专题02 概率与统计（期中复习讲义）高二数学下学期人教B版

专题02 概率与统计（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率性质的计算 题型三 利用全概率公式求概率 题型四 利用贝叶斯公式求概率 题型五 独立事件的乘法公式 题型六 由随机变量的分布列求概率 题型七 求二项分布分布列及期望与方差 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型九 求超几何分布分布列及期望与方差 题型十 均值方差在决策中的应用 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 题型十二 正态分布与直方图的结合 题型十三 相关系数的求算及意义 题型十四 线性回归方程 题型十五 相关指数的求算及意义 题型十六 非线性回归方程 题型十七 独立性检验 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与独立事件概率 能正确计算条件概率，熟练求解独立事件“同时发生、至少一个发生”的概率 选择填空必考，易混淆互斥与独立、条件概率与交事件概率 全概率与贝叶斯公式 能划分样本空间，用全概率求“由因推果”概率，用贝叶斯完成“由果索因”计算 解答题核心考点，易错样本空间划分不完整、公式套用错误 离散型随机变量分布列及性质 能列出分布列，利用概率和为1求参数并验证合法性 基础必考点，常结合实际问题命题，易忽略概率非负 二项分布与超几何分布 能根据放回/不放回选择模型，正确计算概率与分布列 高频压轴考点，易混用两种分布，总体很大时超几何近似二项分布 随机变量的期望与方差 能计算期望、方差，熟练运用线性性质快速求值 大题必出步骤分，方差计算易漏平方、线性变换忘乘 正态分布与3σ原则 能利用正态曲线对称性，结合3σ概率计算区间概率 选择填空高频，易错把当、对称性用反 一元线性回归模型 能判断相关关系、求回归方程，用与残差判断拟合效果 解答题必考，回归直线必过样本中心点是高频命题点 独立性检验（2×2列联表） 能正确读取列联表数据，计算并做出相关性判断 解答题固定考点，计算量大，位置易代错 知识点01 条件概率与事件的独立性 1．条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ·示例： 袋中3红2白，不放回取2次，已知第一次取红，求第二次取红概率。 缩小样本空间：剩2红2白，。 2．全概率公式与贝叶斯公式 （1）全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： （2）贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 3．相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立． （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立． （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 知识点02 随机变量及离散型随机随机变量的分布列 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列． X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 3．两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率． 知识点03 二项分布与超几何分布 1．次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2．二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率． ·示例： 投篮5次，命中率0.6，命中数。 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 3．超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 4．二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 知识点04 随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 3．特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则; （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则 知识点05 正态分布 1．正态曲线及正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3．三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； ． ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0．0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 ·易错： ①把当成；②不会用对称性求概率。 知识点06 一元线性回归模型 1．变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2．样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：． ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱． 通常|r|大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 3．一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，． 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 4．判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高． 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 5．非线性回归模型 （1）建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． （2）常见的非线性回归方程的转化： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 知识点07 独立性检验 1．2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 题型一 计算条件概率 解｜题｜技｜巧 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 例1．在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】事件：甲、乙选择的专题不同，甲有3种选法. 乙有2种选法，丙有3种选法，所以. 事件：甲、乙不同且乙、丙相同.先选乙的专题，有3种. 丙的选法和乙相同，甲有2种选法，所以， 因此. 变式1-1．已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出红球， 则，， 所以． 变式1-2．在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件：第二次取红球，事件：第四次取白球， 则第四次抽到白球的概率， 再计算， 第一步，第二次拿到红球的概率为， 第二步，在第二次已经拿走一个红球的情况下，盒子还剩余3个白球，一个红球， 则此时第四次拿到白球的概率为， 所以第二次拿到红球且第四次拿到白球的概率， 由条件概率公式. 变式1-3．有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 【答案】/0.75 【详解】设事件A=“报名100米赛跑”，事件B=“报名200米赛跑”， 由题意得：40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑， 则同时报名两个项目的人数为：， 则 故，即某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为. 题型二 条件概率性质的计算 解｜题｜技｜巧 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 例2．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 变式2-1．（多选）若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A选项，因为， 但与不一定相等，故不一定等于，A错； 对于B选项，因为，， 所以，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 所以，事件、独立，故，D对. 故选：BD. 变式2-2．（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 变式2-3．（多选）随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 【答案】BC 【详解】对于A选项，因为，所以， 所以，因为，所以， 联立，因为，所以解得，故A选项错误； 对于B选项，因为，所以，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以，因为，所以，所以事件A与B不独立，故C选项正确； 对于选项D，因为，而，故D选项错误． 故选：BC． 题型三 利用全概率公式求概率 解｜题｜技｜巧 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 例3．有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 【答案】/ 【详解】在第一个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为， 在第二个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为， 从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球， 则这两个球都是黄球的概率为. 变式3-1．某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 变式3-2．某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【答案】 / / 【详解】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 变式3-3．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】 【详解】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 题型四 利用贝叶斯公式求概率 解｜题｜技｜巧 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 例4．2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 变式4-1．（多选）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：从甲袋中摸球，结果只能是红球或者绿球，即​与​互斥且必有一个发生， 所以​与是对立事件，故A正确； 对于B：当​发生时，即从甲袋中摸出1个绿球放入乙袋 ，则乙袋中有红球3个，绿球6个， 根据条件概率的含义得， 故B正确； 对于C：由题得，计算得.  由全概率公式可知： ，即，故C错误； 对于D：由前面的计算可知，，根据贝叶斯公式 ，则，故D正确. 故选：ABD. 变式4-2．甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.915 (2) 【详解】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. （2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为. 变式4-3．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 题型五 独立事件的乘法公式 例5．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 【答案】 【详解】甲一次投篮不命中的概率为， 乙一次投篮不命中的概率为， ∴两人都不命中的概率为， ∴至少有一人命中的概率为． 变式5-1．对于随机事件、，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【详解】因为，又，所以， 从而有，所以、互相独立，充分性成立； 当、互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“、互相独立”的充要条件. 变式5-2．已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，，则，并不能推出，所以事件和不一定独立，A错误. 选项B，，，. ，. . ，即和独立，B选项正确. 选项C，，又，，和不一定独立，C错误. 选项D，，，. 又，，可得，也不能推出和独立，D错误. 变式5-3．甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. (1)求甲队第2局获胜的概率； (2)求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记事件第局甲队胜，， . （2）记事件“比赛不超过4局且甲队获胜”，比赛结束时的局数， 则； ， 所以 题型六 由随机变量的分布列求概率 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 例6．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【分析】 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 变式6-1．已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 变式6-2．一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）（法1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （法2）摸出的小球中只有1个标记数字为3的小球的概率为. 摸出的小球中有2个标记数字为3的小球的概率为. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （2）由（1）得. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则. （法1）则. （法2）若，则摸出小球的情况有3种. ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时. ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球， 此时. ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球， 此时. 则. 综上，的分布列见下表. 1 2 3 变式6-3．某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）设事件A为“第一次检测出合格零件”，事件B为“第二次检测出不合格零件”， 则． （2）依题意，可取， 得表示前5次检测出的均为合格零件，表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 题型七 求二项分布分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 3. 若服从二项分布，则 例7．一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为______. 【答案】 【详解】有放回取球时，每次取到黄球的概率都是， 取到黄球的次数服从二项分布，拿三次取到1个黄球的概率为 . 故答案为： 变式7-1．已知随机变量，则______ 【答案】1 【详解】因为，所以，， 所以，， 所以. 变式7-2．甲乙两人比赛投篮，在每局比赛中两人分别投篮两次，若每局投进的次数之和不小于3，则称该局比赛胜利．已知甲乙两人投篮相互独立，且投进的概率均为．记甲乙两人胜利的局数为X，若进行了27局比赛，则______． 【答案】16 【详解】每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利， 每局游戏胜利包括三种情况： 甲投中次，乙投中次，概率为， 甲投中次，乙投中次，概率为， 甲投中次，乙投中次，概率为， 所以每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率为， 若游戏的局数是，为甲乙两名队员获得胜利的局数，则， 所以. 变式7-3．某科技公司研发了一款AI图像分类模型.现随机抽取500张图片对该模型进行测试，记录了单次测试的准确率（百分比）.通过对测试结果的分析，绘制出了如下频率分布直方图： (1)求平均准确率； (2)将准确率不低于90%的一次分类视为“精准分类”，以频率估计概率，现用该模型独立进行5次测试，记为“精准分类”的次数，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 4 5 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001 期望 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图，可得平均准确率为： . （2）由频率分布直方图可知，一次分类是“精准分类”的概率为0.1， 以频率估计概率，则， 则，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001 的期望为 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 解｜题｜技｜巧 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 例8．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【答案】7或8 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. 变式8-1．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 变式8-2．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 【答案】ACD 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为 有 ， 有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， 又由， 可得，可知D选项正确. 变式8-3．在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)2枚 【分析】 【详解】（1）由题意得，可取0，1，2，3，4. ， ， ， ，… ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）每一轮获得纪念章的概率为， 每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布， 设10轮答题获得纪念章的数量为，则， ，. 由， 得， 解得，又，得，则获得2枚纪念章的概率最大. 题型九 求超几何分布分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 例9．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 变式9-1．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 【答案】/ 【详解】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 故答案为：. 变式9-2．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据频率之和等于1可得， ，解得. （2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 变式9-3．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ，  ， ，  , 故分布列为 0 1 2 3 故. 题型十 均值方差在决策中的应用 解｜题｜技｜巧 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 例10．在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【分析】 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 变式10-1．2025年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其中的一种）. 方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回摸出3个球，中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折. (1)某顾客恰好消费600元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望； (2)若顾客消费1000元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？ 【答案】(1)分布列为： 0 200 400 600 (2)方案一 【详解】（1）设实付金额为元 顾客消费600元，方案一为有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 摸到红球的次数可能为0，1，2，3次，对应实付金额的取值为： 摸到0次红球：元，摸到1次红球：元， 摸到2次红球：元，摸到3次红球：元， 的可能取值为0，200，400，600. 有放回摸球，红球2个，黑球8个 每次摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为 ， ， 故的分布列为 0 200 400 600 (元). （2）(1)若选择方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则 由已知可得，则 (元). (2)若选择方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，500，750，1000. ， ， 故的分布列为 0 500 750 1000 (元). ， 从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理 变式10-2．某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】(1)（I） 0.78；（II）或0.8077 (2)选择方案二. 【分析】 【详解】（1）设事件：学生提前认真准备，事件：学生未提前准备；事件：线上初审通过. 由题意可得： （I） 根据全概率公式： 所以一名学生线上初审通过的概率为0.78. （II）根据贝叶斯公式： 所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为或0.8077. （2）设方案一的期望面试次数为，方案二的期望面试次数为. ① 方案一：所有学生均参加2次面试，因此期望面试次数. ② 方案二： 设随机变量表示方案二的面试次数，的可能取值为1，2. 所以分布列为： 1 2 0.22 0.78 所以. 因为 所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二. 变式10-3．甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 解｜题｜技｜巧 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 例11．某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）： 销量 频数 1 0 4 11 8 4 2 店长假设日销售量X近似服从正态分布（多选），，，根据上述数据，下列说法正确的有（   ） A．可以估计约为 B．日销售量在范围内的天数约为20天 C．若日销售量超过的概率为p，则 D．若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布 【答案】ABC 【详解】日销售量的平均值为， 所以可以估计约为，故A正确； 因为日销售量X近似服从正态分布，所以， 所以， 所以日销售量在范围内的天数约为天，故B正确； 可得， 所以，故C正确； 若未来连续3天的日销售量都超过，这不能说明日销售量不服从正态分布， 在正态分布下它也是可能发生的，只是发生的可能性极小，故D错误. 变式11-1．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，故. 变式11-2．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 变式11-3．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)8186人 【分析】 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 题型十二 正态分布与直方图的结合 例12．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求 ②请说明上述监控生产过程方法的合理性． 附： 【答案】(1); (2);说明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意可知：（ ）， [ ]， （2）①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在之内的概率为， 所以； ②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在之外的概率只有， 一天内抽取10个零件中，发现尺寸在之外的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理. 变式12-1．（多选）近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为万人，从该县随机选取人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.则（    ） A．由直方图可估计样本的平均数约为 B．由直方图可估计样本的中位数约为 C．由正态分布可估计全县的人数约为万人 D．由正态分布可估计全县的人数约为万人 【答案】ABD 【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为 ，A对； 对于B选项，前两个矩形的面积为， 前三个矩形的面积之和为， 设样本的中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得，B对； 对于C选项，因为，，， 所以，， 所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错； 对于D选项，因为，， 所以， ， 所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对. 故选：ABD. 变式12-2．从某市某次小学考试成绩中抽取了1000名学生的成绩(总分为300分)，由成绩结果得到频率分布直方图，如图所示. (1)求这1000名学生成绩中样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可以认为，这次考试成绩Z服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差. ①利用该正态分布，求； ②记X表示这1000名学生的成绩位于区间的学生人数，利用①的结果，求. 附:，. 【答案】(1)200，150 (2)①0.954；②954 【分析】 【详解】（1）抽取学生的成绩的样本平均数和样本方差s2分别为 ， . （2）①由（1）知，，从而. ②由①知，一名学生的成绩位于区间的概率约为0.954，依题意知， 所以. 变式12-3．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图： (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)； (2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值. 参考数据：，若，则. 【答案】(1)，； (2)①；②. 【分析】 【详解】（1）根据频率分布直方图知，阅读时间在区间 内的频率分别为， ， ， 所以样本平均数和样本方差分别为9，1.78. （2）①由题意知，，则有， ，， ②由①知，可得， 所以Z的均值. 题型十三 相关系数的求算及意义 例13．通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. 变式13-1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 变式13-2．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】由题意知，样本数据所对应的点均在直线上，而直线的斜率， 说明解释变量和响应变量之间正相关，即，且线性相关程度达到最强，所以. 变式13-3．对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是______填序号 【答案】④ 【详解】相关系数可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱时， 而，当越接近于，表示两个变量的线性相关性越强， 越接近于时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系， 故①③错误，④正确； 若所有样本点都在直线上，则，故②错误. 故综上所述，④正确. 故答案为：④. 题型十四 线性回归方程 例14．为了解温度对物质参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x（单位：°C）与的转化率y% （转化率=）的数据如下表所示： x 45 55 65 75 y 23 38 65 74 (1)求y与x的相关系数（结果精确到0.01）； (2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的.. 参考数据： ，，，. 参考公式：相关系数 【答案】(1) (2)85°C 【分析】 【详解】（1）， 所以 ； （2）根据回归直线的性质，，即，得. 由条件可知， 令，得， 因此估计这次实验是在85°C的温度条件下进行的. 变式14-1．根据如表样本数据： 2 3 4 5 6 4 2.5 得到的线性回归方程为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由表中的数据可得，变量随着的增大而减小， 则，，， 又线性回归直线经过样本点中心，可得． 故选：B 变式14-2．（多选）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 【答案】ACD 【详解】设，，则，，所以，. 对于A、B中，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C、D中，因为， 且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确. 故选：ACD. 变式14-3．为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下. （千克） 2 4 5 6 8 （千克） 300 400 400 400 500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克? 附：相关系数公式，参考数据：． 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）0.95，答案见解析；（2）700千克． 【分析】 【详解】解：（1）由已知数据可得， ， 所以， ， ， 所以相关系数． 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系． （2），， 所以回归方程为． 当时，， 即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克． 题型十五 相关指数的求算及意义 例15．某数学建模小组提出了①，②，③，④四种回归模型描述某城市居民年收入与A商品销售额的关系，已知①，②，③，④对应的决定系数分别为0.33，0.51，0.88，0.43，则拟合效果最好的是模型（    ） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】B 【详解】越大，模型的拟合效果越好，因为，所以模型③拟合效果最好． 故选：B. 变式15-1．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 【答案】(1)吨. (2)残差表见解析；，拟合效果较好. 【分析】 【详解】（1）根据题中数据可知，， 将样本中心点的坐标代入经验回归方程得 ，解得， 所以经验回归方程为. 当时，， 即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨. （2）（i）由经验回归方程可得 ，； ，； ，； ，； ，. 所以残差表如下： 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （ii）由上数据可知， ， 所以决定系数，与1比较接近， 所以拟合效果较好. 变式15-2．（多选）已知，，，，，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定为“离群点”，故将其去掉，将数据去掉后，下列说法正确的有（   ）．    A．样本相关系数r变大 B．残差平方和变小 C．决定系数变大 D．若经验回归直线过点，则其经验回归方程为 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由图可知，变量x与变量y是负相关， 且将数据去掉后，样本相关系数r的绝对值变大， 所以r变小，故选项A错误； 对于选项B：将数据去掉后，变量x与变量y的相关性变强， 所以残差平方和变小，决定系数变大，故选项B，C正确； 对于选项D：设经验回归方程为，经计算得， 且，，可得，， 所以经验回归方程是，所以选项D正确． 故选：BCD． 变式15-3．某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 (1)求的值； (2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； (3)已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)经验回归方程的拟合效果不良好 【分析】 【详解】（1）， ， 因为，即， 解得. （2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 期望. （3）， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好. 题型十六 非线性回归方程 解｜题｜技｜巧 非线性经验回归问题的解题步骤 （1）根据原始数据作出散点图；（2）根据散点图选择恰当的拟合函数； （3）作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； （4）在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 例16．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 【答案】(1)模型建立y与x的回归方程更合适； (2)； (3)960万元. 【分析】 【详解】（1）由题意知，， 因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适. （2）令，回归方程为，因为，， 所以关于x的回归方程为，即. （3）由题意知， 当且仅当，即时取等号， 则，所以. 所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为960万元. 变式16-1．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. 变式16-2．为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 【答案】(1) (2)． (3)册 【分析】 【详解】（1）由散点图的分布是非线性的，故适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程； （2）令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 关于的线性回归方程为， 从而关于的回归方程为； （3）假设印刷册，依题意，， ， 至少印刷册． 变式16-3．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 (1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； (2)用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年， 保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年， 设至少有1年保有量大于3万辆为事件，2年保有量全都大于3万辆为事件， 事件的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有， 两年都不大于3万辆的选法为，所以， 两年都大于3万辆的选法为，所以， 则. （2）已知模型，两边取对数得， 令，则，即转化为线性回归方程， 其中，由题意得， 则， ， 因为，所以， 则. 题型十七 独立性检验 解｜题｜技｜巧 应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 例17．某公司的生产车间有3台核心加工设备，分别为成型机（记为设备A）、调试机（记为设备B）、测试机（记为设备C），三台设备各自独立工作，设同时发生故障的设备数为随机变量． (1)若三台设备同时运行，每台设备发生故障的概率均为，求“至少有1台设备发生故障的条件下，恰好有1台设备发生故障”的概率；（结果保留三位有效数字） (2)为验证设备A与设备B的工作独立性，该公司随机抽取了次设备运行记录，得到如下列联表（单位：次）： 设备A 设备B 合计 故障 正常 故障 30 70 100 正常 60 40 100 合计 90 110 200 根据小概率值的独立性检验，分析设备A的故障与设备B的故障是否有关． 附：， 【答案】(1) (2)设备A的故障与设备B的故障有关. 【详解】（1）设“至少有1台设备发生故障的条件下”为事件， “恰好有1台设备发生故障”为事件， 则，而， 故. （2）设设备A的故障与设备B的故障无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验否定， 即设备A的故障与设备B的故障有关. 变式17-1．（多选）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 【答案】BCD 【详解】零假设为：参加社会实践活动与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于，故A错误. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B正确. 记事件表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则， 记事件表示抽到的学生是男生，， 所以，故C正确. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人， 则7人中有男生人，有女生人， 从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有， 所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为， 所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D正确. 变式17-2．某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表． 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 60 小时／天 10 合计 100 (1)试估计全校学生中视力不良的学生人数； (2)补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)1050 (2) 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 25 60 小时／天 30 10 40 合计 65 35 100 认为学生的视力健康与课外阅读时间无关． 【详解】（1）由题可得课外阅读时间小时／天的学生中视力不良的有人，       所以估计全校学生中视力不良的学生人数为3000. （2）补全列联表： 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 25 60 小时／天 30 10 40 合计 65 35 100 零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关，       .930＜，       所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关． 变式17-3．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． (2)无关联，实际含义见解析 (3)不一致，原因见解析 【分析】 【详解】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）（1）与（2）的结论不一致， A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【详解】解：由，知样本中心为，其必在回归直线上， 则，解得，因此回归方程为. 当时，万元，根据残差定义可得， 第个月收益的残差为万元. 2．（2025·26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵，同理， 由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 3．（2024·25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 4．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 5．（2025·26高三下·辽宁铁岭·月考）某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立．若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传．（规定：） (1)记单个数据包中发生误码的个数为，求的期望与方差； (2)求单个数据包可正确解码的概率． 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知， 所以，； （2）由（1）知，所以单个数据包可正确解码的概率为 ． 6．（2025·26高二上·江苏常州·期末）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，没有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)0.84，与线性相关性较强． 【分析】 【详解】（1）补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关． 则， 故认为选择新能源汽车与年龄无关； （2）因为， 所以，又， 所以，故与线性相关性较强． 7．（2025·26高三上·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 8．（2025·26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】由题意得，即，所以，故A错误． 因为，则正态分布图象关于直线对称，所以，故，故B正确． ，故C正确． 因为，即随机变量，的正态曲线形状相同， 所以要使， 根据正态曲线的对称性可知，即，故D正确． 10．（2026·河北衡水·模拟预测）现有甲、乙两个盒子，每个盒内均有10个小球，小球分红、白、黑三种颜色，小球除颜色外其他特征完全相同.已知两个盒子内均有3个黑球，甲盒内有个红球，乙盒内有个红球.先从甲盒内随机取1个小球放入乙盒内，再从乙盒内随机取1个小球. (1)若，，求在乙盒内随机取出的小球的颜色是黑色的概率； (2)若在乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，求，的值； (3)若在乙盒内取出红球得分，取出白球得分，取出黑球得分，试探究当，，满足什么关系时，得分的期望值与，无关. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）甲盒初始：2红、5白、3黑(共10个)；乙盒初始：3红、4白、3黑(共10个)， 设事件A：甲取红球，事件B：甲取白球，事件C：甲取黑球，事件D：乙取黑球， ，，， ，，， 由全概率公式得 . （2）甲盒：红球个，白球个，黑球3个；乙盒：红球个，白球个，黑球3个， 设事件为乙取红球，由全概率公式得 ， 由题设，得，即， 结合范围、，得唯一整数解. （3）设取出红、白、黑球的概率分别为，得分的期望， 由（2）知，同理， 由得（与无关）， 代入期望得， 要求与无关，需系数为0，则，即. 11．（安徽安庆市2026届高三下学期4月模拟考试数学试题）在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军.规则如下：①共5次竞答机会，每次竞答两人均从A，B两个箱子中选择一个公式回答，答完放回；②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为，；乙答对A、B箱中一个公式的概率均为；③每答对A箱中一个公式得20分，每答对B箱中一个公式得30分；④5次竞答后总得分最高者获得冠军. (1)规定甲前两次都从A箱中选择，后三次都从B箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少110分的概率. (2)若前两次甲、乙均从B箱中选择公式，两次竞答后甲得总分60分，乙得总分30分.后三次竞答在即，深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答，请问最终冠军最有可能是谁? 【答案】(1) (2)甲获得冠军的可能性更大 【分析】 【详解】（1）甲至少110分有两种情况：前两次甲得40分，后三次甲得90分；前两次甲得20分，后三次甲得90分； 故概率为. （2）后三次甲选A箱，甲五次总得分X可能为60、80、100、120， ，， ，， 随机变量X的分布列为： 60 80 100 120 分. 后三次乙选B箱，乙五次总得分Y可能为30、60、90、120， ，， ，， 随机变量Y的分布列为： 30 60 90 120 分， 所以，故甲获得冠军的可能性更大. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 112．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）随着deepseek等人工智能大模型的快速发展，某市文创体验馆推出了“AI创意手作”的线下体验项目.为优化运营策略，运营团队统计了过去100天的运营数据，以各客流量等级的日平均收入作为日收入，整理成如下表格： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 30 50 20 日收入（元） 4000 10000 22000 设备发生故障的概率 0.1 0.2 0.4 ①设备发生的故障又分为“轻微故障”和“严重故障”，其中设备发生轻微故障的概率为，发生严重故障的概率为；②若设备无故障，当日收入不变，无维修费用支出；若设备发生轻微故障，当日收入不变，但需支付维修费200元；若设备发生严重故障，当日收入减半，还需支付维修费1000元.已知每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，用频率估计每日的客流量等级的概率. (1)求该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率； (2)设该项目在将来某一日的运营总损失为X元（运营总损失维修费收入损失），求Ⅹ的分布列和均值. 【答案】(1) (2)的分布列为 3000 【分析】 【详解】（1）由频率估计概率，根据表中数据，客流量等级为中客流（B）的概率为， 已知中客流设备发生故障的概率为，故障中发生严重故障的概率为，且各事件相互独立， 记该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率为， 则. （2）该项目在将来某一日的运营总损失的可能取值为，，，，， 客流量等级为小客流（A）的概率为，客流量等级为大客流（C）的概率为， 当日设备没有发生故障时，， ， 当日设备发生轻微故障时，， ， 当日为小客流且发生严重故障时，， ， 当日为中客流且发生严重故障时，， ， 当日为大客流且发生严重故障时，， ， 所以的分布列为： 3000 所以. 13．（2026·浙江·二模）（多选）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 14．（2026·河南洛阳·模拟预测）一个不透明的盒子中装有规格完全相同的4个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. (1)记“”为事件，求； (2)完成两次摸球后，再将与前面4个球规格相同的5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种， 其中，满足的情形有： 时，， 时，， 时，， 时，，共7种情况， 则 （2）可能的取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 15．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】(1)，的数学期望为； (2)； 【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 概率与统计（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率性质的计算 题型三 利用全概率公式求概率 题型四 利用贝叶斯公式求概率 题型五 独立事件的乘法公式 题型六 由随机变量的分布列求概率 题型七 求二项分布分布列及期望与方差 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型九 求超几何分布分布列及期望与方差 题型十 均值方差在决策中的应用 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 题型十二 正态分布与直方图的结合 题型十三 相关系数的求算及意义 题型十四 线性回归方程 题型十五 相关指数的求算及意义 题型十六 非线性回归方程 题型十七 独立性检验 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与独立事件概率 能正确计算条件概率，熟练求解独立事件“同时发生、至少一个发生”的概率 选择填空必考，易混淆互斥与独立、条件概率与交事件概率 全概率与贝叶斯公式 能划分样本空间，用全概率求“由因推果”概率，用贝叶斯完成“由果索因”计算 解答题核心考点，易错样本空间划分不完整、公式套用错误 离散型随机变量分布列及性质 能列出分布列，利用概率和为1求参数并验证合法性 基础必考点，常结合实际问题命题，易忽略概率非负 二项分布与超几何分布 能根据放回/不放回选择模型，正确计算概率与分布列 高频压轴考点，易混用两种分布，总体很大时超几何近似二项分布 随机变量的期望与方差 能计算期望、方差，熟练运用线性性质快速求值 大题必出步骤分，方差计算易漏平方、线性变换忘乘 正态分布与3σ原则 能利用正态曲线对称性，结合3σ概率计算区间概率 选择填空高频，易错把当、对称性用反 一元线性回归模型 能判断相关关系、求回归方程，用与残差判断拟合效果 解答题必考，回归直线必过样本中心点是高频命题点 独立性检验（2×2列联表） 能正确读取列联表数据，计算并做出相关性判断 解答题固定考点，计算量大，位置易代错 知识点01 条件概率与事件的独立性 1．条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ·示例： 袋中3红2白，不放回取2次，已知第一次取红，求第二次取红概率。 缩小样本空间：剩2红2白，。 2．全概率公式与贝叶斯公式 （1）全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： （2）贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 3．相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立． （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立． （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 知识点02 随机变量及离散型随机随机变量的分布列 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列． X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 3．两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率． 知识点03 二项分布与超几何分布 1．次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2．二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率． ·示例： 投篮5次，命中率0.6，命中数。 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 3．超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 4．二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 知识点04 随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 3．特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则; （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则 知识点05 正态分布 1．正态曲线及正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3．三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； ． ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0．0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 ·易错： ①把当成；②不会用对称性求概率。 知识点06 一元线性回归模型 1．变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2．样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：． ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱． 通常|r|大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 3．一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，． 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 4．判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高． 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 5．非线性回归模型 （1）建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． （2）常见的非线性回归方程的转化： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 知识点07 独立性检验 1．2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 题型一 计算条件概率 解｜题｜技｜巧 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 例1．在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知一个袋中有大小相同的5个红球，3个白球，从中不放回地依次摸取2个球，则第二次取出红球的前提下，第一次取出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 题型二 条件概率性质的计算 解｜题｜技｜巧 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 例2．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 变式2-2．（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（多选）随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 题型三 利用全概率公式求概率 解｜题｜技｜巧 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 例3．有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 变式3-1．某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 变式3-3．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2) 若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 题型四 利用贝叶斯公式求概率 解｜题｜技｜巧 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 例4．2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 变式4-1．（多选）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 变式4-2．甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 变式4-3．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 题型五 独立事件的乘法公式 例5．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 变式5-1．对于随机事件、，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 变式5-2．已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 变式5-3．甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局. (1)求甲队第2局获胜的概率； (2)求比赛不超过4局且甲队获胜的概率. 题型六 由随机变量的分布列求概率 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列. 例6．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 变式6-1．已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 变式6-3．某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 题型七 求二项分布分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 3. 若服从二项分布，则 例7．一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为______. 变式7-1．已知随机变量，则______ 变式7-2．甲乙两人比赛投篮，在每局比赛中两人分别投篮两次，若每局投进的次数之和不小于3，则称该局比赛胜利．已知甲乙两人投篮相互独立，且投进的概率均为．记甲乙两人胜利的局数为X，若进行了27局比赛，则______． 变式7-3．某科技公司研发了一款AI图像分类模型.现随机抽取500张图片对该模型进行测试，记录了单次测试的准确率（百分比）.通过对测试结果的分析，绘制出了如下频率分布直方图： (1)求平均准确率； (2)将准确率不低于90%的一次分类视为“精准分类”，以频率估计概率，现用该模型独立进行5次测试，记为“精准分类”的次数，求随机变量的分布列及数学期望. 题型八 服从二项分布的随机变量概率最大问题 解｜题｜技｜巧 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 例8．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 变式8-1．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式8-2．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 变式8-3．在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 题型九 求超几何分布分布列及期望与方差 解｜题｜技｜巧 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 例9．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 变式9-1．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 变式9-2．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率. 变式9-3．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 题型十 均值方差在决策中的应用 解｜题｜技｜巧 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 例10．在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 变式10-1．2025年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其中的一种）. 方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回摸出3个球，中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折. (1)某顾客恰好消费600元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望； (2)若顾客消费1000元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？ 变式10-2．某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 变式10-3．甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 题型十一 利用正态分布3σ原则求概率 解｜题｜技｜巧 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 例11．某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）： 销量 频数 1 0 4 11 8 4 2 店长假设日销售量X近似服从正态分布（多选），，，根据上述数据，下列说法正确的有（   ） A．可以估计约为 B．日销售量在范围内的天数约为20天 C．若日销售量超过的概率为p，则 D．若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布 变式11-1．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 变式11-3．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 题型十二 正态分布与直方图的结合 例12．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求 ②请说明上述监控生产过程方法的合理性． 附： 变式12-1．（多选）近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为万人，从该县随机选取人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.则（    ） A．由直方图可估计样本的平均数约为 B．由直方图可估计样本的中位数约为 C．由正态分布可估计全县的人数约为万人 D．由正态分布可估计全县的人数约为万人 变式12-2．从某市某次小学考试成绩中抽取了1000名学生的成绩(总分为300分)，由成绩结果得到频率分布直方图，如图所示. (1)求这1000名学生成绩中样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可以认为，这次考试成绩Z服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差. ①利用该正态分布，求； ②记X表示这1000名学生的成绩位于区间的学生人数，利用①的结果，求. 附:，. 变式12-3．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图： (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)； (2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值. 参考数据：，若，则. 题型十三 相关系数的求算及意义 例13．通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 变式13-1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 变式13-2．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 变式13-3．对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是______填序号 题型十四 线性回归方程 例14．为了解温度对物质参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x（单位：°C）与的转化率y% （转化率=）的数据如下表所示： x 45 55 65 75 y 23 38 65 74 (1)求y与x的相关系数（结果精确到0.01）； (2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的.. 参考数据： ，，，. 参考公式：相关系数 变式14-1．根据如表样本数据： 2 3 4 5 6 4 2.5 得到的线性回归方程为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式14-2．（多选）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 变式14-3．为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下. （千克） 2 4 5 6 8 （千克） 300 400 400 400 500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克? 附：相关系数公式，参考数据：． 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 题型十五 相关指数的求算及意义 例15．某数学建模小组提出了①，②，③，④四种回归模型描述某城市居民年收入与A商品销售额的关系，已知①，②，③，④对应的决定系数分别为0.33，0.51，0.88，0.43，则拟合效果最好的是模型（    ） A．④ B．③ C．② D．① 变式15-1．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 变式15-2．（多选）已知，，，，，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定为“离群点”，故将其去掉，将数据去掉后，下列说法正确的有（   ）．    A．样本相关系数r变大 B．残差平方和变小 C．决定系数变大 D．若经验回归直线过点，则其经验回归方程为 变式15-3．某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 (1)求的值； (2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； (3)已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 题型十六 非线性回归方程 解｜题｜技｜巧 非线性经验回归问题的解题步骤 （1）根据原始数据作出散点图；（2）根据散点图选择恰当的拟合函数； （3）作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； （4）在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 例16．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且. 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 变式16-1．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 变式16-2．为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 变式16-3．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 (1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； (2)用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 题型十七 独立性检验 解｜题｜技｜巧 应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 例17．某公司的生产车间有3台核心加工设备，分别为成型机（记为设备A）、调试机（记为设备B）、测试机（记为设备C），三台设备各自独立工作，设同时发生故障的设备数为随机变量． (1)若三台设备同时运行，每台设备发生故障的概率均为，求“至少有1台设备发生故障的条件下，恰好有1台设备发生故障”的概率；（结果保留三位有效数字） (2)为验证设备A与设备B的工作独立性，该公司随机抽取了次设备运行记录，得到如下列联表（单位：次）： 设备A 设备B 合计 故障 正常 故障 30 70 100 正常 60 40 100 合计 90 110 200 根据小概率值的独立性检验，分析设备A的故障与设备B的故障是否有关． 附：， 变式17-1．（多选）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 变式17-2．某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表． 课外阅读时间 视力健康情况 合计 视力正常 视力不良 小时／天 35 60 小时／天 10 合计 100 (1)试估计全校学生中视力不良的学生人数； (2)补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 变式17-3．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2．（2025·26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 5．（2025·26高三下·辽宁铁岭·月考）某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立．若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传．（规定：） (1)记单个数据包中发生误码的个数为，求的期望与方差； (2)求单个数据包可正确解码的概率． 6．（2025·26高二上·江苏常州·期末）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． (1)为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7．（2025·26高三上·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 8．（2025·26高二下·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 10．（2026·河北衡水·模拟预测）现有甲、乙两个盒子，每个盒内均有10个小球，小球分红、白、黑三种颜色，小球除颜色外其他特征完全相同.已知两个盒子内均有3个黑球，甲盒内有个红球，乙盒内有个红球.先从甲盒内随机取1个小球放入乙盒内，再从乙盒内随机取1个小球. (1)若，，求在乙盒内随机取出的小球的颜色是黑色的概率； (2)若在乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，求，的值； (3)若在乙盒内取出红球得分，取出白球得分，取出黑球得分，试探究当，，满足什么关系时，得分的期望值与，无关. 11．（安徽安庆市2026届高三下学期4月模拟考试数学试题）在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军.规则如下：①共5次竞答机会，每次竞答两人均从A，B两个箱子中选择一个公式回答，答完放回；②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为，；乙答对A、B箱中一个公式的概率均为；③每答对A箱中一个公式得20分，每答对B箱中一个公式得30分；④5次竞答后总得分最高者获得冠军. (1)规定甲前两次都从A箱中选择，后三次都从B箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少110分的概率. (2)若前两次甲、乙均从B箱中选择公式，两次竞答后甲得总分60分，乙得总分30分.后三次竞答在即，深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答，请问最终冠军最有可能是谁? 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（2026·浙江·二模）（多选）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 13．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）随着deepseek等人工智能大模型的快速发展，某市文创体验馆推出了“AI创意手作”的线下体验项目.为优化运营策略，运营团队统计了过去100天的运营数据，以各客流量等级的日平均收入作为日收入，整理成如下表格： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 30 50 20 日收入（元） 4000 10000 22000 设备发生故障的概率 0.1 0.2 0.4 ①设备发生的故障又分为“轻微故障”和“严重故障”，其中设备发生轻微故障的概率为，发生严重故障的概率为；②若设备无故障，当日收入不变，无维修费用支出；若设备发生轻微故障，当日收入不变，但需支付维修费200元；若设备发生严重故障，当日收入减半，还需支付维修费1000元.已知每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，用频率估计每日的客流量等级的概率. (1)求该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率； (2)设该项目在将来某一日的运营总损失为X元（运营总损失维修费收入损失），求Ⅹ的分布列和均值. 14．（2026·河南洛阳·模拟预测）一个不透明的盒子中装有规格完全相同的4个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. (1)记“”为事件，求； (2)完成两次摸球后，再将与前面4个球规格相同的5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 15．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $