专题04 向量的数量积（考点清单，8个题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

清单04 向量的数量积 （8个题型解读） 【考点题型一】两个向量夹角的定义 (1)向量的夹角是针对非零向量定义的． (2)注意向量的夹角是[0°，180°]． (3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角，作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 【例1】．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知正，则向量与的夹角为 .（用弧度表示） 【变式1-1】．（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 【变式1-2】．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（23-24高二下·上海·阶段练习）中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点题型二】向量数量积的定义 1．求向量数量积的一般步骤及注意事项 (1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积． (2)a与b垂直当且仅当a·b＝0. (3)非零向量a与b共线当且仅当a·b＝±|a||b|. 2．求向量夹角的一般步骤及注意事项 (1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值． (2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小． 【例2】．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A．4 B． C． D．2 【变式2-1】．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，则 ． 【变式2-2】．（22-23高一下·山东青岛·期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知中的边，若P为边BC上的动点，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式2-4】．（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【考点题型三】向量的投影 对向量投影的理解 从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零． (1)当θ∈时，该数量为正实数． (2)当θ∈时，该数量为负实数． (3)当θ＝0时，该数量为|b|. (4)当θ＝π时，该数量为－|b|. 注意：此处b为非零向量． (5)当θ＝时，该数量为0. 【例3】．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 【变式3-1】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为 . 【变式3-2】．（23-24高三上·上海静安·期中）已知 ，则在方向上的数量投影为 ． 【变式3-3】．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-4】．（22-23高一下·福建龙岩·期末）已知向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】．（2023·湖北·模拟预测）已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】向量数量积的几何意义及应用 利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可． 利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果． 【例4】．（22-23高一·全国·随堂练习）先根据下列条件画图，观察并判断以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后进行证明． (1)已知，，； (2)已知，，； (3)已知，，． 【变式4-1】．【多选】（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，且，则四边形为菱形 C．若，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为正方形 【变式4-2】．（2011·黑龙江·三模）P是所在平面上一点，满足，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【考点题型五】求向量的夹角 求向量a，b夹角θ的思路 (1)解题流程 →→→ (2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量． 【例5】．（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，，，（