专题03 函数5大考点（广东专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 函数 5大考点概览 考点01 平面直角坐标系 考点02 函数基础知识 考点03 一次函数 考点04 二次函数及其应用 考点05 反比例函数及其应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，，，．将绕点A顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，则，根据旋转的性质得，，利用平角的定义求得，在中利用三角函数的知识求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， 则， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为． 2．（2026·广东东莞·一模）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 【答案】 【分析】先分析第一个等腰直角三角形，设直角顶点坐标，利用中点坐标公式得到斜边中点坐标，代入反比例函数求出第一个中点的纵坐标； 用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第个中点纵坐标的表达式；将代入表达式，计算最终结果． 【详解】解： 设的直角顶点的坐标为，则的坐标为， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，即，解得， ． 的坐标为，设的直角顶点的坐标为， 是等腰直角三角形， ，则的坐标为， 是斜边的中点， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，解得， ． 同理，可求得第三个中点的纵坐标， 由此归纳得出第个中点的纵坐标为：． 当时，． 3．（2026·广东广州·一模）已知 (1)化简P； (2)若，且点在第二象限，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算括号里面的，然后再把除法转化成乘法，最后约分即可． （2）根据点在第二象限得出，即可得出，然后化简绝对值，最后代入式子计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ 4．（2026·广东惠州·一模）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，． (1)在坐标系中画出旋转后的； (2)直接写出点，的坐标； (3)在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为； (3) 【分析】本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形； （2）根据图形写出点，的坐标即可； （3）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 【详解】（1）解：如图，为所作图形； ； （2）解：点的坐标为，点的坐标为； （3）解：， 点经过的路径的长为． 5．（2026·广东中山·一模）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． (1)求b、c的值及的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （2）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； 则，∴， 当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形，∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，当时，与相似． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 函数基础知识 考点02 1．（2026·广东广州·一模）均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据水面上升高度的快慢进行判断函数图象即可． 【详解】解：根据立体图形可知，底部圆柱的半径较小，增加较快； 中部圆柱的半径较大，增加较慢； 上部圆柱的半径较小，增加较快； ∴对应的函数图象为． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，某饮水机在水温时开始通电加热，水温每分钟上升，当水温上升到时自动停止加热，此过程中水温与通电时间满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至时，饮水机再次自动加热，此过程中水温与通电时间成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据初始水温与升温速度，求出加热阶段的一次函数，代入算出停止加热的时间为分钟；再设降温阶段的反比例函数，代入点求出，确定降温函数；最后代入算出水温回到的时间为分钟，得出从通电加热到首次自动加热的总时长为分钟． 【详解】解：由图可得：初始水温为（通电时间时，），水温每分钟上升， ∴加热阶段的一次函数为， ∵当水温达到停止加热， ∴代入得：， 解得， 即停止加热时，通电时间为， ∴得到反比例阶段经过的点， 降温阶段与成反比例，设反比例函数为， 代入点得， 即反比例函数为， 当水温降到时，饮水机开始首次自动再次加热， 代入得：， 解得， 因此从通电加热到首次自动加热所经历的时间为． 3．（2026·广东广州·一模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可得，然后分两段讨论：当点P在上时，当点P在上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴在中，， 根据点P的运动，需要分段讨论： ①当点P在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，； ∴，即， ∵点P在上， ∴ ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象是开口向上的一段抛物线； 当点P在上时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， ∴， ∵点P在上， ∴， ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象开口向下的一段抛物线． 综上所述，选项A的图象符合题意． 4．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【分析】（1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当点与点重合时，的值最大， 由函数图象经过点， 则当时，， 当时，连接，，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当点与点重合时，的值最大，， ∴的最大值为54． 5．（2026·广东·一模）如图，在矩形中，，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿顺时针方向运动到点C停止．当点P不与矩形的顶点重合时，过点P作直线，与矩形的边的另一交点为Q．设点P的运动时间为t（秒）． （1）连接，当时，的面积为________； （2）当点P在上运动时，设的长为y，则y与t之间的函数关系式为________． 【答案】 6 【分析】根据题意得到当时，点P在线段的中点处，结合矩形的性质和判定得到四边形是矩形，由面积公式即可得到的面积为6，当点P在上运动时，，，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿顺时针方向运动，运动时间为t（秒）， ∴当时，点P在线段的中点处，如图所示， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 当点P在上运动时，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴． 6．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 (1)求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； (2)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 【答案】(1)，； (2)①图象见解析；②最多可以抛个，说明见解析； (3) 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握好二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合解题． （1）根据抛物线图象，设抛物线的解析式为：，代入顶点坐标，求出抛物线解析式，对比，即可得到； （2）①按规律绘制函数图象；②通过求出第一个小球落回时间，结合抛球间隔求抛出小球个数； （3）分别列出第一个小球和第个小球相遇时，高度相等，即可． 【详解】（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点 ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过原点 ∴ 解得： ∴ ∵抛物线， ∴， ∴与对比，可得， ∴抛物线的解析式为：，米/秒． （2）解：①图象如下： ②最多能抛出个小球，说明如下： 由函数图象可得，当时，即， ∴，， ∴， ∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个． （3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为， 当秒后两球相遇，高度相等， ∴ 化简得：， ∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：． 7．（2026·广东深圳·一模）2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为，．某企业购进了这两种原料，，其中购进千克材料和千克材料的总价与购进千克材料和千克材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为，（单位：元/千克）． (1)试求x，y之间的等量关系； (2)当购进千克材料和千克材料的总价为万元时，求x，y的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）本题根据“总价单价数量”，利用题干给出的两种购买方案总价相等的条件列出等式，整理得到第一问的等量关系， （2）再将8.8万元换算单位后代入等量关系，通过解方程得到和的值即可求解． 【详解】（1）解：已知A材料单价为元/千克，B材料单价为元/千克，两种购买方案的总价相等， 移项计算得： 化简得： 答：和的等量关系是. （2）将代入 得： 即 解得 则 8．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分 (2)5分 (3)42.5 【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键． （1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分， 则档速度为米/分，档速度为米/分； （2）小丽第一段跑步时间为分， 小丽第二段跑步时间为分， 小丽第三段跑步时间为分， 则小丽两次休息时间的总和分； （3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分） 可得：， 解得：． 一次函数 考点03 1．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 2．（2026·广东惠州·一模）如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 3.（2026·广东珠海·一模）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则m的值为（   ） A． B． C．± D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积为2列方程求解，即可得到的值． 【详解】解：当时，，则直线与y轴交点为， 当时，，则直线与x轴交点为 ∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为 ∴， 解得． 4．（2026·广东东莞·一模）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴点的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 5．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 6．（2026·广东江门·一模）已知二次函数的图象如图所示，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点位于y轴的正半轴， ，，， ， ，， 直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选B． 7．（2026·广东江门·一模）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的上方，则有，D选项错误， 故选：B． 8．（2026·广东深圳·一模）已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为．（答案不唯一） 9．（2026·广东深圳·一模）若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11．（2026·广东汕尾·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为反比例函数图象的一部分），其中段的关系式为． (1)求出曲线所在的函数关系式； (2)通过计算比较：开始上课后，第时与第时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)第时学生的注意力更集中 【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）分别求出当，时，的y值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设曲线所在的函数关系式为， 把点代入，得 ， ∴曲线所在的函数关系式为． （2）解：当时，， 当时，． ∵， ∴第时学生的注意力更集中． 12．（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点与为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数． 根据约定，解答下列问题： (1)反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由． (2)若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？ (3)对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标． 【答案】(1)是，对换点坐标为和 (2)1 (3)和 【分析】（1）根据对换点的定义得，可写出对换点； （2）设对换点为与，代入一次函数解析式得，整理得，根据存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立可得解； （3）设对换点为与，代入二次函数解析式得，求得，得出，讨论m，a求解即可． 【详解】（1）解：设对换点为与，代入反比例函数解析式得： ， 由①得， 由②得， 故可得反比例函数是对换函数， 取，则，对应对换点坐标为和； （2）解：设对换点为与，代入一次函数解析式得： ， 由②得， 把①代入得：， 整理得， 又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立， 故且， 解得：； （3）解：设对换点为与，代入函数解析式得： 两式相减得， 整理得， ∵两点不重合， ∴， ∴， ∴， ∴代入得：， ∴， ∴当时，有最小值为， ∴， 又取最小正整数， ∴，此时，，对换点为和． 13．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)①；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得； ②利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 14．（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，，从而求得，即可解答； ②根据①中所求，可得，，然后利用完全平方公式的变形求得，，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 15．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)； (3)的面积为． 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解； （3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， ∴根据图象可得，不等式的解集为； （3）解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 16．（2026·广东佛山·一模）【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是______； ②若一次函数不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数____________． 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数一定是“不动点函数”吗？请说明理由． 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数的图象上有两个不同的不动点． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2)反比例函数不一定是“不动点函数”，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握“不动点函数”的定义是解此题的关键． （1）①根据“不动点函数”的定义，令，则，求解即可；②根据“不动点函数”的定义写出符合题意的函数即可； （2）若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到，再分两种情况：当时；当时，分别分析即可得出结果； （3）求出二次函数的顶点坐标为，结合题意可得，若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程，整理可得，求出，从而可得方程有两个不相等的实数解，即可得证． 【详解】（1）解：①令，则， 解得：， ∴该函数图象上的不动点坐标是； ②若一次函数不是“不动点函数”，满足条件的一次函数为； （2）解：反比例函数不一定是“不动点函数”，理由如下： 若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到， 当时，方程无实数解，此时反比例函数不是“不动点函数”； 当时，方程的解为，此时反比例函数是“不动点函数”； 综上所述，反比例函数不一定是“不动点函数”； （3）证明：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴， 整理可得：， 若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 整理可得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解，即二次函数的图象上有两个不同的不动点． 17．（2026·广东珠海·一模）如图，直线与轴，轴分别交于点、，以为边向右作矩形，， (1)如图1，当时，直接写出点的坐标； (2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，若点在轴上， ①延长交轴于点，求证：四边形为平行四边形； ②求直线的解析式； (3)连接，求的取值范围． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)①证明见解析；②直线函数表达式为或． (3) 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，由三角函数求解出的值，易得的值，证明，可得，求出，，由此可得点的坐标； （2）①根据翻折和矩形的性质，证明，由角度等量代换，可证出，结合，可证出四边形为平行四边形；②由面积相等的性质，求出的长度，证明，得出，，可得点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）同（1）中的过程，用表示出点的坐标，可得，根据方程根的判别式，可得出的取值范围，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示： 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为． （2）解：①令交于点，如下图所示： 在矩形中， ∵翻折的性质， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，或， ∴点坐标为或点坐标为， 令直线函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， ∴直线函数表达式为． 将点、代入 ， 得，解得， ∴直线函数表达式为． ∴直线函数表达式为或． （3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小， ∴即， 当时，， ∴点坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， 化简得， ∵， ∴， 假设的值为， 即， 即， 该关于的方程有解， 即， 得， 解出， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·广东珠海·一模）防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． (1)求A 队、B队的每小时检查的户数； (2)两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 【答案】(1)A队每小时检查16户，B队每小时检查12户 (2)租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，根据“A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等”，可列方程分式方程，据此求解即可； （2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，根据“总运货量吨”，列不等式求得m的范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户； （2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元， 由题意得， 解得， 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最小， w最小值元， ， 答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 19．（2026·广东深圳·一模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，面积差的最大值为 (3)的值为或 【分析】（1）根据题意表示出，，然后利用矩形面积公式分别求解即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； （3）解：水池1与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 或， 解得，或． 20．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1) 2.2元 (2) 购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元 【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可. 【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得： ， 解得 ， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 则第二批单株进价为（元）； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ； ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 ， （株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元. 21．（2026·广东茂名·一模）在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； (3)根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（i）或（ii）①直线的解析式为；② 【分析】（1）把分别代入和，求出和的值，再填表即可； （2）根据表格中的数据描点，连线可得函数的图象； （3）（i）根据函数图象可得出不等式的解集； （ii）①运用待定系数法求出的解析式即可； ②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与相切时可得结论． 【详解】（1）解：当时，； 所以，． 当时， 所以，． 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 ０ 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 ０ 3 4 3 0 5 12 ．．． （2）解：描点，连线如图： （3）解：（i）由图象得： 不等式的解集为：或； （ii）①根据题意得，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， 所以，直线的解析式为； ②当时，函数解析式为， 当直线沿轴平移个单位后与函数图象相切时，与函数的图象恰好有3个交点， 平移后的直线解析式为， 联立方程得， 整理得， ∵平移后的直线与函数图象相切， ∴方程有相等的实数根， ∴， 解得：． 22．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 23．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 24．（2026·广东深圳·一模）2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品 (2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件 【分析】（1）设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，根据题意列出函数关系式，先求得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （件）． 答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件， 根据题意得：， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 最大取20， 当时，取得最大值，为（件）， 此时（天）． 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件． 二次函数及其综合应用 考点04 1．（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，B、C选项说法正确， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3.（2026·广东广州·一模）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出，，然后通过函数图象可得当时，，即可判断；通过二次函数的性质即可判断；当时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 4．（2026·广东深圳·一模）已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是（   ） A． B．当时，随增大而减小 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故A正确； 由图象得，当时，随的增大先减小再增大，故B错误； ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴，故C正确； 由图象得，抛物线经过点 ∴，故D正确． 5．（2026·广东中山·一模）已知二次函数（m为常数，且）的图象上有三点，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴是解题的关键． 二次函数开口向上，对称轴为，顶点处函数值最小；通过计算各点函数值比较大小即可解答． 【详解】解：∵ 二次函数，， ∴抛物线的开口向上，对称轴， ∴当时，最小， ∵，， ∵， ∴， ∴． 故选A． 6．（2026·广东东莞·一模）二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误． 【详解】解：由抛物线开口向上，得；对称轴，得；抛物线与轴交于负半轴，得． ①（，三数相乘为正），此结论正确； ②，此结论正确； ③，，无法判定，此结论错误； ④顶点时函数取最小值，时，此结论错误． 综上，正确结论有2个． 故选：B． 7．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 8．（2026·广东·一模）二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置判断的符号，与轴的交点个数判断判别式的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，与轴有2个交点， ∴，，，， 故选项B不正确，符合题意. 9．（2026·广东东莞·一模）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对称轴直线的位置可判断①；先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，进而判定的正负，可判②；运用函数图象的交点个数确定方程的根的情况，即可判定③；根据抛物线对称轴的位置判断④． 【详解】解：①由题可知抛物线的对称轴在直线的右侧， 则， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 则, 故①错误，不符合题意； ②∵抛物线开口向下，则， 抛物线与轴交于正半轴，则， ， 故②错误，不符合题意； ③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④若抛物线与轴的另一个交点是． ∵抛物线与轴的一个交点为 ∴抛物线对称轴是， 由题意可知，抛物线的对称轴在直线的右侧， 故④错误，不符合题意． 则一个正确 故选：A ． 10．（2026·广东中山·一模）将抛物线通过平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（    ） A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”判断平移过程． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到， 故选：A． 11．（2026·广东珠海·一模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别为点M，N． ，， ，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∴， ，． ． 又， ． ． ， ． 故选：A． 12．（2026·广东惠州·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法．若二次函数的图象在平面直角坐标系中只经过两个象限，则的值可以是_________．（写出满足条件的一个值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】首先判断出顶点为，开口向上，然后根据题意得到顶点落在轴及以上，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点为，开口向上， ∵抛物线只经过两个象限， ∴顶点落在轴及以上， ∴，即， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 13．（2026·广东广州·一模）老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确的性质： 小张：函数图象不经过第三象限； 小赵：函数图象经过第一象限； 小王：当时，y随x的增大而减小； 小马：当时，． 请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式______． 【答案】 【分析】根据增减性确定二次函数的对称轴和开口方向，再结合函数取值范围与图象经过的象限，确定顶点纵坐标和常数项的范围，即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：∵ 当时，随的增大而减小，当时，， ∴ 二次函数的对称轴为直线，且，开口向上，即， ∵ 函数图象不经过第三象限， ∴ 二次函数与轴的交点纵坐标， 取，顶点纵坐标为，则顶点坐标可为， 可得函数解析式为， 验证该函数满足所有给出的性质，符合要求， 故答案为（答案不唯一）． 14．（2026·广东汕头·一模）抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． 15．（2026·广东深圳·一模）课本内容再探索 课本中研究了二次函数的图象与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图象 图象特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值：当时，有最小值，最小值为2． （当且仅当时，等号成立），． 当时，有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 任取图象上两点，．当时，______③_____．．． 当时，同理可得当时，随的增大而增大． 图象的对称性：图象关于_______②_______对称． ______④______ (1)在①处画出该函数的图象，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整： (3)补全④处的论证图象对称性的过程． 证明：设点为函数图象上任意一点，且点的横坐标为 【答案】(1)见解析，直线 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）列表、描点、连线，即可作出函数图像，根据函数图像知函数图像关于直线对称； （2）根据图示求解即可； （3）分别求得横坐标和时的值，得到点和关于直线对称，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 列表如下： 0 1 6 3 2 3 6 描点、连线，函数图像如图所示： 观察图像得：图像关于直线对称． ②处的空格为直线； （2）解：∵图像是任意两点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）证明：任取一个点的横坐标，对应点的坐标为， ∴， 而时，， ∴点和关于直线对称， ∴的图像关于直线对称． 16．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2)这个小组的猜想是正确的，见解析 (3)或 【分析】（1）由题意得，，即抛物线表达式为，将代入即可求出； （2）由题意得，，将代入抛物线表达式得：，得到； （3）由题意得，则，，分两种情况进行讨论，当时，易得点不在轴下方，抛物线在对称轴处有最小值；当时，易得点在轴下方，当时，随的增大而减小，抛物线在处有最小值． 【详解】（1）解：由题意得，，顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）， 则，， 抛物线表达式为（其中为常数，）， ， 将代入，可得， 解得； （2）由题意得，， 将代入抛物线表达式得：， ， ， ， ， 这个小组的猜想是正确的； （3）由题意得，则，， ， 由（2）可知， （i）当时，可得，点不在轴下方， 抛物线在对称轴处有最小值， 即当时，， ， ； （ii）当时，可得，点在轴下方， ， 当时，随的增大而减小， 点在轴下方， 抛物线在处有最小值， 即当时，， ， 解得； 综上所述，或． 17．（2026·广东·一模）已知抛物线过点，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，过点P作轴，点Q的横坐标为． ①当线段与抛物线有两个交点时，求t的取值范围； ②过点Q作轴交抛物线于点N，点P在y轴左侧的抛物线上运动的过程中，若线段的长随t的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）先根据对称轴公式求得b的值，再代入点A的坐标求得c的值，即可解答； （2）①分或两种情况讨论，当线段与抛物线有两个交点时，点P和点Q分别在对称轴的两侧，且的长度大于等于点P到对称轴距离的2倍，列出不等式组，解不等式组即可； ②根据题意，易得点Q和点N的纵坐标，从而表示出的长度，根据二次函数的性质结合图象讨论，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t，轴，点Q的横坐标为， ∴当时，点Q在点P的左侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 当时，点Q在点P的右侧，当线段与抛物线有两个交点时， 则， 解得； 综上所述，当线段与抛物线有两个交点时，或； ②∵点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t， ∴， ∵轴，点Q的横坐标为，轴交抛物线于点N， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴， 令，解得或0，且对称轴为直线， 如图所示，的图象， 又∵点P在y轴左侧的抛物线上运动， ∴， ∴当或时，y随t的增大而减小， 即当或时，线段的长随t的增大而减小． 18．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 19．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 (1)请求出抛物线 的解析式； (2)求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2)圆弧 所在圆的半径为 (3)锅盖能正常盖上 【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径； （3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上． 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴圆弧 所在圆的半径为； （3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接， 由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称， ∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴锅盖能正常盖上． 20．（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 21．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 22．（2026·广东惠州·一模）罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作一条抛物线．如图，以喷口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，已知水柱的最大高度为16米，落地点与喷口的水平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】依题意得抛物线顶点坐标为，可设解析式为，求出a的值即可． 【详解】解：依题意得抛物线顶点坐标为，可设解析式为 将点代入解析式，得 解得 抛物线的解析式为： 23．（2026·广东珠海·一模）掷实心球是某市中考体育考试选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)该小朋友有危险，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线的顶点为可以设解析式为，再将点代入求解即可； （2）根据题意将代入解析式求解即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为：， 将出手点代入解析式： 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：该小朋友有危险，理由如下： 由题意得，将代入抛物线解析式， 得 （米）， ∵小朋友身高为米， ∴， ∴该小朋友有危险． 24．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，为线段上一点． (1)尺规作图，作点关于的对称点，连接，，并证明； (2)如图，当由点运动到点过程中， 若线段与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在上取一点，使得，连接，，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)；最小值为． 【分析】（）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，然后通过全等三角形的判定方法即可求证； （）先证明，所以，则，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接，由勾股定理得，则，设，则，可证，所以证明，则，所以点在与夹角为的直线上运动，再得出，，即点在垂直平分线上运动，，则，故当点三点共线时，有最小值的长，即的最小值为． 【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点即为所求， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此时； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴， ∴， ∴，即点在垂直平分线上运动， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值的长， 即的最小值为． 25．（2026·广东佛山·一模）综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台． 【问题提出】 如图1，观赛台的高，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为． 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线的距离为． (1)如图1，求河道的宽； (2)如图2，已知一艘龙舟的船头在点处以的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； (3)赛事安全警示：船头到河岸的安全距离不得小于．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)符合赛事安全警示，理由见解析 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）把代入抛物线，求值比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：观赛台B到标记线的距离为，， 顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式为； （3）解：符合赛事安全警示，理由如下： 当时， 可得， 所以这艘龙舟在本次漂移过程中符合赛事安全警示． 26．（2026·广东珠海·一模）如图1，在中，，．点是边上任意一点（不与，重合），连接，过点作于点，连接，点为中点，连接，． (1)当时，判断四边形的形状，并证明． (2)点在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由． (3)将图1中的绕点旋转到如图2所示位置，得到，使得点，点，点在同一直线上，点为的中点，与交于点，其他条件不变．求的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数求得，则，证明且平分，利用直角三角形的性质以及斜边中线的性质推出，即可证明结论； （2）设，推出，，表示，利用二次函数的性质即可求解； （3）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，证明是等边三角形，推出，再根据三角形中位线定理即可证明结论． 【详解】（1）答：四边形是菱形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴且平分， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）答：当时，的面积最大，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，最大，此时， ∴当时，的面积最大； （3）解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接， 则， ∴， 由题意得：， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴． 27．（2026·广东珠海·一模）实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作步骤】 步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为． (1)直接写出骨架的长度：_____，_____； 步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线． (2)求过E，F，G三点的二次函数解析式； 步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，． (3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？ 【答案】(1)60，20； (2) (3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 【分析】（1）设，则的长为，根据四边形的面积为，建立方程，并结合，即可求解； （2）先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答； （3）求出，求出直线的解析式为，进一步求出，，直线的解析式为，令，解得，得到，根据筝形纸片面积至少为即可求出答案． 【详解】（1）解：设，则的长为， 由题意得， 解得， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵过距离点A，点B，点D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线， ∴， 设所求抛物线表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （3）解：∵， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为，代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可知直线的解析式为， ∴， 令， 则， 令， 解得， ∴， ∴，直线的解析式为， ∴， 令，解得， ∴， 即， 即筝形纸片面积至少为． 答：小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 28．（2026·广东东莞·一模）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)的面积的最大值是． 【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 29．（2026·广东东莞·一模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求二次函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，，绕着点逆时针旋转，交抛物线于点，连接，点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)的最小值为． 【分析】1）把和代入，可得，，即可得二次函数的解析式； （2）令，可得，可得，即可得的形状； （3）作，使得，连接，，则，证明，可得，，，共线时，的值最小，作于点，，设，则，可得，可得，，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】（1）解：把和代入， 可得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由： ∵，， ∴，， ∴， 令， 解得，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：作，使得，连接，，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，共线时，的值最小， 作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 30．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【答案】(1) (2)①，280元；②当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大 【分析】（1）由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，即可设销售额与销售单价之间的关系式为，再代入求解即可； （2）①利用即可求解销售数量与销售单价之间的关系式，再由每件利润乘以销售数量即可求解单价为18元/个时的销售利润； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，由①得，销售数量，由建立起二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为， 设销售额与销售单价之间的关系式为， 将代入得， 解，得， 销售额与销售单价之间的关系式为； （2）解：①由（1）得， 由题意得，， ， 销售数量与销售单价之间的关系式为， 当时，销售利润为（元）； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元， 由①得，销售数量， ， 此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数， ，且， 当时，取得最大值， 当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大． 31．（2026·广东深圳·一模）综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计 【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5米处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)【建立模型】 求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】 求音乐喷泉水池的半径的长； (3)【优化设计】 公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标应该如何改变？设，请求出m和n的函数关系式． ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为1.5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？ 【答案】(1) (2)m (3)①②0.6倍；建议见解析 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，进行求解即可； （3）①设出新的顶点式，待定系数法进行求解即可；②由题意，得到，进而求出的值，求出功率即可，根据功率提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为 将代入解析式，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，（舍） ∴， ∴， 即音乐喷泉的水池半径为． （3）①设新最高点．设新抛物线解析式为，将，代入得， 解得， 故； ②由题意得 ∴， ∴功率比为，即新方案功率是原方案的0.6倍． 建议：虽然新方案的落点更远（5米米），但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用于水平推进）．建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保． 32．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)球能越过球网，球不会出界，理由见解析 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入，即可求解； （2）根据题意可得，将代入解析式，求得函数值，与比较大小，将代入解析式，求得，将横坐标与比较，即可求解． （3）设的表达式为，点的横坐标为，则，，分别将，代入解析式，求得的值，结合题意，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时， ，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：球能越过球网，球不会出界； 理由：由（1）知，当时，抛物线的表达式为， 米，球网高度为2.24米， ， 当时，， ， 球能越过球网， 当时，， 解得：，， ， ， 球不会出界； （3）解：是与形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米， 设的表达式为， 将点代入，得， 解得：（舍去），， 的表达式为， 设点的横坐标为， 则，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， ． 33．（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点． (1)补充一个条件，求抛物线的表达式； (2)将抛物线向左平移个单位得到新的抛物线．当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)当时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)补充条件：抛物线经过点；抛物线的表达式为（答案不唯一） (2)的取值范围为 (3)；理由见解析 【分析】（）已知抛物线经过和两点，可先根据这两点的坐标求出的值以及与的关系，再补充一个条件，利用待定系数法求出抛物线的表达式； （）先根据抛物线平移的规律求出新抛物线的表达式，再根据二次函数的性质求出的取值范围； （）先求出与的差，再根据的取值范围判断差的正负，从而比较与的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和两点， ∴将代入抛物线方程可得：， 即. 将和代入抛物线方程可得：，化简得，即， 所以抛物线的表达式为， 补充条件：抛物线经过点， 将代入， 可得：，即， 解得， 把代入，可得， ∴抛物线的表达式为（答案不唯一）； （2）解：由（）得：抛物线的表达式为， ∴对称轴为：， ∵向左平移个单位， ∴新抛物线的对称轴为， ∵因为，抛物线开口向上， ∴当时，随增大而增大 ∵题目要求当时，随增大而增大， ∴， 解得； （3）解：． 理由：由（）得：抛物线的表达式为， ∴ 对于一元二次方程， 其判别式 ， ∵且， ∴， ∴， 又∵， ∴二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即对于任意，， ∴，即． 34．（2026·广东江门·一模）如图1，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，点F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称． (1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值； (3)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使最大，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，得出，证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可得出答案； （2）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据即可证明结论； （3）由（1）得，，，，求出抛物线的顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点．证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 解得：， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴． ∴， ∵，点A的横坐标为3， ∴， ∴，， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）证明：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵轴，，轴， ∴四边形是矩形， 又直线与直线关于直线对称， ∴． 根据（1）可知：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 即若k为定值，则的面积为定值． （3）解：由（1）得，，，， ∵直线与直线关于直线对称， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点Q的坐标为， ∴点Q是直线上一点． 把代入得：， 解得：， ∴在直线， 把代入得：，设与y轴交于点， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作点D关于直线的对称点，连接，，如图所示： 根据轴对称可知，， ∴，当共线时取最大值， 此时，∵直线， ∴点在直线上，且， ∴根据中点坐标可知：点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理的逆定理，两点间距离公式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 35．（2026·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值； (3)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线中，求出待定系数即可； （2）先证明，得到，将求的最大值转化为求的最大值．设点的坐标，根据轴得到点的坐标，进而用含的代数式表示出的长度，构造二次函数并求其最大值，从而得到的最大值； （3）先求出原抛物线沿轴翻折后的型函数解析式，再写出直线向上平移个单位后的直线解析式．通过分析直线过点、点的临界情况，以及直线与翻折后抛物线相切的临界情况，来确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，其中， ∵轴，点在直线上， ∴， ∴， ∵二次函数的开口向下，对称轴为， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为； （3）解：中， 取，得， 解得：，， ∴， ∵， ∴沿轴翻折后的解析式为， 设直线向上平移个单位得到直线为， 如图，当直线过点时， ， ∴； 当直线过点时，如图， ， ∴； 当直线与翻折后的抛物线相切时，如图， ， ∴， ∴， 解得：， ∴的取值范围为或． 【点睛】忽视点在第四象限，需注意在自变量的取值范围内求最值． 36．（2026·广东广州·一模）如图1，在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)猜想证明：求证：； (2)类比探究：如图2，若将正方形改为矩形，点E是所在直线上一动点（不与点B，C重合），其中，其他条件不变． ①当点F恰好落在矩形的对角线上时，求的长； ②直接写出点D到点距离的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①18；② 【分析】（1）过点F作，交延长线于H，根据正方形的性质得出，再由全等三角形的判定确定，得出，结合图形及直角三角形的性质即可证明； （2）①分三种情况分析，当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，当点E在线段的延长线上时，作出相应图形，然后利用全等三角形的性质得出，设，则，再由相似三角形的判定和性质求解即可； ②过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形，根据全等三角形的判定和性质得出,,设，则,利用勾股定理确定，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过点F作，交延长线于H，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①当为矩形时， 当点E在线段上时，如图所示：旋转后点F无法在对角线上，不符合题意； 当点E在线段的延长线上时，过点F作，交延长线于H，如图所示： ， 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图所示： 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上可得：； ②解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 设，则, ∴， ∴当时，有最小值8，则有最小值． 37．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 反比例函数及其应用 考点05 1．（2026·广东汕头·一模）如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·广东广州·一模）把函数的图象绕坐标原点旋转，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点绕原点旋转的坐标变换规律，代入原函数关系推导旋转后新函数的解析式． 【详解】解：∵ 在函数的图象上任取一点， ∴ 满足，即， 将点绕坐标原点旋转后，所得新点坐标为或， 设旋转后函数解析式为， 情况1：若新点为，可得 将代入得 ， ∴； 情况2：若新点为 ，可得 将代入得， ∴； ∴ 旋转后所得图象对应的函数解析式为． 3．（2026·广东广州·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 4．（2026·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】求出点E的坐标为，点F的坐标为，根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为， ∴，， 则点E的坐标为，点F的坐标为， ∴ ， 解得，， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴． 5．（2026·广东茂名·一模）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的坐标代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴将，代入函数解析式，得， ， 解得． 6．（2026·广东阳江·一模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当时，反比例函数的图象位于第一、三象限求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 7．（2026·广东·一模）点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可判断函数经过的象限，以及每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 8．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 9．（2026·广东东莞·一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 10．（2026·广东梅州·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用位似比求出点的坐标，进而确定反比例函数解析式，再求出点的坐标． 先根据矩形性质和位似比求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出值，再结合点的纵坐标特征求出其横坐标，确定点坐标． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，点的坐标为， ∴ ，． ∵ 矩形与矩形的位似比为，以为位似中心， ∴ 点的坐标为，即 ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ，即反比例函数解析式为． ∵ 点在边上，轴， ∴ 点的纵坐标为． 把代入，得， 解得． ∴ 点的坐标为． 故答案为：． 11．（2026·广东·一模）已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】< 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出，从而可得，再由反比例函数的性质得出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，最后结合即可得出结果． 【详解】解：∵方程的有两个不相等的实数根，． ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ∵而点，为反比例函数的图象上两点，且， ∴． 12．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 【答案】72 【分析】作，根据等腰三角形的性质可求出，，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移的规律可得：坐标变为，点坐标变为，利用反比例函数图像上点的坐标特征列方程求出，进而求出平移后点的坐标，即可求解． 【详解】解：作， ，且， ， 由勾股定理可得：， 轴，点的坐标为， ，， 点、向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为， 平移后点、在反比例函数图象上， ， 解得：， 平移后点的坐标为， ． 13．（2026·广东深圳·一模）如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 【答案】 【分析】设，，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，结合三角形的面积列出方程进行求解即可. 【详解】解：设，则， ∵反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为6， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴. 14．（2026·广东深圳·一模）如图，过反比例函数图象上一点作垂直于轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接交于点，连接，若的面积为，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的几何意义结合已知可得，进而证明，得出，进而根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点在 ∴ 又∵的面积为， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点在 ∴ 15．（2026·广东深圳·一模）如图，已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点，与轴交于点，若，则___________． 【答案】8 【分析】根据题意设，求出，过点作轴于点，轴于点，证明，根据相似三角形的性质得到，根据反比例函数的图像和性质求出，即可得到答案． 【详解】解：已知函数与反比例函数图象交于点，将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点， 设， 的图象向下平移6个单位得到直线； 直线的解析式为，当时，， ， 过点作轴于点，轴于点， 根据平移得到， ， ， ， ， ， ， 故点的横坐标为，纵坐标为，即， ，在反比例函数的图像上， ，解得， ， 将代入， ． 16．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【分析】过A作于D，设，根据三角形的面积公式得到，求得，求得，列方程即可得到结论． 【详解】解：过A作于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设，则有， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴． 17．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 18．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 19．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． (1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质得到的坐标，进而求出D的坐标，可知，将的横坐标代入反比例函数解析式计算即可； （2）证明四边形是正方形，证，即可求得，设，则，则可表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得，则面积即可求解； （3）首先解方程组求得的坐标，利用表示出的长度，作于点，则，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标． 【详解】（1）解：，，矩形， 的坐标是， ∵点D为中点， 的坐标是：， 在双曲线上， ， 又的横坐标是，把代入， 则， 点E的纵坐标为； （2）解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； （3）解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的坐标是． ∵的横坐标是， ∴的横坐标是， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， 在中，当时，， ，， 如图所示，作于点． 折叠， ， ， 又， 则， ， ， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 20．（2026·广东惠州·一模）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接． (1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上； (2)猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比． 【答案】(1)，点在直线上； (2)，见解析； (3)与矩形的面积比为． 【分析】（1）根据矩形的性质求出，，设直线的函数解析式为，代入，即可求出直线的函数解析式，将代入直线的函数解析式即可判断点是否在直线上； （2）先根据矩形性质得到，，通过三角形外角和性质得到，再通过等边对等角得到，最后根据平行性质推出，最后等量代换即可求解； （3）先延长交轴于点，过点作于点，根据的坐标为，求出，，再根据（2）中，得出，从而求出，然后设，根据勾股定理求出，接着证明，求出、，最后根据矩形的性质和反比例的性质求出点、点的坐标及的长度，最后分别求出与矩形的面积，在进行面积比即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴， ∵设直线的函数解析式为，并将代入， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵将代入函数解析式，得， ∴点在直线上； （2）猜想，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， 由（2）中可知，， ∴， ∵由（2）可知 ∴，则 ∵在中，， ∴， ∵设， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵由，， ∴， ∴，即， 解得，（舍）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点， ∵矩形， ∴，将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∴与矩形的面积比为． 法二：如图，延长交轴于点，取中点，连接， ∵矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， ∴， ∵在中，设，则， ∴根据勾股定理， ∴， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍），（舍）， ∴ ∴， ∴与矩形的面积比为 21．（2026·广东珠海·一模）如图1，矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点D，． (1)当时，则的值为______； (2)如图2，连接，将沿翻折，若点B刚好落在轴上的点处时，连接，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质可得轴，轴，根据点的坐标可得，再结合，得到，得到，点的横坐标为，即可求出反比例函数的解析式，即可求出点的纵坐标，即可解答； （2）分别过D，E作于G点，于H点，根据反比例函数k的几何意义，得到，结合矩形的性质可得，设，则，，求出，证明，得到，求出，结合，即可证明． 【详解】（1）解：矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上， ∴， ∵， ∴， ∴，点的横坐标为， 将点代入反比例函数， ∴，解得， ∴反比例解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分别过D，E作于G点，于H点， 则， ∵， 则， ∴， 设，则，， ∴， ∵翻折 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即为等腰三角形． 22．（2026·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B在x轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段所在直线与第三象限的双曲线交于点C，求出点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出，进一步得出点的坐标为，最后将点的坐标代入解析式，进行求解即可； （2）先求出线段所在直线的解析式，再联立得到方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ，． 设，（）， 由勾股定理得，， 即， 整理得，， 解得，（负值已舍去）， ， 故点的坐标为， 将其代入得，， 解得，， 反比例函数的表达式为． （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， 线段所在直线的解析式为， 根据题意联立得，， 解得，或， 即点C的坐标为． 23．（2026·广东广州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，求的面积 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方对应的x的取值范围； （3）求出C点的坐标，从而求出的面积． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ， 将点，代入直线中得， ， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，不等式的解集是或； （3）解：设与x轴交于点C， 令，得， 解得， ， ， ． 24．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数基础知识 考点03一次函数 考点04二次函数及其应用 考点05反比例函数及其应用 考点01 平面直角坐标系 1.(2026广东汕头一模)如图，在平面直角坐标系中，Rta0AB的直角顶点A在x轴上，∠0AB=90°， OA=6,AB=8.将△0AB绕点A顺时针旋转30°得到△O'AB′，则点B的坐标为() 912345678910主 A.4V5,10 B.（4,45 C.(10,45) D.（45,4 2.（2026广东东莞一模)如图，△0A,B,△AA,B2,△A,AB,…是分别以A,A,A,…为直角顶点且 一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C,(x,y),C,(x2,y2),C,x,:)…均在反比例 函数y=4(x>0)的图象上，则o6的值为 B B A2 A3 3.(2026广东矿广州一模)已知P=a-b:-2ab+a a a (1)化简P: (2)若a-b=6,且点(a,b)在第二象限，求P的值 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026广东惠州一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，△AB0绕原点O顺时针旋转90°得到△A'B'0(点 A,B分别是点A,B的对应点).己知点A-3,1,B(-1,2). 4 -4-3-2-1 01234x (1)在坐标系中画出旋转后的△A'B'0; (②)直接写出点A,B的坐标； (3)在这个旋转过程中，求点B经过的路径BB的长. 5.(2026广东中山一模)综合应用 如图1，顶点为P的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-3,0)和点C(1,0),与y轴交于点B,连接AB、 BP. M 图1 图2 图3 (I)求b、c的值及∠PBA的度数： (2)如图2，动点M从点O出发，沿着OA方向以1个单位秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发， 沿着AB方向以√2个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于E,NF⊥x轴交 抛物线于F,连接MN、EF. ①当EF∥MN时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的t的值. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 函数基础知识 1.(2026广东广州一模)均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度 h随时间t变化的函数图象大致是() B D 2.(2026广东深圳一模)如图，某饮水机在水温20°C时开始通电加热，水温每分钟上升20°C,当水温上 升到100°c时自动停止加热，此过程中水温yC)与通电时间x(i)满足一次函数关系；随后水温开始下降， 当水温降至20C时，饮水机再次自动加热，此过程中水温yC)与通电时间x(m)成反比例函数关系，则 从通电加热到首次自动加热所经历的时间为() A/℃ 100- 20 x/min A.5min B.15min C.20min D.25min 3.(2026广东广州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.动点P从点A出发，沿A→B→C的 路径运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q,设AQ=x,△APQ的面积为y.则y关于x的函数图 象大致是() D 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y个 3 D 4 012 45 012345x 012345 4.(2026广东汕头一模)如图1，在ABC中，∠C=90°，D为边AC上一点.动点E以每秒1个单位长 度的速度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE,设点E的运动时间为x(单 位：秒)，DE2为y.在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示. 图1 图2 (1)线段AD的长为 (2)在整个运动过程中，y的最大值为 5.(2026广东一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点P从点A出发以每秒1个单位长度的 速度沿A-D-C顺时针方向运动到点C停止.当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，过点P作直线 PQ上AP,与矩形的边的另一交点为Q.设点P的运动时间为t(秒). B (1)连接PC,当t=3时，△PCQ的面积为 (2)当点P在D-C上运动时，设QC的长为y,则y与t之间的函数关系式为 6.(2026广东深圳一模)综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度y(米/秒)与运动时间t(秒)的关系式为v=。-g,，小球距 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 离抛出点的竖直距离y(米)与运动时间1（秒）的关系式为y=,-28，其中%，8是常数，6代表小 球抛出时的初速度，g的值取10米/秒2； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔1秒抛出一球.（空气阻力忽略不计，小球在 上升与下降过程中相遇时不互相碰撞) 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y(米)与运动时间t(秒)的关系图象是顶点为 (3,45),经过原点的抛物线（如图所示）. y米 45 0123456789101112t7秒 【实验任务】 ()求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y(米)与运动时间t(秒)的关系式，并写出小球抛出时的 初速度，的值； (②)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离y(米)与运动时间t(秒)的 关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算 加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第(n>1)个小球相遇时经历的时间T(秒)与的关系式. 7.(2026广东深圳：一模)2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐.已知 这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为A,B.某企业购进了这两种原料A,B,其中购进48干 克A材料和20千克B材料的总价与购进24千克A材料和32千克B材料的总价相同，设这两种材料的单价 分别为x,y(单位：元/千克) (I)试求x,y之间的等量关系： (2)当购进48千克A材料和20千克B材料的总价为8.8万元时，求x,y的值. 8.（2024浙江，中考真题)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步 时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分.小明与小丽的跑步相关信息 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示. 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16:00~16:50 不分段 A档 4000米 第一段 B档 1800米 第一次休息 小丽 16:10~16:50 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 本S(米) …小明 小丽 4600 4000 3000 1800 0 10 a501(分)》 (1)求A,B,C各档速度（单位：米/分）： (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值. 考点03 一次函数 1.(2026广东湛江一模)如图，直线y= 2x-5与x轴、y轴分别交于A、B两点，则sinL0AB的值为() 5 A B.5 n 2.(2026广东惠州一模)如图，ABC位于第二象限，己知AC=BC,∠C=90°，点A的坐标为(-4,1)， 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点C的坐标为-1，).若直线y=-x+b与ABC有交点，则b的取值范围是() y=-x+b C A.-5≤b≤5 B.-5<b<5 C.-3<b<3 D.-3≤b≤3 3.（2026广东珠海·一模)若直线y=x+m与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则m的值为（) A.2 B.2 C.±2 D.±V2 y=-3x+b 4.(2026广东东莞一模)如图，直线y=-3x+b与直线y=x-2相交于点A(2,1),则方程组 y=a-2 的 解是() =-3x+b =x-2 x=2 x=1 [x=2 x=0 A. B y=1 y=2 y=0 D y=1 5.(2026广东佛山一模)若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b图象大致是() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA 6.(2026广东江门一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则直线y=abx-c不经过( A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(2026广东江门一模)若一次函数y=c+b的图象如图所示，则下列结论中正确的是() y=kx+b A.k<0 B.b=-1 C.y随x的增大而减小 D.当x>0时，y>0 8.(2026广东深圳一模)已知点P是直线yx3上一点，则点P的坐标可以是 9.(2026广东深圳一模)若点m,n)在直线y=-2x+4上，则代数式2m+n-1的值是 10.(2024内蒙古包头中考真题)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写 出一个符合该条件的一次函数的表达式 11.（2026广东汕尾一模)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课 的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定 状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(单位：mi)的变 化规律如图所示（其中AB,BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关 系式为y=2x+20. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40 D 20 A 010 25 (I)求出曲线CD所在的函数关系式： (2)通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 12.(2026广东佛山一模)在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点P(a,b)与Q(-b,-a为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数， 根据约定，解答下列问题： ①反比例函数y=6是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理 由. (2)若关于x的一次函数y=x+5是对换函数，则k的值是多少？ (③)对换函数y=-，X+m中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标。 2 13.(2026广东深圳一模)成都市某中学数学组组织学生举行数学创意大赛”，需购买A、B两奖品.若购 买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元. (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品Q个，购买这300个奖品的总费用为W元. ①求W关于a的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能 使总费用最少？ 14,(2026广东广州一模)已知抛物线y=a(a>0),点F0, 1 纵坐标为2的点M在抛物线上，且 MF=3,过点F作直线AB交抛物线于点Ax,),B(x2,y2. (1)求该抛物线的函数表达式 (2)已知点P0,2),直线AP,BP分别交抛物线于C,D两点. ①求证：直线CD过定点； ②求aPAB与△PCD面积和的最小值. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026广东广州一模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，一次函数y=c-2的图象与x轴 交于点A(-l,0),与反比例函数y=”的图象交于点B(-2,),射线B0与反比例函数的图象交于点C,连 接AC. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)根据图象，直接写出不等式”>：-2>0的解集； (3)求ABC的面积. 16.(2026广东佛山一模)【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量x,=m时，其对应的函数值y。=m ,那么我们称该函数为“不动点函数”，点m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x2中，当 x=1时，y=1,则我们称函数y=x为“不动点函数”，点(1，)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣 小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究. 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数y=-3x+2是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是 ②若一次函数y=k红+bk≠0)不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数 【探究2】反比例函数图象的不动点： ②反比例函数y=《k≠0)一定是“不动点函数吗？请说明理由. 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数y=x2+bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数y=x2+bx+c的图象上 有两个不同的不动点， 17.(2026广东珠海一模)如图，直线y=-bx+3b与x轴，y轴分别交于点A、B,以AB为边向右作矩形 ABCD,S矩形ABcD=30, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 1)如图1，当an∠BA0=)时，直接写出点C的坐标： (2)如图2，连接BD,将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点E,若点E在y轴上， ①延长CB交y轴于点F,求证：四边形AFBD为平行四边形； ②求直线AB的解析式： (3)连接0C,求0C的取值范围 18.(2026广东珠海·一模)防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进 一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地.已知A队每小时检查的户数 比B队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等. (I)求A队、B队的每小时检查的户数： (②)两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这 些废旧垃圾全部清理运走.M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使 运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 运货量 运货费用 参数车型 (吨/车) (元/车) M型 2 50 N型 1.5 40 19.(2026广东深圳.一模)【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=n(m),宽AB=Im的矩形水池ABCD进行 加长改造（如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩 形水池EFGH(如图2，以下简称水池2). 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【建立模型】 如果设水池1的边AD加长长度DM为x(m)(x>0),加长后水池1的总面积为乃(m2),设水池2的 边EF的长为x(m)(0<x<6),面积为(m2). D ------1M 水池 1 C 图1 小池2 01 图2 图3 【问题解决】 (1)当AD=4m时，则y关于x的函数关系式为 ，关于x的函数关系式为 (2)在(1)的条件下，函数y、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于C、E两点，在 1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，x(m)有唯一值，求的值. 20.(2026广东深圳一模)某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁.学校采购组先购买向日葵花 苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购 数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元. (①)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价： (②)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3 倍.向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购 买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 21.(2026广东茂名一模)在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学 特性.该轮廓线对应的函数关系为y=x2-2x-3(单位：米)，其中y表示距桥面基准线的垂直高度.小组 将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： 。。 3 -2 -1 y1=x2-2x-3 12 5 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x2-2x-3 12 5 (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线y=x2-2x-3的图象： (3)根据图象完成以下问题： (i)数学小组探究发现直线y=5与函数y=x2-2x-3的图象交于点E、F,E(-2,5),F(4,5),则不等式 x2-2x-3>5的解集是 (i)设函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点(B位于A的右侧)，与y轴交于点C. ①求直线BC的解析式： ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y=x2-2x-3的图象恰好有3个交点，求此时m的 值. 14 1 10 98765 2 4-3-2-01.234.5678元 3 1 y=x2-2x-3 12 5 0 y=x2-2x-3 12 22.(2026广东佛山一模)综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 备用图 图2 ()【特例尝试】 如图1，Rt△ABC是一张直角三角形卡纸，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm,点P是边AB上的动点（不 与点A、B重合)，过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M.以线段PM为边，在三角形卡纸内可剪 出一个尽可能大的矩形.求剪出的矩形的最大面积.（先画出示意图，再解答) (2)【拓展延伸】 一块长为6cm,宽为4cm的矩形卡纸如图2所示，沿线段AE裁切后得到五边形ABCDE,其中，AB=1cm, DE=3cm，再沿着曲线EF(以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分)再次裁切，剩下余料为 ABCFE,小明用这块余料裁出矩形MNPQ,其中边MN在BC上，点Q在线段AE上，点P在曲线EF上.请 你直接写出矩形MWPQ面积的最大值. 23.(2026广东梅州一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，口0ABC的边0C在x轴上，点B的坐标为 (9,3),点C的坐标为5,0)，反比例函数y=k(k≠0，x>0)的图象经过点A,与OB交于点E. (I)求该反比例函数的表达式： (②)点G是y轴上的动点，连接GA,GE,求GA+GE最小值时点G坐标： (3)连接AE,在反比例函数图象上是否存在点P(点P与点E不重合)，使得S.oAP=So4E？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由， 24.(2026广东深圳，一模)2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋 洋“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱.某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件.公司有甲、 乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产 品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单. ()求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品： 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数 不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生 产总量是多少？ 考点04 二次函数及其综合应用 1.(2026广东珠海一模)已知二次函数y=x2-2x-3,下列说法错误的是() A.开口向上 B.对称轴为直线x=1 C.顶点坐标为1，-4) D.当x>1时，y随x的增大而减小 2.(2025山东滨州中考真题)当自变量x>1时，下列函数y随x的增大而增大的是() A.y=-3x B.y=3 C.y 3x 1 D.y=-x-12-3 3.(2026广东广州一模)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于(0，-1，对称轴为直线 1 【=1.以下结论：①a>3②若-2，小，(0.5，小，(2，y)在该函数图象上，且%<<：③对于任 意实数m,都有m(am+b)>a+b成立；④方程ax2+bx+c=k（k≥0，k为常数)的所有根的和为4.其 中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2026广东深圳一模)己知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法不正确的是() 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA A.abc<0 B.当x>-1时，y随x增大而减小 C.b2-4ac>0 D.a+b+c=2 5.(2026广东中山一模)已知二次函数y=x2-2x+m(m为常数，且m>0)的图象上有三点A(-2,), B(1y2),C(3,y),则片、、的大小关系是(). A.y2<y3<y B.片<y3<2 C.y2<y<y3 D.片<y2<y3 6.(2026广东东莞一模)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有如下结论：①abc>0;②2a+b=0 ;③3b-2c>0;④am2+bm>a+b(m为实数).其中正确结论的个数是（) x=1 3方 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.（2025·山东青岛·中考真题)将二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴 上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是() 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3 B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 8.(2026广东.一模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论不正确的是() A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.b2-4ac>0 9.(2026广东东莞一模)抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的部分图象如图所示，抛物线的顶点是C,直线 x=1与抛物线的交点为A,抛物线与x轴的一个交点为B(4,0),直线AB的解析式为y2=mx+n(m≠0)， 下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=x+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的 另一个交点是(-2,0).其中正确的个数为() B A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2026广东中山一模)将抛物线y=-2x2通过平移得到抛物线y=-2(x+2-2,下列平移过程正确的 是() A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B.向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C.向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D.向右平移2个单位，再向上平移2个单位 11.(2026广东珠海一模)如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+c(c>0)上，点D在y轴上. 若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则下列结论中正确的是() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m-n=1 B.m+n=1 C.m=1 D.m=1 n 12.(2026广东惠州一模)“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数y=x2+2x+m的图象在平 面直角坐标系中只经过两个象限，则m的值可以是 .(写出满足条件的一个值即可) 13.(2026广东广州一模)老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出 了这个函数的一个正确的性质： 小张：函数图象不经过第三象限； 小赵：函数图象经过第一象限； 小王：当x<2时，y随x的增大而减小： 小马：当x>2时，y>0. 请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式 14.(2026广东汕头一模)抛物线y=2x2-4x的对称轴是 15.(2026广东深圳一模)课本内容再探索 课本中研究了二次函数y=(x+1)+2的图象与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图象 图象特征与函数性质 推理论证 :(x+1)≥0（当且仅 函数的最大（小）值： 当x=-1时，等号成 当x=-1时，y有最小 立)，(x+12+2≥2. 值，最小值为2. :当x=-1时，y有最 ① 小值，最小值为2. 函数的变化趋势：当 任取图象上两点 x<-1时，y随x的增 x,y),(x2,y2.当 大而减小；当x>-1时 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y随x的增大而增 x1<x2<-1时， 大。 ② 当-1<x<x2时，同理 可得当x>-1时，y随 x的增大而增大. 图象的对称性：图象关 于 ② ④ 对称。 (①)在①处画出该函数的图象，并填写②处的空格： (2)③处的论证思路如下，将其补充完整： y=(x+1)2+2 图像上任意两点(x1,y),(x2,y2) x1<x2<-1 x2x1>0,△ y1=(x1+1)2+2,y2=(x2+1)2+2 y2y(x2+1)2-(x+1)2 =(x1+x2+2)·（△) y2y1<0,即y2<y1 当x<-1时，y随x的增大而减小 (3)补全④处的论证图象对称性的过程. 证明：设点P为函数图象上任意一点，且点P的横坐标为-1+1 -3 -2 -1 0 6 3 2 3 6 16.（2026广东深圳.一模)综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果.学习小组发现它们的截面轮廓 中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同. 【初步探究】 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且 关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点.经测量，发现这些抛物线形音响均满 足：顶点C到线段AB的距离为h(单位：cm),扩音口宽度AB为2h(单位：cm).为进一步探索不同音 响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标(m,),利用抛物线表达 式y=a(x-m)2+n（其中a,m,n为常数，a>0)对a值进行了探究与求解. 77Ty777 图1 图2 (I)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm,以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图2所示的 平面直角坐标系，则此时a的值为 (②)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即Q和之 间存在数量关系.请你求出Q和的数量关系，帮小组验证这个猜想： (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点A的坐标为(0,8)，h>4,且当0≤x≤8时，音响截 面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时的值， 17.(2026广东一模)已知抛物线y=x2+bx+c过点A1,0),且对称轴是直线x=2. (1)求抛物线的解析式： (2)点P为抛物线上任意一点，其横坐标为t,过点P作PQx轴，点Q的横坐标为-2t. ①当线段P?与抛物线有两个交点时，求t的取值范围： ②过点Q作ON⊥x轴交抛物线于点N,点P在y轴左侧的抛物线上运动的过程中，若线段QN的长随t的 增大而减小，直接写出t的取值范围 18.(2026广东汕头一模)2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢 运动轨迹可以近似看作一条抛物线y=-x2+10x-21,第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且 与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线x=3对称。 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① 图② (①)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A,B,C三点的坐标 (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为等腰三角形，若存在，请求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由 (3)如图②，在平面内有一点P,使得LAPB=90°，在x轴上有一点E(-3,0),连接CP和EP,请求出 CP+EP的最小值. 19.(2026广东东莞一模)某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动. 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截 面抛物线组合而成的封闭图形 C 实物图 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为x轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示 的平面直角坐标系.把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为C,C,· 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm,锅深为16cm,锅盖高为8cm. 【建立模型】 (1)请求出抛物线C,的解析式： (2)求出圆弧CG所在圆的半径： 【应用模型】 (3)将一个底面直径为24cm,高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说 明理由， 20.(2026广东中山一模)如图，抛物线y=×+x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧，与y 轴交于点C. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 图1 图2 图3 ①血图1，一次函数)-}r+6的图象与坐标轴分别交于点M,x点P是抛物线上的一个动点，过点P作 直线MN的垂线段，垂足为Q,求PQ的最小值； (2)如图2，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB垂足为点F,交BC于点E,连接CD,是否存在 点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，连接OE,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段0G,连接AG, 求线段AG的最小值， 21.(2026广东中山一模)某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销 售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个， 则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实标售价应定为多少元/个？ 22.(2026广东惠州一模)罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作一条抛物 线.如图，以喷口为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，己知水柱的最大高度为 16米，落地点与喷口的水平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式. Y/m 16 32x/m 23.(2026广东珠海一模)掷实心球是某市中考体育考试选考项目.小强为了解自己实心球的训练情况， 他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球 从y轴上的点A(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为4,3.6)，落在 x轴上的点C处. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 3.6m 2m -4m C (1)求抛物线的解析式： (②)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否 有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由 24.(2026广东广州一模)如图1，在ABC中，AB=AC=4√5，∠B=30°，D为线段BC上一点. E D 图1 图2 (I)尺规作图，作点C关于AD的对称点E,连接DE,AE,并证明△ACD≌△AED; (2)如图2，当D由C点运动到B点过程中 ①若线段DE与线段AB交于点F,当EF·FD取最大值时，求AF的值； ②在DE上取一点G,使得LGAD=LE,连接AG,GC,AG+GC是否存在最小值，如存在请求出，若 不存在请说明理由 25.（2026广东佛山一模)综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国.为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“工”型 急弯河段的河岸边搭建了观赛台 【问题提出】 如图1，观赛台的高AB=3m,在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为30°. 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.龙 舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y 轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，己知观赛台B到标记线EF的距离为2m. 1/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B N 图1 图2 (I)如图1，求河道的宽BD: (2)如图2，已知一艘龙舟的船头在点P(-6,6)处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记 线EF上的点Q,点Q恰好为抛物线的顶点，且QF=2m,求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； (3)赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m.若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13kmh时， 运动轨迹所在抛物线的表达式为少？，+，请判断这艘龙丹在本次漂移过程中是否符合赛 示？并说明理由 26.(2026广东珠海一模)如图1，在Rt△ABC中，LACB=90°，tanZBAC=V5.点D是BC边上任意一 点（不与B,C重合），连接AD,过点D作DEAB于点E,连接CE,点F为AD中点，连接CF,EF. D G 图1 图2 (I)当BD=2CD时，判断四边形CDEF的形状，并证明 (②)点D在线段BC上的什么位置时，△DEF的面积最大？请说明理由. (3)将图1中的BDE绕点B旋转到如图2所示位置，得到△BD'E',使得点A,点E,点D'在同一直线上， 点F为AD'的中点，AD'与BC交于点G,其他条件不变.求∠AFC的度数. 27.(2026广东珠海一模)实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝 形风筝参加学校文化节， 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构 易于保持平衡，飞行稳定. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BO BO G “● 图1 图2 图3 【制作步骤】 步骤一骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段AC,BD作为骨架，且 AC>BD,AC与BD的和为80cm,四边形ABCD的面积为60Ocm2, (I)直接写出骨架的长度：AC=cm,BD=cm; 步骤二蒙面制作：若(1)中骨架满足A0:0C=1:2,考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端 点要留出一定距离.现把BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点 A,点B,点D分别为4cm,2cm,2cm的三点E,F,G绘制抛物线， (2)求过E,F,G三点的二次函数解析式； 步骤三蒙面取材：己知BD以下部分的蒙面设计为等腰△FHG,点H在OC延长线上且FH∥BC,如图2， 经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括BD以上抛物线部分及BD以 下三角形FHG部分)，如图3.小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN的对角线交点为O,其中P,M,N三 点落在坐标轴上，PM‖AB,PN‖AD (3)小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为多少平方厘米？ 28.(2026广东东莞一模)【问题情境】 ABC绕点A逆时针旋转90°得ADE,连接CB、BD,恰好点D落在线段CE上. B D 图1 图2 【数学思考】 (I)如图1，求证：BC⊥CE; 【探究实践】 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图1，己知BC=1,AC=2V2,求AF的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当AB=√5时，过点F作FG∥CE交AE于点G,连接DG,求△DFG的面积的最大值 29.(2026广东东莞一模)如图1，已知抛物线y=x2+x+c与x轴交于A、B8,0)两点，与y轴交 4 于点C(0,-4),连接CA、CB. D B 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的解析式； (2)判断ABC的形状，并说明理由； (3)如图2，点D在y轴正半轴上，OD=OB,BD绕着点B逆时针旋转90°，交抛物线于点Q,连接DQ, 点E,F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点，且OE=DF,求BE+QF的最小值. 30.(2026广东深圳一模)综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售， 并对销售过程中的数学问题进行了研究 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y(元)是销售单价x (元/个)的二次函数(8<x<32),部分相关数据如表所示： 销售单价x(元/个) 14 15 16 17 销售额y(元) 504 510 512 510 墨 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数学建模： ()通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y(元)与 销售单价x(元/个)之间的关系式： 问题解决： (②)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为9（个），求销售数量9（个）与销售单价x(元/个)之间的关系式， 并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润： ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 31.(2026广东深圳一模)综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计 【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图）.喷泉的喷头位于圆形 水池的中心点O正上方0.5米处.喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且 水流始终在同一竖直平面内. 0.5m 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(x轴在水面水平方向，y轴竖直向上). 经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为2,1.5)，之后落回水面上的C点. B A ()【建立模型】 求该抛物线的函数表达式： (2)【数据计算】 求音乐喷泉水池的半径OC的长： (3)【优化设计】 公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好 ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点B的坐标应该如何改变？设B'(m,),请求出 m和n的函数关系式. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比.原方案的最高点高度为1.5米， 新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同.请你计算新方案 需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？ 32.(2026广东深圳一模)综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯.自2026年起，深圳体育中考由考 两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一.某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织 学生进行排球发球训练。 如图，小明站在点O处练习发球，他将球从点O正上方的点B处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的 最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，己知排球场的边界点A距点 0的水平距离0A=19米，球网EF高度为2.24米，0E=9米. B 0 E D MN (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米(OB=1.7米)，求排球运动路径的抛物线解析式. (②)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由. (3)若小明调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为(，球落地后立即向右弹性反弹，形成 另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米.球场外有一个可以移动的无盖排球回 收筐MNPQ,其纵切面为直角梯形，英中M0-米，M=2米，P-号米。若排球经过向右反弹后沿的 路径落入回收筐MWPQ内（球下落过程中碰到点P,Q均视为落入框内），设点M的横坐标为3，请求出s的 取值范围。 33.(2026广东佛山一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过(0,2)和(2,2)两 点 (I)补充一个条件，求抛物线的表达式： (2)将抛物线y=ax2+bx+c向左平移m(m>0)个单位得到新的抛物线y.当x>-1时，y随x的增大而增大， 求m的取值范围： ③当a<时，判斯y与的大小，并说明莲由 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34.(2026广东江门一模)如图1，直线AB:y=mx-n(n>0)与反比例函数y=二的图象在第一、三象限交 于点A,B,与x轴、y轴分别交于点C,D,过点A作AE⊥x轴于点E,点F为x轴上一点，直线AB与直 线AF关于直线AE对称. F 图1 图2 (1)若m=1,AC:CD=2:1,点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式： (②)如图2，过点F作FG⊥x轴交AB于点G,过点A作AP⊥FG于点P,连接DP.若k为定值，求证： △ADP的面积为定值； (3)在(1)的条件下，设抛物线y=ax2-2a2x+a-a+1(a≠0)的顶点为点Q,在平面直角坐标系中存在点Q, 使FQ-DQ最大，请直接写出点Q的坐标， 35.(2026广东惠州一模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直线 y=x-3经过A,C两点，其中A(3,0),C(0,-3). VA 图1 图2 图3 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，若点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，PF∥x轴分别交直线AC于点E,F, 求EF的最大值； (3)如图3，将二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴向上翻折形成W图象，将直线AC向上平移m个单位长度 得到直线l,若1与W图象有两个交点，直接写出m的取值范围， 36.(2026广东广州一模)如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点（不与点B,C重合），连接 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接CF. D B E 图1 (1)猜想证明：求证：∠FCD=45°； (2)类比探究：如图2，若将正方形ABCD改为矩形ABCD,点E是BC所在直线上一动点（不与点B,C重 合)，其中AB=6,AD=8,其他条件不变 ①当点F恰好落在矩形的对角线BD上时，求BE的长； ②直接写出点D到点F距离的最小值. B 图2 37.(2026广东广州一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-1,0),B(3,0),C(0,3). A B (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)将抛物线沿y轴向下平移m(m>0)个单位长度，平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共点.求 m的值： (3)点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05 反比例函数及其应用 1.(2026广东汕头一模)如图，一块含45°的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边BC与x轴重合， 点4在双曲线y=k上，若点C的坐标为-1,0)，AC=22,则aDEF的面积为（) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2026广东广州一模)把函数y=1的图象绕坐标原点旋转90°，所得图象对应的函数解析式是（) A.y=_1 B.y=1+90 C.y=1-90 D.y=1 3.(2026广东广州一模)已知点Ax,乃，B(x,,都在反比例函数y=6的图象上，且x<<0,则y 与的大小关系是() A.y<y2 B.y>y2 C.y1=y2 D.无法确定 4.(2026广东珠海·一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，矩形0ABC的两边0C,OA分别在x轴的负半 轴和y轴的正半轴上，反比例函数y=二的图象与AB相交于点F,与BC相交于点E,若点B的坐标为 （-3,2),四边形BEOF的面积是4，则k的值为() YA B A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.(2026广东茂名一模)若点4A-2,3)是反比例函数y=k≠0)图象上一点，则常数的值为() A.3 B.-6 D 6.（2026广东阳江一模)已知反比例函数y=”-3的图象位于第一、三象限，则的取值可以是(） A.-1 B.1 C.3 D.4 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026广东一模)点4A(-3,),B(1,),C(2,,都在反比例函数y=-6的图象上，则() A.y>y2>y3 B.3>y2>y C.y2>y3>y D.y1>y3>y2 8.(2026广东东莞一模)如图，在平面直角坐标系中，RtaA0B的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,4), B(3,0),其两个锐角的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y=36的图象上，则△APB的面积 是 9.(2026广东东莞一模)如图，点4是反比例函数y=-2在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 少=在第一象限内图象上一点，直线4B与y轴交于点C,且4C=号BC,连接O1、0,则A08的面 积是 B 6 10.(2026广东梅州一模)如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一 象限作矩形OABC的位似图形ODEF,使矩形OABC与矩形ODEF的位似比为3：2，反比例函数 k y=二(x>0)的图象恰好经过点E,且与BC边交于点G.若点B的坐标为9,4，则点G的坐标为 A G E 0 D A 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026广东一模)已知方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x,x2.而点Ax,),B(x2,y2为 反比例函数y=m-3的图象上两点，若0<玉<，则乃—片（填>或“<“或“=”）。 12.(2026广东东莞一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=(x>0)的图象和ABC都在 第一象限内，AB=AC=5,BC‖x轴，且BC=8,点A的坐标为(8,12).将ABC向下平移m(m>0)个单位 长度，A,C两点的对应点恰好同时落在反比例函数y=《(x>0)图象上，则k=· 13.(2026广东深圳一模)如图，矩形0ABC的边0A、0C分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反 比例函数y=k(x<0)的图象经过OB的中点D且与边BC交于点E,连接DE、OE,若AODE的面积为 3,则k的值为 B E D O 14.(2026广东深圳一模)如图，过反比例函数y=>0)图象上一点A作AD垂直于x轴，垂足为D,交 反比例函数，=6(x>0)的图象于点B,连接OA交乃于点C,连接CD,若A0CD的面积为6，则k 15.(2026广东深圳一模)如图，已知函数y=2x与反比例函数y=(x>0)图象交于点A,将y=2x的图 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B,与x轴交于点C,若 1=2,则k= CB 16.(2026广东佛山一模)如图，△0AB的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数 _k(k>0,x>0)的图像经过点A和点C.若△0AB的面积为9，则k的值为一， y=- Y A 17.(2026广东汕头一模)跨学科题（数学+物理) 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供.实验数据显示，小车行驶时的耗电量与 速度成反比.当速度为v=10米秒时，电池每小时耗电量为E=2度. (1)求耗电量E(度/小时)与速度v(米秒)的函数关系式； (②)为确保小车在科技展上连续行驶至少。=4小时，科技小组需将速度调整为。，此时每小时耗电量降至E ,已知调整后的耗电量E满足分式方程： 1515=1,结合第(1)问的函数关系，求调整后的速度%（米 E。5 秒) 18.(2026广东东莞一模)如图1，矩形A0BC的顶点A、B分别在y轴和x轴上，点C的坐标为8,6). V 图1 图2 图3 备用图 ①)反比例函数y=(x>O)的图象与边AC,BC分别交于点D,E,当AD=DC时，求k的值和点E的 坐标； 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，点D,E分别在边AC,BC上，且反比例函数y=《(x>0)的图象经过点D、E,连接DE、 AB,求证：AB∥DE; (3)如图3，反比例函数y=二(x>0)的图象与边AC,BC分别交于点D,E,若以DE为直径的圆与矩形 AOBC的边有5个公共点，求k的取值范围 19.(2026广东湛江.一模)如图1，在平面直角坐标系中，4(0，m,Cm,0),双曲线y=12>0)与矩形 OABC的两边AB、BC分别交于D、E两点，连接OD、OE、DE,将△DBE沿DE翻折后得到aDB'E, D V B'C 图1 图2 图3 图4 (I)探究一：如图2，若点D为AB中点时，点B又恰好落在线段OD上，点E的纵坐标为 (用含n 的式子表示)； (2)探究二：如图3，若OE平分∠DOC,当四边形DBEB是正方形时，求矩形OABC的面积： ()探究三：如图4，若点D在直线y=子x上，是否存在m的值使B点落在x轴上，若存在，求出点E的坐 标；若不存在，请说明理由 20.(2026广东惠州一模)如图1，点P为反比例函数y=(x>0)图象上的一个动点，过点P作射线0A, 点B在x轴的正半轴上，以点P为圆心、2OP为半径作弧交反比例函数图象于点E,连接PE,分别过点P和 点E作y轴和x轴的平行线形成矩形PDEF,该矩形对角线交于点C,连接OF, B 图1 图2 1 ()设Pa,Eb,6 求直线OF的函数解析式（用含Q,b的代数式表示），并判断点D是否在直线 b OF上： (②)猜想∠FOB与∠AOB的数量关系，并说明理由； 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，当点P的坐标为1,1)时，求△OPD与矩形PDEF的面积比， 21.(2026广东珠海一模)如图1，矩形0ABC的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为4,2)，点A,C 分别在坐标轴上，反比例函数y=k的图象与AB,BC分别交于点D,E. C主 图1 图2 0当品时，则器的维为 BE (②)如图2，连接DE,将BDE沿DE翻折，若点B刚好落在x轴上的F点处时，连接OD,求证：△ODF 是等腰三角形， 22.(2026广东佛山一模)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形0AB的直角顶点B在x轴的正半 轴上，OA=2√2，反比例函数y=的图象经过点A. (①)求反比例函数的表达式： (②)若线段OA所在直线与第三象限的双曲线交于点C,求出点C的坐标. 23.(2026广东广州一模)如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=”的图象相交于点A2,3)和 点B(-3,n). 珠 8 6 4 A 6-4202468主 6 (①1)求一次函数和反比例函数的解析式： 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)根据图象，直接写出不等式：+b>”的解集： (3)设直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积 24.(2025山东淄博中考真题)如图，反比例函数y=6（x<0)和y=12(x>0)的图象分别与直线 X y=x+b依次相交于Am,1,B,C(3,n三点. B D (I)求出直线AC对应的函数表达式： (②)分别以点A,C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F.直线EF交y轴于点 D,连接AD,CD,试判断△ACD的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于x的不等式kx+b<-6的解集， 1 1/23