专题02 方程与不等式5大考点（广东专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02方程与不等式 ☆5大考点概览 考点01一元一次方程 考点02二元一次方程 考点03一元二次方程 考点04分式方程 考点05不等式和不等式组 考点01 一元一次方程 1.(2026广东深圳一模)氢氧化钠NaOH)具有强碱性，用途广泛.已知该化合物中各元素的正负化合价 代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为() 元素 钠Na 氧0 氢H 化合价 +1 -2 ▲ A.0 B.+1 C.-1 D.-3 2.(2026广东佛山一模)一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，如0.7=0.777…，设 07=,由0.7=0777可知，10r=71,所以I0r-x=7,得x名于是，得0.7。类比上述方法 无限循环小数1.4化为分数形式为· 3.(2026广东佛山一模)已知x=2是关于x的方程3x-m=4的解，则m的值是 4.(2026广东一模)如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b,且a+b=0,若AB=4,则点A表示的数 为 B 5.(2026广东广州一模)定义运算：a⊕b=ab+a-b,例如2⊕3=2×3+2-3=5.若x⊕4=14，则x= 6.(2026广东深圳一模)【定义】 在平面直角坐标系xOy中： 【1】对于两点Px,y)和Q(x2,2),若x-x2=1-y,则称点Q是点P的“等距点”. 【2】对于一点M(x,y),则称点N(2k-x,-y)为点M的k对称点”，例如，点N(2-x,-y)为点M(x,y)的1 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对称点”. 【运用】 (1)在平面直角坐标系x0y中，己知点(2，)，P(3,1). 在点9(-1,4)，Q2(2,0),9(2,-1),Q(1,-1) ①点 是点P的“等距点”. ②点 是点P的“2对称点” ③点 既是点B的“等距点”又是点的“2对称点”， (②)已知点P是直线y=2x+1上的点，记点P的“1对称点”为点Q.若点Q恰好是点P的等距点”，求此时 点P的坐标. (3)己知点A是射线y=2x+1(x≥0)上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线y=x+2上， 点B是点A的等距点”.点A的k对称点”为点C.求线段BC的最小值. 7.(2026广东深圳一模)【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每 天需喝水1500ml~1700ml,如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态. 素材1 建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引 起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，已知 温水的温度为30°C,流速为25ml/s;开水的温度为100C,流速为20ml/s.整 个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度= 素材2 混合后的体积×混合后的温度 00100 温水 开水 出水口 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【问题解决】 (I)若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有 ml水； (②)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了15s,得到一杯350m1的水，求这杯水混合后的水温： ②若小康想得到一杯350ml温度不低于40°C的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 8.(2026广东佛山一模)【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动.研学主题为“探工业智造， 品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： (1)①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动： (2)①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动. 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人.为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与 三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行 人均享9折优惠， 社 乙旅行 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠 社 丙旅行 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠； 社 否则，人均享95折优惠， 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总 费用比甲旅行社少1500元. (1)该班有几名同学？ (②)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选 择？ 考点02 二元一次方程 1.(25-26八年级上广东深圳期末)今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 钱五十，问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有 钱的子那么乙他共有50钱，甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱。根据题意，列出的 二元一次方程组为() 1 x+2=50 x+y=50 2 A. 2 r+y=50 3x+y=50 1 1 +y=50 2 x+2y=50 D. 3y=50 x 3P=50 2.(2026广东汕头一模)若实数a,b,c满足a-3b+2c=10且2a+b-c=5,则15a-3b= 3.(2026广东茂名一模)已知 x=2 ,是二元一次方程2x+3y=10的一个解，则m的值为 y=m 4.(2026广东汕尾一模)下面是两位同学解方程组 x-y=4① 3x+2y=7② 的做法： 美美的做法： 善善的做法： 由①×2，得2x-2y=4③. 由方程①，得x=y+4③. 由②+③，得5x=11, 将方程③代入②，得：3(y+4)+2y=7,解得y=-1. 解得x= 5 把y=-1代入③，得x=3. 把x=代入①，得y=-9 .方程组的解为 x=3 11 y=-1 x= .方程组的解为 5 9 y=- 5 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是 ；美美的消元方法是 (2)判断（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答。 5.(2026广东深圳一模)成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品.若购 买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元. (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品a个，购买这300个奖品的总费用为W元. ①求W关于a的函数关系式： ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能 使总费用最少？ 6.(2026广东江门一模)错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过 程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养 2x+y=-6① 小明解方程组 5x+y=3② 的过程如表所示： 解：由②-①，得3x=-3③…..…第 步 得：x=-1 第二步 把x=-1代入①，得：2×(-1)+y=-6 y=-4..……… 第三步 x=-1 原方程组的解为 第四步 y=-4 请你思考并解决下列问在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？ 若不正确，请写出正确的解答过程， 7.(2026·广东佛山一模)如图所示，某学校开发一块长方形试验田ABCD作为劳动教育实践基地，通过初 步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田ABCD的周长为102米，请计 算该试验田的面积， D 8.(2026广东茂名一模)五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花 卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的 1.5倍. ①若小宇同学列的方程为90-480x15,请你直接说明方程中x代表的含义： x x-6 (②)请你用不同于(1)的方法，分别求出A、B两种花卉的单价； 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符 合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量 3x+y=5① 9.(2026广东一模)解方程组 2x-y=5② 10.(2026广东佛山一模)计算与解方程组 (-1-s+5: [2x-y=15 ②3x+y=25 11.(2026广东深圳一模)为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A,B两种品 牌的排球.已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30 个B品牌排球，一共花费4900元. (1)求A,B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ (②)学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购 买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售.如果该校计划出资1200元全部用于 购进A,B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案。 考点03 元二次方程 1.