专题01 三角函数（期中复习知识清单）高一数学下学期人教B版

专题01 三角函数 【清单01】 任意角的概念与弧度制 1．角的概念与分类 角：一条射线绕端点旋转形成的图形 分类：①正角：逆时针旋转；②负角：顺时针旋转；③零角：没有旋转 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角构成集合： 要点： ①必须包含；②是整数；③终边相同⇔相差整数周角 3．象限角 ①顶点在原点，始边在x轴非负半轴 ②终边在第几象限→第几象限角 ③终边在坐标轴上→不属于任何象限 4．角度制与弧度制 换算关系： 5．扇形的弧长与面积公式 设：圆心角（弧度），半径，弧长 ①弧长：；②面积： 【清单02】 任意角的三角函数 1．三角函数定义 设角终边上任意一点，（） 要点： 三角函数值只与终边位置有关，是实数比值，与点位置无关 2．三角函数值符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 【清单03】 同角三角函数基本关系 ①平方关系： ②商数关系： 使用要点： ①必须是同角；有意义⇔；③可用于知一求二 【清单04】 诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 作用：把任意角化为锐角三角函数 【清单05】 三角函数的图象与性质 正弦函数 定义域： 值域： 最小正周期： 奇偶性：奇函数 对称轴： 对称中心： 五点作图： 余弦函数 定义域： 值域： 最小正周期： 奇偶性：偶函数 对称轴： 对称中心： 正切函数 定义域： 值域： 最小正周期： 奇偶性：奇函数 对称中心： 【题型一】根据图形写出角的范围 例1．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 变式1-1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 变式1-2．如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 变式1-3．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为______． 【答案】 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角满足或， 所以所有满足题意的角的集合为： ． 故答案为：. 【题型二】确定n分角和n倍角的象限 例2．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【详解】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. 变式2-1．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【答案】BD 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，所以D正确． 故选：BD． 变式2-2．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【分析】 【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确; 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误. 故选：C. 变式2-3．（多选）已知是锐角，则（    ） A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 【答案】ABD 【详解】由题知， 因为是锐角，所以， 对于A：所以，故A选项正确； 对于BC：，故B选项正确，C选项错误； 对于D：，故D选项正确； 故选：ABD. 【题型三】弧长与扇形面积问题 例3．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设弧度为，半径为， 根据弧长公式和面积公式可得， 可得，. 变式3-1．已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆心角为，其弧度数，， 所以． 变式3-2．已知扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B．或8 C．8 D． 【答案】A 【详解】设扇形圆心角为，半径， 由扇形的周长为，面积为， 所以，① ，② 由①得：代入②， 化简得：，解得：或， 因为，所以舍去，所以扇形的圆心角的弧度数为. 变式3-3．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【详解】设，圆心角为， 则，解得， 故阴影部分的面积为. 【题型四】三角函数的定义 例4．已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由任意角三角函数的定义得. 变式4-1．角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则Ａ错误． 变式4-2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 变式4-3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知角的终边不在坐标轴上， 当为第一象限角时，函数； 当为第二象限角时，函数； 当为第三象限角时，函数； 当为第四象限角时，函数． 所以函数的值域为． 【题型五】同角三角函数关系的应用 例5．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由． 因为，，所以，， 所以，又， 所以，故． 变式5-1．已知为第二象限角，且，则___________． 【答案】 【详解】同时平方可得，， 因为为第二象限角，所以， ，解得， 所以. 故答案为： 变式5-2．若，是方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程的根为或， 因为，所以，即， . 变式5-3．已知则=____． 【答案】/0.8 【详解】由于则. 【题型六】诱导公式化简求值 例6．在平面直角坐标系中，角与角均以的正半轴为始边，它们的终边关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，， 所以. 变式6-1．已知，则______，______． 【答案】 【详解】，， ． ， 变式6-2．___________． 【答案】 【详解】由于， 故． 变式6-3．已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）角的终边经过点，所以 ， 所以. （2）依题意， 【题型七】三角函数的单调性 例7．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 令，解得. 变式7-1．的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的减区间与的减区间相同， 而的减区间为， 故的减区间为. 变式7-2．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 变式7-3．若函数在上单调，则的取值范围是__________． 【答案】或 【详解】由题意函数的最小正周期为，因为函数在区间上单调，可得，则. 因为，所以. 因为，所以. 因为在上单调，所以或， 解得，或， 因为，所以或． 【题型八】三角函数的奇偶性 例8．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数为偶函数， 则，即， 则， 即， 因不恒为0，则，解得. 变式8-1．已知函数为偶函数，则________. 【答案】 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 变式8-2．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【详解】函数的定义域为全体实数， 因为， 所以为奇函数. 故选：A 变式8-3．已知函数是偶函数，则______. 【答案】 【详解】因为是偶函数， 所以， 解得，经检验符合题意. 故答案为：. 【题型九】三角函数的对称性 例9．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以， 又，所以的最小值为． 变式9-1．函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 变式9-2．已知函数，则的一条对称轴方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 对于A，当时，即，解得，故错误； 对于B，当时，即，解得，故错误； 对于C，当时，即，解得，故正确； 对于D，当时，即，解得，故错误； 变式9-3．已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 【答案】/ 【详解】对任意，成立，则的图象关于对称， 所以，则， 所以，而，故最小为. 【题型十】三角函数的周期性 例10．“”是“”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】由，如，则无意义，充分性不成立， 由，根据正切函数的周期性知，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 变式10-1．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 变式10-2．已知函数与，在区间上，这两个函数图象交点横坐标之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，当时， 则或者， 即或，又， 则交点横坐标分别是，，，，， 所以交点横坐标之和为. 故选：B. 变式10-3．已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为________． 【答案】 【详解】根据题意，，因为，所以， 所以． 又函数的图象关于点中心对称， 所以，所以，， 所以，． 因为，所以，解得， 又，所以，故． 故答案为：. 【题型十一】三角函数的最值与值域 例11．函数，的值域为____________ 【答案】 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故答案为： 变式11-1．已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由， 因为，则， 设，则在上单调递减， 所以当时，. 变式11-2．已知函数在上的值域为，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为，， 又函数在上的值域为， 若，由余弦函数图象可知，存在，使，不合题意，所以， 由，得到， 由余弦函数图象可知，，解得， 故答案为：. 变式11-3．已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 【答案】(1)偶函数， (2)， 【分析】 【详解】（1） ， 故 ， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则为偶函数，． （2）． ， ， ， ， ， ，． 【题型十二】根据函数图像求解析式 例12．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则该函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【详解】由图可得，且函数的最小正周期满足，即，则， 又因，则得，因，则可得， 所以， 又因函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象， 即. 所以的最小正周期为，故A错误； 又因为，函数的定义域为，且， 而与不能恒成立，即与不能恒相等，故不是奇函数，所以B错误； 当时，则，因在上无单调性，故C错误； 又因为， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 变式12-1．（多选）已知函数（，，）的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是函数的图象的一个对称中心 D．函数的对称轴方程为， 【答案】BCD 【详解】对于A，根据函数的图象知，， 周期，所以，故A错误； 对于B，由，， 有，即， 所以，，则，， 因为，所以，即， 由， ，故B正确； 对于C，因为的对称中心为，， 令，，则，， 当时，，故C正确； 对于D，由的对称轴方程为，， 令，，所以，， 所以函数的对称轴方程为，，故D正确． 变式12-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 【答案】AB 【详解】对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为， 故，A对； 对于B选项，由图可知函数在附近单调递增， 且，故， 所以， 又因为，故，所以， 因为， 故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错； 对于D选项，将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 则，即函数为奇函数，D错. 变式12-3．如图是函数图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）由图可知，. 函数的最小正周期为，则. 所以. 因为，则，所以，， 所以，，又，所以. 所以. （2）由（1）知，. 令，，则，， 故函数的单调递增区间为，. （3）由，可得，其中. 因为，则. 令，则有， 则关于的方程在上有解， 由可得， 因为，则，所以. 令，则， 因为，在上均为增函数， 所以函数在上为增函数，所以， 即，所以. 故实数的取值范围为. 【题型十三】函数图像变换问题 例13．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】因为， 所以只需要将函数的图象操作如下， 向左平移个单位长度就可以得到的图象． 变式13-1．（多选）为了得到函数图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 【答案】BC 【详解】对于A，先将函数向左平移个单位长度得到函数， 再将每个点的横坐标缩短为原来的得到函数，故A错误； 对于B，先将函数向左平移个单位长度得到函数， 再将每个点的横坐标缩短为原来的得到函数，故B正确； 对于C，先将函数上每个点的横坐标缩短为原来的得到函数， 再将函数图象向左平移个单位长度得到函数，故C正确； 对于D，先将函数上每个点的横坐标缩短为原来的得到函数， 再将函数图象向左平移个单位长度得到函数，故D错误. 51．若函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得 再将图象向右平移个单位长度得 又因为函数为奇函数，所以 当时，. 变式13-3．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是______ 【答案】 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 【题型一】应用三角函数定义时没注意终边为射线 例1．已知的终边在直线上，则________． 【答案】 【详解】由题意可知，的终边落在第一或第三象限，且， 若的终边在第一象限，可在的终边上任取一点， ； 若的终边在第三象限，可在的终边上任取一点， ． 综上，． 故答案为： 变式1-1．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在直线上取一点，根据三角函数定义可知，，当为锐角时，易知， 所以终边落在直线上的角的取值集合为， 故选：C 变式1-2．已知是第二象限角，且终边在直线上，则_______． 【答案】/ 【详解】终边在直线上且在第二象限，设点坐标为， 则. 变式1-3．已知角的终边在直线上，求的值． 【答案】或 【详解】在直线上任取一点， 则． ①若，则，从而， ，． ②若，则，从而， ，． 【题型二】求解时忽略角的范围 例2．已知，且，则的值为（       ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则． 因为，所以， 所以． 变式2-1．已知.且则的值等于______. 【答案】 【详解】原式， 已知 ，即 ，与 联立方程组， 解得：，即， 又因为 ，且 ，所以 是第三象限角， 因此. 故答案为：. 变式2-2．已知，则________ 【答案】 【详解】因为，由诱导公式得，即. 又因为，且，所以. 所以. 变式2-3．已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以. 由， 由， 整理得：， 所以，. （2）. 【题型三】图象变换的方向把握不准 例3．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，即得到函数的图象， 所以，整理得， 又，所以当时，取最小值，最小值为． 变式3-1．把函数的图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象向右平移个单位后， 得到的图象对应的解析式是：， 由于该函数为偶函数，故，， 即，，而， 故. 变式3-2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为，所以要得到函数的图象， 只需将函数的图象向右平移个单位长度． 变式3-3．（多选题）有以下四种变换方式： ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度； 其中能将的图象变换成函数的图象的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【详解】先平移再伸缩，向左平移个单位长度得到， 再将每个点的横坐标缩短为原来的得到. 先伸缩再平移，每个点的横坐标缩短为原来的得到， 再向左平移个单位长度得到 【题型四】由图象求函数解析式忽略细节 例4．函数的部分图象如图，，则_____. 【答案】 【详解】结合题意， ，，所以， 过点，， 即，则， 所以， 因为，所以之间的对称轴为， 由图象可知，该对称轴与零点之间的距离为， 又因为，所以， 解得 . 变式4-1．若函数（）的部分图象如图所示（其中为最低点，为最高点，为函数图象与轴的一个交点），且，则的最小正周期为________，在上的零点个数为________． 【答案】 350 【详解】令，得，则．令，得，则． 令，得，则． 因为，所以，解得， 所以，的最小正周期为． 当时，，令，得，，，…，， 所以在上的零点个数为350． 故答案为：①；②. 变式4-2．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由图可知：，则， 因为函数的图象过点，则，即， 且，则，可得， 又因为函数的图象过点，则，即， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，则，解得， 则，可得，解得，所以. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为. 变式4-3．函数（，）的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由函数的图象，得，的最小正周期， 由，得，由，得，而，则， 所以函数的解析式为. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得， 由，得，则，， 所以不等式的解集为. 【题型五】记错正切函数的对称中心 例5．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标向上平移个单位，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是___________． 【答案】 【详解】横坐标伸长到原来的倍，得， 纵坐标向上平移个单位，得， 向左平移个单位，化简得最终函数. 令，解得，纵坐标为， 即函数图象的对称中心为. 变式5-1．已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据正切函数的对称中心公式可得： ， 又因为是对称中心， 所以，化简得：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以时，， 因此的最小值为. 变式5-2．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对函数，令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为函数与的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，且与图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又的最小正周期，所以，得， 故， 令，则，即的对称中心为， 所以，得， 又，所以. 变式5-3．已知函数的图象关于点对称，且，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 因为，所以令，解得， 则. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数 【清单01】 任意角的概念与弧度制 1．角的概念与分类 角：一条射线绕端点旋转形成的图形 分类：①正角：逆时针旋转；②负角：顺时针旋转；③零角：没有旋转 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角构成集合：要点： ①必须包含；②是整数；③终边相同⇔相差整数周角 3．象限角 ①顶点在原点，始边在x轴非负半轴 ②终边在第几象限→第几象限角 ③终边在坐标轴上→不属于任何象限 4．角度制与弧度制 换算关系： 5．扇形的弧长与面积公式 设：圆心角（弧度），半径，弧长 ①弧长：；②面积： 【清单02】 任意角的三角函数 1．三角函数定义 设角终边上任意一点，（） 要点： 三角函数值只与终边位置有关，是实数比值，与点位置无关 2．三角函数值符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 【清单03】 同角三角函数基本关系 ①平方关系： ②商数关系： 使用要点： ①必须是同角；有意义⇔；③可用于知一求二 【清单04】 诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 作用：把任意角化为锐角三角函数 【清单05】 三角函数的图象与性质 正弦函数 定义域： 值域： 最小正周期： 奇偶性：奇函数 对称轴： 对称中心： 五点作图： 余弦函数 定义域： 值域： 最小正周期： 奇偶性：偶函数 对称轴： 对称中心： 正切函数 定义域：值域： 最小正周期： 奇偶性：奇函数 对称中心： 【题型一】根据图形写出角的范围 例1．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 变式1-1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 变式1-2．如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为______． 【题型二】确定n分角和n倍角的象限 例2．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 变式2-1．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 变式2-2．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 变式2-3．（多选）已知是锐角，则（    ） A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 【题型三】弧长与扇形面积问题 例3．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1．已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．已知扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B．或8 C．8 D． 变式3-3．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 【题型四】三角函数的定义 例4．已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 变式4-3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【题型五】同角三角函数关系的应用 例5．若，，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知为第二象限角，且，则___________． 变式5-2．若，是方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知则=____． 【题型六】诱导公式化简求值 例6．在平面直角坐标系中，角与角均以的正半轴为始边，它们的终边关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，则______，______． 变式6-2．___________． 变式6-3．已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型七】三角函数的单调性 例7．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 变式7-1．的减区间为（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．若函数在上单调，则的取值范围是__________． 【题型八】三角函数的奇偶性 例8．已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B． C． D． 变式8-1．已知函数为偶函数，则________. 变式8-2．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 变式8-3．已知函数是偶函数，则______. 【题型九】三角函数的对称性 例9．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式9-1．函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知函数，则的一条对称轴方程可以为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 【题型十】三角函数的周期性 例10．“”是“”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 变式10-1．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．已知函数与，在区间上，这两个函数图象交点横坐标之和为（   ） A． B． C． D． 变式10-3．已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为________． 【题型十一】三角函数的最值与值域 例11．函数，的值域为____________ 变式11-1．已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 变式11-2．已知函数在上的值域为，则的取值范围是__________． 变式11-3．已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 【题型十二】根据函数图像求解析式 例12．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则该函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 变式12-1．（多选）已知函数（，，）的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是函数的图象的一个对称中心 D．函数的对称轴方程为， 变式12-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 变式12-3．如图是函数图象的一部分． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【题型十三】函数图像变换问题 例13．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式13-1．（多选）为了得到函数图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 51．若函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 变式13-3．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是______ 【题型一】应用三角函数定义时没注意终边为射线 例1．已知的终边在直线上，则________． 变式1-1．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知是第二象限角，且终边在直线上，则_______． 变式1-3．已知角的终边在直线上，求的值． 【题型二】求解时忽略角的范围 例2．已知，且，则的值为（       ） A．0 B． C． D． 变式2-1．已知.且则的值等于______. 变式2-2．已知，则________ 变式2-3．已知 (1)求的值； (2)求的值． 【题型三】图象变换的方向把握不准 例3．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．把函数的图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 变式3-2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 变式3-3．（多选题）有以下四种变换方式： ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度； 其中能将的图象变换成函数的图象的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型四】由图象求函数解析式忽略细节 例4．函数的部分图象如图，，则_____. 变式4-1．若函数（）的部分图象如图所示（其中为最低点，为最高点，为函数图象与轴的一个交点），且，则的最小正周期为________，在上的零点个数为________． 变式4-2．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 变式4-3．函数（，）的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 【题型五】记错正切函数的对称中心 例5．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标向上平移个单位，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是___________． 变式5-1．已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数的图象关于点对称，且，则（   ） A．1 B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $