 此时是的垂直平分线， ，， ∴， ∵， ， ， 过作于，过作于，则， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 面积的最小值是． 20．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，为线段上一点． (1)尺规作图，作点关于的对称点，连接，，并证明； (2)如图，当由点运动到点过程中， 若线段与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在上取一点，使得，连接，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)；最小值为． 【分析】（）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，然后通过全等三角形的判定方法即可求证； （）先证明，所以，则，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接，由勾股定理得，则，设，则，可证，所以证明，则，所以点在与夹角为的直线上运动，再得出，，即点在垂直平分线上运动，，则，故当点三点共线时，有最小值的长，即的最小值为． 【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点即为所求， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此时； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴， ∴， ∴，即点在垂直平分线上运动， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值的长， 即的最小值为． 21．（2026·广东佛山·一模）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件： ①，，； ②，，； ③，，． 请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 你选的一组条件的序号是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 若选②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 32．（2026·广东东莞·一模）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)的面积的最大值是． 【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 23．（2026·广东茂名·一模）已知：如图，在中，． (1)用直尺和圆规作边的垂直平分线交于点于点； (2)连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，证明，可得，求出即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（2026·广东·一模）已知：如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可解答． 【详解】证明：∵平分， ， 在与中 ， ， ． 25．（2026·广东深圳·一模）综合与探究：菱形 中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度； (3)如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）证明，得，可证出，即可证明； （2）根据线段长度比较，可得，对等腰三角形的相等边进行分类讨论，结合相似三角形和三角函数求得对应的的长度； （3）由于的面积与的面积相等，得，通过相似三角形面积比为相似比得平方，可得出的临界值，得出最终结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ， 又∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，下面作分类讨论： ①， ∵， ， ∴， ∴， 此时， 连接，交于点，如下图所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②， 此时， ∴， ∴， 综上所述，或． （3）解：由菱形的对称性得：， 的面积与的面积相等， ∴， 当与，重合时，取得最大值， 所以， 当时，取得最小值， 所以， 综上所述． 26．（2026·广东深圳·一模）邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图1，在四边形中，若，那么四边形称为“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 (1)用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有___________（填序号）． 【性质探究】 (2)如图3，四边形是邻等对补四边形，其中，． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，求的长？ 【拓展应用】 (3)如图4，在Rt中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)①，见解析；② (3)或或1 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，过A作于F，作，交于点，分别解，再根据线段的和差关系即可得出结果； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：（1）观察图知，图①、图③中不存在对角互补，图②、图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②、图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①；理由如下： 延长至点E，使，连接，如下图， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过A作于F，作，交于点，如下图，则， ∵， ∴， ∴，， 由①可知：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时， 如图，连接，过N作于H， ∴， 在中，， 在中，， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴， 过点N作交于G， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 当时， 连接，过N作于H，如图， ∵， ∴， ，即 解得：， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 综上，或或1． 27．（2026·广东深圳·一模）【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． (1)【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． (2)【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． (3)【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】(1)，； (2) (3)图见解析，或 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 28．（2026·广东佛山·一模）如图，在四边形中，，，与交于点O，．点F是上任意一点，连接交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． (3)若添加一个条件后，则这个条件可以是什么？说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)8 (3)，理由见详解 【分析】（1）先证明得到，从而证明出； （2）利用等腰三角形三线合一的性质得到，，结合已知条件求出，利用勾股定理求得的长，此时可判定出四边形是菱形，进而求得结果； （3）由已知条件和直角三角形两锐角互余的性质得到，再利用全等三角形的性质得到，从而通过等边对等角得到，结合三角形外角的性质和角度代换即可证得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即四边形是菱形， ∴． （3）解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 等腰三角形 考点05 1．（2026·广东汕头·一模）如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·广东江门·一模）如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理与外角的性质可计算得，利用扇形弧长公式进行计算即可． 【详解】解：在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 的长为． 3．（2026·广东佛山·一模）如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，证明是等边三角形，，得，根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点C、D是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 4．（2026·广东深圳·一模）如图，点D是等边边AB上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E，F分别在和上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比 借助翻折变换的性质得到、；设，则；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：设，则， 为等边三角形， ，， ， 又， ， ，由折叠，得 ， 的周长为，的周长为， 与的相似比为 ． 故选：D． 5．（2026·广东惠州·一模）如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．18.5 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线、作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明有则则的周长等于从而求解. 【详解】解：由作图可知，平分，， 的周长等于 故选：C. 6．（2026·广东深圳·一模）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，当，转动到，时，点E在的延长线上，若，则__________． 【答案】 【分析】过点E作，垂足为F，根据垂直定义可得：，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2026·广东广州·一模）美国华盛顿大学研究团队在年发现了一种新的不规则五边形（如图①）．相互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形，这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子．设此五边形中．则______；该五边形的周长为______． 【答案】 【分析】先将图②抽象成数学模型，根据邻角之间的关系可得关于五边形五个内角的方程组，求解出每个角的值即可．根据抽象所得的图③可知，，．连接，，作于点，取的中点，连接，则是等腰直角三角形，是含角的直角三角形，由勾股定理和三角函数可计算出，，．由和可判断，进而得到也是等腰直角三角形，因此，最后利用所得数据计算周长即可． 【详解】解：将图②抽象成几何图形可得， 由图③可知， ， 解得， 如图④，连接，，作于点，取的中点，连接， 由图③可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 8．（2026·广东阳江·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， 又， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 9．（2026·广东珠海·一模）如图，菱形的边长为6，，E在线段上，，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接，设交于点O，过点E作于点F，根据菱形的性质可得为等边三角形，再结合勾股定理可得，证明，可得，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点O，过点E作于点F， ∵菱形的边长为6， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·广东深圳·一模）如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】先推导出，得到，则，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ，， 由题意，得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为． 11．（2026·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，，点D是边上一点，连接，将绕点D逆时针旋转，点A的对应点恰好落在延长线上，则的长为_____． 【答案】 【分析】过作于，过作交直线于，由和得到，，再证明，得到，，根据，设，则，，最后根据，列方程解得，，． 【详解】解：过作于，过作交直线于，如图， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转，点A的对应点恰好落在延长线上， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 12．（2026·广东深圳·一模）如图，在中， ，D为上一点，连接，以为直角边向右侧作等腰直角， ，与交于点F，连接，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】先证明，再证明，得到，进而推出，过F作交于点G，推出，设，求出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过F作交于点G，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴． 13．（2026·广东深圳·一模）如图，在菱形中，，，则菱形的周长为__________． 【答案】8 【分析】根据菱形的性质得到，，根据等边对等角得到，证明是等边三角形，得到，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为． 14．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则___________． 【答案】 【分析】延长至H，使得，连接，，利用三角形的中位线定理得到；然后利用旋转性质和等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而证明，利用相似三角形的性质可得到答案． 【详解】解：延长至H，使得，连接，， ∵点为的中点，， ∴是的中位线， ∴； 由旋转性质得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·广东东莞·一模）定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形． (1)【初步思考】如图2，在中，，，D、E为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是________． (2)【实践应用】如图3，在矩形中，，．点E在边上，点F在边上，若与是关于的互补三角形，试求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题目所给的定义即可判断， 因为为互补三角形，所以都为等腰三角形，通过勾股定理算出的长度，则也可知，再设为则为，之后再用勾股定理即可算出的长． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，且为等腰三角形， ， ，且有公共底边， 与为互补三角形． （2）和为互补三角形， 和都为等腰三角形， ． 在中， ， ， 设长为，则 在中， ， 即， 解得． 16．（2026·广东汕头·一模）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． (1)求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； (3)如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，见解析；② (3) 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解： ①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在的对角线上， ∵，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 17．（2026·广东佛山·一模）尺规作图：如图，以点O为圆心的弧，交于点C，交于点D，使扇形的面积与扇形的面积比为． (1)请求出的值； (2)请作出扇形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过扇形面积公式直接求解即可； （2）画出垂直平分线，以点为圆心，长度为半径，取，然后以为半径，为圆心画弧即可得到弧． 【详解】（1）解：设的度数为， 扇形的面积为， 扇形的面积为， 所以， 可得， ∴（负值舍去）； （2）解：扇形如图所示． 18．（2026·广东珠海·一模）如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的半圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，由等边对等角得出，，等量代换可得出，即可得出，由平行线的性质得出，即可证明是的切线． （2）由含30度直角三角形的性质得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，进一步得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，勾股定理求出，由同底等高得出，由圆周角定理得出，最后由代入计算即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 19．（2026·广东·一模）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，若，，求折中线中较长的； (2)如图2，若，请探究折中线的长与k之间的数量关系式，并说明理由； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长，理由见解析 (3)折中线的长为或 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得，，，再证明为等边三角形，结合题意可得，，由勾股定理得出，再由平行线的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）由菱形的性质可得，，再证明，得出，计算得出，，即可得出结果； （3）由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等，分两种情况：当时，过点作，交的延长线于点，过点作于点；当时，过点作，交的延长线于点，连接交于点，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：折中线的长，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折中线的长； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时折中线的长； 当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接交于点， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴折中线的长， 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 20．（2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或 【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断； （2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明； （3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或． 直角三角形 考点06 1．（2026·广东汕头·一模）在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出，求出，求出，求出点的坐标，即可求解． 【详解】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，即，的值最小， 此时， ∴当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， 即的最小值为． ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 2．（2026·广东珠海·一模）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，由作图可知，平分，，根据角平分线的性质，直角三角形的性质逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： A、由作图可知， ，不一定垂直平分，不一定等于，故选项符合题意； B、由作图可知，，故选项不符合题意； C、∵平分，，， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； 故选：A． 3．（2026·广东深圳·一模）在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为_________． 【答案】/2.5 【分析】在平行四边形中，由，可得出，根据是等边三角形，可得，，连接，作的平分线交于点，证明点在上运动，由，可得当取最大值时，的面积最大，由，，可得，可得，则可得，，则与重合时，最大，再证明是等边三角形，可得，则，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接，作的平分线交于点， ∵在平行四边形中，，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴平分， ∵平分， ∴与重合，即点在上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴当取最大值时，的面积最大， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴最大时，最大， ∵点在四边形的内部或边上， ∴当与重合时，最大， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴． 4．（2026·广东深圳·一模）如图，以正六边形的顶点A为圆心，的长为半径画弧，得到．连接，．若正六边形的边长为，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质得出，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边长为， ， ， ， 过作于， ， 在中，， ， 同理可证，， ， ∴的长为． 5．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】如图，连接，首先证明出点B，E，F，C四点共圆，且是圆的直径，得到，设，则，利用勾股定理求出，则，然后求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴点B，E，F，C四点共圆，且是圆的直径 ∴ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵是斜边上的中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 6．（2026·广东珠海·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点F关于的对称点，在中，过点F作，求得，当E，G，三点共线时，最小，此时，据此求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点， ∴，且，为定点， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴在中，过点F作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵周长为， 且， 当E，G，三点共线时，最小，此时， ∵，且菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴周长的最小值为． 7．（2026·广东·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在边的点E处，已知，，则的长是________． 【答案】5 【分析】根据折叠得到，，再结合含30度直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·广东汕头·一模）如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质求出，，结合勾股定理求出，，进一步得出，，根据菱形的性质即可求解； （2）根据直角三角形的性质得出，推得，根据余弦的定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长为， ∴． 根据题意可得， 故， 令，， 在中，， 故， ∴，， ∴，． 对于菱形，， 即， 解得， ∴的长为． （2）解：∵，点是的中点， 故， 即， 在中，， 在中，， 故， 即． 9．（2026·广东深圳·一模）定义：在平行四边形中，是平行四边形的对角线，点是平行四边形边上一点，分别连接，若满足，则称点为平行四边形的“共轭连接点”． (1)如图1，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，则___________； (2)如图2，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，，，求的长； (3)如图3，已知在矩形中，矩形的两邻边的之比为，点是矩形的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出___________． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②或． 【分析】（1）先解出，再证为等边三角形即可求解； （2）同（1）解出，再过作交于，可证得，求得，即，解出即可求解； （3）①延长，使得，再作的垂直平分线，以为直径作圆即可；②设，再分别在中，利用勾股定理，构建方程求解． 【详解】（1）解：， ， 在平行四边形中，, ，， ， ， ， ， ， 又， ，则为等边三角形， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）， ，， 又， ， 过作交于， ， 为中点，， 在中，， ， ， ； （3）解：①如图即为所求， 延长，使得， 在和中， ， ， ， 又为直角三角形， 则以为直径作，与交于点， 又圆的内接四边形对角互补， ， 即, 故即为所求； ②如图，不妨设，则，， ， 当在处时，连接， 设，则， 为直径， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， 此时， 同理可得， 综上，或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04图形的性质1 ☆6大考点概览 考点01几何图形初步 考点02相交线与平行线 考点03与三角形有关的线段和角 考点04全等三角形 考点05等腰三角形 考点06直角三角形 考点01 几何图形初步 1.(2026广东惠州一模)将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为() bbmlbulbla mmlumlmmladlll A.75° B.105 C.115 D.120° 2.(2026广东广州一模)如图所示，OC是∠A0B内的任意一条射线，能正确反映图形的关系式是() -B A.LA0C=∠B0C B.∠A0C>∠B0C C.∠A0B=2LA0C D.∠AOB=∠AOC+∠BOC 3.(2026广东阳江·一模)如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日兰州 正午太阳光线与水平面的夹角B为54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是() 集热板 太阳光线 支 架 水平面 A.26° B.36° C.46° D.54° 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026广东深圳一模)如图，将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几 何体( A.从上面看到的图形改变，从左面看到的图形改变 B.从上面看到的图形不变，从左面看到的图形改变 C.从前面看到的图形改变，从左面看到的图形不变 D.从前面看到的图形不变，从左面看到的图形不变 5.(2026广东广州一模)如图，AB∥CD,直线1平分LB0E,∠1=40°，则∠2= 6.(2026广东珠海一模)如图，已知ABC,∠A=60°，∠B的角平分线与∠C的外角角平分线交于点D ,则∠D=度 B 7.(2026广东阳江一模)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放， 其中点A,E,C,F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时， 求∠ADE的大小. 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 相交线与平行线 1.(2026广东佛山一模)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光 线相交于点P,点F为焦点.若∠1=159°，∠2=22°，则∠3的度数为() 3 A.430 B.45° C.51° D.53° 2.(2026广东珠海一模)如图，AB∥CD,若∠2=55°，则∠1的度数为() A.35° B.45° C.55° D.1250 3.(2026广东东莞一模)如图，已知直线1∥12，∠1=130°，则∠2的度数为() 2 A.130° B.70° C.60° D.50° 4.(2026广东深圳一模)如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡 板n形成的锐角为23°.一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上的点C处.设光束AB所在直线与挡板m的交点为D,若∠DBF=∠CBE=52°，则∠BCD的度数为() D 挡板m 平面镜 挡板n A.75° B.76 C.85° D.105 5.(2026广东一模)如图，己知直线a∥b,∠1=75°，∠3=40°，则∠2的度数是() 37 A.350 B.40° C.45° D.50° 6.(2026广东深圳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=2上的动点，连接OA,以OA为 边在OA的右侧作矩形OACB,边CB所在直线交x轴于点E.设点B的坐标为m,n),若矩形0ACB的面积始 终为8，则下列说法不正确的是(). B E A.当点A在y轴上时，点C的坐标为4,2)B.mn=4 C.OE的长始终为4 D.的取值范围为-2≤n≤2 7.(2026广东广州一模)如图，直线a∥b,直线c与a,b分别相交于点A,B.若∠1=50°，则∠2= 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1△A 8.(2026广东广州一模)如图，ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别 交AB、AC于点D、E,且DE∥BC·.若AB=8,AC=10,BC=15,则ADE的周长为· D B 9.(2026广东广州一模)如图，AD和CB相交于点O,AB∥CD,OB=OC,求证：OA=0D. 10.(2026广东佛山一模)某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中AB, CD都与地平线1平行，点M、C、D在同一直线上.已知MC=AC,CE平分∠ACD. E M ●D 1地平线 图1 图2 (I)求证：AM∥CB. (2)现测得AB=AC=BC=40cm,坐垫点E在中管CB的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的 距离为26cm.当BE=20cm时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 与三角形有关的线段和角 1.(2026广东东莞一模)下列事件中属于必然事件的是() A.在CBA比赛中，弱队战胜强队 B.用2cm、3cm、5cm长线段为边构成一个三角形 C.掷出两枚硬币，都是正面向上 D.任意画一个平行四边形，它是中心对称图形 2.(2026广东深圳一模)如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路 程分别记为，12,1两·对于l,l2,两，它们之间的关系正确的是（) G D H 60 60 4A}TTT7A 60° 甲 乙 丙 A.l年>12z>l丙B.l2>l年>l丙 C.l丙>l年=l2 D.l年=l2>l丙 3.(2026广东东莞一模)下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是 () A.3,4,7 B.6,8,15 C.5,12,13 D.5,5,11 4.(2026广东东莞一模)如图，在ABC中，BC边上的高为() D A B ---E A.CE B.AF C.DB D.AB 5.(2026广东阳江一模)以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A.2cm,3cm,5cm B.3cm,3cm,6cm C.5cm,8cm,2cm D.2cm,5cm,6cm 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026广东佛山一模)如图，等腰ABC的顶角∠B=28°，将ABC绕点A逆时针旋转，BC的对应边 B'C'恰好经过点C,则旋转角的度数为() A.124° B.28° C.76° D.56° 7.(2026广东·一模)如图，四边形ABCD为O0的内接四边形，AB为⊙0的直径，点P在BA的延长线上， PD与O0相切，切点为D,若∠BCD=130°，则∠P的大小为() B A.80° B.40° C.20° D.10° 8.(2026广东佛山一模)如图，点A、B、C均在O0上，连接A0、B0、AC、BC.若LAOB=70°， ∠A=50°，则∠0BC的度数为() B A.15° B.20° C.25 D.35° 9.(2026广东东莞一模)如图①，中国古代的马车己经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺， 所彰显的智慧让人拜服.如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙0的直径，过圆心O的车架AC一端点 C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D,连接AD,BD,若∠C=20°，则∠BDC的度数是_°. D 图① 图② 10.(2026广东佛山一模)如图，AB为O0的直径，∠C=25°，则∠BAD=°. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 11.(2026广东深圳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，依据尺规作图的痕迹，计算 ∠a= 12.(2026广东湛江一模)先化简，再求值： 卫知即(》，若24好是等腰 ABC的三边长，求W的值， 13.(2026广东惠州一模)如图，BD是ABC的中线. B C (I)尺规作图：过点D作BC的平行线交AB于点E;(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，若△BCD面积为36，则ADE面积为_ 14.(2026广东汕尾一模)现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、 伸缩杆CD和灯臂DE组成.A,B,C三点在同一直线上.图2是该设备的平面示意图.AC垂直于 AF,AF与水平线1平行，CD与l的夹角为∠1，DE与1的夹角为∠2，经测量：AB为12cm,BC为26cm, DE为30cm,∠BCD=154°，∠CDE=63°. M 图1 图2 (①)填空：∠1=°，2= 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳.求此时理疗灯灯帽D的高度，并直接写出 此时伸缩杆CD的长度.（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） 考点04 全等三角形 1.(2026广东一模)如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的 延长线与CD的延长线交于点F,MG⊥EF,交CD于N,交BC的延长线于G,点P是MG的中点.连接 EG、FG.下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG=5;②MG=EF;③当AE=√5时，FG=2V5 ;④若点E从点A运动到点B,则此过程中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个数为O G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2026广东深圳一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE,以点E旋 转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE,连接AF,FE交边CD于点G,H,则GH的长为(). D G F H A.3 5-2 B C.2 D 3.(2026广东深圳一模)如图，在正方形ABCD中，点P在DC上，连接PA,PB,作AE⊥PB于点M, 交BC于点E,作BF⊥PA于点N,交AD于点F.若APB=53°，则∠PFB+∠PEA等于() M B 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.148° B.143° C.1369 D.126 4.(2026广东广州一模)化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径的任务.如图，小明将两根小棒 AD,BC的中点O固定，测得C,D之间的距离即内径AB的长度.此方案依据的数学定理是() C A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 5.(2026广东东莞一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5,BC=12,根据尺规作图 痕迹可知，△BPD的周长是() B A.17 B.20 C.25 D.18 6.(2026广东深圳一模)如图，折叠正方形ABCD的一边AD,使点A落在BD上的点N处，折痕DM交 AC于点P.若BM=8,则AP的长是() 0 M B A.42 B.4 C.2√2+2 D.2√2-2 7.(2026广东东莞一模)如图，在平面直角坐标系中，R1△A0B的顶点坐标分别是0(0,0)，A(0,4), B(3,0),其两个锐角的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y=36的图象上，则△APB的面积 是 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 8.(2026广东汕头一模)如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC的延长线上，且 CF=AE,点H为DE中点，连接HF和EF,M为EF的中点，连接HM,作DG⊥HF于点G,若DE=6 ,则DG·HM= D H M B 9.(2026广东珠海一模)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点P为线段AD的上一点，DP=1, 点E是直线BC上的动点，连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90，点A的对应点为点F,连接PF,则 PF的最小值为 D B E C 10.(2026广东珠海一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在AC、 AB、BC边上，若AE=√5，BE=√3，则阴影部分面积为 E 11.(2026广东深圳一模)如图Rt△ABC,∠ACB=90°，AD垂直于∠ABC外角的角平分线于D点，过D作 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC的重线，交C8延长线于点E,走接DC交B于点F,g-}DE=6,那么的长为 B E 12.(2026广东深圳一模)在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D是边BC上一动点（BD>CD), 连接AD,将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上，连接CE,BE,取BE中点G,若DE⊥CE,则C的值 CE 为 D 13.(2026广东珠海一模)如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连结 ,61交于点A则沁的值为 M 图1 图2 14.(2026广东佛山一模)如图，点D、么、F是等边三角形4BC边上的点，满足AD=BE=CF=背AB.连 接DE、EF、FD,写出符合题意的三个不同类型的正确结论： D 15.(2026广东东莞一模)已知：如图，E,F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求 证：AE∥CF. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2026广东汕头一模)综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动. 【探究发现】如图①，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一动点，连接AP和CP,则 发现AP与CP始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作PQ⊥AP,则发现△CPQ始终是一个特殊的三 角形 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在CD的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线BD延长线上且点Q在CD的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立 图① 图② 图③ B 图④ 图⑤ 根据以上材料，请你完成下列问题： (I)如图①，同学们发现AP与CP始终存在的一种数量关系是_： 如图②，△CPQ始终是一个特殊的三角形，即_， (2)请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来. 【拓展应用】 (3)如图⑤，在正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，O为BP的中点，过点P作PE⊥BD于点E,连接 AE,OE,作△ABE的外接圆，若OE=1,求外接圆的半径. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(2026广东汕头一模)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°. B ()求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) ①在边AB上找一点P,以点P为圆心，PA为半径作OP,使得OP与BC相切于点D; ②过点B作OP的切线BE切OP于点E. (2)求证：直线BE为OP的切线 18.(2026广东东莞.一模)旋转是初中数学图形变换很重要的内容.通过旋转将已知条件这种分散的边或 角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题， B 图1 图2 图3 图4 (I)【发现问题】如图1，P为等边ABC内一点，∠APB=123,∠APC=113°，求：以PA,PB,PC为边 构成的三角形各个内角的度数. 解：如图2，把△APB绕点A旋转到△ACP',连接PP',请完成后面的过程； (2)【类比探究】如图3，已知线段a=4,b=5,c=6用无刻度的直尺和圆规求作等边ABC,使ABC内 部一个顶点P到ABC三个顶点的距离分别为4,5,6.（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展延伸】如图4，在四边形ABCD中LABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD,探索线段BD、BC、BA 的数量关系并证明你的结论。 19.(2026广东湛江一模)根据要求解决问题： ()【新知探究】 对于正数a、b,我们称a+也 为a、b的算术平均数，称√ab为a、b的几何平均数.请观察下面的表格，并 解答下面的问题： a,b的值 a+b的值 √ab的值 2 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a=2,b=8 5 4 a=4,b=4 4 a=6,b=2 m a=5,b=1 5 ①表格中的m= ②根据表格，猜想a+b 2ab(比较大小) (2)【理解应用】 ①已知，10<x<30,当x=时，代数式(x-10)(30-x取得最大值是 ②如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,求ABC周长的最大值. 图1 (3)【拓展提升】 如图2，已知正方形ABCD的边长为4，P为CD边上的动点，PA交BD于E,过点E作EF⊥AP交BC边 于点F,连AF交BD于点G,求△AGE面积的最小值. D E G B 图2 20.(2026广东广州一模)如图1，在ABC中，AB=AC=45,∠B=30°，D为线段BC上一点. E B D D 图1 图2 (I)尺规作图，作点C关于AD的对称点E,连接DE,AE,并证明△ACD≌△AED; (2)如图2，当D由C点运动到B点过程中， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①若线段DE与线段AB交于点F,当EF.FD取最大值时，求AF的值： ②在DE上取一点G,使得LGAD=LE,连接AG,GC,AG+GC是否存在最小值，如存在请求出，若 不存在请说明理由。 21.(2026广东佛山一模)如图，己知点B、E、C、F在同一直线上.给出以下三组条件： ①BE=CF,AC=DF,AB=DE; ②BE=CF,AC=DF,ACI‖DF; ③BE=CF,AC=DF,∠B=∠DEF. 请你选用其中一组可以证明∠A=∠D的条件进行证明. 你选的一组条件的序号是 证明： 32.(2026广东东莞一模)【问题情境】 ABC绕点A逆时针旋转90°得ADE,连接CB、BD,恰好点D落在线段CE上. E B 图1 图2 【数学思考】 (I)如图1，求证：BC⊥CE; 【探究实践】 (2)如图1，己知BC=1,AC=22,求AF的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当AB=√5时，过点F作FG∥CE交AE于点G,连接DG,求△DFG的面积的最大值. 23.(2026广东茂名一模)已知：如图，在ABC中，∠C=90°，AB=8. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)用直尺和圆规作边BC的垂直平分线交AB于点P,BC于点Q: (2)连接PC,求PC的值. 24.(2026广东一模)已知：如图，AB平分∠CAD,∠C=∠D.求证：BC=BD. B D 25.(2026广东深圳一模)综合与探究：菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，连接BD,P是BD上的动 点，将CP绕点C顺时针旋转120得到C2 A D A 图1 图2 图3 (1)如图1，连接DQ,求证：AD⊥DQ: (②)如图2，连接PO交CD于E,当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度； (3)如图3，连接PQ交CD于E,连接AP,记△CEP的面积为S,△APD的面积为S,求 的取值范围. S 26.(2026广东深圳，一模)邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对 补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=18O°，AB=AD,那么四边形ABCD称为“邻等对补四 边形”. ④ 图1 图2 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图3 备用图 图4 备用图 备用图 【概念辨析】 (1)用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形的有 (填序号). 【性质探究】 (②)如图3，四边形ABCD是邻等对补四边形，其中AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°. ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若AD=4,∠ABC=60°，∠BCD=45°，求BC的长？ 【拓展应用】 (3)如图4，在Rt ABC中，∠B=90°，AB=2,BC=3,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形 ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值. 27.(2026广东深圳一模)【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形.让 我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究。 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有 一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”. D B B E E 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在“璧合四边形ABCD”中，若∠A=60°，则∠CBD= AD的值为 BD (2)【问题解决】如图2，在“璧合四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上一点， 且CD⊥DE,求二的值. BC (3)【拓展应用】如图3，在“璧合四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=12,E为线段AB上一动点，且 CD⊥DE,连接CE,将△CDE沿CE翻折，得到△CFE,连接BF,若BF=4,作出图形并求线段AE的长. 28.(2026广东佛山一模)如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD,AC与BD交于点O, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB=OD.点F是AB上任意一点，连接CF交BD于点E,连接AE. (I)求证：△CBE≌AABE, (2)若AC=2,BD=2√3，求四边形ABCD的周长. (3)若添加一个条件后∠AEF=∠ADC,则这个条件可以是什么？说明理由. 考点05 等腰三角形 1.(2026广东汕头一模)如图，一块含45°的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边BC与x轴重合， 点A在双曲线y=k上，若点C的坐标为(-1,0)，4C=22,则ADEF的面积为() 1 D A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2026广东江门一模)如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，其中 AB=2,以C为圆心，CD为半径画弧交AB于点E,则DE的长为(). B 2 B. C. D 3.(2026广东佛山一模)如图，点C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，连接CD,AC,半径 0A=6cm,则阴影部分的面积为() 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.3cm B.(6π+9V5)cm2 C.2nem D.6zcm2 4.(2026广东深圳一模)如图，点D是等边ABC边AB上的一点，且AD:DB=1:3,现将ABC折叠， 使点C与D重合，折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上，则CE:CF=() D B A.1:3 B.2:5 C.4:6 D.5:7 5.(2026广东惠州一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90☐，AB=13,AC=5,BC=12,根据尺规作图 痕迹可知，△BPD的周长是() A.17 B.18.5 C.20 D.25 6.(2026广东深圳一模)如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB,DC可分别绕点A,B转动， 当AB,DC转动到∠BAE=60°，∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=10cm,则AB= cm D ⑦ ② 7.(2026广东广州：一模)美国华盛顿大学研究团队在2015年发现了一种新的不规则五边形（如图①）.相 互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形， 这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子.设此五边形ABCDE中AE=10cm·则LC=;该五 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边形的周长为 cm. D 图① 图② 8.(2026广东阳江一模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=3, 则AC的长为 D B 9.(2026广东珠海一模)如图，菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，E在线段AD上，DE=1,则CE的长 度为 D E B 10.(2026广东深圳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2√2，以A为圆心，AB长为半径画弧交 边CD于点E,连接AE,则图中阴影部分的面积为·（结果保留n) D E B C 山.2026广东深圳一模)如图，在等腰ABC中，B=AC=5,cs∠C点D是C边上一点，通 接AD,将AD绕点D逆时针旋转90°，点A的对应点A恰好落在AB延长线上，则CD的长为， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 12.(2026广东深圳一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB上一点，连接CD,以 CD为直角边向右侧作等腰直角△CDE,∠CDE=90°，CD=DE,CE与AB交于点F,连接BE,若 BE=BF,则BE的值为 DE D 13.(2026广东深圳一模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B,AC=2,则菱形ABCD的周长为 14.(2026广东深圳一模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为ABC内一点，将线段 BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,连接BE,CE,点F为CE的中点，连接DF,AD,若DF=2√5 ,则AD= 15.(2026广东东莞一模)定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是180°，则称这两个三 角形是关于这条底边的互补三角形.如图I,四边形ABDC中，BC是一条对角线，AB=AC,DB=DC, 且∠A+∠D=I80°，则ABC与△DBC是关于BC的互补三角形. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D 图1 图2 图3 (I)【初步思考】如图2，在ABC中，AB=AC,LABC=30°，D、E为ABC外两点，EB=EC, ∠EBC=45°，△DBC为等边三角形.则ABC关于BC的互补三角形是 (②)【实践应用】如图3，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,点E在AB边上，点F在AD边上，若 △BEF与BCF是关于BF的互补三角形，试求AE的长. 16.(2026广东汕头一模)【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. D A F B D' B 图1 图2 D 人 B A 图3 图4 (I)求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究. 在线段CD上取一点E,连接BE,将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED',其中A,D分别是A, D的对应点， (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F,如图2.判断四边形DBA'F的形状，并说明理由； 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②乙：点恰好落在边BC上，如图3.求DE的长； (3)如图4，连接DD'交BE于点P,连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存 在，直接写出；若不存在，说明理由 17.(2026广东佛山一模)尺规作图：如图，以点O为圆心的弧CD,交OA于点C,交OB于点D,使扇 形COD的面积与扇形A0B的面积比为1：2. B 0游采出8%值： (②)请作出扇形COD.(保留作图痕迹，不写作法) 18.(2026广东珠海一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的半 圆O交AC于点D,连接ED并延长，交BC的延长线于点F,且BF=BE,连接BD, B (1)求证：AC是O0的切线； (2)若∠A=30°，BC=9,求阴影部分的面积. 19.(2026广东一模)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形 的折中线.例如，如图I,在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE,BE,则折线AEB叫做菱形ABCD 的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长. 己知，在菱形ABCD中，AB=k,E是CD的中点，连接AE,BE. B 图1 图2 (I)如图1，若∠D=120°，k=10,求折中线AEB中较长的AE; (2)如图2，若LC=∠AEB,请探究折中线AEB的长与k之间的数量关系式，并说明理由： 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若k=I0,且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长， 20.(2026广东深圳一模)【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成 两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”. E B D 图1 图2 图3 备用图 ()【理解定义】 如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=I20°，D是线段BC上一点，连接AD,若AD=BD,那么线段 AD_(填“是”或“不是”)ABC的“奇妙分割线”. (2)【运用定义】 如图，在平行四边形ABCD中，AB=√5，BC=5,连接AC,若LBAC=90°，E是线段BC上一点， CE=3,连接DE交AC与点F.求证：线段CF是△DCE的“奇妙分割线”. (3)【拓展提升】 3 如图，在ABC中，AB=5,BC=3,sin∠ABC=亏点D是线段BC上的动点（点D不与B、C重合）， 连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△AED,点B的对应点为点E,连接BE、CE,当ED是△BCE的“奇 妙分割线”时，求线段BD的长 考点06 直角三角形 1.(2026广东汕头一模)在平面直角坐标系中，点A坐标为，，在x轴上找点P,使得P1+号P0的 值最小，则此时的点P的坐标及PA+PO的最小值分别为(） A.5,0;3B.(2,0);3 C.(5,0;2 D.(2,0);2 2.(2026广东珠海一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的是() D A.∠BAD=∠BB.DE⊥AB C.DE=DC D.∠BDE=∠BAC 3.(2026广东深圳一模)在平行四边形ABCD中，LA=60°，AB=3,AD=4,点E,G分别在边AB, BC上运动，且BE=BG,以EG为边作等边△EFG,且使点F在四边形的内部或边上.当△EFG的面积最 大时，CG的长为 A 4.(2026广东深圳一模)如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，得到CE,连 接4C,A亿，者正六边形的边长为25，则C正的长为一 D 5.(2026广东深圳一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交 4C于点F.若8C=而，sn∠CEF-号，则△AEF的面积为 E 6.(2026广东珠海一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,BE=FC=2,则△EFG周长的最 小值为 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 7.(2026广东一模)如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB边的点E处，已知LB=30°， BC=15,则DE的长是 B30° D 8.(2026广东汕头一模)如图，菱形ABCD的周长为40cm,对角线AC,BD相交于点O,且AC与BD的 长度之比为43，过点D作DH⊥AB于点H,交AC于点G,连接OH. D G B (I)求DH的长； ②求的值 DG 9.(2026广东深圳一模)定义：在平行四边形ABCD中，AC是平行四边形ABCD的对角线，点P是平行 四边形ABCD边上一点，分别连接PA、PB,若满足∠APB+∠ACB=180°，则称点P为平行四边形ABCD的 “共轭连接点”. 图1 图2 图3 (1)如图1，在平行四边形ABCD中，当共轭连接点P在BC上时，若AC⊥DC,∠D=30°，AC=3,则 BP= 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 (②如图2，在平行四边形ABCD中，当共轭连接点P在BC上时，若AC1DC,amD=,4C=5,求 BP的长； (3)如图3，已知在矩形ABCD中，矩形的两邻边的之比为3：1，点P是矩形ABCD的共轭连接点： ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点P:(要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的 文字说明)（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出 DP CP 2/23