(2026广东汕头一模)2025年4月8日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从34%提升至84%，4月 10日，这一税率进一步提高至125%·假设从4月8日到4月10日这两天关税日平均增长率为x,则可列 出方程() A.34%(1+2x=125% B.34%(1+x)2=125% C.84%(1+x)=125% D.84%(1+2x)=125% 2.(2026广东珠海一模)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.我市92#汽油价格一月底 是7.66元/升，三月底92#汽油价格调整为8.58元/升.假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为 x,根据题意列出方程，正确的是() A.7.661+x)=8.58 B.8.581+x2=7.66 C.7.661+x2=8.58 D.7.66(1+x+7.661+x)2=8.58 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026广东珠海一模)若方程x2-2x-80的两个实数根为x,x2,xx2的值为（) A.-8 B.2 C.-2 D.16 4.(2026广东佛山一模)若x1,x2是方程x2-5x+3=0的两个根，则xx2+xx的值是() A.3 B.5 C.-15 D.15 5.（2026广东佛山一模)某校901班学生初一时有2人次获市级荣誉，之后逐年增加，到初三毕业时，三 年累计获奖共23人次.若设该班在初二、初三年级获得市级荣誉人次的平均年增长率为x,则下列方程正 确的是() A.2(1+x=23 B.21+x)=23 C.21+x)3=23 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=23 6.(2026广东深圳一模)己知某产品的利润为80元/件，每天销量为240件，通过市场调研，发现该产品 在此基础上售价每上升2元/件时，每天销量下降4件.设某天的售价上升m元/件时，该天的利润达20000 元，则可列方程() A.（80+2m)(240-4m)=20000 B.(80+m)(240-4m=20000 C.80+2m)(240-2m=20000 D.(80+m(240-2m=20000 7.(2026广东惠州一模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形 EFGH,连接DH,若DE平分LCDH,则EH=（) HA H G B A. c.5-1 2 2 n号 8.(2026广东东莞一模)己知m、n是方程x2+4x-3=0的两个实数根，则m+n= 9.(2026广东珠海一模)若x,52是方程x2-6x-7=0的两个根，则x+x2的值为 10.(2026广东东莞一模)若关于x的方程x2+3x+c=0有实数根，则c的值可以是 (写出一个 即可). 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026广东东莞一模)方程x2-4=0的根为 12.(2026广东·一模)己知方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1,为·而点Ax,乃)，B(x2,y2)为 反比例函数y=m-3的图象上两点，若0<x<,则5 (填“>”或“<”或“=”). 13.(2026广东佛山一模)关于x的一元二次方程(x+5)2-m+2=0有两个不相等的实数根，m的值可以 是（写出一个即可）： 14.(2026广东中山一模)某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销 售量的月增长率相同。 (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个， 则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 15.(2026广东惠州一模)【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数 字”.数学兴趣小组在研究“黑洞数字”时，在0到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到 小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个 操作叫“重排求差”；将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作. 例如：取三个数字：0,1,2，进行如下操作： 第1次：数字0,1,2，则210-12=198； 第2次：数字1,9,8，则981-189=792； 第3次：数字7,9,2，则972-279=693； 第4次：数字6,9,3，则_ (1)【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为_； (②)【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差操作后，最终会得 到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是_ ②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除.你认为他发现的结论 是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例 (3)【探究应用】已知p、9是0到9之间的整数(p<q),满足p+q=7,且P、9是关于x的一元二次方程 x2-mx+12=0的两个实数根，将P、q、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第n次结果就得到“黑 洞数字”，请求出的值， 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2026广东广州一模)已知抛物线y=ar(a>0),点F0, 1 纵坐标为2的点M在抛物线上，且 MF=3,过点F作直线AB交抛物线于点A(x,),B(x2,y2). (1)求该抛物线的函数表达式. (②)己知点PO,2),直线AP,BP分别交抛物线于C,D两点. ①求证：直线CD过定点； ②求△PAB与△PCD面积和的最小值， 17.(2026广东珠海·一模)如图，直线y=-bx+3b与x轴，y轴分别交于点A、B,以AB为边向右作矩形 ABCD,S矩形4BCD=30, 图1 图2 备用图 )如图1，当n∠BA0=2时，直接写出点C的坐标， (②)如图2，连接BD,将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点E,若点E在y轴上， ①延长CB交y轴于点F,求证：四边形AFBD为平行四边形； ②求直线AB的解析式： (3)连接0C,求0C的取值范围 18.(2026广东中山一模)亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销 售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件 (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 19.（2026广东珠海.一模)实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝 形风筝参加学校文化节. 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构 易于保持平衡，飞行稳定 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M N FBO DG BO D G 0 图1 图2 图3 【制作步骤】 步骤一骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段AC,BD作为骨架，且 AC>BD,AC与BD的和为80cm,四边形ABCD的面积为6OOcm. (1)直接写出骨架的长度：AC=cm,BD=cm: 步骤二蒙面制作：若(1)中骨架满足A0:0C=1:2,考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端 点要留出一定距离.现把BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点 A,点B,点D分别为4cm,2cm,2cm的三点E,F,G绘制抛物线， (②)求过E,F,G三点的二次函数解析式； 步骤三蒙面取材：己知BD以下部分的蒙面设计为等腰△FHG,点H在OC延长线上且FH∥BC,如图2， 经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括BD以上抛物线部分及BD以 下三角形FHG部分)，如图3.小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN的对角线交点为O,其中P,M,N三 点落在坐标轴上，PM‖AB,PNI‖AD (3)小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为多少平方厘米？ 考点04 分式方程 1.(2026广东惠州一模)由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3 件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时.设原来平均每小时送x件外卖，依题意，可列方程为() A. 4040 B.40-3=40 x x-3 x+3 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.40+3=40 D.40+3=40 x+3 x -x-3 2.(2026广东深圳·一模)某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每 人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是() 080=4B.15yy 4. 80_80=4 C.80-15x80D.80=15x80 y1.5y y+4 y-4 3.(2026广东深圳一模)新型科技广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台 智能机器人采摘某种水果. (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘 同样质量的水果所需的天数少1天，求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路， 道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为885m的6个小矩形.求道路的宽度. 4.(2026广东汕头一模)跨学科题（数学+物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供.实验数据显示，小车行驶时的耗电量与 速度成反比.当速度为v=10米/秒时，电池每小时耗电量为E=2度. (1)求耗电量E(度/小时)与速度v(米秒)的函数关系式： (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少。=4小时，科技小组需将速度调整为，，此时每小时耗电量降至E 已知调整后的毛电量写满足分式方程：片号1，结合资《1)问的函数关系录润整后的速度奶米 秒). 5.(2026广东珠海一模)某商店销售A,B两款与马相关的吉祥物，己知A款吉祥物的单价比B款吉祥物 的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A,B 两款吉祥物单价， 6.(2026广东江门一模)2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人 消费热”.某科技公司计划购进甲、乙两种型号的春晚同款”机器人进行销售。 (1)若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资2.1万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共 耗资2.5万元.求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (②)在(1)的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技术升级，甲型机 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 器人的进价每台降低Q万元，乙型号机器人的进价每台降低0.8α万元.则所购甲型机器人的数量是所购乙型 机器人的数量的，求a的值 7.(2026广东珠海一模)防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一 步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地.已知A队每小时检查的户数比 B队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等. ()求A队、B队的每小时检查的户数： (2)两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这 些废旧垃圾全部清理运走.M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使 运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 运货量 运货费用 参数车型 (吨/车) (元/车) M型 2 50 N型 1.5 40 8.(2026广东深圳一模)某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁.学校采购组先购买向日葵花苗， 第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量 是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元 (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价： (②)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3 倍.向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购 买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 9.(2026广东深圳一模)解方程：1-，七=1 1-xx-11 10.(2026广东·一模)2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海 豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉 祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元.在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销 售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元. (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的 1 请你帮助小江设计一种购买 方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 11.(2026广东深圳一模)根据以下素材，完成问题一和问题二. 背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正 式亮相.寓意喜气洋洋，其乐融融. 图片 素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵 20元. 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同。 素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为 80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和乐融融”玩偶全部售完 (1)喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ (2)若该商店购进“喜洋洋玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值， 12.(2026广东深圳一模)2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋 洋乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱.某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件.公司有甲、 乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产 品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。 ()求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品： (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生 产总量是多少？ 13.(2026广东深圳一模)随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品.某体育用品 商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以24000元购进一批该款运动器材.商品上市后迅速售罄，商场随 即又用52000元购进第二批同款运动器材.第二批购进的数量是第一批的2倍，每套器材的进价比第一批多 出20元. (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (②)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于30%，那么每套器材售价至少是多 少元（结果取整数）？（利润率=利润×100%) 成本 考点05 不等式和不等式组 1.(2026广东汕尾·一模)已知不等式组 -2x≥2，其解集在数轴上表示正确的是（) x-2<1 A.-1 -3-2-101234 B. -3-2-101234 C.3-201234 D.3201234 x+1<5 2.(2026广东惠州一模)不等式组 的整数解是() 2x-1≥5 A.3 B.4 C.5 D.6 2x+2>0 3.(2026广东江门一模)一元一次不等式组{ x+1≤3 的解集在数轴上表示为() A. B 0 0 C. >D. -2 -101 2 0 4.(2026广东深圳一模)某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17°℃的山坡.己知某山区山脚下的平均气 温为20C,并且海拔每上升100m,气温下降0.6℃.要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最 多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为() A.20-,C×0.6≥17 B.20-xx0.6≤17 100 100 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.20- 。217 D.20- 100×0.6 100×0.6 ≤17 5.(2026广东佛山一模)若实数a、b满足a<b,则下列式子成立的是() A.a-1<b-1B.-a<-b C.B<l D.a2<b2 2026广东江门一模)关于x的不等式x>1,两边同时乘-2，得到的不等式为 A月 B.x>-2 C.x<-2 D.月 7.(2026广东汕头一模)2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者， 要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为 人 x-3(x-2)≥4 8.(2026广东珠海一模)不等式组2x-1,x+1 的解集是 052 x-2≥1 9.(2026广东深圳一模)不等式组 x+1<5的整数解为 10.(2025·山东德州中考真题)若√x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 11.(2026广东东莞一模)体重管理，人人参与.国际上常用身体质量指数(BMI)作为衡量人体胖瘦程 度以及健康状况的重要指标，其计算公式为BM=窄(m表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米， BMI数值标准为：BMI<16为瘦弱（不健康）；16≤BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常； 24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）.某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40名 学生体检结果的身高和身体质量指数“BMI”数据，结果如下统计图及表格所示. 1.40 个频数/人 1.50-1.60 1.50 12 b01.70-1.80 6 1.60-1.70 0 1.41.51.61.71.8身高/m 图1（身高） 图2(BMD 身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 人数 8 11 (1)a= b= n= (2)身高样本数据的中位数所在的范围是_-； 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)已知该校九年级有学生1240人，请估计该校九年级学生偏胖的人数： (4)小倩身高1.60m，BMI值为30，她想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则她的体重至少需要减 掉多少千克？（结果精确到01千克） 3x-2>1 12.(2026广东广州，一模)解不等式组： 2x+1<5 3x≤x+4 13.(2026广东佛山一模)解不等式组： 2(x+5)>6 14.(2026广东珠海一模)计算与解不等式组 (1)计算：（-1)+2sin45°-2026 [3x+7>1 (2)解不等式组 3x+2)≥5x'并在数轴上表示不等式组的解集。 -5-4-3-2-1012345 15.(2026广东珠海一模)解答下列各题 (0计算：31- 小- V9 4(3+x)<18-2x (2)解不等式组： x XsI 32 3(x-1)≤5x+1① 16.(2026广东茂名一模)解不等式组： 2x<12-x② 17.(2026广东佛山一模)阅读小明解不等式x+3>- 2x-2)的过程： 解：不等号左右两边同乘以(-2)，得：-2(x+3)>x-2第一步 去括号，得：-2x+3>x-2 第二步 移项，得：-2x-x>-3-2 第三步 合并同类项，得：-3x>-5 第四步 系数化为1，得：x< 5 第五步 请判断小明的解答过程是否正确.若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的 解答过程. 18.(2026广东广州一模)解不等式：3(x-1)<2x+4,并在数轴上表示出它的解集. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026广东东莞一模)2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着 秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线.这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调， 更因机器人舞团在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点.某公司计划购买甲、乙两种机器 人进行销售.己知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花 650万元购进乙种机器人数量的2倍. (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从购进甲、乙两种机器入共30个，且经费预算不超过1900万元，则该公 司最少可以购进甲种机器人多少个？ 20.(2026广东东莞一模)某校为丰富学生的校园生活，准备购买一批足球和篮球，己知购买2个足球和3 个篮球共需340元；购买4个足球和1个篮球共需280元. (1)求足球和篮球的单价各是多少元？ (②)若学校计划购买足球和篮球共30个，且总费用不超过1600元，那么最多可以购买多少个篮球？ 1/23 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程 考点02 二元一次方程 考点03 一元二次方程 考点04 分式方程 考点05 不等式和不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·广东深圳·一模）氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（   ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据化合物化合价代数和为0的规则，先设未知数，再列方程求解，即可得到结果． 【详解】解：设氢元素的化合价为， ∵化合物中各元素正负化合价代数和为，且中钠、氧、氢各有个原子，钠元素化合价为，氧元素化合价为， ∴列方程得：， 解得：， 故氢元素化合价为， 2．（2026·广东佛山·一模）一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，如，设，由可知，，所以，得．于是，得．类比上述方法，无限循环小数化为分数形式为______． 【答案】 【分析】仿照题干中无限循环小数化为分数的方法，循环节为两位，设未知数构造一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设， 由，可知， 因此， 解得． 3．（2026·广东佛山·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 【答案】 【分析】把代入，即可解答． 【详解】解：是关于x的方程的解， ∴可得， 解得． 4．（2026·广东·一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据数轴上两点的距离可知，再结合，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点A表示的数为． 5．（2026·广东广州·一模）定义运算：，例如．若，则__________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则得到关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 解得． 6．（2026·广东深圳·一模）【定义】 在平面直角坐标系中： 【1】对于两点和，若，则称点Q是点P的“等距点”． 【2】对于一点，则称点为点M的“k对称点”，例如，点为点的“1对称点”． 【运用】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，． 在点，，，． ①点______是点的“等距点”． ②点______是点的“2对称点”． ③点______既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． (2)已知点P是直线上的点，记点P的“1对称点”为点Q．若点Q恰好是点P的“等距点”，求此时点P的坐标． (3)已知点A是射线上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线上，点B是点A的“等距点”．点A的“k对称点”为点C．求线段的最小值． 【答案】(1)①；②；③ (2)或 (3)8 【分析】（1）①根据“等距点”的定义解答即可；②根据“2对称点”的定义解答即可​； ③根据“等距点”和“2对称点”的定义解答即可． （2）设，则P的“1对称点”为，由是的等距点得，分两种情况分别求解即可． （3）设，由题意得，根据是的等距点，得，解得，则点，，故点的“对称点”为，得出点的轨迹是直线，根据点到直线垂线段最短求出点到直线的垂线段长度即为的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ①满足，符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 故点是点的“等距点”； ②∵，则的对称点坐标为，即，对应​； ③​的2对称点坐标为，即，对应​，验证得，符合等距点定义，即点​既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． （2）解：设，则P的“1对称点”为， 由是的等距点得：， ∴， ∴， 分两种情况：当时，解得：，则； 当时，解得：，则． （3）解：设， 由题意：的横坐标等于的纵坐标，即， 又在上，则， ∵是的等距点， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴点，， ∴点的“对称点”为， ∴点的轨迹是直线， 点到直线的最短距离为垂线段长度：， 即的最小值为． 7．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 【答案】(1)温水和开水混合后共毫升水 (2)这杯水混合后的水温为；小康接开水的时间至少是秒． 【分析】（）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）设小康同学接了温水，则接了开水，根据题意得，解得，求出小康同学接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温； 设小康接开水的时间是秒，由题意列出不等式，即可． 【详解】（1）解：， 答：此时温水和开水混合后共毫升水； （2）解：设小康同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴小康同学接了温水，开水， ∴这杯水混合后的水温为； 设小康接开水的时间是秒，由题意得： ， 解得：， ∴接开水的时间至少是秒． 8．（2026·广东佛山·一模）【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 【答案】(1)50名 (2)需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠 【分析】（1）设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元），根据“选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元”建立一元一次方程求解； （2）根据丙旅行社的优惠规则，需要先收集参加非遗宣讲的人数，再分情况计算丙的总费用，和甲乙的总费用比较后即可得到最优惠的选择方案． 【详解】（1）解：设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元） 由题意得： 整理得： 解得： 答：该班有50名同学． （2）解：当时， 甲旅行社总费用：（元）； 乙旅行社总费用：（元） 丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关， 因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数． 设参加非遗宣讲活动的人数为m，该班总人数为50，全班人数的半数为25， 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社； 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社． 答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠． 二元一次方程 考点02 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50钱”，列出一个关于x和y的二元一次方程；根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50钱”，列出一个关于x和y的二元一次方程，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 2．（2026·广东汕头·一模）若实数a，b，c满足且，则_______． 【答案】60 【分析】已知两个含a，b，c的等式，利用消元法消去未知数，得到与的关系式，再变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：由题意得： 得：， ． 3．（2026·广东茂名·一模）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为___________． 【答案】2 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得． 4．（2026·广东汕尾·一模）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，见解析 【分析】（1）根据两人的消元方法可得答案； （2）根据两人的解题过程可知美美在计算时方程右边的4没有乘以2，导致后续过程错误，据此利用加减消元法写出正确的解题过程即可． 【详解】（1）解：由题意得，善善的消元方法是代入消元法，美美的消元方法是加减消元法； （2）解：由题意得，美美的解答过程有误，正确解答如下： 由，得③， 由，得，解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 5．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)①；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得； ②利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 6．（2026·广东江门·一模）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由②①，得③………………………………第一步 得：…………………………………………………第二步 把代入①，得： ………………………………………………………第三步 ∴原方程组的解为………………………………第四步 请你思考并解决下列问在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】第一步是消元，消元依据见解析，小明的解答过程不正确，正确的解答见解析． 【分析】本题先明确消元步骤与依据，再通过加减消元法解二元一次方程组，先判断小明的计算错误，再按规范步骤求解． 【详解】解：第一步是消元． 消元的依据是等式的基本性质：等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立． 小明的解答过程不正确，错误出现在第一步： ， ， 正确解答过程为： ， 由，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 7．（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【答案】平方米 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值，进而可求解． 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ∴，，， ∴， 解得：， ∴每一个小长方形的面积为平方米， ∴该试验田的面积为平方米． 8．（2026·广东茂名·一模）五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． (1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 【答案】(1)B种花卉的单价 (2)A种花卉单价24元，B种花卉单价30元 (3)共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝 【分析】（1）根据所给方程及题目条件可得答案； （2）设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，根据每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元列出分式方程求解； （3）设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝，根据学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买）列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍，可知代表B种花卉的单价； （2）解：设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 元，元， 所以A种花卉单价24元，B种花卉单价30元； （3）解：设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝（m，n均为正整数），根据题意得： ， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求． ∴共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝． 9．（2026·广东·一模）解方程组． 【答案】 【分析】利用加减消元法解题，两个式子相加消去未知数，再代入方程①求出的值． 【详解】解： ①+②得：， 解得： 把代入①得：， 解得： ∴原方程组的解是 10．（2026·广东佛山·一模）计算与解方程组 (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据实数的运算法则进行计算即可． （2）用加减消元法进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ①②得：， 解得， 将代入①，得：， 解得， 故． 11．（2026·广东深圳·一模）为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． (1)求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 【答案】(1)A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元 (2)学校共有三种购进方案：方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元，根据“购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元”建立方程组求解； （2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．根据题意，得，整理得，再求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元． 根据题意，得 解得 答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元． （2）解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个． 根据题意，得， ． 由题意得m，n均为正整数， 或或． 学校共有三种购进方案： 方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个； 方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个； 方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个． 一元二次方程 考点03 1．（2026·广东汕头·一模）2025年4月8日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从提升至，4月10日，这一税率进一步提高至．假设从4月8日到4月10日这两天关税日平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：4月8日的关税为，4月10日的关税为，然后根据均增长率的规律列出方程即可． 【详解】解：设这两天关税日平均增长率为， 由题意得：． 2．（2026·广东珠海·一模）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市汽油价格一月底是7.66元/升，三月底汽油价格调整为8.58元/升．假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，从一月底到三月底共经过两次增长，利用增长率关系即可推导． 【详解】解：假设我市汽油价格这两个月平均每月的增长率为x， 根据题意得，． 3．（2026·广东珠海·一模）若方程的两个实数根为，的值为（    ） A． B．2 C． D．16 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，两根之积． 【详解】解：， ， ． 4．（2026·广东佛山·一模）若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，代入数值计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 原式． 5．（2026·广东佛山·一模）某校901班学生初一时有2人次获市级荣誉，之后逐年增加，到初三毕业时，三年累计获奖共23人次．若设该班在初二、初三年级获得市级荣誉人次的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出三年各年的获奖人次，再根据累计总人次列方程即可． 【详解】解：∵初一获奖人次为2，平均年增长率为x， ∴初二获奖人次为， ∴初三获奖人次为， ∵三年累计获奖共23人次，即三年获奖人次总和为23， ∴可列方程． 6．（2026·广东深圳·一模）已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量，先求出售价上升元后的每件利润和日销量，再根据总利润列方程即可． 【详解】解：设某天的售价上升元件，依题意，每件利润为元． 上升元后，日销量下降件，此时日销量为件． 可列方程为． 7．（2026·广东惠州·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，求得，再证明，设，，利用相似三角形的性质得到，设，即，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，则， 即， 设， ∴，即， 解得或（舍）， 经检验是原方程的解， ∴． 8．（2026·广东东莞·一模）已知m 、n 是方程的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵m 、n 是方程的两个实数根， ∴． 9．（2026·广东珠海·一模）若，是方程的两个根，则的值为________． 【答案】6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接代入系数计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，二次项系数，一次项系数． ∴根据根与系数的关系得：． 10．（2026·广东东莞·一模）若关于的方程有实数根，则的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键，根据方程有实数根可得根的判别式大于等于0，求出的取值范围即可得到符合要求的的值． 【详解】解：因为关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 所以的值可以为0． 11．（2026·广东东莞·一模）方程的根为_______． 【答案】， 【分析】将原方程移项变形为，根据直接开平方法求出方程的根即可． 【详解】解：移项得， 开平方得， 即，． 12．（2026·广东·一模）已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】< 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出，从而可得，再由反比例函数的性质得出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，最后结合即可得出结果． 【详解】解：∵方程的有两个不相等的实数根，． ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ∵而点，为反比例函数的图象上两点，且， ∴． 13．（2026·广东佛山·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是_____（写出一个即可）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”列出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，然后在的范围内取值即可． 【详解】解：将方程整理得：， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 14．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 15．（2026·广东惠州·一模）【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”．数学兴趣小组在研究“黑洞数字”时，在0到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”；将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作． 例如：取三个数字：0，1，2，进行如下操作： 第1次：数字0，1，2，则； 第2次：数字1，9，8，则； 第3次：数字7，9，2，则； 第4次：数字6，9，3，则 ． …… (1)【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为 ； (2)【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是 ； ②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除．你认为他发现的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例． (3)【探究应用】已知、是0到9之间的整数，满足，且、是关于的一元二次方程的两个实数根，将、、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第次结果就得到“黑洞数字”，请求出的值． 【答案】(1) (2)①495；②成员乙发现的结论是正确的，见解析 (3) 【分析】（1）根据题中方法计算求解； （2）①继续计算，找出规律； ②根据整式的运算法则列式计算；、 （3）先根据根与系数的关系得，即可求出m，再解方程求出p、q，再对三位数字进行“重排求差”操作，即可求解． 【详解】（1）解：第4组：数字6，9，3，则； （2）解：①第5组为：， 第6组为：， ……， ∴这个“黑洞数字”是495； ②成员乙发现的结论是正确的，理由如下： 设在0到9之间任取的三个整数分别为、、，其中最大，最小 则“重排”得到的最大数为，最小数为， “求差”为：， 、为0到9之间的整数，且， 为正整数， 则为99的倍数，所以最大数和最小数的差总能被99整除； （3）解：由已知得，即 原方程为：， 解得：，， ， ，， 将三位数3、4、7进行“重排求差”： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：，本次“重排求差”与上一次“重排求差”完全一致， 结合（2）的探究可知“黑洞数字”为495，且． 16．（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，，从而求得，即可解答； ②根据①中所求，可得，，然后利用完全平方公式的变形求得，，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 17．（2026·广东珠海·一模）如图，直线与轴，轴分别交于点、，以为边向右作矩形，， (1)如图1，当时，直接写出点的坐标； (2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，若点在轴上， ①延长交轴于点，求证：四边形为平行四边形； ②求直线的解析式； (3)连接，求的取值范围． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)①证明见解析；②直线函数表达式为或． (3) 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，由三角函数求解出的值，易得的值，证明，可得，求出，，由此可得点的坐标； （2）①根据翻折和矩形的性质，证明，由角度等量代换，可证出，结合，可证出四边形为平行四边形；②由面积相等的性质，求出的长度，证明，得出，，可得点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）同（1）中的过程，用表示出点的坐标，可得，根据方程根的判别式，可得出的取值范围，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示： 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为． （2）解：①令交于点，如下图所示： 在矩形中， ∵翻折的性质， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，或， ∴点坐标为或点坐标为， 令直线函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， ∴直线函数表达式为． 将点、代入 ， 得，解得， ∴直线函数表达式为． ∴直线函数表达式为或． （3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小， ∴即， 当时，， ∴点坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， 化简得， ∵， ∴， 假设的值为， 即， 即， 该关于的方程有解， 即， 得， 解出， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·广东中山·一模）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 【答案】(1)月平均增长率为. (2)11月份的销售量是万件. 【分析】本题考查了一元二次方程的应用一增长率问题，解题的关键是根据8月份和10月份的销售量建立方程求增长率； （1）中设月平均增长率为，月份到10月份经过2个月，由列方程求解； （2）中利用（1）求出的增长率，计算11月份销售量． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，得， （舍去） 答：月平均增长率为； （2）解：（万件）， 答：11月份的销售量是8.64万件． 19．（2026·广东珠海·一模）实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作步骤】 步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为． (1)直接写出骨架的长度：_____，_____； 步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线． (2)求过E，F，G三点的二次函数解析式； 步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，． (3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？ 【答案】(1)60，20； (2) (3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 【分析】（1）设，则的长为，根据四边形的面积为，建立方程，并结合，即可求解； （2）先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答； （3）求出，求出直线的解析式为，进一步求出，，直线的解析式为，令，解得，得到，根据筝形纸片面积至少为即可求出答案． 【详解】（1）解：设，则的长为， 由题意得， 解得， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵过距离点A，点B，点D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线， ∴， 设所求抛物线表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （3）解：∵， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为，代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可知直线的解析式为， ∴， 令， 则， 令， 解得， ∴， ∴，直线的解析式为， ∴， 令，解得， ∴， 即， 即筝形纸片面积至少为． 答：小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 分式方程 考点04 1．（2026·广东惠州·一模）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【详解】解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 2．（2026·广东深圳·一模）某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为y人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总零件数和人数分别表示出原计划与实际的平均每人生产零件数，再根据题目给出的数量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划人数为y人，则实际人数是， 根据题意得． 3．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 (2)道路宽度为 【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 4．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 5．（2026·广东珠海·一模）某商店销售两款与马相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 【答案】A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 【分析】根据“顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B款吉祥物的单价为元，则A款吉祥物的单价为元， 根据题意列方程得， 解得， 检验∶当时，， 所以是原分式方程的解， 则， 答∶A款吉祥物单价为40元，B款吉祥物单价为20元． 6．（2026·广东江门·一模）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【答案】(1)甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 (2)的值为 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 7．（2026·广东珠海·一模）防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． (1)求A 队、B队的每小时检查的户数； (2)两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 【答案】(1)A队每小时检查16户，B队每小时检查12户 (2)租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，根据“A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等”，可列方程分式方程，据此求解即可； （2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，根据“总运货量吨”，列不等式求得m的范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户； （2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元， 由题意得， 解得， 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最小， w最小值元， ， 答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 8．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1) 2.2元 (2) 购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元 【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可. 【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得： ， 解得 ， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 则第二批单株进价为（元）； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ； ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 ， （株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元. 9．（2026·广东深圳·一模）解方程：． 【答案】原方程无解 【分析】根据去分母、移项、合并同类项、化系数为1解分式方程，注意要检验． 【详解】解：原方程可化为， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为１，， 检验，时，，则为方程的增根， 故原方程无解． 10．（2026·广东·一模）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元． (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ (2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】(1)A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； (2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设B型玩偶的单价为x元，则A型玩偶的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设小江购买A型玩偶a个，则B型玩偶个，购买费用为w元．根据题意得，解得，再求出关于的关系式，结合一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设B型玩偶的单价为x元，则A型玩偶的单价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根，且符合题意， ， 答：A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； （2）解：设小江购买A型玩偶a个，则B型玩偶个，购买费用为w元． 根据题意得 ， 由题意可得：， ， ∴w随a的增大而增大 又∵a为正整数， 时，w取最小值． 元． 答：小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 11．（2026·广东深圳·一模）根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相．寓意喜气洋洋，其乐融融． 图片 素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元． 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同． 素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完． (1)“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ (2)若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值． 【答案】(1)每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”玩偶的进价为90元 (2)；2700 【分析】（1）设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元，根据用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同列，列分式方程求解即可； （2）根据题意列出，由一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元， 则 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元； （2）解：根据题意得：， 根据题意可得：， 解不等式得：， ∵， ∴W随着a的增大而减小， ∴当时，才能使总利润最大， 最少费用是（元）， 此时（套）， 答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元． 12．（2026·广东深圳·一模）2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品 (2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件 【分析】（1）设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，根据题意列出函数关系式，先求得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （件）． 答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件， 根据题意得：， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 最大取20， 当时，取得最大值，为（件）， 此时（天）． 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件． 13．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【分析】（）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 1．（2026·广东汕尾·一模）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（   ）不等式和不等式组 考点05 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示，即可得出选项． 【详解】解：， 解得， 解得， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 2．（2026·广东惠州·一模）不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，其中整数解为． 3．（2026·广东江门·一模）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式组的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为左边空心点，右边实心点，选项A符合题意． 4．（2026·广东深圳·一模）某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列出不等式，先找出气温与海拔高度的关系，再结合杜鹃花适宜生长的气温条件列出不等式即可． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，那么海拔上升了， 则气温下降的度数为，此时的气温为， 由于杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡， 因此，可列出的不等式为：． 5．（2026·广东佛山·一模）若实数a、b满足，则下列式子成立的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式性质判断，结合举反例排除错误选项即可得到结果． 【详解】解：A．∵， ∴，故A选项成立； B．∵， ∴，故B不成立； C．举反例：取，，满足，此时，故C不成立； D．举反例：取，，满足，此时，，，故D不成立． 6．（2026·广东江门·一模）关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。这里要给两边同时乘以，因为是负数，所以不等号方向要从“”变为“”，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一核心规则． 7．（2026·广东汕头·一模）2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者，要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为_______人． 【答案】67 【分析】设男生有人，根据男生人数多于女生人数的2倍，列出不等式进行求解即可. 【详解】解：设男生有人， 由题意，得，解得， ∴的最小整数解为67，即男生最少为67人. 8．（2026·广东珠海·一模）不等式组的解集是_____． 【答案】 【分析】分别解出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得 ． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 9．（2026·广东深圳·一模）不等式组的整数解为______． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可. 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 所以不等式组的整数解为 3； 故答案为：3. 10．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 11．（2026·广东东莞·一模）体重管理，人人参与．国际上常用身体质量指数（）作为衡量人体胖瘦程度以及健康状况的重要指标，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；h 表示身高，单位：米），数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40 名学生体检结果的身高和身体质量指数“”数据，结果如下统计图及表格所示． 身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 人数 3 8 11 9 n (1) __________，__________ ， ； (2)身高样本数据的中位数所在的范围是 ； (3)已知该校九年级有学生 1240 人，请估计该校九年级学生偏胖的人数； (4)小倩身高，值为 30 ，她想通过健身减重使自己的值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少千克？（结果精确到千克） 【答案】(1)10，108，9 (2) (3)279人 (4) 【分析】（1）用调查的总人数减去其他三组身高的人数即可求出a的值，用身高为占总人数的比例乘以，即可求出b的值；用样本容量分别减去其他身体属性的人数和肥胖人数n； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可； （4）设小倩体重需要减掉，根据计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，； ，即； ； （2）解：把这40 名学生体检结果的身高按照从矮到高的顺序排列，第20个数据和第21个数据都在的范围内， ∴中位数所在的范围是， （3）解：1240279（人）， 答：估计该校九年级学生偏胖的人数为279人； （4）解：设小倩体重需要减掉， 依题意得：， 解得， ∴她的体重至少需要减掉 答：她的体重至少需要减掉． 12．（2026·广东广州·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】利用解不等式组的步骤进行求解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为． 13．（2026·广东佛山·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 14．（2026·广东珠海·一模）计算与解不等式组 (1)计算： (2)解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集． 【答案】(1) (2)，在数轴上表示见解析 【分析】（1）先计算有理数的平方，45度的正弦值，0指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）分别求解两个不等式，然后找出其公共部分即可得到不等式组的解集，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 由①，得， 由②，得, 故不等式组的解集为：． 在数轴上表示为： 15．（2026·广东珠海·一模）解答下列各题 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先，计算负指数幂、算术平方根、去绝对值符号，然后，合并计算即可； （2）按照解一元一次不等式的一般步骤分别解出解集，再根据“大小小大中间找”写出公共解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：． 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 16．（2026·广东茂名·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 17．（2026·广东佛山·一模）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程不正确，第一步首先出错，错误原因和正确解答过程见详解 【分析】先根据不等式的基本性质和去括号法则，逐步检查小明的解题过程找出错误，再按照解一元一次不等式的正确步骤，求出原不等式的解集． 【详解】解：小明的解答过程不正确，第一步首先出错， 错误原因：不等式两边同乘负数时，不等号方向未发生改变， 正确解答过程：不等号左右两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 18．（2026·广东广州·一模）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】；解集在数轴上表示见解析 【分析】先去括号，移项，合并同类项，求得不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解集在数轴上表示如下： 19．（2026·广东东莞·一模）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因机器人舞团在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花万元购进甲种机器人的数量是花万元购进乙种机器人数量的倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从购进甲、乙两种机器人共个，且经费预算不超过万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 【答案】(1)购买一个甲种机器人需万元，购买一个乙种机器人需万元； (2)该公司最少可以购进甲种机器人个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列方程（组）或不等式（组）求解是解题的关键． （1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元．根据1200万元购进甲种机器人的数量=2×（650万元购进乙种机器人的数量）这一等量关系，列分式方程求解． （2）设购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个．根据甲种机器人总费用+乙种机器人总费用≤1900万元这一不等关系，列一元一次不等式求解的最小整数值． 【详解】（1）解：设购买一个乙种机器人需要万元，则购买一个甲种机器人需要万元． ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． （2）解：设该公司购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个． ， ， ， ， 为整数， 的最小值为10． 答：该公司最少可以购进甲种机器人10个． 20．（2026·广东东莞·一模）某校为丰富学生的校园生活，准备购买一批足球和篮球．已知购买2个足球和3个篮球共需340元；购买4个足球和1个篮球共需280元． (1)求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买足球和篮球共30个，且总费用不超过1600元，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为80元 (2)3个 【分析】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的运用，熟练根据题意列出方程组及不等式是解题的关键． （1）设足球的单价为元，篮球的单价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列出不等式，解不等式，注意为整数即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，篮球的单价为元， 根据题意得： 解得 答：足球的单价为50元，篮球的单价为80元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得， 由于为整数， 则的最大值为3， 答：最多可以购买3个篮球． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $