专题19：四边形（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第六章：平面图形 专题19：四边形 （12大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：长方形、正方形的概念及特点 考点02：长方形的周长 考点03：正方形的周长 考点04：长方形的面积 考点05：正方形的面积 考点06：平行四边形的特征和性质 考点07：平行四边形的周长 考点08：平行四边形面积 考点09：梯形的概念及特点 考点10：梯形的周长 考点11：梯形的面积 考点12：画四边形 知识点01：长方形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。 2.特征 ①四个角都是直角。 ②对边平行且相等。 ③对角线互相平分且相等。 3.周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为长方形的长和宽。 4.面积公式：S＝a×b。 知识点02：正方形 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.特征 ①边：四条边都相等，对边平行。 ②角：四个角都是直角，即每个角都为90°。 ③对角线：对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 ④对称性：既是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在直线以及两组对边中点连线所在直线；又是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3.周长公式：C＝4a（其中C表示周长，a表示边长）。 4.面积公式：为S＝a2（其中S表示面积，a表示边长）。 5.与其他图形的关系 ①正方形是特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时就变成了正方形。 ②正方形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时又有自己独特的性质。 知识点03：平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.特征 ①两组对边分别平行且相等； ②两组对角分别相等； ③对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； ④具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3.周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为平行四边形的相邻两边的长。 4.面积公式：S＝a×h，其中a为底边长，h为这条底边对应的高。 知识点04：梯形 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。 2.各部分名称 ①平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； ②不平行的两组对边叫做梯形的腰； ③从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3.特殊梯形 ①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形同一底上的两个底角相等，对角线相等。 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 4.周长公式：C＝a＋b＋c＋d，其中a、b为梯形的上底和下底，c、d为梯形的两腰。 5.面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，其中a、b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高。 知识点05：四边形之间的关系 1.四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2.平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3.长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4.正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点拨】 （1）把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。把平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。 （2）把平行四边形割补成长方形，形状改变，面积不变。 （3）平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍；三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （4）平行四边形的面积是与它等底等高的梯形面积的2倍；梯形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 考点01：长方形、正方形的概念及特点 【典型例题】图形之旅，即刻启程！从一张长12cm，宽9cm的长方形纸板上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长是（ ）cm。 【答案】9 【分析】要从长方形上剪下最大的正方形，正方形四条边长度相等，边长最大不能超过长方形的短边。因此最大正方形的边长等于长方形的宽，即9cm。 【详解】图形之旅，即刻启程！从一张长12cm，宽9cm的长方形纸板上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长是9cm。 【变式训练】将长方形放在一个格子图中，四条边分别都与格子边重合，其中点、的位置可以用数对表示分别是，，下列用数对表示点、正确的是（     ）。 A．点B(6,8)，点D(6,4) B．点B(8,8)，点D(6,4) C．点B(8,4)，点D(4,6) D．点B(8,8)，点D(4,6) 【答案】D 【分析】根据数对规则：数对的第一个数表示列，第二个数表示行。长方形性质：长方形对边平行且相等，所以：点B与点A在同一行（行号相同），与点C在同一列（列号相同）。点D与点A在同一列（列号相同），与点C在同一行（行号相同）。 【详解】已知A（4，8）、C（8，6），则B的列号和C相同为8，行号和A相同为8，即B（8，8）；D的列号和A相同为4，行号和C相同为6，即D（4，6）。 考点02：长方形的周长 【典型例题】一个长方形长与宽的比是5∶3，周长是64厘米，那么这个长方形的长是（ ）厘米。 【答案】20 【分析】用长方形周长÷2，求出长与宽的和；再用长与宽的和÷总份数，求出1份是多少，进而求出长。 【详解】（64÷2）÷（5＋3）×5 ＝32÷8×5 ＝4×5 ＝20（厘米） 【变式训练】一个长方形的操场长100米，宽50米，小强沿着操场边缘跑了3圈，他跑的总路程是（     ）米。 A．300 B．600 C．900 D．1200 【答案】C 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形操场的周长×跑的圈数＝总路程。 【详解】（100＋50）×2×3 ＝150×2×3 ＝300×3 ＝900（米） 他跑的总路程是900米。 考点03：正方形的周长 【典型例题】将一张边长为24厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，每个小正方形纸片的周长和面积分别是多少？ 【答案】每个小正方形周长48厘米，面积144平方厘米 【分析】把一个边长24厘米的大正方形剪成4个完全一样的小正方形，说明是上下左右平均分：大正方形的每条边都被平均分成2份，先求出小正方形的边长，再用公式算周长和面积。 【详解】24÷2＝12（厘米） 周长：12×4＝48（厘米） 面积：12×12＝144（平方厘米） 答：每个小正方形周长48厘米，面积144平方厘米。 【变式训练】一张正方形书桌的桌面周长是48分米，桌面的边长是（ ）分米；两张这样的书桌拼在一起，拼成的桌面的周长是（ ）分米。 【答案】 12 72 【分析】正方形的边长＝周长÷4；拼成书桌的周长＝一张正方形书桌的周长×书桌的数量－重叠的边数×边长。 【详解】桌面的边长：48÷4＝12（分米） 拼成的桌面的周长： 48×2－12×2 =96－24 =72（分米） 考点04：长方形的面积 【典型例题】有一块长方形苗圃，长300米，宽200米，平均每公顷地栽树苗1400棵，该苗圃一共能栽多少棵树苗？ 【答案】8400棵 【分析】根据长方形面积＝长×宽，计算出长方形苗圃的面积。根据1公顷＝10000平方米，进行单位换算。已知平均每公顷地栽树苗1400棵，用乘法即可计算出该苗圃一共能栽多少棵树苗。 【详解】300×200＝60000（平方米） 60000平方米＝6公顷 1400×6＝8400（棵） 答：该苗圃一共能栽8400棵树苗。 【变式训练】梦想商场要给一个长8米、宽5米的长方形仓库地面铺地砖，每块地砖的面积是20平方分米，至少需要（ ）块地砖，若每块地砖售价15元，买这些地砖一共需要（ ）元。 【答案】 200 3000 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形房间的面积，再除以每块地砖的面积，求出需要的地砖的块数，再乘每块地砖的价格即可解答，注意单位的转换。 【详解】8×5＝40（平方米） 40平方米＝4000平方分米 4000÷20＝200（块） 200×15＝3000（元） 考点05：正方形的面积 【典型例题】如果把一个正方形按n∶1放大，那么放大后与放大前的正方形的面积比是（     ）。 A．n2∶1 B．1∶n2 C．1∶n D．n∶1 【答案】A 【分析】把一个正方形按n∶1的比放大，则边长扩大到原来的n倍。正方形的面积＝边长×边长，则正方形的面积扩大到原来的（n×n）倍，据此解答。 【详解】假设原正方形的边长为2，面积为2×2＝4，把正方形按n∶1放大后边长为2n，面积为2n×2n＝4n2，放大后正方形与放大前正方形的面积比为：4n2∶4＝n2∶1 【变式训练】AI图形识别模块正在分析一幅正方形图案，下图中大正方形的边长是40厘米，涂色部分是模块重点识别的特征区域，这个区域的面积是（     ）平方厘米。 A．200 B．400 C．800 【答案】B 【分析】→→ 如图，利用割补法，将四个蓝色三角形按上面的顺序拼接为一个小正方形，这个小正方形的边长正好是大正方形边长的一半，即用40厘米除以2求出小正方形的边长。最后利用正方形的面积＝边长×边长进行计算。 【详解】40÷2=20（厘米） 20×20=400（平方厘米） 这个区域的面积是400平方厘米。 考点06：平行四边形的特征和性质 【典型例题】下面图（     ）没有利用平行四边形容易变形的特点。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行四边形容易变形的特点被用于需要伸缩、折叠的结构，而停车位只是利用了平行四边形的形状，没有变形的设计。 【详解】平行四边形具有容易变形（不稳定性）的特点，常用于伸缩门、衣架、升降机等活动结构。 图 D（停车位）没有利用平行四边形容易变形的特点。 故答案为：D 【变式训练】将两张长是8cm，宽是2cm的长方形纸交叉摆放（如图），重叠部分是（ ）形，重叠部分的高是（ ）cm。 【答案】 平行四边 2 【分析】根据题意，重叠部分是由两个长方形的对边围成的，长方形对边平行，重叠部分有两组对边互相平行，两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形；重叠部分的平行四边形的高是长方形的宽。 【详解】根据分析：将两张长是8cm，宽是2cm的长方形纸交叉摆放（如图），重叠部分是平行四边形，重叠部分的高是2cm。 考点07：平行四边形的周长 【典型例题】把一个长8厘米、宽4厘米的长方形框架拉成一个高2厘米的平行四边形框架，这个平行四边形框架的周长是（ ）厘米。 【答案】24 【分析】将长方形拉成平行四边形其周长不变，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数值计算即可求出平行四边形的周长。 【详解】（8+4）×2 =12×2 =24（厘米） 这个平行四边形框架的周长是24厘米。 【变式训练】如图，王大爷用篱笆靠墙围了甲、乙两个花圃，围这两个花圃分别需要篱笆的长度相比，（     ）。 A．甲需要的更长 B．乙需要的更长 C．直角梯形 D．长方形 【答案】B 【分析】甲是长方形，长50米、宽26米，短边靠墙，篱笆长度等于两条长加一条宽； 乙是平行四边形，底50米、高26米，斜边靠墙，篱笆长度等于底加上两条斜边。 平行四边形斜边长度大于高的26米，所以两条斜边和大于52米。据此分析。 【详解】甲图篱笆长度为两个50米＋1个26米；乙图篱笆长度为两个50米＋1个斜边，斜边一定大于高，因此乙需要的更长。 考点08：平行四边形面积 【典型例题】李爷爷家有一块平行四边形的菜地，底是4.5米，高是1.6米，已知每平方米收青菜6千克，这块菜地一共可以收青菜多少千克？ 【答案】43.2千克 【分析】先根据平行四边形面积＝底×高，求出菜地面积；再用面积乘每平方米收青菜的重量，得到这块菜地收青菜的总重量。 【详解】4.5×1.6×6 ＝7.2×6 ＝43.2（千克） 答：这块菜地一共可以收青菜43.2千克。 【变式训练】校园“航天科普”展板是一个三角形，底是4.2cm，高是5cm，面积是（ ）cm2，与它等底等高的平行四边形展板面积是（ ）cm2。 【答案】 10.5 21 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高 【详解】4.2×5÷2 =21÷2 =10.5（cm2） 4.2×5=21（cm2） 考点09：梯形的概念及特点 【典型例题】一个梯形上底是3厘米，下底是5厘米，如果将它的上底延长（ ）厘米，下底不变，则变成一个平行四边形；如果将它的上底缩短3厘米，下底不变，则变成一个（ ）形。 【答案】 2 三角 【分析】本题考查梯形、平行四边形和三角形的特征。平行四边形的两组对边分别平行且相等，因此要使梯形变成平行四边形，上底需延长至与下底相等；当梯形的上底缩短为0时，图形转化为三角形。 【详解】平行四边形的两组对边分别平行且相等。已知梯形下底是5厘米，要变成平行四边形，上底也必须是5厘米。需要延长的长度：5－3＝2（厘米） 已知梯形上底是3厘米，如果缩短3厘米，则上底长度变为：3－3＝0（厘米） 当梯形的上底缩短为一个点时，四边形就变成了三角形。 【变式训练】如下图，已知一个直角梯形的上、下底分别是3厘米和5厘米，高是4厘米。把两个这样的直角梯形拼成一个长方形，这个长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】32 【分析】如下图拼成一个长方形，这个长方形的长为3＋5＝8（厘米），宽为4厘米，长方形面积＝长×宽，代入数字计算面积即可。 【详解】3＋5＝8（厘米） 8×4＝32（平方厘米） 这个长方形的面积是32平方厘米。 考点10：梯形的周长 【典型例题】一个等腰梯形的上底是10厘米，一条腰长6厘米，如果将上底延长5厘米，就变成一个平行四边形，这个梯形的下底是（ ）厘米，围成这个梯形至少需要（ ）厘米长的绳子。 【答案】 15 37 【分析】题干中指出将上底延长厘米后变成平行四边形，说明延长后的上底长度与下底长度相等。因此，下底长度等于原上底长度加上延长的长度。 确定周长：围成梯形所需绳子的长度即为梯形的周长。等腰梯形的两条腰长度相等。周长等于上底、下底和两条腰的长度之和。 【详解】10+5=15（厘米） 10+15+6×2 =10+15+12 =25+12 =37（厘米） 这个梯形的下底是厘米，围成这个梯形至少需要厘米长的绳子。 【变式训练】一个等腰梯形的上底长4.32厘米，下底长8.5厘米，它的周长是20厘米。它的腰长是多少厘米？ 【答案】3.59厘米 【分析】梯形的周长是指四条边长度的总和；等腰梯形的特征是两条腰的长度相等；根据题意，已知周长、上底和下底的长度，要求腰长，可以先用周长减去上底和下底的长度，求出两条腰的总长度，再除以2即可得到一条腰的长度；计算过程中需注意小数加减法和除法的运算规则。 【详解】（20－4.32－8.5）÷2 =（15.68－8.5）÷2 =7.18÷2 =3.59（厘米） 答：它的腰长是3.59厘米。 考点11：梯形的面积 【典型例题】一个梯形，如果上底增加4厘米，就变成了一个平行四边形，此时面积比原来梯形增加了12平方厘米；如果上底减少2厘米，就变成了一个三角形。原来这个梯形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】24 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，把一个梯形的上底减少2厘米，就变成三角形，可知：梯形的上底是2厘米，如果上底增加4厘米，就变成了一个平行四边形，则梯形的下底比上底多4厘米，此时面积增加的是一个底是4厘米，高等于梯形的高的三角形的面积，三角形的高＝面积×2÷底，据此求出梯形的高；最后根据梯形的面积公式求出原来梯形的面积。 【详解】4＋2＝6（厘米） 12×2÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） （2＋6）×6÷2 ＝8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 原来这个梯形的面积是24平方厘米。 【变式训练】春节期间，光明社区张叔叔把橙子堆成一个梯形形状用于装饰，最顶层有4个橙子，最底层有12个橙子，每相邻两层都相差1个橙子。这堆橙子一共有（ ）个。 【答案】72 【分析】把最顶层的数量看作梯形的上底，最底层的数量看作梯形的下底，层数看作梯形的高，先通过“底层数－顶层数＋1”求出层数，再根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可求出橙子总数。 【详解】12－4＋1＝9（层） （4＋12）×9÷2 ＝16×9÷2 ＝144÷2 ＝72（个） 考点12：画四边形 【典型例题】在下面的两条平行线之间分别画一个长方形、三角形、平行四边形和梯形（每个图形的底边或对边和平行线重合），使它们的面积相等。 【答案】图见详解 【分析】在两条平行线之间分别画一个长方形、三角形、平行四边形和梯形，说明长方形的宽和其它图形的高相等。先画一个长是2格的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，由此可知：面积相等，长方形的长＝三角形的底÷2＝平行四边形的底＝梯形的（上底＋下底）÷2， 【详解】由分析可知： 三角形的底：2×2＝4（格） 梯形的（上底＋下底）：2×2＝4（格） （画法不唯一） 【变式训练】下面每个小方格的面积是1cm2。 （1）画出一个周长是24cm的长方形，其长与宽的比是2∶1。 （2）画出一个面积是24cm2的长方形，其长与宽的比是3∶2。 【答案】见详解 【分析】（1）根据长方形周长＝（长＋宽）×2，因此长＋宽＝24÷2＝12（cm），长与宽的比是2∶1，总份数为2＋1＝3份，每份长度：12÷3＝4（cm），则长：4×2＝8（cm），宽：4×1＝4（cm），故在方格纸上，横向画8个方格作为长，纵向画4个方格作为宽，画出长方形即可。 （2）根据长方形面积＝长×宽，因此长×宽＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，当长是6厘米，宽是4厘米时，长宽比是3∶2；故在方格纸上，横向画6个方格作为长，纵向画4个方格作为宽，画出长方形即可。 【详解】作图如下： 一、选择题 1．剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？ 三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（     ）。 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化。 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一。 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变。 A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【答案】D 【分析】正方形的中心到各边的距离相等，且等于边长的一半。设原正方形边长为a，中心到边的距离为a。 当两个正方形边平行时，重叠部分为小正方形，此时重叠部分面积为a×a＝，是原正方形面积的； 不管旋转的角度是多少，从正方形中心点作两边的垂线，通过割补将重叠部分转化为正方形，所以重叠部分面积是原正方形面积的，始终不变。 【详解】根据分析可知： 在旋转过程中，重叠部分的形状会不断变化，但面积不变，小天说法错误； 重叠部分为小正方形，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一，小亮说法正确； 通过割补重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变，始终是这个正方形的四分之一，小丽说法正确。 因此，小亮和小丽的说法都对。 故答案为：D 2．把如图长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（     ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【分析】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形，得到的新长方形的长是50－2＝48（厘米），宽是30厘米，宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是50厘米，宽是30＋5＝35（厘米），宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上面添上一个长56厘米，宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是56厘米，宽是35厘米，宽与长的比是35∶56＝5∶8。 【详解】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形。 长为50－2＝48（厘米），宽为30厘米。 这个长方形的宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形。 长为50厘米，宽为30＋5＝35（厘米）。 这个长方形的宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形。 长为50＋6＝56（厘米），宽为30＋5＝35（厘米）。 这个长方形的宽与长的比是35∶56＝5∶8。 所以（1）（3）是正确的。 故答案为：B 3．一堆圆木，堆成梯形的形状，最上层7根，最下层18根，每相邻两层差一根，这堆圆木共有（     ）根。 A．57 B．50 C．150 D．180 【答案】C 【分析】从题意可知：这堆原木共18－7＋1＝12（层），也就是梯形的高。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】18－7＋1＝12（层） （7＋18）×12÷2 ＝25×12÷2 ＝150（根） 这堆圆木共有150根。 故答案为：C 4．如图，A、B分别是平行四边形两邻边的中点，则阴影部分图形的面积是平行四边形面积的（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平行四边形的底和高均为2，根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形的面积； 由于A、B为对应边的中点，左上角空白三角形底1、高2；右上角空白三角形底1、高1；右下角空白三角形底2、高1；根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出三个空白三角形的面积，再相加，即是空白三角形的面积之和； 用平行四边形的面积减去空白三角形的面积之和，求出阴影部分的面积；然后用阴影部分的面积除以平行四边形的面积，求出阴影部分图形的面积是平行四边形面积的几分之几。 【详解】设平行四边形的底和高都是2。 平行四边形的面积：2×2＝4 空白三角形的面积之和： 1×2÷2＋1×1÷2＋2×1÷2 ＝1＋0.5＋1 ＝2.5 阴影部分的面积：4－2.5＝1.5 1.5÷4＝ 阴影部分图形的面积是平行四边形面积的。 故答案为：C 5．如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是5厘米，下面的图形中阴影部分面积一样大的图形有（     ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】（1）阴影部分是一个平行四边形，面积＝底是（10－5）厘米，高是10厘米的平行四边形面积，据此根据平行四边形面积，求出阴影部分面积。 （2）阴影部分是一个平行四边形，面积＝底是5厘米，高是10厘米的平行四边形面积，据此根据平行四边形面积，求出阴影部分面积。 （3）阴影部分是一个三角形，面积＝底是10厘米，高是10厘米的三角形面积，据此根据三角形面积公式，求出阴影部分面积。 （4）阴影部分是一个梯形，面积＝上底是10厘米，下底是5厘米，高是（10－5）厘米的梯形面积，根据梯形面积公式，求出阴影部分面积。 （5）如图：阴影部分面积＝长是（10＋5）厘米，宽是10厘米的长方形面积－底是10厘米，高是10厘米的三角形面积－底是5厘米，高是（10＋5）厘米的三角形面积－底是5厘米，高是5厘米的三角形面积，根据长方形面积公式和三角形面积公式，求出阴影部分面积。进而解答。 【详解】（1）10×（10－5） ＝10×5 ＝50（平方厘米） （2）5×10＝50（平方厘米） （3）10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） （4）（10＋5）×（10－5）÷2 ＝15×5÷2 ＝75÷2 ＝37.5（平方厘米） （5）（10＋5）×10－10×10÷2－5×（10＋5）÷2－5×5÷2 ＝15×10－10×10÷2－5×15÷2－5×5÷2 ＝150－100÷2－75÷2－25÷2 ＝150－50－37.5－12.5 ＝100－37.5－12.5 ＝62.5－12.5 ＝50（平方厘米） （1）（2）（3）（5）阴影部分面积相等，一共有4个。 大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是5厘米，图形中阴影部分面积一样大的图形有4个。 故答案为：C 6．梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个平行线之间的距离相等，且在梯形ABCD中，即三角形ADE和三角形ABE的高相等，三角形的面积是三角形面积的2倍，则，根据三角形的面积＝底×高×可以得出这两个三角形的底相等，即AD＝4。 EC＝5，则BC＝BE＋EC＝7，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高×，列出方程，得出梯形的高是。则三角形DEC的面积＝EC×高×，代入数据计算即可。 【详解】根据题意假设高为h。 因为， 即 则 因为，则 三角形DEC的面积 故答案为：A 二、填空题 7．如图，平行四边形的高是6cm，它的面积是（ ）cm2。 【答案】30 【分析】根据斜边大于高可知，高是6cm，对应的底是5cm，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，即可解答。 【详解】5×6＝30（平方厘米） 平行四边形的高是6cm，它的面积是30平方厘米。 8．一平行四边形的高是分米，它的底是高的，这个平行四边形的面积是（ ）平方分米。 【答案】/0.3125 【分析】把平行四边形的高看作单位“1”，它的底是高的，单位“1”已知，用高乘，求出平行四边形的底；根据平行四边形的面积＝底×高，求出它的面积。 【详解】底：（分米） 面积：（平方分米） 这个平行四边形的面积是平方分米。 9．一张长方形纸，长是8分米，宽是5分米，剪去一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是（ ）分米。 【答案】16 【分析】原长方形长8分米、宽5分米，剪去最大正方形的边长为5分米（等于原长方形的宽），则剩下小长方形的长为5分米，宽为（8－5）分米。根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算出小长方形的周长。 【详解】8－5＝3（分米） （5＋3）×2 ＝8×2 ＝16（分米） 10．一个长为66厘米，宽为22厘米的长方形纸片上，剪下一个最大的正方形，剩下的长方形的周长是（ ）厘米。 【答案】132 【分析】长方形上剪下的最大正方形的边长等于宽，一个长为66厘米，宽为22厘米的长方形纸片上，剪下的最大正方形的边长为22厘米，剩下图形的长为66－22＝44（厘米），宽为22厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算即可解答。 【详解】（66－22＋22）×2 ＝66×2 ＝132（厘米） 所以，剩下的长方形的周长是132厘米。 11．如下图是由16个大小相等的小正方形组成的大正方形，大正方形的周长是32cm，涂色部分的面积是（ ）。 【答案】40 【分析】正方形周长＝边长×4，用32÷4，求出大正方形的边长；再用大正方形边长÷4，求出小正方形边长；涂色部分面积＝大正方形面积－4个底等于小正方形的边长，高等于3个小正方形边长的和的三角形面积，根据正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】大正方形边长：32÷4＝8（cm） 小正方形边长：8÷4＝2（cm） 8×8－2×（2×3）÷2×4 ＝8×8－2×6÷2×4 ＝64－12÷2×4 ＝64－6×4 ＝64－24 ＝40（cm2） 涂色部分的面积是40cm2。 12．奇思把一张长方形纸折叠成如图所示的梯形（单位：cm），这个梯形的高是（ ）cm，这张长方形纸的面积是（ ）cm2。 【答案】 10 300 【分析】由图可知，梯形复原成长方形后，长方形的长（即梯形的下底）是（18＋6＋6）cm，宽（梯形的高）是10cm，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入计算即可。 【详解】18＋6＋6＝30（cm） 30×10＝300（cm2） 所以这个梯形的高是10cm，这张长方形纸的面积是300cm2。 13．如图，用两个长方形纸片和一个正方形的纸片拼成大正方形，如果长方形的纸片面积分别为22平方厘米和18平方厘米，那么原小正方形的面积为（ ）平方厘米。 【答案】81 【分析】如图：阴影小正方形的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积差，列式为：22－18＝4（平方厘米），据此求出阴影小正方形的边长，即小长方形的宽，用小长方形的面积除以小长方形的宽就是小长方形的长，即原小正方形的边长，根据正方形的面积＝边长×边长解答即可。 【详解】如图： 22－18＝4（平方厘米） 因为2×2＝4，所以阴影小正方形的边长是2厘米； 18÷2＝9（厘米） 9×9＝81（平方厘米） 所以原小正方形的面积为81平方厘米。 14．一个房间的地面长56分米，宽48分米。如果用正方形的地砖铺设（地砖刚好铺满且不切割），那么可以选用边长最大是（ ）分米的地砖，至少需要（ ）块这样的地砖。 【答案】 8 42 【分析】要使正方形地砖刚好铺满房间且不切割，地砖的边长必须是房间地面长和宽的公因数；而“边长最大”的要求，对应的就是长和宽的最大公因数。 房间地面长56分米，宽48分米，利用分解质因数法：56＝2×2×2×7，48＝2×2×2×2×3根据最大公因数的定义，取公有的质因数并相乘，56和48公有的质因数是3个2，最大公因数为2×2×2＝8。即可以选用的最大地砖边长是8分米。 地砖为正方形，边长8分米，因此单块地砖面积＝边长×边长，即8×8＝64（平方分米）。房间地面为长方形，地面总面积＝长×宽，56×48＝2688（平方分米）。所需地砖数量＝地面总面积÷单块地砖面积，代入计算即可。 【详解】56＝2×2×2×7 48＝2×2×2×2×3 2×2×2＝8（分米） 8×8＝64（平方分米） 56×48＝2688（平方分米） 2688÷64＝42（块） 可以选用边长最大是8分米的地砖，至少需要42块这样的地砖。 15．如图，大小两个正方形中涂色部分的面积比是，则大小两个正方形的边长比是（ ）∶（ ），面积比是（ ）∶（ ）。 【答案】 3 2 9 4 【分析】大小两个正方形中涂色部分的面积比是3∶2，假设左边三角形面积是3，则右边三角形面积是2，则小正方形的面积是2×2＝4，边长是2；由图可知两个三角形的高相等，都是小正方形的边长2，根据“三角形面积＝底×高÷2”可得“三角形的底＝面积×2÷高”，分别计算出两个三角形的底，分别就是两个正方形的边长，然后写出对应的比；根据“正方形的面积＝边长×边长”分别计算出两个正方形的面积，同样写出对应的比。 【详解】3×2÷2 ＝6÷2 ＝3 2×2÷2 ＝4÷2 ＝2 所以大小两个正方形的边长比是3∶2。 3×3＝9 2×2＝4 所以大小两个正方形的面积比是9∶4。 16．奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是（ ）cm。 【答案】3.6// 【分析】图形剪拼过程中，面积不变，底也不变，即三角形底和平行四边形的底相等，面积相等，平行四边形高＝面积÷底。 【详解】平行四边形面积＝三角形面积＝21.6cm²，平行四边形底＝三角形的底＝6cm，则平行四边形高为： 21.6÷6＝3.6（cm） 17．中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如图所示。这块“腰铁”截面的面积是（ ）平方厘米。 【答案】245 【分析】观察可知，“腰铁”的截面是由两个完全一样的梯形组成。梯形的上底是6厘米、下底是8厘米、高是35÷2＝17.5厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出1个梯形的面积，再乘2即可求出“腰铁”截面的面积。 【详解】35÷2＝17.5（厘米） （6＋8）×17.5÷2×2 ＝14×17.5 ＝245（平方厘米） 所以这块“腰铁”截面的面积是245平方厘米。 18．如图，一张梯形彩纸的面积是40cm2，它的高是（ ）cm，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）cm2。 【答案】 5 22.5 【分析】根据梯形的高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据即可求出梯形的高；梯形中剪下最大的三角形，三角形的底＝梯形的下底，三角形的高＝梯形的高，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详解】40×2÷（7＋9） ＝80÷16 ＝5（cm） 9×5÷2＝22.5（cm2） 它的高是5cm，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是22.5cm2。 19．下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是（ ）。 【答案】9∶8 【分析】 如图，连接小正方形的对角线，等腰直角三角形1、2的面积都是小正方形乙的，等腰直角三角形5的面积是正方形乙的，可以求出正方形乙占大三角形的比例；等腰直角三角形3、4的面积都是小正方形甲的，可以求出正方形甲占大三角形的比例。两个大三角形的面积相等，那么正方形甲和正方形乙的面积比即可求出。 【详解】若设正方形乙的面积为1，则大三角形的面积是：1＋＋＋＝，正方形乙占大三角形的比例为：1÷＝；因为小三角形3、4的面积和等于正方形甲的面积，所以正方形甲占大三角形的比例是；那么正方形甲和正方形乙的面积比为：∶＝（×18）∶（×18）＝9∶8。 20．《周髀算经》中有一种特殊的“图”（如图），它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2，小正方形的面积是大正方形面积的（ ）%。 【答案】20 【分析】根据题意，设直角三角形短的直角边是1，长的直角边是2，直角三角形的面积＝底×高÷2，即1×2÷2，则小正方形的边长为：2－1＝1，小正方形的面积＝1×1＝1，大正方形的面积＝直角三角形的面积×4＋小正方形的面积，据此求出大正方形的面积，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可。 【详解】设直角三角形短的直角边是1，长的直角边是2。 小正方形的面积为：1×1＝1 大正方形的面积：1×2÷2×4＋1 ＝2÷2×4＋1 ＝1×4＋1 ＝5 1÷5×100% ＝0.2×100% ＝20% 因此，《周髀算经》中有一种特殊的“图”（如图），它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2，小正方形的面积是大正方形面积的20%。 21．如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（ ）cm2。 【答案】104 【分析】根据题意可知，这个直角梯形的上底是（16－6）cm，下底是16cm，高是8cm，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，把数据代入公式解答。 【详解】（16－6＋16）×8÷2 ＝26×8÷2 ＝104（平方厘米） 因此，这个梯形的面积是104cm2。 22．如图ABCD是一个梯形，AE＝ED，F是ED的中点。则阴影部分与空白部分的面积比是（ ）∶（ ）。 【答案】 1 5 【分析】如图所示，分别取AE、BC的中点G、H，分别连接CG，AC，AH，因为F是ED的中点，所以三角形CFD的面积等于三角形CEF的面积，三角形CEF的面积等于三角形CEG的面积，也就是梯形ABCD被分成6个面积相等的三角形；其中阴影部分的面积有1份，空白部分的面积有5份，据此得到阴影部分与空白部分的面积比。 【详解】根据分析可知：梯形ABCD被分成6个面积相等的三角形，阴影部分的面积有1份，空白部分的面积有5份。 因此阴影部分与空白部分的面积比是1∶5。 23．图中，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是（ ）cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是（ ）。 【答案】 10 5∶1 【分析】平行四边形的面积公式为：面积＝底×高，则高＝面积÷底，已知平行四边形ABCD的面积是40cm2，底AD为8cm，那么高为40÷8＝5cm。这个高也是阴影三角形和梯形ABED的高。 阴影部分是一个三角形，底为4cm，高为5cm。三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，所以阴影部分面积为：4×5÷2＝10cm2。 梯形的面积是平行四边形的面积加上阴影部分面积，即40＋10＝50cm2。阴影部分面积是10cm2，所以它们的面积比为50∶10，最后化简即可。 【详解】40÷8＝5（cm） 5×4÷2＝10（cm2） 40＋10＝50（cm2） 梯形面积∶阴影部分面积＝50∶10 50∶10 ＝（50÷10）∶（10÷10） ＝5∶1 图中阴影部分的面积是10cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是5∶1。 24．大正方形中的阴影部分是小正方形（如图），小正方形的面积是（ ）cm2。 【答案】16 【分析】从图中可知，面积为120cm2的梯形的上底等于小正方形的边长，梯形的高等于大正方形的边长减小正方形的边长；根据“（上底＋下底）×高÷2＝梯形的面积”列出方程，并求解。 【详解】解：设小正方形的边长是xcm。 （x＋16）×（16－x）÷2＝120 （x＋16）×（16－x）＝120×2 （x＋16）×（16－x）＝240 因为20×12＝240 即（4＋16）×（16－4）＝240 所以x＝4 4×4＝16（cm2） 小正方形的面积是16cm2。 25．如图长方形ABCD中，AB＝20厘米，AD＝6厘米。有一个点P沿着AB边从点A向点B移动。 ①当点P运动到点E时，∠A的度数是∠1的2倍，那么AE＝（ ）厘米。 ②当点P运动到F点时，形成的△FAD的面积是24平方厘米。则AF＝（ ）cm。 ③当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则梯形BCDG的面积是（ ）cm2。 【答案】 6 8 75 【分析】①当点P运动到点E时，根据题意可知，∠A＝90°，则∠1＝90°÷2＝45°；三角形AED为等腰三角形，据此求出AE的长度。 ②当点P运动到F点时；根据三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，三角形AFD中，底是AF，高是AD，据此求出AF的长度。 ③当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则AG占AB的，用AB的长度×，即可求出AG的长度，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【详解】①当点P运动到点E时，∠A＝90°。 ∠1＝90°÷2＝45° 三角形AED为当等腰三角形，AD＝AE＝6厘米。 当点P运动到点E时，∠A的度数是∠1的2倍，那么AE＝6厘米。 ②24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（厘米） 当点P运动到F点时，形成的△FAD的面积是24平方厘米。则AF＝8厘米； ③20× ＝20× ＝15（厘米） （20－15＋20）×6÷2 ＝（5＋20）×6÷2 ＝25×6÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则梯形BCDG的面积是75平方厘米。 三、计算题 26．计算图中阴影部分的面积。（单位：米）   【答案】84平方米 【分析】观察图形，图中的空白部分是十字形道路，我们可以把横向和纵向的空白道路分别平移到边缘，这样阴影部分就可以拼成一个新的长方形；原来长方形的长是16米，由于纵向道路宽2米，平移后新长方形的长为16－2＝14米，原来长方形的宽是8米，由于横向道路宽2米，平移后新长方形的宽为8－2＝6米；最后根据“长方形面积＝长×宽” 计算出阴影部分的面积。 【详解】（16－2）×（8－2） ＝14×6 ＝84（平方米） 所以阴影部分的面积是84平方米。 27．两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 【答案】32 【分析】先将原图拼在一起的两个正方形补全成一个大长方形，如下图： 求阴影部分的面积就是用大长方形的面积减去①②③的3个空白三角形面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】大长方形的面积： 三角形①的面积： 三角形②的面积： 三角形③的面积： 阴影部分的面积： 阴影部分的面积32。 28．如图，是一个平行四边形，面积是50平方厘米，求阴影部分的面积。 【答案】10平方厘米 【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么a＝S÷h，据此求出平行四边形的底； 阴影部分三角形的底等于平行四边形的底减去6厘米，三角形的高等于平行四边形的高，再根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答。 【详解】50÷5＝10（厘米） （10－6）×5÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10（平方厘米） 答：阴影部分的面积是10平方厘米。 29．计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】37.8平方厘米 【分析】由图可知，阴影部分是一个梯形，先求出梯形的上底，再根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】（9－5.4＋9）×6÷2 ＝（3.6＋9）×6÷2 ＝12.6×6÷2 ＝75.6÷2 ＝37.8（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是37.8平方厘米。 四、作图题 30．下面正方形格的边长表示1厘米。 （1）画出按放大后的图形。 （2）先填空，再画出旋转后的图形。绕O点按（     ）方向旋转（     ）后，能与拼成一个长方形。 （3）如果、点不动，点移动到（ ）时，会变成一个等腰三角形。 （4）梯形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）逆；90；画图见详解 （3）（1，9） （4）14 【分析】（1）图形放大：按2∶1放大即各对应边长变为原来的2倍，形状不变。所有点坐标可通过网格直接读取。 （2）图形旋转：绕定点旋转时，旋转中心到各顶点距离不变，旋转角度决定图形位置；长方形的判定：四个角为直角且对边平行相等。观察△OAB与△OCD的位置关系，通过直角特征判断旋转方向与角度。 （3）等腰三角形判定：两边相等的三角形是等腰三角形。 （4）梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。直接读取梯形EFGH的上底、下底和高的格数，代入梯形面积公式计算即可。 【详解】（1）从图中可知，先确定△OAB各顶点坐标，点O（4，7）；点A（7，7）；点B（7，9），按2∶1放大，各顶点横、纵坐标与O点的差值乘2，即各对应边长变为原来的2倍： 新A点（10，7），新B点（10，11）。 在网格中连接O（4，7）、新A（10，7）、新B（10，11），即为放大后的三角形。如下图： （2）△OAB绕O点逆时针旋转90°后，OB与OC重合，AB与OD、OA与CD平行且相等，即可与△OCD 拼成一个长方形。 逆时针90°后点位的变化：A（7，7）→（4，10），B（7，9）→（2，10），连接O（4，7）、（4，10）、（2，10）。作图如下： （3）点（1，9）到O的长度等于OB的长度，满足OA＝OB，△OAB就是等腰三角形。 因此，如果、点不动，点移动到（1，9）时，会变成一个等腰三角形。（答案不唯一） （4）（3＋4）×4÷2 ＝7×4÷2 ＝28÷2 ＝14（平方厘米） 所以，梯形的面积是14平方厘米。 五、解答题 31．在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【答案】1400平方米 【分析】由图可知：长方形的长是60米，宽是40米，根据长方形面积＝长×宽，求出种植区的总面积，即A、B两种蔬菜的面积和；又已知A的面积比B多400平方米，即两者的面积差，根据和差问题中求大数的公式：大数＝（和＋差）÷2，即A的面积＝（和＋差）÷2，代入数值，即可求出A蔬菜的种植面积。 【详解】60×40＝2400（平方米） （2400＋400）÷2 ＝2800÷2 ＝1400（平方米） 答：A蔬菜种植了1400平方米。 32．一根长420厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的5倍。这个长方形的长是多少厘米？ 【答案】175厘米 【分析】根据题意，可以设宽为x厘米，长是宽的5倍，则长可以表示为5x厘米，由长方形周长＝（长＋宽）×2，可列方程：长＋宽＝周长÷2据此分别求出该长方形的长和宽。 【详解】解：设宽为x厘米，则长为5x厘米。 （x＋5x）×2＝420 （x＋5x）×2÷2＝420÷2 6x＝210 6x÷6＝210÷6 x＝35 35×5＝175（厘米） 答：这个长方形的长是175厘米。 33．将下面的长方形框架拉成平行四边形，面积（     ）（填“变大”“变小”或“不变”），请说明判断理由（可用语言表述、画图……等方式）。 【答案】变小；理由见详解 【分析】长方形的面积＝长×宽；平行四边形的面积＝底×高。把长方形框架拉成平行四边形，底的长度不变，相当于平行四边形的底不变；而平行四边形的高相比长方形的宽变短了。由公式可知，底不变，高变短，面积就会变小。据此解答。 【详解】长方形框架拉成平行四边形，面积变小。 理由：长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高。把长方形框架拉成平行四边形，长方形的长的长度不变，相当于平行四边形的底不变；而平行四边形的高相比长方形的宽变短了，那么由公式可知，底不变，高比宽短，平行四边形的面积就比长方形的面积小，所以长方形框架拉成平行四边形，面积变小（图示如下）。 34．如图是汪伯伯以1∶3000的比例尺绘制的果园平面图。如果每2.5平方米种一棵果树，最多可栽多少棵？ 【答案】4006棵 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，算出平行四边形的实际的底和高，根据平行四边形面积＝底×高，代入数据，求出面积，最后除以2.5即可。 【详解】5.3÷ ＝5.3×3000 ＝15900（厘米） 15900厘米＝159米 2.1÷ ＝21×3000 ＝6300（厘米） 6300厘米＝63米 159×63÷2.5 ＝10017÷2.5 ≈4006（棵） 答：最多可栽4006棵。 35．如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】23平方厘米 【分析】设梯形上底为2、下底对应为3，通过△AOD和△BOC的面积，再代入梯形面积公式算出梯形总面积为45，最后用梯形面积减去已知两个三角形的面积，得到阴影部分面积为23平方厘米。 【详解】设梯形上底为2、下底为3，由已知三角形面积得： 梯形面积：（2＋3）×（）÷2 ＝45（平方厘米） 阴影面积：45－10－12＝23（平方厘米） 答：阴影部分的面积是23平方厘米。 36．如图，小正方形的边长是4厘米，大正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。 【答案】40平方厘米 【分析】已知小正方形的边长是4厘米，大正方形的边长是10厘米，根据“三角形面积＝底×高÷2”计算出下面两个空白三角形的面积，也就是小正方形面积的一半和大正方形面积的一半；将小正方形的边长和大正方形的边长相加就是梯形的高，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积；最后阴影部分的面积＝梯形的面积－小正方形面积的一半－大正方形面积的一半，据此求解即可。 【详解】（4＋10）×（4＋10）÷2 ＝14×14÷2 ＝196÷2 ＝98（平方厘米） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） 98－8－50 ＝90－50 ＝40（平方厘米） 答：阴影部分的面积是40平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章：平面图形 专题19：四边形 （12大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：长方形、正方形的概念及特点 考点02：长方形的周长 考点03：正方形的周长 考点04：长方形的面积 考点05：正方形的面积 考点06：平行四边形的特征和性质 考点07：平行四边形的周长 考点08：平行四边形面积 考点09：梯形的概念及特点 考点10：梯形的周长 考点11：梯形的面积 考点12：画四边形 知识点01：长方形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。 2.特征 ①四个角都是直角。 ②对边平行且相等。 ③对角线互相平分且相等。 3.周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为长方形的长和宽。 4.面积公式：S＝a×b。 知识点02：正方形 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.特征 ①边：四条边都相等，对边平行。 ②角：四个角都是直角，即每个角都为90°。 ③对角线：对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 ④对称性：既是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在直线以及两组对边中点连线所在直线；又是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3.周长公式：C＝4a（其中C表示周长，a表示边长）。 4.面积公式：为S＝a2（其中S表示面积，a表示边长）。 5.与其他图形的关系 ①正方形是特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时就变成了正方形。 ②正方形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时又有自己独特的性质。 知识点03：平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.特征 ①两组对边分别平行且相等； ②两组对角分别相等； ③对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； ④具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3.周长公式：C＝2×（a＋b），其中a、b分别为平行四边形的相邻两边的长。 4.面积公式：S＝a×h，其中a为底边长，h为这条底边对应的高。 知识点04：梯形 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。 2.各部分名称 ①平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； ②不平行的两组对边叫做梯形的腰； ③从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3.特殊梯形 ①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形同一底上的两个底角相等，对角线相等。 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 4.周长公式：C＝a＋b＋c＋d，其中a、b为梯形的上底和下底，c、d为梯形的两腰。 5.面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，其中a、b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高。 知识点05：四边形之间的关系 1.四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2.平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3.长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4.正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点拨】 （1）把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。把平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。 （2）把平行四边形割补成长方形，形状改变，面积不变。 （3）平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍；三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 （4）平行四边形的面积是与它等底等高的梯形面积的2倍；梯形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 考点01：长方形、正方形的概念及特点 【典型例题】图形之旅，即刻启程！从一张长12cm，宽9cm的长方形纸板上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长是（ ）cm。 【变式训练】将长方形放在一个格子图中，四条边分别都与格子边重合，其中点、的位置可以用数对表示分别是，，下列用数对表示点、正确的是（     ）。 A．点B(6,8)，点D(6,4) B．点B(8,8)，点D(6,4) C．点B(8,4)，点D(4,6) D．点B(8,8)，点D(4,6) 考点02：长方形的周长 【典型例题】一个长方形长与宽的比是5∶3，周长是64厘米，那么这个长方形的长是（ ）厘米。 【变式训练】一个长方形的操场长100米，宽50米，小强沿着操场边缘跑了3圈，他跑的总路程是（     ）米。 A．300 B．600 C．900 D．1200 考点03：正方形的周长 【典型例题】将一张边长为24厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，每个小正方形纸片的周长和面积分别是多少？ 【变式训练】一张正方形书桌的桌面周长是48分米，桌面的边长是（ ）分米；两张这样的书桌拼在一起，拼成的桌面的周长是（ ）分米。 考点04：长方形的面积 【典型例题】有一块长方形苗圃，长300米，宽200米，平均每公顷地栽树苗1400棵，该苗圃一共能栽多少棵树苗？ 【变式训练】梦想商场要给一个长8米、宽5米的长方形仓库地面铺地砖，每块地砖的面积是20平方分米，至少需要（ ）块地砖，若每块地砖售价15元，买这些地砖一共需要（ ）元。 考点05：正方形的面积 【典型例题】如果把一个正方形按n∶1放大，那么放大后与放大前的正方形的面积比是（     ）。 A．n2∶1 B．1∶n2 C．1∶n D．n∶1 【变式训练】AI图形识别模块正在分析一幅正方形图案，下图中大正方形的边长是40厘米，涂色部分是模块重点识别的特征区域，这个区域的面积是（     ）平方厘米。 A．200 B．400 C．800 考点06：平行四边形的特征和性质 【典型例题】下面图（     ）没有利用平行四边形容易变形的特点。 A． B． C． D． 【变式训练】将两张长是8cm，宽是2cm的长方形纸交叉摆放（如图），重叠部分是（ ）形，重叠部分的高是（ ）cm。 考点07：平行四边形的周长 【典型例题】把一个长8厘米、宽4厘米的长方形框架拉成一个高2厘米的平行四边形框架，这个平行四边形框架的周长是（ ）厘米。 【变式训练】如图，王大爷用篱笆靠墙围了甲、乙两个花圃，围这两个花圃分别需要篱笆的长度相比，（     ）。 A．甲需要的更长 B．乙需要的更长 C．直角梯形 D．长方形 考点08：平行四边形面积 【典型例题】李爷爷家有一块平行四边形的菜地，底是4.5米，高是1.6米，已知每平方米收青菜6千克，这块菜地一共可以收青菜多少千克？ 【变式训练】校园“航天科普”展板是一个三角形，底是4.2cm，高是5cm，面积是（ ）cm2，与它等底等高的平行四边形展板面积是（ ）cm2。 考点09：梯形的概念及特点 【典型例题】一个梯形上底是3厘米，下底是5厘米，如果将它的上底延长（ ）厘米，下底不变，则变成一个平行四边形；如果将它的上底缩短3厘米，下底不变，则变成一个（ ）形。 【变式训练】如下图，已知一个直角梯形的上、下底分别是3厘米和5厘米，高是4厘米。把两个这样的直角梯形拼成一个长方形，这个长方形的面积是（ ）平方厘米。 考点10：梯形的周长 【典型例题】一个等腰梯形的上底是10厘米，一条腰长6厘米，如果将上底延长5厘米，就变成一个平行四边形，这个梯形的下底是（ ）厘米，围成这个梯形至少需要（ ）厘米长的绳子。 【变式训练】一个等腰梯形的上底长4.32厘米，下底长8.5厘米，它的周长是20厘米。它的腰长是多少厘米？ 考点11：梯形的面积 【典型例题】一个梯形，如果上底增加4厘米，就变成了一个平行四边形，此时面积比原来梯形增加了12平方厘米；如果上底减少2厘米，就变成了一个三角形。原来这个梯形的面积是（ ）平方厘米。 【变式训练】春节期间，光明社区张叔叔把橙子堆成一个梯形形状用于装饰，最顶层有4个橙子，最底层有12个橙子，每相邻两层都相差1个橙子。这堆橙子一共有（ ）个。 考点12：画四边形 【典型例题】在下面的两条平行线之间分别画一个长方形、三角形、平行四边形和梯形（每个图形的底边或对边和平行线重合），使它们的面积相等。 【变式训练】下面每个小方格的面积是1cm2。 （1）画出一个周长是24cm的长方形，其长与宽的比是2∶1。 （2）画出一个面积是24cm2的长方形，其长与宽的比是3∶2。 一、选择题 1．剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？ 三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（     ）。 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化。 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一。 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变。 A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 2．把如图长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（     ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 3．一堆圆木，堆成梯形的形状，最上层7根，最下层18根，每相邻两层差一根，这堆圆木共有（     ）根。 A．57 B．50 C．150 D．180 4．如图，A、B分别是平行四边形两邻边的中点，则阴影部分图形的面积是平行四边形面积的（     ）。 A． B． C． D． 5．如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是5厘米，下面的图形中阴影部分面积一样大的图形有（     ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（     ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，平行四边形的高是6cm，它的面积是（ ）cm2。 8．一平行四边形的高是分米，它的底是高的，这个平行四边形的面积是（ ）平方分米。 9．一张长方形纸，长是8分米，宽是5分米，剪去一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是（ ）分米。 10．一个长为66厘米，宽为22厘米的长方形纸片上，剪下一个最大的正方形，剩下的长方形的周长是（ ）厘米。 11．如下图是由16个大小相等的小正方形组成的大正方形，大正方形的周长是32cm，涂色部分的面积是（ ）。 12．奇思把一张长方形纸折叠成如图所示的梯形（单位：cm），这个梯形的高是（ ）cm，这张长方形纸的面积是（ ）cm2。 13．如图，用两个长方形纸片和一个正方形的纸片拼成大正方形，如果长方形的纸片面积分别为22平方厘米和18平方厘米，那么原小正方形的面积为（ ）平方厘米。 14．一个房间的地面长56分米，宽48分米。如果用正方形的地砖铺设（地砖刚好铺满且不切割），那么可以选用边长最大是（ ）分米的地砖，至少需要（ ）块这样的地砖。 15．如图，大小两个正方形中涂色部分的面积比是，则大小两个正方形的边长比是（ ）∶（ ），面积比是（ ）∶（ ）。 16．奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是（ ）cm。 17．中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如图所示。这块“腰铁”截面的面积是（ ）平方厘米。 18．如图，一张梯形彩纸的面积是40cm2，它的高是（ ）cm，从中剪下一个最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）cm2。 19．下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是（ ）。 20．《周髀算经》中有一种特殊的“图”（如图），它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2，小正方形的面积是大正方形面积的（ ）%。 21．如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（ ）cm2。 22．如图ABCD是一个梯形，AE＝ED，F是ED的中点。则阴影部分与空白部分的面积比是（ ）∶（ ）。 23．图中，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是（ ）cm2，整个梯形ABED的面积和阴影部分的面积比是（ ）。 24．大正方形中的阴影部分是小正方形（如图），小正方形的面积是（ ）cm2。 25．如图长方形ABCD中，AB＝20厘米，AD＝6厘米。有一个点P沿着AB边从点A向点B移动。 ①当点P运动到点E时，∠A的度数是∠1的2倍，那么AE＝（ ）厘米。 ②当点P运动到F点时，形成的△FAD的面积是24平方厘米。则AF＝（ ）cm。 ③当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则梯形BCDG的面积是（ ）cm2。 三、计算题 26．计算图中阴影部分的面积。（单位：米）   27．两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 28．如图，是一个平行四边形，面积是50平方厘米，求阴影部分的面积。 29．计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 四、作图题 30．下面正方形格的边长表示1厘米。 （1）画出按放大后的图形。 （2）先填空，再画出旋转后的图形。绕O点按（     ）方向旋转（     ）后，能与拼成一个长方形。 （3）如果、点不动，点移动到（ ）时，会变成一个等腰三角形。 （4）梯形的面积是（ ）平方厘米。 五、解答题 31．在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 32．一根长420厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的5倍。这个长方形的长是多少厘米？ 33．将下面的长方形框架拉成平行四边形，面积（     ）（填“变大”“变小”或“不变”），请说明判断理由（可用语言表述、画图……等方式）。 34．如图是汪伯伯以1∶3000的比例尺绘制的果园平面图。如果每2.5平方米种一棵果树，最多可栽多少棵？ 35．如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 36．如图，小正方形的边长是4厘米，大正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $