专题03 数列（期中复习讲义）高二数学下学期人教B版

专题03 数列（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 等差等比数列基本量的计算 题型二 等差数列下标和性质 题型三 等差数列前n项和性质 题型四 等比数列下标和性质 题型五 等比数列前n项性质 题型六 等差等比数列的证明 题型七 累加累乘求通项公式 题型八 构造法求通项公式 题型九 Sn与an求通项公式 题型十 分组求和法 题型十一 裂项相消法 题型十二 错位相减法 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列基本运算与性质 能熟练运用通项公式、前n项和公式求解基本量，并利用性质快速计算 基础必考点，小题高频，易忽略下标对应关系 等比数列基本运算与性质 能准确计算等比数列基本量，注意对公比q=1分类讨论 高频考点，易忘记q=1的特殊情况 等差、等比数列的证明 能依据定义规范证明数列是等差或等比数列 解答题必考，步骤严谨，易缺关键判定条件 由Sn与an的关系求通项 能利用递推关系求通项，并完成n=1的检验与合并 必考点，易遗漏首项验证 错位相减法求和 能规范完成错位、相减、化简全过程 压轴必考，计算易错位、符号出错 裂项相消法求和 能正确裂项、准确相消并确定剩余首尾项 中档高频考点，易忘系数、丢项 知识点01 等差数列 1．等差数列的基本量运算 （1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 ·示例： 已知等差数列中，，，求和公差。 解：由通项公式： ① 由前项和公式： ② 联立①②可得， 2．等差数列的判定与证明 对于数列，若⇔是等差数列 ·示例： 证明数列是等差数列。 解： 作差： 因为差为常数，所以是等差数列。 3．等差数列的性质 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 4．等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 5．等差数列前n项和的最值 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 6．等差数列奇偶项问题 设数列是等差数列,且公差为, （1）若项数为偶数，设共有项， （2）若项数为奇数,设共有项,则(中间项);②. 7．含绝对值的等差数列求和问题 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 知识点02 等比数列 1．等比数列的基本运算 （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. ·示例： 等比数列中，，，求公比。 解：由通项公式： 代入： 2．等比数列的判定与证明 一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 3．等比数列项的性质应用 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； （2）若，则，其中.特别地，若，则，其中. （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). （4）若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 4．等比数列前n项和的性质 （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 知识点03 数列通项公式常用方法 1．叠加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ·示例： ，，求。 解： …… 左右分别相加： 左边： 2．叠乘法 适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 3．形如型和型的递推式 （1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 4．形如型和型的递推式 （1）形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） （2）形如，则两边取倒数即可 5．已知通项公式与前项和关系求通项 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 6．前项积型和“和”型求通项 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 知识点04 数列求和常用方法 1．分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）也适用分段/奇偶项不同n为奇数、偶数时通项表达式不同，按奇偶分开求和 2．并项求和法 适用于或，采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见等差型及根式型公式：（1）；（2）； （3）；（4）； （5） 常见指数型公式：（1）； （2）； （3）； ·示例： ，求。 解： 所以 中间全部抵消： 题型一 等差等比数列基本量的计算 解｜题｜技｜巧 （1）等差数列：可由与构造关于的方程组即可求解，利用等差数列的性质可简化计算 （2）等比数列：在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 例1．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 变式1-1．设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A．24 B．32 C．36 D．108 变式1-2．已知等比数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 变式1-3．已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 题型二 等差数列下标和性质 解｜题｜技｜巧 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 例2．记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知等差数列中，，，则______. 题型三 等差数列前n项和性质 解｜题｜技｜巧 等差数列前项和的常用性质： （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 例3．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则______. 变式3-2．设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 变式3-3．（多选）已知等差数列的前项和为，公差，记，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 等比数列下标和性质 解｜题｜技｜巧 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 例4．在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 变式4-1．（多选）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 变式4-2．已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 变式4-3．已知正项数列满足，且，则的值是__________. 题型五 等比数列前n项性质 例5．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．78 B．75 C．69 D．87 变式5-1．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 变式5-2．已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 变式5-3．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 题型六 等差等比数列的证明 解｜题｜技｜巧 一般用定义法判断一个数列是等差/比数列： ①数列满足(为常数且不为零)或,则数列是等差数列. ②若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 例6．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的前项和为，求 变式6-1．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 变式6-2．已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 变式6-3．已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)证明：数列为等差数列； (3)求的前项和. 题型七 累加累乘求通项公式 例7．求下列数列的通项公式 (1)已知数列满足，求； (2)正项数列满足，求． 变式7-1．在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式7-2．设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 变式7-3．数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 题型八 构造法求通项公式 解｜题｜技｜巧 （1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 例8．（多选）已知数列满足，（），的前项和为，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 变式8-1．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知数列满足，且，则______． 变式8-3．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为______. 题型九 Sn与an求通项公式 解｜题｜技｜巧 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 例9．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，＝（ ） A． B．1 C．2 D． 变式9-1．设数列的前项和为，且，则______． 变式9-2．设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 变式9-3．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型十 分组求和法 例10．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 变式10-1．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A． B． C．1013 D．505 变式10-2．（多选）已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 变式10-3．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型十一 裂项相消法 例11．记等差数列的前n项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列的前n项和． 变式11-1．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 变式11-2．设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 变式11-3．已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 题型十二 错位相减法 例12．记是数列的前n项和，已知． (1)求； (2)设（k为常数），数列的前n项和为，若为等比数列，求k的值． 变式12-1．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 变式12-2．已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. (1)求数列，的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 变式12-3．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（2025·26高二上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 2．（2026·天津北辰·一模）已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26高二下·安徽马鞍山·月考）（多选）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·26高二下·陕西渭南·月考）已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 5．（2026·河北邢台·二模）记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______. 6．（2025·26高二下·四川成都·月考）已知等差数列满足：，，其前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)若，求数列的前项和. 7．（2026·辽宁大连·一模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 8．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·北京西城·一模）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 10．（2025·26高二下·上海·期中）已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 11．（2025·26高二下·重庆·月考）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 12．（安徽安庆市2026届高三下学期4月模拟考试数学试题）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（2025·26高二下·云南楚雄·月考）已知数列的通项公式为，若满足的正整数恰有2个，则的可能取值为________. 14．（2026·湖南衡阳·二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足：，求数列的前n项和． 15．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知数列的前n项和，正项等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设满足不等式的正整数k的个数为，求数列的前n项和． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 等差等比数列基本量的计算 题型二 等差数列下标和性质 题型三 等差数列前n项和性质 题型四 等比数列下标和性质 题型五 等比数列前n项性质 题型六 等差等比数列的证明 题型七 累加累乘求通项公式 题型八 构造法求通项公式 题型九 Sn与an求通项公式 题型十 分组求和法 题型十一 裂项相消法 题型十二 错位相减法 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列基本运算与性质 能熟练运用通项公式、前n项和公式求解基本量，并利用性质快速计算 基础必考点，小题高频，易忽略下标对应关系 等比数列基本运算与性质 能准确计算等比数列基本量，注意对公比q=1分类讨论 高频考点，易忘记q=1的特殊情况 等差、等比数列的证明 能依据定义规范证明数列是等差或等比数列 解答题必考，步骤严谨，易缺关键判定条件 由Sn与an的关系求通项 能利用递推关系求通项，并完成n=1的检验与合并 必考点，易遗漏首项验证 错位相减法求和 能规范完成错位、相减、化简全过程 压轴必考，计算易错位、符号出错 裂项相消法求和 能正确裂项、准确相消并确定剩余首尾项 中档高频考点，易忘系数、丢项 知识点01 等差数列 1．等差数列的基本量运算 （1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 ·示例： 已知等差数列中，，，求和公差。 解：由通项公式： ① 由前项和公式： ② 联立①②可得， 2．等差数列的判定与证明 对于数列，若⇔是等差数列 ·示例： 证明数列是等差数列。 解： 作差： 因为差为常数，所以是等差数列。 3．等差数列的性质 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 4．等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 5．等差数列前n项和的最值 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 6．等差数列奇偶项问题 设数列是等差数列,且公差为, （1）若项数为偶数，设共有项， （2）若项数为奇数,设共有项,则(中间项);②. 7．含绝对值的等差数列求和问题 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 知识点02 等比数列 1．等比数列的基本运算 （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. ·示例： 等比数列中，，，求公比。 解：由通项公式： 代入： 2．等比数列的判定与证明 一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 3．等比数列项的性质应用 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； （2）若，则，其中.特别地，若，则，其中. （3）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). （4）若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 4．等比数列前n项和的性质 （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用. （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 知识点03 数列通项公式常用方法 1．叠加法 适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ·示例： ，，求。 解： …… 左右分别相加： 左边： 2．叠乘法 适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 3．形如型和型的递推式 （1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 4．形如型和型的递推式 （1）形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） （2）形如，则两边取倒数即可 5．已知通项公式与前项和关系求通项 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 6．前项积型和“和”型求通项 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 知识点04 数列求和常用方法 1．分组求和法 （1）适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 （2）也适用分段/奇偶项不同n为奇数、偶数时通项表达式不同，按奇偶分开求和 2．并项求和法 适用于或，采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见等差型及根式型公式：（1）；（2）； （3）；（4）； （5） 常见指数型公式：（1）； （2）； （3）； ·示例： ，求。 解： 所以 中间全部抵消： 题型一 等差等比数列基本量的计算 解｜题｜技｜巧 （1）等差数列：可由与构造关于的方程组即可求解，利用等差数列的性质可简化计算 （2）等比数列：在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 例1．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 【答案】B 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 所以 ，所以. 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， . 所以 . 变式1-1．设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 变式1-2．已知等比数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】D 【详解】由题意，根据等比数列前项和公式，当时，可得， 化简得， 又等比数列公比，所以，所以，即， 解得（舍）或， 又，即，化简得， 即，又，所以， 又，所以，解得， 当时，，，所以，与题意矛盾，不成立. 综上所述，的取值为. 变式1-3．已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【详解】已知前10项成等差数列，设公差为，由得：，， 因为数列各项均为整数，所以是整数， 从第9项起成等比数列，满足，代入得：， 整理得，解得或， 因为为整数，舍去，得， ，求得， 等比数列公比，则， 所以. 题型二 等差数列下标和性质 解｜题｜技｜巧 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 例2．记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列前项和性质可得，​， 因为，所以， 再根据等差数列中项性质：， 代入得，即， 又已知，设公差为，则，解得， 即等差数列的通项公式， 所以. 变式2-1．已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知，即. 根据等差数列性质：若，则， 可得，，代入得，即. 同理，，代入得，即. 由等差数列前项和公式，结合性质，得：. 变式2-2．已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以，解得， 所以. 变式2-3．已知等差数列中，，，则______. 【答案】12 【详解】方法1：已知为等差数列，则， 由，得，解得， 又，所以. 方法2：设等差数列的公差为， 依题意，，解得， 所以. 题型三 等差数列前n项和性质 解｜题｜技｜巧 等差数列前项和的常用性质： （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 例3．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 由等差数列的片段和性质可知、、成等差数列， 即，解得. 变式3-1．已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则______. 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，为其前n项和，由其性质可知数列为等差数列， 又因为为等差数列的前n项和，即， 因为，所以，解得， 所以，故. 故答案为： 变式3-2．设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 变式3-3．（多选）已知等差数列的前项和为，公差，记，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为为等差数列，为的等差中项， 所以，故A正确； ， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，故B正确； 由且，当时，，即； 当时，时，即， 又， 所以， 所以，故C错误，D正确. 故选：ABD 题型四 等比数列下标和性质 解｜题｜技｜巧 等比数列常用性质：设数列是等比数列，是其前项和． （1）； (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 例4．在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【详解】在等比数列中，因为，所以，即， 所以，又因为与同号，所以. 变式4-1．（多选）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 变式4-2．已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 变式4-3．已知正项数列满足，且，则的值是__________. 【答案】 【详解】由题得到， 所以数列为公比的等比数列， 利用等比数列性质得到， 所以. 故答案为：. 题型五 等比数列前n项性质 例5．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．78 B．75 C．69 D．87 【答案】A 【详解】设，因为是等比数列， 所以成等比数列， 得，由， 即， 化简可得，即， 解得或， 当，，则， 因为，所以； 当，， 得，不符，舍去. 变式5-1．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 变式5-2．已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 变式5-3．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 题型六 等差等比数列的证明 解｜题｜技｜巧 一般用定义法判断一个数列是等差/比数列： ①数列满足(为常数且不为零)或,则数列是等差数列. ②若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 例6．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的前项和为，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得，所以， 又，则，则数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）所以，所以， 所以. 变式6-1．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 变式6-2．已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【答案】(1)证明见解析， (2)递增数列 【分析】 【详解】（1）由，得： ， 故，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由，解得 ， 即，故数列为递增数列. 变式6-3．已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)证明：数列为等差数列； (3)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）证明：因为， 所以， 因为，所以， 则是首项为4，公比为2的等比数列； （2）证明：因为， 所以，即， 因为，所以， 所以是首项为2，公差为2的等差数列. （3）由（1）知， 由（2）知， 所以，即， 故 . 题型七 累加累乘求通项公式 例7．求下列数列的通项公式 (1)已知数列满足，求； (2)正项数列满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，， 所以 ， 也符合上式，所以. （2）依题意，，则， 所以 ， 也符合上式，所以. 变式7-1．在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由，得， ∴，，，， ，. 累加上式可得， ， . 变式7-2．设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 【答案】D 【详解】由，得， 则， 各式相乘得， 得，又，所以，则为等差数列， 得. 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以当或时，取到最小值8. 故选：D 变式7-3．数列满足（），，对于任意有恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为， 所以， ， ， ， 累加得：， 又，所以， 当时，满足，， 所以数列的通项公式为：， 因为，所以随着的增大，逐渐减小，逐渐增大， 所以为递增的数列，且， 所以任意有恒成立，则有，故的取值范围是. 题型八 构造法求通项公式 解｜题｜技｜巧 （1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 例8．（多选）已知数列满足，（），的前项和为，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【详解】对于AB，因为数列中，，（）， 则，， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，，即有，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 变式8-1．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 变式8-2．已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 变式8-3．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为______. 【答案】 【详解】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 题型九 Sn与an求通项公式 解｜题｜技｜巧 用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 例9．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，＝（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】由得： ， 两式相减整理得， 令，解得， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以，，可知， 则，即当时，取得最小值. 因为当时，；当时，， 所以时，取最小值，此时． 变式9-1．设数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【详解】当时，； 当时，； 又不适合上式， 所以. 变式9-2．设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 变式9-3．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，当 时，. ①， 当 时， ②， ①②得 ，即 . 当 时，故数列的通项公式为 . （2） ③， ④， ③④得 ， 化简得 ，即 . 题型十 分组求和法 例10．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 【答案】(1)； (2)4222. 【分析】 【详解】（1）当时，由，得，因此数列是常数列，，则， 时，，也满足, 则，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以. 变式10-1．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A． B． C．1013 D．505 【答案】A 【详解】设等差数列的首项为，公差，则通项公式为. 由题意得，，成等比数列，根据等比中项性质有. 即，即， 化简得，解得或. 若，则，不满足等比数列项非零的条件，舍去，故. 因此，数列即. ， 每两项一组，共组，每组和为， 故. 变式10-2．（多选）已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，，故A错误； 因为，， 所以是以6为首项，2为公比的等比数列，故正确； 所以，所以， 所以，故C正确； ，故D错误． 变式10-3．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 题型十一 裂项相消法 例11．记等差数列的前n项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）设的公差为，则，解得， 由，得，解得， 所以， . （2）由（1）得， 所以 . 变式11-1．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． （2）， ， ， ， ， ， ，故． 变式11-2．设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，得． 当时，， ， 两式相减得，则． 当时，符合上式， 所以． （2）由（1）得， 所以， 故． 变式11-3．已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1). (2). 【分析】 【详解】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而. . 题型十二 错位相减法 例12．记是数列的前n项和，已知． (1)求； (2)设（k为常数），数列的前n项和为，若为等比数列，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，得， 当时，，， 作差，得，即， ∴是首项为4，公比为4的等比数列， ∴； （2）由（1）知，， ∴①， ∴②， ①－②，得 ． ∴，要使是等比数列，只需，即. 变式12-1．已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知， 当时，有， 两式相减得， 又， 对任意，都有，即是以2为公差的等差数列， ． （2）由（1）得，则， 两边同乘以得， 两式错位相减得： ， ． 变式12-2．已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. (1)求数列，的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以即， 则 ， （2）由题意得，则 得到， ， 则， 得到 变式12-3．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，即. （2）由（1）得， 所以①， ②， ①②得 ， 所以. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（2025·26高二上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 2．（2026·天津北辰·一模）已知数列为等比数列，，且对于任意正整数m，都有，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列为等比数列，，且， 可得，所以，所以， 所以， 又，则. 3．（2025·26高二下·安徽马鞍山·月考）（多选）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以，故A正确； 又，所以，所以， 所以，故BC错误； 所以，故D正确． 4．（2025·26高二下·陕西渭南·月考）已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 【答案】 【详解】； 因为数列是等差数列，所以均是的二次式，且常数项均为0. 由，可设，其中为常数. 所以. 又，所以， 所以. 5．（2026·河北邢台·二模）记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______. 【答案】42 【详解】由题得，所以， 又，所以，即， 所以公差，所以， 可得的前6项为正，第7项为0，从第8项起为负， 所以的最大值为. 6．（2025·26高二下·四川成都·月考）已知等差数列满足：，，其前项和为. (1)求数列的通项公式及； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 解得：，，           ，          （2），           数列的前项和为. 7．（2026·辽宁大连·一模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得，. 所以. 所以 . 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 8．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 9．（2026·北京西城·一模）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 【答案】 6.6 3.5 【详解】因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以. 因为对任意，，所以，所以. 因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以，同理， 因为都是公差为的等差数列，所以. 又，所以. 综上，，. 10．（2025·26高二下·上海·期中）已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由，平方得， 又等差数列中有， 所以， 所以，由于，得， 则，即对任意恒成立， 设， 根据对勾函数性质，当时该式子取得最小值，此时，而， 所以，故． 11．（2025·26高二下·重庆·月考）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 则，由，得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 故，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以数列的前项和 12．（安徽安庆市2026届高三下学期4月模拟考试数学试题）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（2025·26高二下·云南楚雄·月考）已知数列的通项公式为，若满足的正整数恰有2个，则的可能取值为________. 【答案】100或102或106 【详解】当时，， 解得，此时等式成立的每个值，都只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即，若整数恰有2个，则，解得， 设该方程有两实数根，，则，， 若，显然不合题意，则，则， 若，，此时，解得，满足，符合题意； 若，，此时，解得，满足，符合题意； 若，，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有106或102或100. 14．（2026·湖南衡阳·二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足：，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）法一：因为数列是等差数列，设公差为， 因为，所以， 即，解得， 所以， 数列的通项公式为． 法二：因为，所以，解得， 所以公差， 所以， 数列的通项公式为． 由，当时，，得， 当时，，所以， 所以，即， 又，所以． 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. （2）由（1）知，，， 所以， 所以 ． 故数列的前n项和. 【点睛】在求数列的通项公式时，要分和讨论，由递推关系写通项后，还须验证首项. 15．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知数列的前n项和，正项等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设满足不等式的正整数k的个数为，求数列的前n项和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】 【详解】（1）由已知得， 当时，； 当时， 当时，不符合上式. 所以. 因为正项等比数列满足，， 设其公比为，则，， 则. （2）满足不等式的正整数k，， 当时，，所以， 当时，，即得， 所以， 当时， ，当时，满足上式， 综上，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $