9.3 二元一次方程组与实际问题 讲义 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

9.3二元一次方程组与实际问题 知 识 清 单 知识点1 二元一次方程组与实际问题 1、应用二元一次方程组解决实际问题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知 ”转换成“ 已知 ”的重要方法，它的关键是把已知量和未知 量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列 方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量单位要统一；③方程两边的数要相等. 2、应用二元一次方程组解决实际问题的一般过程： 审：审清题意，找出问题中的已知量和未知量，明确问题中的等量关系； 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 答：写出答案. 【知识解读】 （1）解实际应用问题必须写“答 ”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检验求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设 ”、“答 ”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点2 应用题常用等量关系 问题类别 常用等量关系 配套问题 若甲的数量：乙的数量=a：b ，那么b×甲的数量=a×乙的数量。 和差倍分 问题 此类题要特别注意题目中关键词语的含义，如相等、和、差、几倍、几分之 几、多、少、不足、剩余、增长率等等. 销售问题 ①利润=售价-成本价（进价） ②利润率= 利润 × 100％； 利润=成本价×利润率 成本价 ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数 10 ⑤总利润=单价利润×商品总件数 行程问题 ①路程=速度×时间， 时间= 速度 (路程) ， 速度= 时间 (路程) . ②顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度. 运输问题 ①总产量=运往各地产量之和 ②运输费用=质量 ×单位质量费用 图形问题 图形问题中，要注意找出图形的边长、周长、面积或体积之间的数量关系， 根据数量关系列方程。 工程问题 ①工作量=工作效率×工作时间，工作时间= 工作量 ，工作效率= 工作量 . 工作效率 工作时间 ②总工作量=各部分工作量之和. 方案问题 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点, 比较几种方 案得出最佳方案. 积分问题 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数， 例如：若一个两位数的个位数字为 a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示 为 10b+a . 素 养 提 升 考点1 配套问题 例题讲解： 例1．某玩具车间有80名工人生产大恐龙和小恐龙，已知一名工人每天可生产大恐龙900个或小恐龙1200个，一套玩具袋里有1个大恐龙和4个小恐龙，该车间如何安排工人生产，才能使每天生产的大恐龙和小恐龙刚好配套？ 例2．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 跟踪训练： 1．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了x卷彩纸，做灯笼用了y卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生．玩具厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B．已知每米布料可做2个玩偶A或1个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9名工人参与制作，每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的幅面规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸裁成A3纸和A4纸，两者共计300张，设可裁成A3纸x张，A4纸y张，根据题意，可列方程组（　　） A． B． C． D． 5．某车间有工人45人，平均每人每天可加工大齿轮10个或小齿轮16个．又知1个大齿轮与2个小齿轮配成一套．应如何安排工人，才能使每天生产的大小齿轮刚好配套？ 6．某工厂车间生产甲、乙两种零部件．已知1个甲零部件和2个乙零部件配套成一个完整产品，每个工人每天可生产14个甲零部件或20个乙零部件．现有60名工人，问应安排多少个工人生产甲零部件，多少个工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 7．2025年12月22日，我县某校开展的“情暖冬至，传承传统”劳动实践活动上了《贵州教育报》，学生们自己动手包饺子等劳动实践活动，在劳动中感悟节日的内涵，不仅丰富了校园生活，更在潜移默化的培养了学生的文化自信，让传统节日焕发新生．该校七年级（2）班共有学生50人，其中女生人数比男生少6人，并且每名学生每节课可以制作20张饺皮或者包饺子30个． （1）求该班男生、女生各多少人？ （2）班主任计划让男生负责制作饺皮，女生负责包饺子，一张饺皮包一个饺子，那么女生应向男生支援多少人时，才能使这节课制作的饺皮正好用完？ 8．学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援． （1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ （2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 9．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 10．在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动．现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 考点2 和差倍分问题 例题讲解： 1．列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 跟踪训练： 1．《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 3．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童x人，竹竿y根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　） ①； ②； ③3x（100﹣x）＝100； ④y+3（100﹣y）＝100． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7． 《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 8． 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？ 考点3 销售问题 例题讲解： 1．某商场文具店，采购了A、B两种笔记本．调研得到以下信息： 信息一 文具店购进A种笔记本10本，B种笔记本6本，共付款380元；B种笔记本比A种笔记本每本进价贵10元． 信息二 文具店将每本B种笔记本按其进价提高50%标注售价，实际售卖时进行打折促销，此时每本B种笔记本仍可获利20%． 请根据上述信息回答下列问题： （1）分别求出文具店采购时每本A种笔记本和每本B种笔记本的进价； （2）文具店在实际售卖时，每本B种笔记本打了几折？ 跟踪训练： 1．在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助5G和VR技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶C919冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如表： 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶C919冲上云霄 24 20 已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 2．某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 m n 8000 第二季度 　 　 　 （1）设2025年第一季度苹果销售额为m元，橙子销售额为n元，请用含m，n的代数式填表； （2）已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 3． 春节期间，小李购进一批玩具进行销售，其中A，B两种畅销玩具的进价分别为8元和12元，销售2件A种玩具和3件B种玩具可获利润78元．若A种玩具降价4元，B种玩具打8折销售，则销售3件A种玩具与销售2件B种玩具获得的利润相同，求A，B两种玩具原来的售价分别为多少． 4．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． （1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利25%． ①求甲、乙两种商品各多少件？ ②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 考点4 行程问题 例题讲解： 1． 一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 跟踪训练： 1．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（　　）米． A．55 B．45 C．50 D．40 2．一艘轮船出航时逆流而上，航速为40千米/小时，返航时顺流而下，航速为60千米/小时，这艘轮船往返的平均速度为（　　）千米/小时． A．42 B．45 C．48 D．50 3．小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（　　） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 4．小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有xkm，上坡路有ykm，则依题意所列的方程组是（　　） A． B． C． D． 5．甲地到乙地全程是25km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地需行6小时，从乙地到甲地需行7.2小时．求从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 考点5 运输问题 例题讲解： 1．某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗25%，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与A、B两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 跟踪训练： 1．如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂近期从A地购买一批原料运回工厂，制成的产品再全部运到B地．已知公路的运价为2元/（吨•千米），铁路的运价为1.5元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元． 求从A地购买的原料和运到B地的产品各多少吨？ 2．如图所示，某工厂与A、B两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地销售，公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元． （1）分别求出该工厂购买的原料重量与制成的产品重量； （2）若此工厂在生产过程中还需付出各种生产成本费用共80万元，求出该工厂此次经营的利润？ （经营利润＝销售款﹣原料费用﹣运输费﹣生产成本） 3．如图，某工厂与A，B两地有公路和铁路相连．该工厂从A地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元/（吨•km），铁路的运价为1.0元/（吨•km）． （1）从A地运回m吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） （2）若其中一批原料，从A地运回工厂，到加工成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 4．一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表： 甲种货（辆） 乙种货（辆） 总量（吨） 第一次 4 5 28.5 第二次 3 6 27 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？ 考点6 图形问题 例题讲解： 1．如图，在大长方形ABCD中，放入8个一样的小长方形． （1）每个小长方形的长和宽分别是多少？ （2）图中阴影部分的面积为多少？ 跟踪训练： 1．如图，长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，AD与CD的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 2．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 3．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为24m，宽为18m的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（　　） A．324m2 B．180m2 C．120m2 D．40m2 4．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　） A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm 5．在长方形ABCD中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 考点7 工程问题 例题讲解： 1． 一家商店计划进行装修，若请甲、乙两个施工队同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独施工6天，再请乙组单独施工12天则可以完成，需付给两组费用3480元．甲乙两组单独施工一天，商店各需支付多少钱？ 跟踪训练： 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120m，他们连续修建了1480m，平均每天修建148m，那么这几天中有几天雨天（　　） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 2．某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 考点8 方案问题 例题讲解： 1．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 跟踪训练： 1．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 2．某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本，若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元，买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． （1）求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． （2）淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完，共有哪几种购买方案？ 3．某租车公司分两批采购A、B两种型号的新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）． （1）求A、B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ （2）为扩展租车业务，该租车公司计划再用200万元购进A、B两种型号的新能源汽车（两种车型都买），若恰好用完200万元，该租车公司共有几种购买方案？ 考点9 其他问题 例题讲解（积分问题）： 1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分、某队在8场比赛中得到12分，那么这个队胜的场数是（　　） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 跟踪训练： 1．笑笑完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作+10分，答错或不答一题记作﹣5分．若笑笑最后的得分是40分，则笑笑最后答对了的题目有（　　） A．7道 B．6道 C．5道 D．4道 2．某校组织了一场校园篮球赛．比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，则甲队在第一轮比赛中胜的场数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 例题讲解（数字问题）： 1．一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（　　） A．92 B．38 C．47 D．29 跟踪训练： 1．一个两位数，个位上的数字是6，如果把十位上的数字与个位上的数字对换，那么新的两位数比原来的两位数大18，那么这个原来的两位数是　 　 ． 2．有一个两位数，个位数字比十位数字小2，如果把这两个数字的位置对换，所得新数与原数的和为154，则原来两位数为 　 　 ． 例题讲解（年龄问题）： 1．甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 　 　 岁． 跟踪训练： 1．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是（　　） A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．30岁 2．已知兄弟俩的对话如下：弟弟对哥哥说：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，则哥哥今年的年龄是 　 　 岁． 例题讲解（幻方问题）： 1．“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个3×3表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则x+y的值为（　　） A．1 B．9 C．5 D．4 跟踪训练： 1．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．图2三阶幻方中填写了一些数和字母，则x+y＝（　　） A．﹣3 B．﹣13 C．3 D．13 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3二元一次方程组与实际问题 知 识 清 单 知识点1 二元一次方程组与实际问题 1、应用二元一次方程组解决实际问题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知 ”转换成“ 已知 ”的重要方法，它的关键是把已知量和未知 量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列 方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量单位要统一；③方程两边的数要相等. 2、应用二元一次方程组解决实际问题的一般过程： 审：审清题意，找出问题中的已知量和未知量，明确问题中的等量关系； 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 答：写出答案. 【知识解读】 （1）解实际应用问题必须写“答 ”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检验求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设 ”、“答 ”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点2 应用题常用等量关系 问题类别 常用等量关系 配套问题 若甲的数量：乙的数量=a：b ，那么b×甲的数量=a×乙的数量。 和差倍分 问题 此类题要特别注意题目中关键词语的含义，如相等、和、差、几倍、几分之 几、多、少、不足、剩余、增长率等等. 销售问题 ①利润=售价-成本价（进价） ②利润率= 利润 × 100％； 利润=成本价×利润率 成本价 ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数 10 ⑤总利润=单价利润×商品总件数 行程问题 ①路程=速度×时间， 时间= 速度 (路程) ， 速度= 时间 (路程) . ②顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度. 运输问题 ①总产量=运往各地产量之和 ②运输费用=质量 ×单位质量费用 图形问题 图形问题中，要注意找出图形的边长、周长、面积或体积之间的数量关系， 根据数量关系列方程。 工程问题 ①工作量=工作效率×工作时间，工作时间= 工作量 ，工作效率= 工作量 . 工作效率 工作时间 ②总工作量=各部分工作量之和. 方案问题 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点, 比较几种方 案得出最佳方案. 积分问题 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数， 例如：若一个两位数的个位数字为 a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示 为 10b+a . 素 养 提 升 考点1 配套问题 例题讲解： 例1．某玩具车间有80名工人生产大恐龙和小恐龙，已知一名工人每天可生产大恐龙900个或小恐龙1200个，一套玩具袋里有1个大恐龙和4个小恐龙，该车间如何安排工人生产，才能使每天生产的大恐龙和小恐龙刚好配套？ 【解答】解：设每天安排x名工人生产大恐龙，则（80﹣x）名工人生产小恐龙， 根据题意可知，4×900x＝1200（80﹣x）， 解得x＝20， ∴80﹣x＝60（名）， ∴每天安排20名工人生产大恐龙，60名工人生产小恐龙，能使每天生产的大恐龙和小恐龙刚好配套． 例2．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮， 根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m）， 解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 跟踪训练： 1．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了x卷彩纸，做灯笼用了y卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得：， 故选：B． 【点评】本题考查了与实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生．玩具厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B．已知每米布料可做2个玩偶A或1个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D．【解答】解：已知用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，布料总长度为128米，所以x+y＝128， 每米布料可做2个玩偶A，则x米布料可做2x个玩偶A；每米布料可做1个玩偶B，则y米布料可做y个玩偶B， 因为一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B，要恰好配套，则， 所以可列方程组， 故选：A． 3．工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9名工人参与制作，每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣， 由题意得：． 故选：C． 4．现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的幅面规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸裁成A3纸和A4纸，两者共计300张，设可裁成A3纸x张，A4纸y张，根据题意，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得：， 故选：D． 5．某车间有工人45人，平均每人每天可加工大齿轮10个或小齿轮16个．又知1个大齿轮与2个小齿轮配成一套．应如何安排工人，才能使每天生产的大小齿轮刚好配套？ 【解答】解：设生产大齿轮的工人有x名，则生产小齿轮的工人有（45﹣x）名，依题意有， 2×10x＝16（45﹣x）， 解得x＝20， 45﹣x＝45﹣20＝25（人）． 答：生产大齿轮的工人有20名，则生产小齿轮的工人有25名． 6．某工厂车间生产甲、乙两种零部件．已知1个甲零部件和2个乙零部件配套成一个完整产品，每个工人每天可生产14个甲零部件或20个乙零部件．现有60名工人，问应安排多少个工人生产甲零部件，多少个工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 【解答】解：设应安排x个工人生产甲零部件，y个工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套， 依题意，得：， 解得：． 答：应安排25个工人生产甲零部件，35个工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 7．2025年12月22日，我县某校开展的“情暖冬至，传承传统”劳动实践活动上了《贵州教育报》，学生们自己动手包饺子等劳动实践活动，在劳动中感悟节日的内涵，不仅丰富了校园生活，更在潜移默化的培养了学生的文化自信，让传统节日焕发新生．该校七年级（2）班共有学生50人，其中女生人数比男生少6人，并且每名学生每节课可以制作20张饺皮或者包饺子30个． （1）求该班男生、女生各多少人？ （2）班主任计划让男生负责制作饺皮，女生负责包饺子，一张饺皮包一个饺子，那么女生应向男生支援多少人时，才能使这节课制作的饺皮正好用完？ 【答案】（1）男生28人，女生22人； （2）女生应向男生支援2人． 8．学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援． （1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ （2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【解答】解：（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人， 由题意得：18+x＝4（7+40﹣x）， 解得：x＝34， ∴40﹣x＝6， 答：调往甲地34人，调往乙地6人； （2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人， 由题意得：， 解得：， ∴40﹣m﹣n＝40﹣8﹣15＝17， 答：应调往甲地17人，乙地8人，丙地15人． 9．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】应调往甲处17人，调往乙处3人． 10．在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动．现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 【解答】解：应调往甲处x人，调往乙处的人数是y， 依题意得： ， 解得， 答：应调往甲处17人，调往乙处3人． 考点2 和差倍分问题 例题讲解： 1．列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 【解答】解：设绳长x尺，井深y尺， 根据题意列二元一次方程组， ， 解得， ∴绳长为36尺，井深为8尺， 答：绳长为36尺，井深为8尺． 跟踪训练： 1．《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得方程组为． 故选：A． 2．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意，得：． 故选：D． 3．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：． 故选：B． 4．有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童x人，竹竿y根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得，． 故选：B． 5．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：现设木条长尺，绳子长y尺，则可列方程组为：． 故选：D． 6．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　） ①； ②； ③3x（100﹣x）＝100； ④y+3（100﹣y）＝100． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 依题意，得：； ∴y＝100﹣x，或x＝100﹣y． ∴3x（100﹣x）＝100或y+3（100﹣y）＝100． ∴②③④正确． 故选：D． 7． 《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 【解答】解：设李三公家的店有x间客房，来了y位房客， 根据题意，得， 解得， ∴李三公家有8间客房，来了63位房客， 答：李三公家有8间客房，来了63位房客． 8． 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？ 【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 根据题意得：， 解得：． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 考点3 销售问题 例题讲解： 1．某商场文具店，采购了A、B两种笔记本．调研得到以下信息： 信息一 文具店购进A种笔记本10本，B种笔记本6本，共付款380元；B种笔记本比A种笔记本每本进价贵10元． 信息二 文具店将每本B种笔记本按其进价提高50%标注售价，实际售卖时进行打折促销，此时每本B种笔记本仍可获利20%． 请根据上述信息回答下列问题： （1）分别求出文具店采购时每本A种笔记本和每本B种笔记本的进价； （2）文具店在实际售卖时，每本B种笔记本打了几折？ 【解答】解：（1）设文具店采购时每本A种笔记本的进价为x元，每本B种笔记本的进价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：文具店采购时每本A种笔记本的进价为20元，每本B种笔记本的进价为30元； （2）设每本B种笔记本打了m折， 根据题意得：30×（1+50%）×0.1m﹣30＝30×20%， 解得：m＝8， 答：文具店在实际售卖时，每本B种笔记本打了8折． 跟踪训练： 1．在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助5G和VR技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶C919冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如表： 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶C919冲上云霄 24 20 已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 【解答】解：设该天“红楼梦戏剧幻城”体验x次，“驾驶C919冲上云霄”体验y次， 根据题意得：， 解得：， ∴25x+20y＝25×80+20×60＝3200（元）． 答：这天两个项目收益共3200元． 2．某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 m n 8000 第二季度 　1.15m 　1.2n 　1.15m+1.2n （1）设2025年第一季度苹果销售额为m元，橙子销售额为n元，请用含m，n的代数式填表； （2）已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 【解答】解：（1）第二季度苹果销售额为m×（1+15%）＝1.15m； 第二季度橙子销售额为n×（1+20%）＝1.2n； 第二季度总销售额为1.15m+1.2n； 填表如下： 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 m n 8000 第二季度 1.15m 1.2n 1.15m+1.2n 故答案为：1.15m，1.2n，1.15m+1.2n； （2）已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元， 由题意可得，， 解得， ∴1.15m＝4600，1.2n＝4800， 答：第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元． 3． 春节期间，小李购进一批玩具进行销售，其中A，B两种畅销玩具的进价分别为8元和12元，销售2件A种玩具和3件B种玩具可获利润78元．若A种玩具降价4元，B种玩具打8折销售，则销售3件A种玩具与销售2件B种玩具获得的利润相同，求A，B两种玩具原来的售价分别为多少． 【解答】解：设A种玩具原来的售价为每件x元，B种玩具原来的售价为每件为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种玩具原来的售价为每件20元，B种玩具原来的售价为每件为30元． 4．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． （1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利25%． ①求甲、乙两种商品各多少件？ ②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元， 由题意得：4x+5（x+30）＝870， 解得x＝80（元）， 则x+30＝80+30＝110（元）， 答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为110元； （2）①设购进甲种商品y件， 由题意得：80y+110（50﹣y）＝4600， 解得：y＝30， ∴50﹣y＝20， ∴进甲种商品30件，则乙种商品为20件； ②设乙种商品的每件售价为z元， 由题意得：30×（100﹣80）+20（z﹣110）＝4600×25%， 解得z＝137.5（元）． 答：乙种商品的每件售价为137.5元． 考点4 行程问题 例题讲解： 1． 一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【解答】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 跟踪训练： 1．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（　　）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【解答】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为400÷4＝100米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为400÷40＝10米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则， 两式相加得2x＝110， ∴x＝55． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 2．一艘轮船出航时逆流而上，航速为40千米/小时，返航时顺流而下，航速为60千米/小时，这艘轮船往返的平均速度为（　　）千米/小时． A．42 B．45 C．48 D．50 【解答】解：设轮船单程的航行距离为S千米， 这艘轮船往返的平均速度为：48（千米/时）， 故选：C． 3．小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（　　） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【解答】解：设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步行的速度为y千米/分， 则根据题意列二元一次方程得，， 解得， ∴（千米）， 即A、B两地间的距离为8千米， 故选：A． 4．小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有xkm，上坡路有ykm，则依题意所列的方程组是（　　） A． B． C． D．【解答】解：依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为， 则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时， 40分钟小时，30分钟小时， 可列出方程组为． 故选：A． 5．甲地到乙地全程是25km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地需行6小时，从乙地到甲地需行7.2小时．求从甲地到乙地时上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 【解答】解：设从甲地到乙地上坡路是xkm，平路是ykm，则下坡路是（25﹣x﹣y）km， 根据题意得：， 解得：， 则25﹣x﹣y＝15， 答：从甲地到乙地上坡路是6km，平路是4km，下坡路是15km． 考点5 运输问题 例题讲解： 1．某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗25%，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与A、B两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 【解答】解：设购买原料x吨，制成产品y吨， 由题意得：， 解得：， ∴300×8000＝2400000（元）， 答：这批产品的销售款是2400000元． 跟踪训练： 1．如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂近期从A地购买一批原料运回工厂，制成的产品再全部运到B地．已知公路的运价为2元/（吨•千米），铁路的运价为1.5元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元． 求从A地购买的原料和运到B地的产品各多少吨？ 【解答】解：设从A地购买的原料为a吨和运到B地的产品为b吨， 由题意可得，， 解得， 答：从A地购买的原料为600吨和运到B地的产品为400吨； 2．如图所示，某工厂与A、B两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地销售，公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元． （1）分别求出该工厂购买的原料重量与制成的产品重量； （2）若此工厂在生产过程中还需付出各种生产成本费用共80万元，求出该工厂此次经营的利润？ （经营利润＝销售款﹣原料费用﹣运输费﹣生产成本） 【解答】解：（1）设该工厂购买的原料重量为x吨，制成的产品重量为y吨， 由题意得，， 解得：． 答：该工厂购买的原料重量为400吨，制成的产品重量为300吨； （2）利润＝8000×300﹣400×1000﹣15000﹣97200﹣800000＝1087800（元）． 答：该工厂此次经营的利润为1087800元． 3．如图，某工厂与A，B两地有公路和铁路相连．该工厂从A地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元/（吨•km），铁路的运价为1.0元/（吨•km）． （1）从A地运回m吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） （2）若其中一批原料，从A地运回工厂，到加工成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 【解答】解：（1）根据题意得120×1.0m+10×1.5m＝135m（元）， 答：需要的运费是135m元； （2）设这一批原料有a吨，加工成的产品有b吨， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 300÷500＝0.6（吨）， 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是0.6吨． 4．一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表： 甲种货（辆） 乙种货（辆） 总量（吨） 第一次 4 5 28.5 第二次 3 6 27 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？ 【解答】解：设甲种货车每辆每次运送货物x吨，乙种货车每辆每次运送货物y吨， 由题意得，， 解得：， 则这次共运蔬菜为：5×4+2×2.5＝25（吨）， 运费为：25×20＝500（元）． 答：菜农应付运费500元． 考点6 图形问题 例题讲解： 1．如图，在大长方形ABCD中，放入8个一样的小长方形． （1）每个小长方形的长和宽分别是多少？ （2）图中阴影部分的面积为多少？ 【解答】解：（1）设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意列二元一次方程组得： ， 解得， 即每个小长方形的长和宽分别为10cm，3cm． 答：每个小长方形的长和宽分别为10cm，3cm； （2）∵每个小长方形的长和宽分别为10cm，3cm， ∴22×（13+y）﹣8xy＝22×（13+3）﹣8×10×3＝112（cm2）， 答：题图中阴影部分的面积为112cm2． 跟踪训练： 1．如图，长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，AD与CD的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意可得：， 解方程组可得：， ∴CD＝x+3y＝6+3＝9，AD＝x+4y＝6+4＝10， ∴长方形ABCD的面积是10×9＝90， 一个小长方形的面积是6×1＝6， ∴90﹣6×10＝30． 图中阴影部分的面积是30． 故选：D． 2．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分的总面积为：29（9+3y）﹣8xy＝29（9+3×4）﹣8×17×4＝65， 故选：C． 3．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为24m，宽为18m的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（　　） A．324m2 B．180m2 C．120m2 D．40m2 【解答】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ， 解得， ∴面积是3×4×10＝120m2， 故选：C． 4．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（　　） A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm 【解答】解：设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm， 依题意得：， 解得：， 即桌子的高度h为70cm， 故选：C． 5．在长方形ABCD中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【解答】解：设小长方形宽为a，长为b， 根据题意得：， 解得：， 答：小长方形的长为8，宽为2． 考点7 工程问题 例题讲解： 1． 一家商店计划进行装修，若请甲、乙两个施工队同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独施工6天，再请乙组单独施工12天则可以完成，需付给两组费用3480元．甲乙两组单独施工一天，商店各需支付多少钱？ 【解答】解：设甲单独施工一天，商店需要支付x元，乙单独施工一天，商店需要支付y元， 由题意可得：， 解得， 答：甲单独施工一天，商店需要支付300元，乙单独施工一天，商店需要支付140元． 跟踪训练： 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120m，他们连续修建了1480m，平均每天修建148m，那么这几天中有几天雨天（　　） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【解答】解：设这几天中有x天晴天，y天雨天， 根据题意得：， 解得：， ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 2．某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【解答】解：设规定的时间为t天，这批零件的总数为m个， 依题意列二元一次方程组得： 解得． 即规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个， 答：规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个． 考点8 方案问题 例题讲解： 1．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． （1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 【解答】解：（1）设B品牌排球的单价是y元，A品牌排球的单价是x元， 根据题意，得， 解得， 答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元． （2）设购进B品牌排球n个，A品牌排球m个， 根据题意，得（50+10）m+0.9×80n＝1200， 60m+72n＝1200， ∴． 由题意得m，n均为正整数， 或或． ∴学校共有三种购进方案： 方案一：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个；方案二：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案三：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个． 跟踪训练： 1．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【解答】解：（1）设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得：， 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）设购买钥匙扣a（a＞30）个、玩偶b（b≥50）个， 由题意得：4×30+3.2（a﹣30）+2b﹣10＝266， 120+3.2a﹣96+2b﹣10＝266， 14+3.2a+2b＝266， ∴， ∵a、b是正整数，且a＞30，b≥50， ∴ 或 或 ， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 2．某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本，若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元，买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． （1）求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． （2）淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完，共有哪几种购买方案？ 【解答】解：（1）设甲种笔记本单价为x元，乙种笔记本的单价为y元， 依题意得：， 解得， 即甲种笔记本单价为3元，乙种笔记本的单价为4元， 答：甲种笔记本单价为3元，乙种笔记本的单价为4元； （2）设购买甲种笔记本a本，乙种笔记本b本， ∴3a+4b＝35， ∵a，b为正整数， ∴分情况讨论： a＝1，b＝8， a＝5，b＝5， a＝9，b＝2， 答：共有3种购买方案：买甲种笔记本1本，乙种笔记本8本，买甲种笔记本5本，乙种笔记本5本，买甲种笔记本9本，乙种笔记本2本． 3．某租车公司分两批采购A、B两种型号的新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）． （1）求A、B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ （2）为扩展租车业务，该租车公司计划再用200万元购进A、B两种型号的新能源汽车（两种车型都买），若恰好用完200万元，该租车公司共有几种购买方案？ 【解答】解：（1）设A型汽车进价为 x 万元，B型汽车进价为y 万元． 根据题意列二元一次方程组得， ， 解得， 答案：A型汽车进价20万元，B型汽车进价12万元． （2）设购买a 辆A型汽车，b辆B型汽车，总花费200万元， 根据题意列二元一次方程得：20a+12b＝200， 解得， 为使 b 为正整数，a 必须满足50﹣5a＝3×15﹣5（a﹣1）能够被3整除，且1≤a＜10， 即满足a﹣1能够被3整除且1≤a＜10． 可能的a值为1、4、7，对应 b值分别为15、10、5． a b 方案一 1 15 方案二 4 10 方案三 7 5 答：共有3种购买方案． 考点9 其他问题 例题讲解（积分问题）： 1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分、某队在8场比赛中得到12分，那么这个队胜的场数是（　　） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【解答】解：设这个队胜x场，负y场， 根据题意得：， 解得：， 即这个队胜的场数是4场， 故选：B． 跟踪训练： 1．笑笑完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作+10分，答错或不答一题记作﹣5分．若笑笑最后的得分是40分，则笑笑最后答对了的题目有（　　） A．7道 B．6道 C．5道 D．4道 【解答】解：设笑笑答对了x道题，答错或不答的题数为y道， 根据题意可得， 解得：， ∴笑笑答对了6道题， 故选：B． 2．某校组织了一场校园篮球赛．比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，则甲队在第一轮比赛中胜的场数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：设甲队胜了x场，平了y场， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 即甲队在第一轮比赛中胜了5场． 故选：B． 例题讲解（数字问题）： 1．一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（　　） A．92 B．38 C．47 D．29 【解答】解：设这个两位数十位为x，个位为y， 由题意得，， 解得：， 则这个两位数为：29． 故选：D． 跟踪训练： 1．一个两位数，个位上的数字是6，如果把十位上的数字与个位上的数字对换，那么新的两位数比原来的两位数大18，那么这个原来的两位数是　46　 ． 【解答】解：一个两位数，个位上的数字是6，如果把十位上的数字与个位上的数字对换，那么新的两位数比原来的两位数大18， 设十位数字为x，则原两位数10x+6，新两位数为60+x， 根据题意得方程（60+x）﹣（10x+6）＝18， 解得x＝4， 故原两位数为46． 故答案为：46． 2．有一个两位数，个位数字比十位数字小2，如果把这两个数字的位置对换，所得新数与原数的和为154，则原来两位数为 　86　 ． 【解答】解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得， ， 解得， ∴原来的两位数为：10y+x＝10×8+6＝86． 故答案为：86． 例题讲解（年龄问题）： 1．甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 　23　 岁． 【解答】解：设甲现在x岁，乙现在y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：23． 跟踪训练： 1．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是（　　） A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．30岁 【解答】解：甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁， 根据题意得： 解得：， 答：乙现在的年龄是20岁． 故选：C． 2．已知兄弟俩的对话如下：弟弟对哥哥说：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，则哥哥今年的年龄是 　11　 岁．【解答】解：设哥哥今年的年龄是x岁，弟弟今年的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 即哥哥今年的年龄是11岁， 故答案为：11． 例题讲解（幻方问题）： 1．“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个3×3表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则x+y的值为（　　） A．1 B．9 C．5 D．4【解答】解：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等： ∴1+（﹣2）+（﹣5）＝x+0+（﹣5）， 解得：x＝﹣1， ∴y+（﹣2）＝1+（﹣1）， 解得：y＝2， ∴x+y＝﹣1+2＝1． 故选：A． 跟踪训练： 1．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．图2三阶幻方中填写了一些数和字母，则x+y＝（　　） A．﹣3 B．﹣13 C．3 D．13 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴x+y＝﹣5﹣8＝﹣13， 故选：B． 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $