系统沉淀训练10解三角形解答题16题——2026届高三数学三轮冲刺

系统沉淀训练10解三角形解答题16题-2026届高三数学三轮冲刺（学生版） 说明：此训练专题，题目精选于全国一卷地区最新一模，二模，三模试卷， 具有很好的导向性. 一、解答题 1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 2．（2026·山东济南·二模）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 3．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 4．（2026·河北衡水·二模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 5．（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 6．（2026·安徽马鞍山·二模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． (1)若，，求的面积； (2)若，求的最小值． 7．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 8．（2026·广东·模拟预测）和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，其中有，已知锐角内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求的最小值； (2)若，，求的面积S的取值范围． 9．（2026·安徽滁州·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求； (2)若是边上一点，且满足，求的面积． 10．（2026·河北沧州·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)证明：是的等差中项； (2)若为的中点，，，求的周长和面积. 11．（2026·湖北黄冈·一模）在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 12．（2026·山东德州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 13．（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 14．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 15．（2026·河北沧州·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：； (2)若，求面积的最大值． 16．（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 系统沉淀训练10解三角形解答题16题-2026届高三数学三轮冲刺（详解版） 说明：此训练专题，题目精选于全国一卷地区最新一模，二模，三模试卷， 具有很好的导向性. 一、解答题 1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 2．（2026·山东济南·二模）记的内角的对边分别是，已知，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若边上的高为，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得，结合三角形内角关系即可证明结论；、 （2）根据可得，结合二倍角公式化简可得，从而得到，根据边上的高为​，可得，即可求解 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 因为在中，， 所以，即， 因为在中，， 所以或（舍去）， 则， 则在中，， 即， 所以为等腰三角形； （2）由（1）知因此； 因为，代入 得：， 所以，得 因为为三角形内角，， 故：， 由于，所以 因为边上的高为​，， 所以，解得： 因为， 所以 因此， 所以的周长为： 3．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. （2）先用（1）的边的关系，把用表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 4．（2026·河北衡水·二模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式与题目给定的面积表达式建立等式，结合余弦定理 ，推导出，再根据的取值范围求值； （2）由正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合降幂公式与三角恒等变换，将化简为关于角的三角函数，再根据锐角三角形的条件确定的取值范围，最终求出 的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以，所以， 即，由，所以； （2）因为，所以，， 所以 又，所以， 所以 因为是锐角三角形，所以，得， 所以，， 所以 5．（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 6．（2026·安徽马鞍山·二模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． (1)若，，求的面积； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）根据题意可得，得，再由余弦定理得，求得，结合三角形面积公式得解； （2）由得，利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以是的中点， 所以，两边平方得，即， 又由余弦定理知，联立得， 故的面积. （2）由，得， 故，即， 故， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为27. 7．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可. 【详解】（1） ， 因为，所以， 所以由，或， 由， 由，显然不成立， 所以； （2）由（1）可知：， 所以，因为， 所以， ， 由，设，， 设， 则，令， 因为，所以解得， 当时，函数，所以函数在上单调递增， 当时，函数，所以函数在上单调递减， 因为，所以函数在时，值域为， 即当时，， 于是当时，. 8．（2026·广东·模拟预测）和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，其中有，已知锐角内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求的最小值； (2)若，，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，题干条件化简，通过两角和差的余弦公式代入解方程，得内角三角函数关系式，代入求得最值； （2）根据正弦面积公式，和正弦定理，将面积公式转化为函数问题，利用对勾函数单调性,求出面积范围. 【详解】（1）因为 ， 又根据题意， 则， ， ， 则（舍）或， 由，有，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）在中，由正弦定理有，则，， 则 ， 由函数在上单调递减，，则， 有， ∴， 综上，的面积的取值范围是. 9．（2026·安徽滁州·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求； (2)若是边上一点，且满足，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理可得，则可得，再利用正弦定理计算即可得； （2）设，利用可得，再利用余弦定理计算即可得，从而可得为正三角形，再利用面积公式计算即可得解. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， ，即， ，， 在中，由正弦定理得：，； （2）记，则， ，． 在和中，由余弦定理得：， 解得：，是边长为6的正三角形，故， 的面积． 10．（2026·河北沧州·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)证明：是的等差中项； (2)若为的中点，，，求的周长和面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)周长为，面积为 【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用余弦定理求得，进而得即可证明； （2）由题知，再结合向量数量积的运算律得，再结合余弦定理得，再解方程得，最后求周长与面积即可. 【详解】（1）证明：因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得， 又，所以，所以，即是的等差中项. （2）解：因为为的中点，所以， 所以，即，将代入得， 所以，① 由余弦定理可得，即， 所以，② 由①②得， 所以的周长为，面积为 11．（2026·湖北黄冈·一模）在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，可求； （2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积． 法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得，进而利用可求解. 【详解】（1）由正弦定理知． ∴，∵，∴， ∴，，∴． （2）法一：由（1）知，，∴． ∴，∴，∴． 法二：由（1）知，，∴． 由正弦定理可得． ∴． 12．（2026·山东德州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理求出与之间的关系，结合，利用三角恒等变换即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，再求，结合三角形面积公式求结论即可. 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理知，， 又由， 故， 所以，故． （2）由知，， ， 因为， 所以 记的面积为， 所以， 故的面积为． 13．（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求. 【详解】（1）由条件，利用正弦定理可得， 因为，所以， 代入上式：， 整理得：，又， 故即，又，所以. （2）由三角形面积公式知，可得， 又，由余弦定理，得， 于是可得或. 因为平分，由角平分线性质，， 且，所以 故的长度为或. 14．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 15．（2026·河北沧州·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式及诱导公式，利用正余弦定理的变形进行角化边，进行化简整理得解； （2）利用三角形面积公式和同角关系式及基本不等式求解. 【详解】（1），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； （2），， ， ， 当且仅当时，即时，等号成立， . 16．（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式列式，再利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简，借助正弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）由，得，而，则， ，由，得，， 则，，在中，由正弦定理得， 所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得， 则，又， 因此四边形的面积 ，由，得， 因此，即， 所以四边形面积的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $