专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期中复习知识清单）高一数学下学期人教B版

null 专题02 向量的数量积与三角恒等变换 【清单01】向量的夹角 定义:在平面内任取一点，作，，则叫做向量与的夹角。 夹角范围 特殊夹角:①：向量与同向；②：向量与反向； ③：向量与垂直，记作 【清单02】向量的数量积 定义：已知两个非零向量、，夹角为，则 结果特点：数量积的结果是一个实数，不是向量！ 规定：零向量与任意向量的数量积为。 几何意义：等于与在方向上的投影长度的乘积。 【清单03】数量积的重要性质 设、为非零向量，为夹角： ①垂直判定： ②模长公式： ③夹角公式： 若与同向：；与反向： 锐角/钝角判定：若夹角为锐角：且与不共线；若夹角为钝角：且与不共线 【清单04】数量积的运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③分配律： 【清单05】数量积的坐标运算 设， ①数量积： ②向量垂直： ③向量模长： 两点间距离：若，，则 ④夹角坐标公式： 【清单06】两角和与差的三角函数公式 （1）余弦公式（同名相乘，符号相反）： ； （2）正弦公式（异名相乘，符号相同）： （3）正切公式 【清单07】二倍角公式 （1）正弦二倍角: （2）余弦二倍角：= （3）正切二倍角 【清单08】升幂、降幂公式 （1）降幂公式：； （2）升幂公式：； 【清单09】辅助角公式 （1）公式形式： （2）作用：将“正弦+余弦”的一次式化为单一三角函数，方便求：最大值/最小值、最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心 （3）标准步骤：①提取；②凑出、；③写成 【题型一】平面向量数量积的运算 例1．边长为2的正方形，为的中点，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 变式1-1．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 变式1-3．在菱形中，，. (1)若，求的值； (2)若，，求. 【题型二】平面向量的模长问题 例2．已知向量，满足，，则______. 变式2-1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知平面向量，，均为单位向量，且，，两两夹角均为，则（   ） A．4 B． C．2 D． 变式2-3．在直角中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 【题型三】平面向量垂直问题 例3．已知向量，满足，，且，则与的夹角（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 变式3-2．若向量，满足，，且与相互垂直，则______． 变式3-3．已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【题型四】平面向量的夹角问题 例4．已知向量，. (1)若，求x的值； (2)若向量，，求与的夹角的余弦值. 变式4-1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【题型五】平面向量的投影问题 例5．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 变式5-2．（多选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知向量满足，且，则在方向上的投影向量的长度为______． 【题型六】平面向量的取值范围 例6．已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．在菱形ABCD中，，，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为__________. 变式6-3．如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【题型七】两角和与差的三角公式 例7．已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式7-2．已知向量，将绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，则（ ） A． B． C． D． 变式7-3．（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型八】倍角公式与半角公式 例8．若，则（   ） A． B． C． D． 变式8-1．函数的最小值是___________． 变式8-2．已知，则的值为_____. 变式8-3．若，是第三象限的角，则______. 【题型九】和差化积与积化和差 例9．求值： （1）____________； （2）____________． 变式9-1．已知，那么______． 变式9-2．函数，的值域是______． 变式9-3．已知均为锐角，且，，求，的值． 【题型十】三角恒等变换给角求值问题 例10．=（    ） A．16 B．32 C． D． 变式10-1．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 变式10-2．的值为（    ） A． B． C． D． 【题型十一】三角恒等变换给值求值问题 例11．已知函数. (1)若为第二象限角，且，求的值； (2)若，且，求的值. 变式11-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式11-3．已知. (1)化简函数； (2)若，均为锐角，且，，求和的值. 【题型十二】三角恒等变换给值求角问题 例12．已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 变式12-1．设，，且，则______. 变式12-2．已知，，且，． (1)求； (2)求角的大小． 变式12-3．已知. (1)若，求的值； (2)已知，，且、，求的值． 【题型十三】三角恒等变换的实际应用 例13．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 变式13-1．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布___________米处.（用a，d表示） 变式13-2．如图所示，有一半径为米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为米，若水轮每分钟逆时针转圈，且水轮上的点在时刚刚从水中浮现，则秒钟后点与水面的距离是（结果精确到米）（    ）（参考数据， ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式13-3．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【题型十四】向量与三角函数的综合 例14．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和． 变式14-1．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数（），对，有且仅有一个，使得成立，求的取值范围. 变式14-2．已知函数 (1)化简的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的对称中心和单调递减区间. 变式14-3．已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【题型一】向量夹角未共起点，直接计算导致错误 例1．如图，在中，为线段上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 变式1-1．如图，已知：单位向量与的夹角为60°，则______． 变式1-2．如图，在矩形中，点是线段上一动点（含端点），是上靠近点的三等分点. (1)设，求的值； (2)若，求的取值范围. 变式1-3．如图，在等腰梯形中，是边的中点. (1)试用表示； (2)求的值. 【题型二】锐角、钝角判定缺少“不共线”条件 例2．已知，是平面内两个不共线的向量，，，. (1)若A，C，D三点共线，求实数m的值； (2)若，，是钝角，求实数m的取值范围. 变式2-1．设非零向量和的夹角为，则“”是“为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 变式2-3．已知，，且与的夹角为120°，求： (1)； (2)若向量与夹角为锐角，求实数取值范围． 【题型三】模长计算漏开方或漏平方 例3．已知向量，，若，则（   ） A．4 B．5 C． D． 变式3-1．如图，已知网格纸中每个小正方形的边长为1，向量的位置如图所示，则（    ） A．3 B． C．5 D． 变式3-2．已知向量，满足，，若与的夹角为，则______． 变式3-3．如图，在平行四边形中，E为的中点，，与，分别相交于M，N两点． (1)若，求的值； (2)若，，求； 【题型四】辅助角公式系数、角度、符号错误 例4．函数的最小正周期为______；最小值为______． 变式4-1．将函数的图像关于对称，则实数______. 变式4-2．已知函数，的最小正周期为，则______． 变式4-3．若函数，的两个零点分别为和，则______. 【题型五】多角变换不会拆角 例5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 变式5-1．若，，，，则______. 变式5-2．已知，则____________． 变式5-3．已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $