专题03 求通项公式及数列求和（10题型专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题03 求通项公式及数列求和（10题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、累加法、累乘法 1 题型二、Sn与an的关系（消Sn） 3 题型三、Sn与an的关系（消an） 7 题型四、构造法 10 题型五、取倒法、取对数法 13 题型六、分组求和法 16 题型七、并项求和法 20 题型八、裂项相消法（等差型和根式型） 23 题型九、裂项相消法（指数型） 26 题型十、错位相减法 30 B 综合攻坚・能力跃升 36 题型一、累加法、累乘法 1．在数列中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 , 所以， 所以. 2．已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，，，……，，， 这个式子相加得，， 得，，当时，，成立， 所以，， . 3．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 4．已知数列满足，则数列的前2026项和为______. 【答案】 【详解】由题意可得，且， 所以当时，，……，， 累加得， 所以， 验证当时，所以对成立， 所以， 所以数列的前项和， 将代入得. 5．已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 题型二、Sn与an的关系（消Sn） 6．（多选）已知数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C． D．数列的前n项和小于 【答案】ABD 【详解】当时，，A正确. 当时，（也成立）， ，所以是首项为，公比为2的等比数列，故B正确. 因为，，所以，故C错误. 因为， 所以数列的前n项和为，故D正确. 7．记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________． 【答案】1 【详解】因为，是公差为1的等差数列， 所以，则①， 当时，②， 由①②得，， 所以数列为常数列，． 8．已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 9．已知数列的前项和为. (1)求； (2)求出的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）时，， 时，． （2）因，， 当时，， ， 当时，， 故． 10．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. （2）， 则 . 11．已知各项均为正数的数列前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）∵①， 当时，，∵，∴，    当时，②， 由②-①，可得，     即，     ∵，∴，即是首项为3，公差的等差数列，      所以，满足此式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）可得，     则，     于是， 即得证. 12．已知数列的前n项和为，，且. (1)求证：是等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由， 则当时，， 两式相减得，， 所以，即 因为，则，所以， 所以是等差数列，且公差为. （2）当时，， 即，解得或（舍去）. 由（1）知，. 所以. 所以， ， 两式相减得， 即， 所以. 题型三、Sn与an的关系（消an） 13．（多选）正项数列中，，若的前n项和为，且，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．数列单调递增 D． 【答案】ACD 【详解】当时，， 则，整理得， 所以数列是公差为1的等差数列， 代入，，其中， 解得，故，因为也满足，故 进而． 当时，，又也满足，则． ，由函数的单调性可得数列单调递减； 所以，故A正确，B错误； ，数列，单调递增，C正确； 由可得， ，故D正确； 14．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则______． 【答案】 【详解】在正项数列中，， 当时，，即，解得， 当时，由，得， 整理得，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即，而，则，所以. 15．设是数列的前项和，且，，则________，________ 【答案】 【详解】是数列的前项和，且，， 令，则，，解得． 又，整理得（常数）， 即（常数）， 故数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，故． 16．已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，即， 整理得：，即， 当时，， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即. 当时，， 当时，不符合上式，故. （2）由（1）知，所以， 所以，① ，② 由得，. 所以. 17．知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）正项数列的前项和为，满足， 所以， 整理得：， 由于数列为正项数列， 所以（常数）， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 故， 所以当时，， 当时，符合上式， 所以． （2）由于， 所以， 所以． 题型四、构造法 18．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 19．在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 因为，所以. 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为． 故答案为:． 20．已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 21．已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 22．（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 23．已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. （2）因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 题型五、取倒法、取对数法 24．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 25．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以 ， 因为 恒成立， 所以是单调递增数列， 且，， 故使得的的最大值为3. 26．已知数列满足，，求的通项公式. 【答案】 【详解】取以10为底的对数可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，即. 27．已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以； （2）由，得， 则， 所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以. 题型六、分组求和法 28．已知数列满足，则______，前项和______. 【答案】 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以首项为，公比为3的等比数列， 则，即； 所以. 29．已知首项为1的数列的前项和为，若，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. 所以数列的奇数项是以1为首项，为公比的等比数列；其偶数项是以为首项，为公比的等比数列. 所以 ， 故答案为：. 30．已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，故，. ，故，， 由可得，得. 整理得. 因为且，所以，. 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）根据题意得：， 由（1）得，.   故. 31．记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）对任意的，， 当时，，即，解得（舍去）或， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，即， 因为，所以， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以. （2）当为奇数时，， 故数列的前项的奇数项的和为 ， 当为偶数时，， 故数列的前项的偶数项的和为 ， 所以. 32．已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 所以 ， 因为是递增数列，且， 令，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，最小值为 33．已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 （2）   当为偶数时， 当为奇数时， 题型七、并项求和法 34．已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】D 【详解】， ，． ． 则 ， 故选：D． 35．若数列的通项公式为，其前n项和为，则______． 【答案】1012 【详解】因为， 所以， 所以每四项和为2， 因此 ． 故答案为：1012. 36．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． (1)求和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以. （2）由（1）知， ， . 37．已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2)30 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 38．等差数列中，，，则数列的前2021项和为___________. 【答案】 【详解】解：设公差为， 由，， 得，解得， 所以， 则， 因为函数得最小正周期为， 所以数列的前2021项和为 . 故答案为：. 39．在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）解：由（1）知，，所以， 因为，即， 可得， ， 所以，所以数列的前2n项的和为． 40．设等差数列的前项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由得，解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以， 因为， 所以数列的前项和 题型八、裂项相消法（等差型和根式型） 41．已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【详解】， 则、 . 42．在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 故为首项是，公差为的等差数列，所以，． ， 所以数列的前项的和， 故， 故选：B． 43．已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 44．设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设公比为，则，故， 故. （2），故， 所以. 45．记数列的前项和为，已知． (1)证明是等差数列，并求； (2)记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 即， 由于，所以， ，解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，得证， 即. （2）由（1）知，， 所以， 则 即， 又因为，所以，故得证. 46．已知公差不为零的等差数列的前3项和为9，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设数列的公差为，则，， 由，可得， 又，，成等比数列，故，即，整理得， 因为，故，代入可得，，． 故． （2）， 故 因，则，故可得. 题型九、裂项相消法（指数型） 47．已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. （2）由（1）知，， （拆项方法二）：， 48．已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由数列的前项和为，且， 当时，可得，可得， 当时，， 即，可得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. （2）解：由（1）知：， 可得， 所以 . 49．记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 50．已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意， 所以数列的前项和为． 当时，； 当时，． 当时，上式亦成立，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 则， 所以 . 因为，所以． 又因为时，单调递增，所以， 所以． 51．已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】 【详解】（1）当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 （2） ① ② ①-②，得 ， 所以 （3）由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 题型十、错位相减法 52．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，① 所以当时，， 当时，，② 由整理得， 因为符合上式，所以． （2）由（1）知， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以． （3）因为，所以． 因为， 所以， 所以． 53．已知数列，若数列是等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，故； 当时，，由数列是等比数列，得， 所以，； 由， 得时，， 两式相除可得，， 故，， 由累加法可得， 又当时，也适合上式， . （2）， 所以，① ①-②得：， . 另解 所以， . 54．设为数列的前n项和，且，. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知指数函数的图象过点，，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）①中，令得， 又，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 又，故，， 所以为首项为2，公差为1的等差数列； （2）由（1）知，， 设，且， 将代入，得，解得，故， ， 则， 则， 上面两式相减可得 ， 所以. 55．已知等差数列的前项和为，且，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最小值. 【答案】(1)， (2)，的最小值为 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， ， ，. 解得：. 数列满足. . 当时，满足上式 . （2）. 设数列的前项和为. 则， . 记数列的前项和为，则. . 因为恒成立， 所以当时，； 当时，，即； 当时，； 所以：. 的最小值为. 56．已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 57．已知数列满足，且． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)是公差为1，首项为的等差数列，证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由得， 所以，即， 所以是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 则. （2）设， 则， ， 则， ， . 所以的前n项和. 1．（2025·26高二上·广东清远·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（   ） A．2025 B．2026 C．2278 D．2279 【答案】D 【详解】写出该数列被除后的余数构成的数列：， 所以是以为周期的周期数列，周期内的余数为，且和为， 在前项中，有个完整周期余项， 所以的前项的和为. 2．（2025·26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，当且时， ，记 ，则数列前99项的和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【详解】当时， ， 又由满足， 可得. 又由， 可得数列前99项的和为. 故选：D. 3．（2025·26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公差为，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以且，所以是首项为公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 4．（2025·26高二上·广东深圳·期末）（多选）已知数列满足，则（    ） A．是递增数列 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】数列中，，显然，否则， 对于A，，即，因此数列是递增数列，A正确； 对于B，，则，又，则当时， ，而成立，因此，B正确； 对于C，由，得，则当时，， ，则，C错误； 对于D，由，得，即， 因此，D正确. 故选：ABD 5．（2025·26高二上·湖北随州·期末）（多选）已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（    ） A．数列为常数列 B．数列为等比数列 C．记数列的前项和为，则 D．记数列的前项和为，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，， 而， 所以，所以为常数列，故A正确； 对于B，因为，所以当时，， 当时，，而， 所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，当时，，此时， 则， ， 因为，则，所以，故C正确； 对于D，记， ， 当时，，则， 所以为递增数列，当时，最小，最小值为，故D正确. 故选：ACD. 6．（2024·25高二下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为__________. 【答案】 【详解】当为奇数时，，即数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列； 当为偶数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， 显然数列中的每一项均为正整数，则数列为递增数列， 当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 而，， ，， 所以满足的正整数的所有取值集合为. 故答案为： 7．（2024·25高二下·辽宁大连·期中）已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ， ，，， 当且仅当，即时取等号， ，则的最小值为． 故答案为：． 8．（2025·26高二上·湖南郴州·期末）已知数列满足，数列的前项和为，且满足. (1)求数列和的通项公式. (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）在数列中，， 当时，，两式相减得，则， 当时，，解得不满足上式，因此； 在数列中，当时，，则， 因此数列是首项为，公差为1的等差数列，， 当时，，满足上式，则， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得， 当时，， ， 两式相减得， 则，当时，满足上式， 所以. 9．（2023·24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 10．（2025·26高三上·吉林四平·期末）已知正项数列满足：，. (1)求； (2)设，求前项和. (3)设，求项的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由递推关系得：，， 所以：，即：， 所以：时，， ，显然当时也成立， 所以：； （2）由已知：， ； （3）由已知：，所以：， 所以：， ①令，得，所以当时，为递减数列； ②令，得，所以当时，为递增数列； 由①、②知， 所以当或时,取得最大值，最大值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 求通项公式及数列求和（10题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、累加法、累乘法 1 题型二、Sn与an的关系（消Sn） 1 题型三、Sn与an的关系（消an） 3 题型四、构造法 4 题型五、取倒法、取对数法 4 题型六、分组求和法 5 题型七、并项求和法 7 题型八、裂项相消法（等差型和根式型） 8 题型九、裂项相消法（指数型） 9 题型十、错位相减法 11 B 综合攻坚・能力跃升 13 题型一、累加法、累乘法 1．在数列中，，，则（） A． B． C． D． 2．已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 3．在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 4．已知数列满足，则数列的前2026项和为______. 5．已知数列满足，当时，，则______． 题型二、Sn与an的关系（消Sn） 6．（多选）已知数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C． D．数列的前n项和小于 7．记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________． 8．已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 9．已知数列的前项和为. (1)求； (2)求出的通项公式. 10．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 11．已知各项均为正数的数列前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 12．已知数列的前n项和为，，且. (1)求证：是等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 题型三、Sn与an的关系（消an） 13．（多选）正项数列中，，若的前n项和为，且，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．数列单调递增 D． 14．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则______． 15．设是数列的前项和，且，，则________，________ 16．已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 17．知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 题型四、构造法 18．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 19．在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 20．已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 21．已知数列满足，，求出数列的通项公式. 22．（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 23．已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 题型五、取倒法、取对数法 24．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 25．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 26．已知数列满足，，求的通项公式. 27．已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证：. 题型六、分组求和法 28．已知数列满足，则______，前项和______. 29．已知首项为1的数列的前项和为，若，则__________． 30．已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 31．记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 32．已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 33．已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 题型七、并项求和法 34．已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A．1012 B． C．1013 D． 35．若数列的通项公式为，其前n项和为，则______． 36．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． (1)求和； (2)求． 37．已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 38．等差数列中，，，则数列的前2021项和为___________. 39．在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 40．设等差数列的前项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 题型八、裂项相消法（等差型和根式型） 41．已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 42．在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 43．已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 44．设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 45．记数列的前项和为，已知． (1)证明是等差数列，并求； (2)记数列的前项和为，证明：． 46．已知公差不为零的等差数列的前3项和为9，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求证：． 题型九、裂项相消法（指数型） 47．已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 48．已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 49．记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 50．已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 51．已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 题型十、错位相减法 52．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求数列的前n项和． 53．已知数列，若数列是等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 54．设为数列的前n项和，且，. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知指数函数的图象过点，，求数列的前n项和. 55．已知等差数列的前项和为，且，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最小值. 56．已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 57．已知数列满足，且． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 1．（2025·26高二上·广东清远·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（   ） A．2025 B．2026 C．2278 D．2279 2．（2025·26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，当且时， ，记 ，则数列前99项的和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 3．（2025·26高三上·山东济宁·月考）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·26高二上·广东深圳·期末）（多选）已知数列满足，则（    ） A．是递增数列 B． C． D． 5．（2025·26高二上·湖北随州·期末）（多选）已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（    ） A．数列为常数列 B．数列为等比数列 C．记数列的前项和为，则 D．记数列的前项和为，则的最小值为 6．（2024·25高二下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为__________. 7．（2024·25高二下·辽宁大连·期中）已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 8．（2025·26高二上·湖南郴州·期末）已知数列满足，数列的前项和为，且满足. (1)求数列和的通项公式. (2)若，求数列的前项和. 9．（2023·24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 10．（2025·26高三上·吉林四平·期末）已知正项数列满足：，. (1)求； (2)设，求前项和. (3)设，求项的最大值； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $