清单02 同角三角函数的基本关系及诱导公式（考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

清单02 同角三角函数的基本关系及诱导公式 清单01 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 清单02 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，，，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【考点题型一】正弦、余弦、正切的知一求二（） 【例1】若，，则 ． 【变式1-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】已知，为第四象限角，则 ． 【变式1-3】（多选）已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知，，则 ． 【考点题型二】正余弦齐次式的应用（） 【例2】已知，则的值为 . 【变式2-1】已知角的终边过点，则 . 【变式2-2】已知角的终边落在射线上，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，则（   ） A．2或 B．或 C． D．2 【变式2-4】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ． 【考点题型三】、的关系（） 【例3】（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知是方程的两根，则 . 【变式3-4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】条件等式求正弦、余弦、正切（） 【例4】已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式4-1】已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【变式4-2】已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 【考点题型五】利用诱导公式化简求值（） 【例5】已知，则（   ） A． B． C． D．2 【变式5-1】已知角的终边经过点，则 ． 【变式5-2】（多选）已知，，则下列各式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知是角的终边上一点，且. (1)求和的值； (2)求当为奇数时，的值. 【变式5-4】已知，且为第二象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【考点题型六】利用诱导公式给值求值（） 【例6】已知 ，则 . 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，则 . 【变式6-3】已知则的值为 . 【变式6-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】恒等式的证明（） 【例7】（1）化简：. （2）求证：. 【变式7-1】已知，求证：. 【变式7-2】求证：当或3时，. 【变式7-3】已知、、为的三个内角，求证： 【变式7-4】（1）求证：； （2）已知，求证：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 同角三角函数的基本关系及诱导公式 清单01 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 清单02 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，，，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【考点题型一】正弦、余弦、正切的知一求二（） 【例1】若，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，则，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，， 因此，. 故答案为：. 【变式1-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性： 因为，所以， 所以所以“”不是“”的充分条件； 必要性： 因为，所以又 所以所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式1-2】已知，为第四象限角，则 ． 【答案】 【详解】，又因为为第四象限角，所以， 则． 故答案为:. 【变式1-3】（多选）已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A选项，因为是第二象限角，且，则， 设角的终边与单位圆（圆心为原点）的交点为， 由题意可知，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，A错； 对于B选项，角的终边与单位圆的焦点坐标为，则，B对； 对于C选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，C对； 对于D选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，D错. 故选：BC. 【变式1-4】已知，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以或， 因为，所以且， 所以. 故答案为：. 【考点题型二】正余弦齐次式的应用（） 【例2】已知，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，则原式 . 故答案为：. 【变式2-1】已知角的终边过点，则 . 【答案】10 【详解】由角的终边过点，得， 所以. 故答案为：10 【变式2-2】已知角的终边落在射线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法1：由题角的终边过点，则(为坐标原点)， 从而，． 方法2：由题易知 故选：B． 【变式2-3】若，则（   ） A．2或 B．或 C． D．2 【答案】C 【详解】， 即， 解得：或，又，， 所以， 故选：C 【变式2-4】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故，故 所以， 故，所以， 即， 故或，因为，故， 所以， 故答案为：. 【考点题型三】、的关系（） 【例3】（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为①， 所以，则， 因为，所以，，所以，故A正确； 所以， 所以②，故D正确； 由①②联立可得，，，故B错误； 所以，故C错误． 故选：AD 【变式3-1】已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，①， 则，又， 所以， 所以， 因为为锐角，所以，所以②， 由①和②联立可解得， 所以. 故选：B. 【变式3-2】已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等式两边平方可得，可得， 所以. 故选：B. 【变式3-3】已知是方程的两根，则 . 【答案】0 【详解】由题意，且，， 由，则，即， 所以. 故答案为：0 【变式3-4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，又，所以， 则，. 故选：D. 【考点题型四】条件等式求正弦、余弦、正切（） 【例4】已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 【变式4-1】已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 【变式4-2】已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 由得， 化简得，得 故选：B. 【变式4-3】已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，，可得或（舍）， 又，则. 故选：C 【变式4-4】已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是方程的两根， 所以， 又， 则，解得（舍去）或， 所以或， 将或代入中易知当时不成立， 故； （2），即， 则，则，解得或， 因为，所以， 故. 【考点题型五】利用诱导公式化简求值（） 【例5】已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】 . 故选：C 【变式5-1】已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【详解】因为角的终边经过点， 所以，，， 则. 故答案为： 【变式5-2】（多选）已知，，则下列各式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如，则，符合题意， 但，故D错误； 故选：AC. 【变式5-3】已知是角的终边上一点，且. (1)求和的值； (2)求当为奇数时，的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 解得. （2）当时， . 【变式5-4】已知，且为第二象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为，且为第二象限角， 所以，. （2）. 【考点题型六】利用诱导公式给值求值（） 【例6】已知 ，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 则 . 故选：B. 【变式6-2】已知，则 . 【答案】/ 【详解】令，则，， 则 ． 故答案为： 【变式6-3】已知则的值为 . 【答案】0 【详解】解：原式 ， 故答案为：0 【变式6-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以， 所以， ， 所以. 故选：D 【考点题型七】恒等式的证明（） 【例7】（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 【变式7-1】已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 【变式7-2】求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 【变式7-3】已知、、为的三个内角，求证： 【答案】证明见解析 【详解】证明：在中，，则. 所以， ， 故原等式得证. 【变式7-4】（1）求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）右边 左边， 故原等式成立； （2）设，，则，， 由，得，即． 所以，，故． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$