9.2 二元一次方程组的解法 讲义 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

9.2二元一次方程组的解法 知 识 清 单 知识点1 解二元一次方程组的基本思路 消去二元一次方程组的一个未知数，转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再求另一个 未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一求解的方法称为消元法。 知识点2 代入消元法 1 、将二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出 来，然后将它代入到另一个方程中，从而消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为 一元一次方程求解，这种解方程组的方法叫作代入消元法。 2 、代入消元法解二元一次方程组的过程如下： 【知识解读】 （1）用代入消元法解一元二次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 注意 1.变形 用含有一个未知数的代数式 表示另一个未知数 变形为 y=ax+b（或 x=ay+b） 的形式 选系数简单的方程变 形 2.代入 把 y=ax+b（或 x=ay+b）代入 另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一 次方程转化为一元一次方程 代入时“只代不算 ” 3.求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数 去括号时不要漏乘，移 项时要变号 4.回代 把求得的未知数的值代入步 骤 1 中变形后的方程中 求出另一个未知数 一般代入 变形后的方 程 5.写出解 把两个未知数的值用大括号 联立起来 ly表示为{〔x = … 的形式 = … 方程组的解要用大括 号联立起来 （2）代入消元法的技巧： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1 (或-1)的方程．则选择系数为 1 (或-1)的方程进行变形比 较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便. 素 养 提 升 考点1 代入消元法 例题讲解： 例1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 【解答】解：， 由①，得y＝2x﹣5， 或由②，得x＝10﹣3y， 故选：B． 跟踪训练： 1．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．2x﹣3x﹣6＝4 B．2x+3x﹣2＝4 C．2x﹣3x+6＝4 D．2x+3x﹣6＝4 【解答】解：将①代入②得， 2x﹣3（﹣x+2）＝4， 去括号得：2x+3x﹣6＝4， 故选：D． 2．用代入法解方程组：，下面的变形正确的是（　　） A．2y﹣3y+3＝1 B．2y﹣3y﹣3＝1 C．2y﹣3y+1＝1 D．2y﹣3y﹣1＝1 【解答】解：， 把②代入①得：2y﹣3y+3＝1， 故选：A． 3．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（　　） A．5x﹣2（2x+1）＝7 B．5x﹣（2x+1）＝7 C．5x﹣4x+1＝7 D．5x﹣4x+2＝7 【解答】解：将①代入②可得：5x﹣2（2x+1）＝7． 故选：A． 例题讲解： 例2．用代入消元法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】解：（1）； （2）． 跟踪训练： 4．用代入消元法解下列方程组． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 5．用代入消元法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 6．用代入消元法解方程组： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 知 识 清 单 知识点3 加减消元法 1 、当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个二元一次方 程相加或相减消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这种解 方程组的方法叫做加减消元法. 2 、加减消元法解二元一次方程组的过程如下： 【知识解读】 （1）用代入消元法解一元二次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 注意 1.变形 根据绝对值较小的未知数 （同一个未知数）的系数 的最小公倍数，用适当的 书去乘方程的两边 使两个方程中同 一个未知数的系 数相等或互为相 反数 选准消元对象： 当某个 未知数的系数相等或互 为相反数或有倍数关系 时，消去该元较简单 2.加减 当同一个未知数的系数相 等时，将两个方程相减； 当同一个未知数的系数互 为相反数时，将两个方程 相加 消 去 一 个 未 知 数，将二元一次 方程转化为一元 一次方程 方程左右两边分别相加 或相减时，多项式和负 数注意加括号，再去括 号化简 3.求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数 去括号时不要漏乘，移 项时要变号 4.回代 把求得的未知数的值代入 方程组中某个较简单的方 程中 求出另一个未知 数 回代时选择系数较简单 的方程 5.写出解 把两个未知数的值用大括 号联立起来 ly表示为{〔x 形式 = … 的 = … 方程组的解要用大括号 联立起来 （2）注意事项：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相 等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等. （3）检验：要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分 别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程 组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解. 素 养 提 升 考点2 加减消元法 例题讲解： 例1．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2【解答】解：根据加减消元法可知：， 要消去x，可以将方程①×3﹣方程②×2，要消去y，可以将方程①×5+方程②×3 故选：C． 跟踪训练： 1．解方程组时，若将①﹣②可得（　　） A．﹣2y＝8 B．﹣8y＝8 C．2y＝6 D．8y＝﹣8 【解答】解：， ①﹣②，得﹣8y＝8， 故选：B． 2．用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法中无法消元的是（　　） A．①×2+② B．①×5﹣②×3 C．①×3﹣②×5 D．①×（﹣5）+②×3 【解答】解：A、①×2+②得11x＝25，能消元，故本选项不符合题意； B、①×5﹣②×3得﹣11y＝﹣20，能消元，故本选项不符合题意； C、①×3﹣②×5得﹣16x﹣13y＝﹣60，不能消元，故本选项符合题意； D、①×（﹣5）+②×3得11y＝20，能消元，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．方程组，下列步骤可以消去未知数x的是（　　） A．①×3+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①﹣②×2 D．①+②×2 【解答】解：根据加减消元法逐项分析判断如下： A、①×3+②×2，得24x＝﹣1，变形后不能消去未知数x，故不符合题意； B、①×3﹣②×2，得12x+12y＝19，变形后不能消去未知数x，故不符合题意； C、①﹣②×2，得8y＝13，变形后能消去未知数x，故符合题意． D、①+②×2，得12x﹣4y＝﹣7，变形后不能消去未知数x，故不符合题意； 故选：C． 例题讲解： 例2．用加减消元法解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 跟踪训练： 1．用加减消元法解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 2．用加减消元法解方程组： （1）； （2）． ．【答案】（1）； （2） 3．用加减消元法解方程组： （1）； （2）． ．【答案】（1）； （2） 例题讲解： 例3．用合适的方法解下列方程组： （1） （2） ．【答案】（1）； （2） 跟踪训练： 1．用合适的方法解下列方程组： （1）； （2）． （3） ． 【答案】（1）； （2）． （3）． 考点3 二元一次方程组的解法——参数求值 例题讲解： 例1．已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 【解答】解：， ①+②，得3x﹣3y＝6， 两边都除以3得：x﹣y＝2， 故选：B． 跟踪训练： 1．已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．4 【解答】解：， ①﹣②得，2m﹣m﹣n+2n＝3﹣7， 解得：m+n＝﹣4． 故选：A． 2．已知方程组，则x﹣y等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：， ①+②得：3x+x﹣y﹣3y＝12﹣4， 4x﹣4y＝8， ∴x﹣y＝2， 故选：B． 3．已知关于x，y的方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2﹣2a C．10 D．2 【解答】解：用第一个方程减去第二个方程可得x﹣y＝2， 故选：D． 例题讲解： 例2．在等式y＝x2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝﹣6．则b、c的值是（　　） A．b＝﹣3，c＝﹣4 B．b＝3，c＝2 C．， D．b＝﹣9，c＝8 【解答】解：由题意得：，即， 解得， 故选：A． 跟踪训练： 1．在y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝5；当x＝1时，y＝1；则当x＝2时，y的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．5 【解答】解：∵当x＝﹣1时，y＝5；当x＝1时，y＝1， ∴， 解得， ∴y＝﹣2x+3， 当x＝2时，y＝﹣2×2+3＝﹣4+3＝﹣1． 故选：B． 2．在一次函数y＝kx+b中，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝3，则当x＝﹣2时，y的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．13 D．﹣13 【解答】解：根据题意得， ②﹣①得k＝4， 把k＝4代入①得4+b＝﹣1， 解得b＝﹣5， 则y＝4x﹣5， 当x＝﹣2时，y＝4×（﹣2）﹣5＝﹣13． 故选：D． 3．在等式y＝x2+bx+c中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝8，则这个等式中b与c的值分别是（　　） A．b＝3，c＝2 B．b＝﹣3，c＝﹣2 C．b＝﹣3，c＝2 D．b＝3，c＝﹣2 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 故选：B． 4．在等式y＝3x2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则b与c的值分别为（　　） A．b＝﹣2 c＝﹣5 B．b＝2 c＝﹣5 C．b＝﹣2 c＝5 D．b＝2 c＝5 【解答】解：∵等式y＝3x2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3代入解析式中， 得：， 解得：． 故选：A． 例题讲解： 例3．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2026，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【解答】解：， ①+②，得6x+6y＝6k+6，即x+y＝k+1， ∵x+y＝2026， ∴k+1＝2026， 解得：k＝2025． 故选：D． 跟踪训练： 1．若方程组的解中x+y＝16，则k等于（　　） A．15 B．18 C．16 D．17 【解答】解：由题意得， ①+③得：4x＝4k+11④， ①×6+②得：20x＝25k﹣30，即4x＝5k﹣6⑤， ⑤﹣④得：k＝17， 故选：D． 2．已知关于x，y的方程组中，x+3y＝2，则m的值为（　　） A．6 B．2 C．﹣6 D．﹣2 【解答】解：原方程组的两个方程作差可得x+3y＝﹣m﹣4＝2， 解得：m＝﹣6， 故选：C． 3．若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程x+y＝2，则k的值为（　　） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【解答】解：， ①+②，得9x+9y＝2k+9，即x+y， ∵x+y＝2， ∴， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得k＝4.5． 故选：C． 例题讲解： 例4．已知关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为． 解方程组得． 故选：D． 跟踪训练： 1．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 2．已知方程组的解是，现给出另个方程组，则它的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴由可得， 解得：， 故选：D． 3．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x1，y1的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得：x﹣3＝1，x＝4， y+1＝2，y＝1， 故选：A． 例题讲解： 例5．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y均为整数，则符合条件的整数k的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：， ②×3，得6x+3y＝﹣6③， ①﹣③，得（k﹣6）x＝8， 解得：， ∵x，y均为整数， ∴k﹣6必须是8的因数，8的因数有：±1，±2，±4，±8共8个， ∴k＝6±1，k＝6±2，k＝6±4，k＝±8， ∴k＝7，5，8，4，10，2，14，﹣2共8个． 故选：D． 跟踪训练： 1．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 【解答】解：， 由②得，y＝2x， 把y＝2x代入①得，kx+2x＝5， （k+2）x＝5， 解得：， ∴， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即k+2是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴k+2＝1或k+2＝5， ∴k＝﹣1或k＝3， 当k＝﹣1时，﹣k2+1＝﹣（﹣1）2+1＝﹣1+1＝0， 当k＝3时，﹣k2+1＝﹣32+1＝﹣9+1＝﹣8， ∴﹣k2+1的值为0或﹣8． 故选：A． 2．题目：“已知m为负整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解（x，y均为整数），求m的值．”对于其答案，甲答：﹣2．乙答：﹣4．丙答：﹣8．则正确的是（　　） A．只有丙答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【解答】解：， ①+②得：（m+3）x＝10， ， 把代入②得：， ∵x，y均为整数， ∴m＝±2或﹣8或﹣4， ∵m是负整数， ∴m＝﹣2或﹣4或﹣8， ∴三人答案合在一起才完整， 故选：D． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（　　） A．3或48 B．3 C．4或49 D．48 【解答】解：， ①+②得：（m+3）x＝10， 解得：x， 把x代入②得：， 解得：y， ∵x，y为整数，且m为正整数， ∴m+3＝5或m+3＝10， 解得：m＝2或m＝7， 当m＝2时，x＝2，y＝3； 当m＝7时，x＝1，y，不符合题意， ∴m＝2， ∴m2﹣1＝3． 故选：B． 4．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15 【解答】解：， ①+②得：， 把代入②得：， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数， ∴k+3＝1或7， 解得：k＝﹣2或4， 当k＝﹣2时，k2﹣1＝（﹣2）2﹣1＝4﹣1＝3； 当k＝4时，k2﹣1＝42﹣1＝15， ∴k2﹣1的值为3或15， 故选：D． 考点4 二元一次方程组的解法——同解问题 例题讲解： 例1．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 【解答】解：∵方程组和方程组的解相同， ∴， 解得：， 则2a+2b＝﹣4，2b﹣2a＝﹣8， 即， 解得：， 则（2a+b）2024＝（2﹣3）2024＝1． 跟踪训练： 1．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2025的值． 【解答】解：∵方程组和方程组的解相同， ∴， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴（2a+b）2025＝（2×1﹣3）2025＝﹣1． 2．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2026的值． 【解答】解：∵方程组和方程组的解相同， ∴， ①+②得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝﹣2， ∴方程组的解为：， 把分别代入ax﹣by＝﹣4和bx+ay＝﹣8得：， ③+④得：b＝﹣3， 把b＝﹣3代入③得：a＝1， ∴（2a+b）2026 ＝[2×1+（﹣3）]2026 ＝（2﹣3）2026 ＝（﹣1）2026 ＝1． 3．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 【解答】解：联立得：， ①+②得：5x＝10， 解得：x＝2． 把x＝2代入①得：y＝﹣2， 把x＝2，y＝﹣2代入另两个方程得：， 解得：a＝1，b＝﹣3． 把a＝1，b＝﹣3代入得： （2a+b）2024 ＝（2﹣3）2024 ＝（﹣1）2024 ＝1． 4．已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 【解答】解：联立得：， ①+②得：5x＝10，即x＝2， 把x＝2代入①得：y＝﹣2， ， 解得：a＝1，b＝﹣3， 则原式＝（2﹣3）2024＝1． 考点5 二元一次方程组的解法——马虎问题 例题讲解： 例1．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把c看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣3 B．a＝3，b＝﹣1，c＝3 C． D．a＝﹣3，b＝1，c＝3 【解答】解：把代入方程5x﹣cy＝1中，得5×2﹣3c＝1， 解得c＝3， 把代入方程ax+by＝3中，得2a+3b＝3， 把代入ax+by＝3，得3a+6b＝3，即a+2b＝1， 联立得， 解得； 所以a＝3，b＝﹣1，c＝3； 故选：B． 跟踪训练： 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得．则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝12 B．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣12 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣12 D．a＝3，b＝﹣1，c＝12 【解答】解：将代入原方程组， 得，， 将代入ax+by＝4， 得4a+8b＝4， a+2b＝1， 则， 解得：， 综上，a＝3，b＝﹣1，c＝12． 故选：D． 2．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 【解答】解：把代入方程组得： 把代入ax+by＝2得：﹣3a﹣2b＝2， 把含a，b的方程联立方程组得， 解得：， 由﹣c﹣7＝3，得到c＝﹣10， 故选：C． 3．已知关于x、y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，将代入2x+by＝5， 得4+b＝5， 解得：b＝1， 同理可求得a＝5， 将a＝5，b＝1代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：B． 4．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得．乙看错了方程组中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求出原方程组的正确解． 【解答】解：（1）， 把代入②， 得﹣3×4﹣b×（﹣1）＝﹣2， ∴b＝10； 把代入①， 得5a+5×4＝15， ∴a＝﹣1； （2）把a＝﹣1，b＝10代入原方程组得， 由②得2x﹣5y＝﹣1③， ①+③得x＝14， 把x＝14代入①得， ∴原方程组的解为． 5．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【解答】解：∵甲看错了方程①中的a，解得， ∴是方程②的解， 即7a+2b＝13③， ∵乙看错了方程②中的b，解得， ∴是方程①的解， 即3a﹣2b＝7④， ③+④得，10a＝20， 解得a＝2， 把a＝2代入③得，14+2b＝13， 解得b， 答：a＝2，b． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2二元一次方程组的解法 知 识 清 单 知识点1 解二元一次方程组的基本思路 消去二元一次方程组的一个未知数，转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再求另一个 未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一求解的方法称为消元法。 知识点2 代入消元法 1 、将二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出 来，然后将它代入到另一个方程中，从而消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为 一元一次方程求解，这种解方程组的方法叫作代入消元法。 2 、代入消元法解二元一次方程组的过程如下： 【知识解读】 （1）用代入消元法解一元二次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 注意 1.变形 用含有一个未知数的代数式 表示另一个未知数 变形为 y=ax+b（或 x=ay+b） 的形式 选系数简单的方程变 形 2.代入 把 y=ax+b（或 x=ay+b）代入 另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一 次方程转化为一元一次方程 代入时“只代不算 ” 3.求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数 去括号时不要漏乘，移 项时要变号 4.回代 把求得的未知数的值代入步 骤 1 中变形后的方程中 求出另一个未知数 一般代入 变形后的方 程 5.写出解 把两个未知数的值用大括号 联立起来 ly表示为{〔x = … 的形式 = … 方程组的解要用大括 号联立起来 （2）代入消元法的技巧： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1 (或-1)的方程．则选择系数为 1 (或-1)的方程进行变形比 较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便. 素 养 提 升 考点1 代入消元法 例题讲解： 例1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 跟踪训练： 1．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．2x﹣3x﹣6＝4 B．2x+3x﹣2＝4 C．2x﹣3x+6＝4 D．2x+3x﹣6＝4 2．用代入法解方程组：，下面的变形正确的是（　　） A．2y﹣3y+3＝1 B．2y﹣3y﹣3＝1 C．2y﹣3y+1＝1 D．2y﹣3y﹣1＝1 3．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（　　） A．5x﹣2（2x+1）＝7 B．5x﹣（2x+1）＝7 C．5x﹣4x+1＝7 D．5x﹣4x+2＝7 例题讲解： 例2．用代入消元法解下列方程组： （1）； （2）． 跟踪训练： 4．用代入消元法解下列方程组． （1）； （2）． 5．用代入消元法解下列方程组： （1）； （2）． 6．用代入消元法解方程组： （1） （2） 知 识 清 单 知识点3 加减消元法 1 、当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个二元一次方 程相加或相减消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这种解 方程组的方法叫做加减消元法. 2 、加减消元法解二元一次方程组的过程如下： 【知识解读】 （1）用代入消元法解一元二次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 注意 1.变形 根据绝对值较小的未知数 （同一个未知数）的系数 的最小公倍数，用适当的 书去乘方程的两边 使两个方程中同 一个未知数的系 数相等或互为相 反数 选准消元对象： 当某个 未知数的系数相等或互 为相反数或有倍数关系 时，消去该元较简单 2.加减 当同一个未知数的系数相 等时，将两个方程相减； 当同一个未知数的系数互 为相反数时，将两个方程 相加 消 去 一 个 未 知 数，将二元一次 方程转化为一元 一次方程 方程左右两边分别相加 或相减时，多项式和负 数注意加括号，再去括 号化简 3.求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数 去括号时不要漏乘，移 项时要变号 4.回代 把求得的未知数的值代入 方程组中某个较简单的方 程中 求出另一个未知 数 回代时选择系数较简单 的方程 5.写出解 把两个未知数的值用大括 号联立起来 ly表示为{〔x 形式 = … 的 = … 方程组的解要用大括号 联立起来 （2）注意事项：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相 等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等. （3）检验：要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分 别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程 组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解. 素 养 提 升 考点2 加减消元法 例题讲解： 例1．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去y，可以将①×5+② C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 跟踪训练： 1．解方程组时，若将①﹣②可得（　　） A．﹣2y＝8 B．﹣8y＝8 C．2y＝6 D．8y＝﹣8 2．用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法中无法消元的是（　　） A．①×2+② B．①×5﹣②×3 C．①×3﹣②×5 D．①×（﹣5）+②×3 3．方程组，下列步骤可以消去未知数x的是（　　） A．①×3+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①﹣②×2 D．①+②×2 例题讲解： 例2．用加减消元法解方程组： （1）； （2）． 跟踪训练： 1．用加减消元法解二元一次方程组： （1）； （2）． 2．用加减消元法解方程组： （1）； （2）． ． 3．用加减消元法解方程组： （1）； （2）． ． 例题讲解： 例3．用合适的方法解下列方程组： （1） （2） ． 跟踪训练： 1．用合适的方法解下列方程组： （1）； （2）． （3） ． 考点3 二元一次方程组的解法——参数求值 例题讲解： 例1．已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 跟踪训练： 1．已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．4 2．已知方程组，则x﹣y等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知关于x，y的方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2﹣2a C．10 D．2 例题讲解： 例2．在等式y＝x2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝﹣6．则b、c的值是（　　） A．b＝﹣3，c＝﹣4 B．b＝3，c＝2 C．， D．b＝﹣9，c＝8 跟踪训练： 1．在y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝5；当x＝1时，y＝1；则当x＝2时，y的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．5 2．在一次函数y＝kx+b中，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝3，则当x＝﹣2时，y的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．13 D．﹣13 3．在等式y＝x2+bx+c中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝8，则这个等式中b与c的值分别是（　　） A．b＝3，c＝2 B．b＝﹣3，c＝﹣2 C．b＝﹣3，c＝2 D．b＝3，c＝﹣2 4．在等式y＝3x2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则b与c的值分别为（　　） A．b＝﹣2 c＝﹣5 B．b＝2 c＝﹣5 C．b＝﹣2 c＝5 D．b＝2 c＝5 例题讲解： 例3．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2026，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 跟踪训练： 1．若方程组的解中x+y＝16，则k等于（　　） A．15 B．18 C．16 D．17 2．已知关于x，y的方程组中，x+3y＝2，则m的值为（　　） A．6 B．2 C．﹣6 D．﹣2 3．若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程x+y＝2，则k的值为（　　） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 例题讲解： 例4．已知关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练： 1．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．已知方程组的解是，现给出另个方程组，则它的解是（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x1，y1的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 例题讲解： 例5．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y均为整数，则符合条件的整数k的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 跟踪训练： 1．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 2．题目：“已知m为负整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解（x，y均为整数），求m的值．”对于其答案，甲答：﹣2．乙答：﹣4．丙答：﹣8．则正确的是（　　） A．只有丙答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（　　） A．3或48 B．3 C．4或49 D．48 4．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15 考点4 二元一次方程组的解法——同解问题 例题讲解： 例1．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 跟踪训练： 1．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2025的值． 2．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2026的值． 3．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 4．已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 考点5 二元一次方程组的解法——马虎问题 例题讲解： 例1．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把c看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣3 B．a＝3，b＝﹣1，c＝3 C． D．a＝﹣3，b＝1，c＝3 跟踪训练： 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得．则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝12 B．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣12 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣12 D．a＝3，b＝﹣1，c＝12 2．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 3．已知关于x、y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 4．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得．乙看错了方程组中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求出原方程组的正确解． 5．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $