专题01 数与式9大考点（广东专用）2026年中考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01数与式 ☆9大考点概览 考点01数轴 考点02科学记数法 考点03有理数的运算 考点04实数的运算 考点05整式的加减 考点06整式的乘除 考点07因式分解 考点08因式分解 考点08分式及其运算 考点09二次根式及其运算 考点01 有理数 1. (2026广东汕头一模)某城市早上7时气温是-3℃，中午12时上升了7℃，则中午12时的气温是 () A.4C B.10C C.-4C D.-10C 2.-2026的相反数是() 1 A.-2026 B.2026 C.-2026 D. 2026 3。(2026广东广州一模)已知a=2 则a的值是() 1 A.2 B.-2 C.±2 D.2 4.(2026广东珠海一模)若a-5+V2-b=0,则b的值为() A.3 B.25 C.3 D.9 5.(2022广东惠州·一模)-2022的绝对值等于() 1 1 A.2022 B.-2022 C.2022 D.-2022 6.(2026广东珠海·一模)下列各数中，相反数为-3的数是() 1/23 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.3 c n 7.(2026广东深圳·一模)如果公元前600年记作600年，那么公元2026年应记作() A.-2026年 B.+1426年 C.+2026年 D.+2626年 8.(2026广东深圳一模)下列四个数中，最小的是() A.0 B.-(-1) C.-2 D./3 9.(2026广东佛山一模)在实数-1,0,0.01,2中，最小的数是（) A.0 B.-1 C.2 D.0.01 10.(2026广东深圳一模)春节期间，深圳市的气温变化频繁.某天，最高气温下降了3℃，最低气温 上升了1℃.如果气温下降3℃记为-3℃，则上升1℃记为() A.+3C B.+1C C.-1℃ D.-2C 11.(2026广东中山一模)2026的相反数是() 1 1 A.-2026 B.2026 C.-2026 D.2026 12.(2026广东汕尾一模)如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：mm)如下： 45.04,44.09,44.98,45.01.从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是 单位：mm +0.03 45-0.04 1.（2026广东汕头一模)比较大小：31,35 2w5 14.(2026广东一模)如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b,且A+b=0,若AB=4,则点A表示 的数为 A B 15。(2026广东佛山一模)计算2+2” 的结果是 16.(2026广东珠海一模)计算： 1-V5-4cos60°-(-122 17.(2026广东深圳一模)计算： -π-2014°+sin60+5-2 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 18.(2026广东深圳一模)计算： -(a-3.14°-2sin45°+V2-2 19.(2026广东深圳一模)计算：-+2+20s60+(-3-目. 20.(2026广东东尧一模)计算，--2sin60+1-51+[⑨」 ，2026广东发名一模)计算店2加60+2-+3 22.(2026广东深圳一模)计算： 0-6-2刘+4x 27u-6a+6-23a2-3a- 考点02 科学计数法 1.(2026广东汕头一模)《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟.六粟为一圭，十圭为一撮，十撮 为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟=1圭，10圭=1撮，10撮=1抄，10抄=1勺，10勺=1 合，则9合为() A.5.4x10 粟B.5.4x10 粟 C.9x10粟 D.9x10 粟 2.(2026·广东汕尾一模)从正月初二品清湖烟花和无人机秀的绚丽多彩，到正月初五新春英歌汇演的热 闹非凡：从二马路非遗快闪的烟火气息，到红海湾沙雕、风筝的碧海欢歌，共同构成了一幅绚丽的新春旅 游画卷，吸引省内外游客纷至沓来.据汕尾电信运营商漫游数据初步测算，春节假期9天(2月15日至23 日)，全市累计接待游客2540700人次，较2025年春节假期8天增长18.2%，实现旅游收入25.51亿元、增 长27.6%.数据2540700用科学记数法表示为() A.2.5407x100 B.2.5407x10 C.2.5407x107 D.2.54x100 3.(2026广东惠州一模)我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”·为了纪念钱学森，中国科学 3/23 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 院紫金山天文台将一颗距地球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”.数据“5.23亿”用科学记数法表 示为() 5.23×10 5.23×10 52.3×10 A. B C. D.523000000 4.(2026广东佛山·一模)佛山市2025年参加中考的人数约为91000人，将91000用科学记数法表示为( ) 91×103 9.1×103 0.91×10 A. B. C.91x10 D. 5.(2026·广东珠海·一模)据统计，2025年广东省全年快递业务量超220亿件，将220亿用科学记数法表 示为() 220×10 22×109 A. B. C.2.2x10o D 0.22×10 6.(2026广东茂名·一模)查询DeepSeek,2026年元旦当天整个珠三角铁路发送旅客量达到2492000人次， 创下了历年元旦假期客流量的新高.为读写方便，可将2492000用科学记数法表示为() 24.92×107 2.492×109 0.2492×10 A. B C.2.492x10 7.(2026广东深圳一模)2026年春节假期九天(2月15日至2月23日)，深圳全市共接待游客约1050 万人次，较2025年春节假期（八天）增长17.9%.数据1050万用科学记数法表示为() A.1.05x10 B.1.05x107 C.10.5x10 0.105×10 8.(2026广东佛山一模)国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达5320000件， 并连续多年位居全球第一.将数据“5320000”用科学记数法表示为() 4. 532×10 5.32×10 C.5.32x10 D.5.32x107 9.(2026广东惠州·一模)惠州西湖新春灯会于2026年2月14日至3月3日共计接待游客60.3万人次， 60.3万用科学记数法表示为() 0.603×106 6.03×105 6.03×104 6.03×103 A. B C D .25×106 10.(2026广东广州·一模)广州地铁线网密度持续提升，某条线路日均客流量约为 人次，这个 数据原数是() A.1250 B.12500 C.125000 D.1250000 4/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 有理数的运算 (2026广东深圳一模)【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条 件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml,如果等到渴了再喝水， 素材1 身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水 时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮 水的适宜温度在35℃~40℃， 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个 出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s;开水的温度为 100C,流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温 素材2 水的温度=混合后的体积×混合后的温度. 00100 温水 开水 出水口 【问题解决】 (1)若用空杯先接了8s温水，后再接5$的开水，此时温水和开水混合后共有 ml水： (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了15s,得到一杯350ml的水，求这杯水混合后的水温： ②若小康想得到一杯 温度不低于40C。 350ml. 的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 2。(2026广东汕头一模)计算：(-+3.14-+4×-2到2-3an60°+2 3.226广东滥江一模)计算.a-206°-2s血45+{日 5/23 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. (206广东东莞一模)计第：-6+27+2cos60++( 5.(2026:广东广州一模)计算：（π-6°+V27-2c0s60 考点04 实数的运算 1.(2026广东汕头一模)定义新运算：对于任意实数4，B,有B=小-(B+2.若r为25-2的 整数部分，y为小数部分则※(y+山 的值为() A.-11 B.11 C.-9 D.9 2.(2026广东汕尾一模)下列各式中，错误的是() A.1⑧=2V5 B.5= C.8=2 D. -1=-1 3。(2026:广东茂名一模)下列整数中，与4 最接近的是() A.6 B.5 C.4 D.3 4.(2026广东中山一模)下列各数中，是无理数的为() A.-1 B.3.33333 C.2 D.3.14 5.(2026广东江门一模)下列各数中是无理数的是（) A名 B.6 C.1.2 D.17 6。(2026广东佛山模)定义一种新运算：对于两个非零实数m,nm*n-话+片， =m+n,其中x、y为常 数.若2*-2列=3，则3*-3引的值是（). A.3 B.-3 C.2 D.-2 7.(2026广东阳江一模)下列实数中，最大的是() A.-2 B.-1 C.3 D.6 8.(2026广东佛山一模)下列各数中最小的是() 6/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.3 C.0 D.1 9.(2026广东东莞一模)在2，-1，-π，0四个数中，最小的数是() A.0 B.2 C.-π D.-1 10。(2026广东茂名一模)定义关于任意正整数m”的一种新运算：m+m川=fm川四，若规定 f(2=9,则/4=（) A.3 B.6 C.18 D.81 1.(2026-广东江门一模)计算：2+5c0s30°= √4= 12.(2026广东东莞一模)计算： 13.(2026广东深圳一模)如图，由内到外依次为正方形A,B,C,若A的面积为3，C的面积为17，则 B的边长可以是整数一·（写出一个答案即可） 14.(2026广东中山一模)V4-21 15.(2026广东深圳一模)计算： 2w60-红-2026-()°-5-2 16.(2026广东深圳一模)计算： 2-2sn60-+[0--2026° 17.(2026旷东深圳一模)计算：(-)+2-V51-an60+2 18。(2026广东深圳一模)计算：(-m×-3)+V6+2-1-元° 19.(2026广东深圳一模)计算.--（-3m30+x+2026° 7/23 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(2026广东深圳一模)计算： √9+2c0s30°+W3-2+(-1)202 21.(2026广东惠州一模)计算：(2026+π°-4sin30+ 2.(2026广东一模)计算：-2-(V5-1)°+2sin60°-V2 2a.(226广东港江一模先化简.再求位：已知”-（二+。。 a2-2a+1,若a、2、4恰好是等 腰△ABC的三边长，求W的值。 (1)化简P: 2若a-=6,且点a,b在第二象限，求P的值. 25.(2026广东珠海一模)解答下列各题 ()计算： 4(3+x)<18-2x (2)解不等式组： 考点05 整式的加减 1. (2026广东佛山一模)下列计算正确的是() A.2a'b+3ab=5a'b2 B.(a-b)2=a2-b C.（-3x'÷x=9x D.x6.x3=xI8 2.(2026·广东珠海·一模)下列运算正确的是() A.(a)=a B.a+a2=a 8/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.5a3a2=15a D.a'÷a2=a 3.(2026广东广州一模)下列计算正确的是（) A.a2.a3=a6 B.(a)=a c.a÷a2=a D.2a-a=d 4.(2026广东深圳·一模)下列运算正确的是（) A.(x-=x2-20y-y2 B.a2+a3=a5 C.a3.a2=a6 D.(2）}'=x 5.(2026广东深圳一模)下列运算正确的是() A.a2.a'=a B.(a-b)=a-b2 C.a3+a3=2a3 D.a4b2÷ab=a 6.(2026广东深圳一模)下列计算正确的是() A. 2a+3b=5ab B.a.a=a C.（-23=-8r D.（m+4n(m-4n)=m2-4n 7.(2026广东佛山一模)下列计算正确的是() 2x+3y=5xy A. B.xx=x C.(2x2°=6r D.（2x+y)=4x2+4xy+y2 考点06 整式的乘除 1 (2026广东汕头一模)下列计算正确的是() A.(a）=a B.(-2y3=-6xyC.x4=x2 D.x6÷x2=x4 2.(2026广东江门·一模)下列计算正确的是（) A.(x-y2=2-y2B.xx=x”C.(-2）3=6x0D.2+4=2+5 9/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026广东珠海一模)计算2ab的结果是（) A.6a63 B.8a'b3 C.8ab3 D.Gabs 4.(2026广东东莞一模)下列各式计算正确的是（) A.(3)2=9 B.a.a2=as C.2x5=√6 D.(a)'=a 5.(2026广东·一模)下列计算正确的是() A.3mn-2mn=1 B.(-m).m=m C.(m+n2=m2+n2 D.(mn=mn 6.(2026:r广东广州一模)计算：(ah-a）÷ab= 7.(2026:广东深圳一模)已知： ，则2” 2m=532”=7 考点07 因式分解 a2(x-y)+9(y-x)= 1.(2026广东江门一模)因式分解： 2mx2-18m= 2.(2026广东广州一模)分解因式： 3.(2026广东茂名·一模)把多项式b-b因式分解的结果是 4.(2026广东深圳一模)因式分解：3x-6= 5。(2026:广东深圳一模)已知-y=4 4,则-2-8y= a2-2a= 6.(2026广东佛山一模)因式分解： 9x2-18x+9= 7.(2026广东深圳一模)因式分解： 考点08 分式及其运算 a 2 1.(2026:广东佛山一模)计算a2-4+4-的结果等于（) 10/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 A.1 B.a+2 C.a-2 D.a+2 1)- 2.(2026广东珠海一模)计算x-2026°+ 的结果是() A.2 B.3 c.3 D.月 3.(2026广东广州一模)若分式Vx-2有意义，则x的取值范围是() A.x>0 B.x>2 C.x<2 D.x≥2 y +x +1= 4.(2026广东汕头一模)x-yy-x 5.(2026:广东中山一模)计算：4cos30°+(3.14-m°= 3x3 6.(2026广东深圳一模)计算：x+i+x+1一 (a+1)' 7.(2026广东深圳一模)请写出使有意义的“的一个值： 8.(2026-广东江门一模)计算：2+5tan30°= 21）.x2+x 9.(2026广东广州一模)先化简，再求值：(x-1x厂x2-2x+1,其中x=√2. x-1 1-4》 10.(2026广东深圳一模)先化简：x2+6x+9x+3,再从1，-2，-3中选出你喜欢的x值代入 求解. ,2.x2-4x+4 1-- ÷ 11.(2026广东珠海一模)先化简，再求值： x x2,其中x=4. a-1a2-42 2.（2026广东深训一模)先化简，再求值：a-2a-2a+1。,其中“三2 11/23 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3a-3,） -1 2a2-a 13.(2026广东深圳一模)以下是某同学计算a-2 a2-4的部分过程： 3a-3-1÷ 2a2-a3a-3a-2 (a+2)(a-2】 a-2 a2-4a-2a-2 a2a-1 第一步 3a-3-a-2.（a+2a-2 a-2 a2a-1) 第二步 (2a-5j(a+2) a(2a-1 第三步 三… 老师在批改这道题时，发现了其中的错误. ()上述解题过程中，从第步开始出现错误： (2)请你给出正确的解答过程并求出当α=-3时分式化简后的值. 14.(202s广东深圳一模)计第：--那-2sn60-份 15.(25-26八年级下。贵州铜仁？月考)如图，八(1)班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片 ABCD进行折纸.已知该纸片长AD为lOCm,宽AB为8Cm,折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折 痕为AE)· A E B▣ (1)BF= cm,FC= cm (2)求EF的长 16.(25-26八年级下。贵州黔东南？月考)如图：在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将矩形沿对角线 BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F,求△BDF的面积. 12/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 17.(2026?河北廊坊一模)综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片ABCD(AB=2,BC>4),让同学们在纸片中作出一个 30°的角. 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片ABCD对折，使边AD与BC重合，展开后得到折痕 MN.再一次折叠纸片，使点A落在MN上的点E处. 图1 (I)BE的长为， ∠BEM的度数为； (2)连接CE.若 C=53 2,求tan∠BCE的值： 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到30°的角：如图2，分别以 点A,B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点O,连接OA,OB… o B 图2 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片ABCD中找出一点K,使∠AKB=30°，在图2的作图中，可画出_ (填“12”或“无数”)个满足条件的∠AKB: 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的AE,并将△ABE剪下来，点G在边AB上，点H在边AE上，将△ABE沿直线 13/23 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GH折叠，使点A落在点A处，如图3、图4所示。 G E(H) B 图3 图4 在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为一· (5)如图4，点P,Q在边BF上，且 PO=2BP=20E ，点落在线段 上（包括端点）若AB=mA'E O AG=yAH 直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围. 考点09 二次根式及其运算 (2026广东佛山·一模)下列运算正确的是() A.V-5列2=-5 B.2√2-√2=1 C.V28÷V7=4 n 2.(2026广东汕头一模)已知a-3)=3-a,则a的取值范围在数轴上表示正确的是() A.0 B.0 c.0 D.0 3.(2026广东珠海一模)若口-③+V2-b=0,则b的值为（) A.3 B.25 C.3 D.9 14/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026广东广州一模)要使式子Vx-2 有意义，则x的取值范围是() A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤2 5.(2026广东广州一模)若分式Vx-2有意义，则x的取值范围是() A.x>0 B.x>2 C.x<2 D.x≥2 6。(2026广东汕头一模)定义新运算：对于任意实数4，B,有依B=4-B+2.若x为25-2的 整数部分，y为小数部分，则※(y+ 的值为() A.-11 B.11 C.-9 D.9 7.(2026广东汕头一模)如图，一块含45°的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边BC与x轴重合， 点A在双曲线y=x上，若点C的坐标为(-l,0),AC=22,则ADEF的面积为（） A.2 B.3 C.4 D.6 8.(2026广东汕尾一模)下列各式中，错误的是() A.8=2V5 B.t9=3 C.8=2 D. 1=-1 9.(2026广东东莞一模)下列各式计算正确的是() A.(5)2=9 B.a3.a2=a C.√2x5=6 D.(a")'=a 10。(2026广东汕头一模)比较大小：-3 1,35 25 11.(2026广东珠海·一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,BE=FC=2,则△EFG周长的 最小值为一· 15/23 应学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 12.(2026广东珠海·一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在AC、 MB、BC边上，若ME=V5,BE=V5 则阴影部分面积为 C F 16/23 专题01 数与式 9大考点概览 考点01数轴 考点02科学记数法 考点03有理数的运算 考点04实数的运算 考点05整式的加减 考点06 整式的乘除 考点07 因式分解 考点08 因式分解 考点08 分式及其运算 考点09 二次根式及其运算 有理数 考点01 1．（2026·广东汕头·一模）某城市早上时气温是，中午时上升了，则中午时的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：中午时的气温为． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数的直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 3．（2026·广东广州·一模）已知，则a的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求解． 【详解】解：∵ ，即求到原点距离为2的数， ∴ 符合条件的数有两个，分别是和，即． 4．（2026·广东珠海·一模）若，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的性质，和为零则每个部分均为零，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2022·广东惠州·一模）的绝对值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解． 【详解】解：． 6．（2026·广东珠海·一模）下列各数中，相反数为的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：相反数为的数是． 7．（2026·广东深圳·一模）如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】根据已知规则确定公元年份的记法即可得出结果． 【详解】解：∵公元前600年记作年，说明规定公元前用负数表示，公元用正数表示， ∴公元2026年应记作年． 8．（2026·广东深圳·一模）下列四个数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的大小，相反数，绝对值求解即可； 【详解】解：，， 且，故最小； 9．（2026·广东佛山·一模）在实数，0，0.01，2中，最小的数是（   ） A．0 B． C．2 D．0.01 【答案】B 【分析】利用有理数比较大小的基本规则即可求解． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数， 在给出的四个数，，，中，只有是负数， ∴排序得 ， 因此最小的数是． 10．（2026·广东深圳·一模）春节期间，深圳市的气温变化频繁．某天，最高气温下降了，最低气温上升了．如果气温下降记为，则上升记为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如果气温下降记为，则上升记为． 11．（2026·广东中山·一模）2026的相反数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是． 12．（2026·广东汕尾·一模）如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：）如下：．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是______． 【答案】 【分析】根据正负数的意义确定合格产品的数量，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴合格的产品有2件， ∴从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是． 13．（2026·广东汕头·一模）比较大小：_______1 ，_______ 【答案】 【分析】根据正负数的定义得到；先将最简二次根式转化为一般二次根式，比较二次根式下被开方数的大小，得到． 【详解】解：、， ； 、， ， ， 即． 14．（2026·广东·一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据数轴上两点的距离可知，再结合，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点A表示的数为． 15．（2026·广东佛山·一模）计算的结果是_________． 【答案】3 【分析】本题分别利用绝对值的性质和零指数幂的运算法则计算两项，再将结果相加即可． 【详解】解：． 16．（2026·广东珠海·一模）计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值，有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【详解】解： ． 17．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】． 【分析】首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算即可． 【详解】解： 18．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据负指数幂、零指数幂、化简绝对值和特殊角的三角函数值进行化简，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，需要掌握负指数幂、零指数幂、化简绝对值和特殊角的三角函数值的运算，相关公式为：，，． 19．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 20．（2026·广东东莞·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： 21．（2026·广东茂名·一模）计算：． 【答案】11 【分析】先根据二次根式的运算，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及乘方运算法则，分别化简每一项，再合并计算得到结果． 【详解】解： ． 22．（2026·广东深圳·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算和整式的加减运算，熟练掌握法则是解本题的关键． （1）先计算乘方和乘除法，再计算加减法即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 科学计数法 考点02 1．（2026·广东汕头·一模）《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则9合为（    ） A．粟 B．粟 C．粟 D．粟 【答案】B 【分析】根据题目给出的单位进率逐步换算得到9合对应的粟数，再写成科学记数法的形式即可． 【详解】解：9合勺勺抄抄撮撮圭圭粟粟， 粟． 2．（2026·广东汕尾·一模）从正月初二品清湖烟花和无人机秀的绚丽多彩，到正月初五新春英歌汇演的热闹非凡；从二马路非遗快闪的烟火气息，到红海湾沙雕、风筝的碧海欢歌，共同构成了一幅绚丽的新春旅游画卷，吸引省内外游客纷至沓来．据汕尾电信运营商漫游数据初步测算，春节假期天（月日至日），全市累计接待游客人次，较年春节假期天增长，实现旅游收入亿元、增长．数据用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数， ∵将原数转变为符合要求的时，小数点向左移动了位，且原数绝对值大于， ∴，， ∴用科学记数法表示为． 3．（2026·广东惠州·一模）我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”．为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约亿公里的行星命名为“钱学森星”．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D．523000000 【答案】A 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：“亿”用科学记数法表示为． 4．（2026·广东佛山·一模）佛山市2025年参加中考的人数约为91000人，将91000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】91000用科学记数法表示为． 5．（2026·广东珠海·一模）据统计，2025年广东省全年快递业务量超220亿件，将220亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：将220亿用科学记数法表示为． 6．（2026·广东茂名·一模）查询DeepSeek，2026年元旦当天整个珠三角铁路发送旅客量达到2492000人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将2492000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 7．（2026·广东深圳·一模）2026年春节假期九天（2月15日至2月23日），深圳全市共接待游客约1050万人次，较2025年春节假期（八天）增长．数据1050万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1050万. 8．（2026·广东佛山·一模）国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】解：， 故选：C. 9．（2026·广东惠州·一模）惠州西湖新春灯会于2026年2月14日至3月3日共计接待游客60.3万人次，60.3万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：60.3万用科学记数法表示为． 10．（2026·广东广州·一模）广州地铁线网密度持续提升，某条线路日均客流量约为人次，这个数据原数是（    ） A．1250 B．12500 C．125000 D．1250000 【答案】D 【分析】根据科学记数法的定义，把科学记数法表示的数还原，只需将小数点按指数移动后得到原数； 【详解】解：． 有理数的运算 考点03 1．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 【答案】(1)温水和开水混合后共毫升水 (2)这杯水混合后的水温为；小康接开水的时间至少是秒． 【分析】（）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）设小康同学接了温水，则接了开水，根据题意得，解得，求出小康同学接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温； 设小康接开水的时间是秒，由题意列出不等式，即可． 【详解】（1）解：， 答：此时温水和开水混合后共毫升水； （2）解：设小康同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴小康同学接了温水，开水， ∴这杯水混合后的水温为； 设小康接开水的时间是秒，由题意得： ， 解得：， ∴接开水的时间至少是秒． 2．（2026·广东汕头·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零次幂的运算法则、二次根式的性质、化简每一项，再进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（2026·广东湛江·一模）计算：． 【答案】1 【详解】解： . 4．（2026·广东东莞·一模）计算： 【答案】 【详解】解： ． 5．（2026·广东广州·一模）计算：． 【答案】． 【分析】分别利用零指数幂的性质，二次根式的化简方法，特殊角的三角函数值计算每一项，再合并得到最终结果． 【详解】解： ． 实数的运算 考点04 1．（2026·广东汕头·一模）定义新运算：对于任意实数A，B，有．若x为的整数部分，y为小数部分，则的值为（    ） A． B．11 C． D．9 【答案】A 【分析】首先估算求出，然后求出，，然后代入利用新定义法则求解即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∵x为的整数部分，y为小数部分 ∴， ∴ ． 2．（2026·广东汕尾·一模）下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式化简、平方根与立方根的计算，对各选项逐一计算即可找出错误的选项． 【详解】解：选项A．，计算错误； 选项B．，计算正确； 选项C．，，计算正确； 选项D．，，计算正确． 3．（2026·广东茂名·一模）下列整数中，与最接近的是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，即可判断最接近的整数． 【详解】解：∵，， ∴． ∴更接近4． 4．（2026·广东中山·一模）下列各数中，是无理数的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数． 5．（2026·广东江门·一模）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C．1.2 D．17 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可． 【详解】解：无理数的定义为无限不循环小数，有理数包含整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数． ∴对各选项分析如下： A．是分数，属于有理数； B．开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； C．是有限小数，属于有理数； D．是整数，属于有理数； 6．（2026·广东佛山·一模）定义一种新运算：对于两个非零实数，，，其中、为常数．若，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据新定义的运算法则和已知条件推算出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴． 7．（2026·广东阳江·一模）下列实数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 四个实数中最大的是， 8．（2026·广东佛山·一模）下列各数中最小的是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用“负数小于0和正数，两个负数比较，绝对值大的反而小”的法则即可求解． 【详解】解：，，且， ∴， ∴，故最小的数是． 9．（2026·广东东莞·一模）在2，，，0四个数中，最小的数是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴在2，，，0四个数中，最小的数是． 10．（2026·广东茂名·一模）定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（   ） A．3 B．6 C．18 D．81 【答案】D 【分析】根据给定的运算规则，将变形为两个的乘积，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵对任意正整数，满足，且已知， 又∵， ∴． 11．（2026·广东江门·一模）计算：__________． 【答案】 2 【分析】根据负整数指数幂和特殊的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 12．（2026·广东东莞·一模）计算：___________． 【答案】2 【详解】解：． 13．（2026·广东深圳·一模）如图，由内到外依次为正方形，若的面积为3，的面积为，则的边长可以是整数______．（写出一个答案即可） 【答案】2或3或4 【分析】理解题意得出的边长的取值范围是解题关键．根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为3，的面积为， ∴的边长为，的边长为， ∴的边长， ∵的边长可以是整数， ∴的边长可以是整数，，． 14．（2026·广东中山·一模）__________． 【答案】 【分析】本题需先分别计算算术平方根与负整数指数幂，再进行有理数减法运算即可得到结果． 【详解】解：． 15．（2026·广东深圳·一模）计算： 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 16．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据，再计算即可 【详解】解：原式． 17．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式    18．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】2 【分析】先计算算术平方根和零指数幂，再计算绝对值和乘方，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 19．（2026·广东深圳·一模）计算．． 【答案】 【详解】解：． 20．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值化简和整数乘方的计算，分别计算出每一项的值，再合并得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 21．（2026·广东惠州·一模）计算： 【答案】 【分析】先计算零指数幂、代入正弦值、求出负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ． 22．（2026·广东·一模）计算： 【答案】 【详解】解： ． 23．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 24．（2026·广东广州·一模）已知 (1)化简P； (2)若，且点在第二象限，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算括号里面的，然后再把除法转化成乘法，最后约分即可． （2）根据点在第二象限得出，即可得出，然后化简绝对值，最后代入式子计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ 25．（2026·广东珠海·一模）解答下列各题 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先，计算负指数幂、算术平方根、去绝对值符号，然后，合并计算即可； （2）按照解一元一次不等式的一般步骤分别解出解集，再根据“大小小大中间找”写出公共解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：． 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 整式的加减 考点05 1．（2026·广东佛山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项合并法则、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 2．（2026·广东珠海·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及同底数幂的除法运算法则，即可一一判定． 【详解】解：A、，原计算错误； B、与不是同类项，不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确． 3．（2026·广东广州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：，∴ A错误； B：，∴ B错误； C：，∴ C错误； D：，∴ D正确． 4．（2026·广东深圳·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故A错误，不符合题意； 选项B：与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； 选项C：，故C错误，不符合题意； 选项D： ，故D正确，符合题意； 5．（2026·广东深圳·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项和单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，正确； D、，原计算错误. 6．（2026·广东深圳·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 、不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 7．（2026·广东佛山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式的相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵选项B中，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误； ∵ 选项C中，根据积的乘方运算法则，可得，∴C错误； ∵ 选项D中，根据完全平方公式，可得，与等式一致，∴D正确，符合题意． 整式的乘除 考点06 1．（2026·广东汕头·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂运算的基本法则，分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】选项A、，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、，故C错误； 选项D、，故D正确． 2．（2026·广东江门·一模）下列计算正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、积的乘方与负整数指数幂、二次根式化简，各运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 3．（2026·广东珠海·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．（2026·广东东莞·一模）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．， 原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 5．（2026·广东·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、完全平方公式的法则逐一判断选项即可. 【详解】解：A选项：， A错误. B选项：， B错误. C选项：， C错误. D选项：，计算正确， D正确. 6．（2026·广东广州·一模）计算：______． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 7．（2026·广东深圳·一模）已知：，，则__________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方将转化为，再根据同底数幂的除法的逆运算将转化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 因式分解 考点07 1．（2026·广东江门·一模）因式分解：____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再通过平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2026·广东广州·一模）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：． 3．（2026·广东茂名·一模）把多项式因式分解的结果是______． 【答案】 【分析】利用提公因式法进行因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：． 4．（2026·广东深圳·一模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】先确定公因式为3，提取公因式后将多项式化为两个整式乘积的形式即可． 【详解】解：． 5．（2026·广东深圳·一模）已知，则________． 【答案】 【分析】先根据平方差公式因式分解，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 6．（2026·广东佛山·一模）因式分解：_________； 【答案】 【详解】解：． 7．（2026·广东深圳·一模）因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式完成因式分解． 【详解】解： 分式及其运算 考点08 1．（2026·广东佛山·一模）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】统一分母后合并分子，再因式分解约分得到结果． 【详解】解：． 2．（2026·广东珠海·一模）计算的结果是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则分别计算两项，再求和即可得到结果． 【详解】解： ． 3．（2026·广东广州·一模）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义要求分母不为零，二次根式要求被开方数非负，结合两个条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义时分母不能为0，分母含二次根式时，被开方数需满足大于0， ∴， ∴． 4．（2026·广东汕头·一模）_______ 【答案】0 【详解】解：原式. 5．（2026·广东中山·一模）计算：_______ ． 【答案】 【详解】解：． 6．（2026·广东深圳·一模）计算：________． 【答案】 3 【分析】根据同分母分式加法法则计算后，对结果约分即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴原式． 7．（2026·广东深圳·一模）请写出使有意义的的一个值：________． 【答案】4 【分析】根据零次幂的意义得底数不为0，求出的取值范围，即可确定的一个值． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故的一个值可以是4． 8．（2026·广东江门·一模）计算：______． 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂和特殊的三角函数值，再计算乘法，最后进行加法运算即可． 【详解】解： ． 9．（2026·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x的值，根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 10．（2026·广东深圳·一模）先化简：，再从1，，中选出你喜欢的值代入求解． 【答案】，1 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵从1，，中选出的值， ∴ ∴原式． 11．（2026·广东珠海·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，原式． 12．（2026·广东深圳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（2026·广东深圳·一模）以下是某同学计算的部分过程：         第一步         第二步                     第三步 ＝…… 老师在批改这道题时，发现了其中的错误． (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误； (2)请你给出正确的解答过程并求出当时分式化简后的值． 【答案】(1)二 (2)见解析， 【分析】（1）第二步同分母分式的减法运算出现错误； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再进行计算即可. 【详解】（1）解：第二步进行减法运算时，出现错误. （2）解：原式 ； 当时，原式. 14．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 15．（25-26八年级下�贵州铜仁�月考）如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片进行折纸．已知该纸片长为，宽为．折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）． (1)____________________： (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据矩形的性质，折叠的性质，可得，根据勾股定理求出，根据，即可； （2）设，根据折叠的性质，可得，根据勾股定理，即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 16．（25-26八年级下�贵州黔东南�月考）如图：在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F，求的面积． 【答案】 【分析】由矩形和折叠得，，证明出，得到，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， 由折叠得，， ∴， 又∵ ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴的面积． 17．（2026�河北廊坊�一模）综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． (1)的长为_____，的度数为_____； (2)连接．若，求的值； 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示．    在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． (5)如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 【答案】(1)2； (2) (3)见解析，无数 (4)6 (5)，m的取值范围是 【分析】（1）根据折叠的性质特殊角的三角函数值，即可求解； （2）作，垂足为，根据矩形的性质和折叠的性质，易求，再通过解直角三角形，求出，，从而求出，最后根据正切的定义，计算即可； （3）根据尺规作图的步骤，作图即可；再根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”，易得，最后根据K是弧上的点，可得出有无数个； （4）根据折叠的性质，即可求解； （5）根据题意，易求，，再根据折叠的性质，可得， ，利用“”得，从而，最后根据点分别与点、重合时，计算出的值，即可求出范围． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， 在中，，则； （2）解：如图1，作，垂足为， 由折叠可知，，，， 在中，，则， ， 矩形， ， ， 在中，，， ， ， 在中，； （3）解：如图2，即为所求， 以点为圆心，为半径作圆，在与矩形纸片相交弧上任选一点K，连接、即可； 由图可知，，即是等边三角形， ， ， 即点K可以是与矩形纸片相交弧上的任意一点， 故可以画出无数个满足条件的； （4）解：由折叠可知，，， 由（2）知，，即， ， 是等边三角形， ， 阴影部分的周长为：； （5）解：由折叠可知，，，， ，， ，， 则， ， 由（4）知，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ，， 当与点重合时，，则， 当与点重合时，，则， 点落在线段上（包括端点）， ， 综上可知：，其中． 二次根式及其运算 考点09 1．（2026·广东佛山·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算性质依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴A错误， B、∵，，∴B错误， C、∵，，∴C错误， D、∵，∴D正确， 2．（2026·广东汕头·一模）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知的条件求出，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为：． 3．（2026·广东珠海·一模）若，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的性质，和为零则每个部分均为零，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·广东广州·一模）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 5．（2026·广东广州·一模）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义要求分母不为零，二次根式要求被开方数非负，结合两个条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义时分母不能为0，分母含二次根式时，被开方数需满足大于0， ∴， ∴． 6．（2026·广东汕头·一模）定义新运算：对于任意实数A，B，有．若x为的整数部分，y为小数部分，则的值为（    ） A． B．11 C． D．9 【答案】A 【分析】首先估算求出，然后求出，，然后代入利用新定义法则求解即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∵x为的整数部分，y为小数部分 ∴， ∴ ． 7．（2026·广东汕头·一模）如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·广东汕尾·一模）下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式化简、平方根与立方根的计算，对各选项逐一计算即可找出错误的选项． 【详解】解：选项A．，计算错误； 选项B．，计算正确； 选项C．，，计算正确； 选项D．，，计算正确． 9．（2026·广东东莞·一模）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．， 原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 10．（2026·广东汕头·一模）比较大小：_______1 ，_______ 【答案】 【分析】根据正负数的定义得到；先将最简二次根式转化为一般二次根式，比较二次根式下被开方数的大小，得到． 【详解】解：、， ； 、， ， ， 即． 11．（2026·广东珠海·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点F关于的对称点，在中，过点F作，求得，当E，G，三点共线时，最小，此时，据此求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点， ∴，且，为定点， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴在中，过点F作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵周长为， 且， 当E，G，三点共线时，最小，此时， ∵，且菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴周长的最小值为． 12．（2026·广东珠海·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据正方形的性质证明，得到，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴阴影部分面积 ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $