第二单元长方体（二）（单元专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

第二单元长方体（一）（知识梳理+拔高训练）一 知识梳理 知识点一：体积与容积 物体所占空间的大小，是物体的体积。容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 知识点二：体积单位 1.认识常见的体积单位 常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别记作厘米3（cm3）、分米3（dm3）、米3（m3）。 2.认识常见的容积单位 计量较大容器的容积时用升（L），计量较小容器的容积时用毫升(mL)。知识点三：长方体的体积 知识点三：长方体的体积 1.探究长、正方体体积的计算方法 长方体的体积= 长× 宽× 高,V = abh 正方体的体积= 棱长× 棱长× 棱长,V= a×a×a= a3 2.长、正方体体积计算的通用公式 长方体（正方体）的体积= 底面积× 高，用公式表示为: V = Sh。 已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得第三个量。 知识点四：体积单位的换算 1.相邻两个体积单位之间的进率是1000。 2.1 m³=1000 dm³，1 dm³=1000 cm³，1 L=1000 mL 知识点五：有趣的测量 在测量不规则物体的体积时，水面升高部分水的体积（或水满杯时溢出的水的体积）等于不规则物体的体积。 拔高训练 一、填空题（共20分） 1．（2分）在一个棱长是5厘米的正方体的正中打一个边长是2厘米的正方形孔洞（打通），打通后的立体图形表面积是( )平方厘米。 2．（2分）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 3．（2分）由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 4．（2分）将按下面的方式摆放在桌面上。4个按这种方式摆放，有( )个面露在外面，15个按这种方式摆放，有( )个面露在外面。 5．（2分）用4个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积可能是( )平方厘米；也可能是( )平方厘米。 6．（2分）一个长方体框架，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，做这个框架共要( )厘米的铁丝；若在它的表面贴上塑料板，共要( )平方厘米塑料板。 7．（2分）一个长是8cm、宽是6cm、高是5cm的长方体灯笼，它的棱长总和是( )cm，六个面中最大的面的面积是( )cm2。 8．（2分）如图是一个“三阶”魔方。魔方的六个面都涂上了颜色，请你观察，三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 9．（2分）用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 10．（2分）把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 二、判断题（共10分） 11．（2分）在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体最多同时只能看到三个面。( ) 12．（2分）如图是5个小正方体堆放在墙角处，露在外面的面有10个。( ) 13．（2分）长方体和正方体都有8个顶点。( ) 14．（2分）将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相比，没有发生变化。( ) 15．（2分）如果一个长方体和一个正方体的所有棱长之和相等，那么它们的表面积也一定相等。( ) 三、选择题（共10分） 16．（2分）一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，它的棱长总和是（    ）。 A．6厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．24厘米 17．（2分）一个家电的形状近似长方体，其长是60cm，宽50cm，高180cm，它最有可能是（    ）。 A．电脑 B．电视机 C．洗衣机 D．电冰箱 18．（2分）下图中，甲、乙两个立体图形的表面积（    ）。       甲             乙 A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．无法确定 19．（2分）把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 20．（2分）下面图形不是正方体展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 四、计算题（共6分） 21．（6分）计算下面图形的表面积。 五、作图题（共6分） 22．（6分）下图是一个长方体表面展开图的一半，请把展开图补充完整。（画出两种） 六、解答题（共48分） 23．（6分）外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖人员的辛苦付出。淘气的叔叔是一个外卖骑手，下图是他的外卖保温包的示意图，做一个这样的保温包至少需要多少平方厘米的材料？（重叠部分忽略不计） 24．（6分）张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 25．（6分）一间教室长是8米，宽是6米，高是3.5米，除去门窗和黑板面积为21.6平方米。现要粉刷教室的四壁和顶棚，如果每平方米需0.25千克的石灰，一共需多少千克的石灰？ 26．（6分）如下图，一块长40厘米、宽25厘米的长方形铁皮，从四个角切掉边长为5厘米的正方形，焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的表面积是多少平方厘米？ 27．（6分）航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 28．（6分）将5个棱长为30厘米的正方体纸箱堆在墙角处（如下图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 29．（6分）如图，包装一个长方体纸盒，选择下面哪种尺寸的包装纸比较合适？与同伴交流你的想法。（单位：） 30．（6分）一个长方体形状的游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果要给游泳池的四周和底面贴上瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？ 参考答案 1．182 【分析】这个立体图形的表面积等于正方体的表面积减去两个边长是2厘米的正方形面积，再加上4个长是5厘米，宽是2厘米的长方形面积；根据正方形表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6；正方形面积公式：面积＝边长×边长；长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，即可解答。 【详解】5×5×6－2×2×2＋5×2×4 ＝25×6－4×2＋10×4 ＝150－8＋40 ＝142＋40 ＝182（平方厘米） 在一个棱长是5厘米的正方体的正中打一个边长是2厘米的正方形孔洞（打通），打通后的立体图形表面积是182平方厘米。 【点睛】利用正方体表面积公式、正方形面积公式和长方形面积公式进行解答，关键明确打一个空洞，增加的面积与减少的面积。 2． 御 乐 【分析】正方体相对的面不相连；相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面。据此解答。 【详解】通过分析可得：与“射”字相对的字是“书”字；与“礼”字相对的是“御”字；与“数”字相对的是“乐”字。 3．50 【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【详解】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 4． 14 47 【分析】一个小正方体放桌子上会有5个面露在外面，5＝1×4＋1，两个小正方体放在桌子上会有8个面露在外面，8＝2×3＋2三个小正方体放在桌子上会有11个面露在外面，11＝3×3＋2，据此即可知道n个这种方式摆放会有（3n＋2）个面露在外面，把n＝4和n＝15代入式子即可求解。 【详解】由分析可知： 4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（个） 15×3＋2 ＝45＋2 ＝47（个） 4个按这种方式摆放，有14个面露在外面，15个按这种方式摆放，有47个面露在外面。 【点睛】本题主要考查数与形，关键是看清楚图形的变化规律是解题的关键。 5． 256 288 【分析】把4个棱长是4厘米的正方体拼成一个长方体，如下图： 左边的长方体的长是8厘米，宽是8厘米，高是4厘米，右边的长方体的长是16厘米，宽是4厘米，高是4厘米，根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入解答即可。 【详解】（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 4×4＝16（厘米） （16×4＋16×4＋4×4）×2 ＝（64＋64＋16）×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 长方体的体积可能是256平方厘米，也可能是288平方厘米。 【点睛】掌握用若干个小正方体拼成长方体的方法，找到长方体的长、宽、高，以及灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。 6． 48 94 【分析】由题意可知，求铁丝的长度就是求长方体的总棱长，根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此代入数值进行计算即可；求塑料板的面积就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。 【详解】（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 则做这个框架共要48厘米的铁丝；若在它的表面贴上塑料板，共要94平方厘米塑料板。 7． 76 48 【分析】长方体棱长总和=（长＋宽＋高）×4，在长方体的6个面中，由较长的长和宽组成的面是面积最大的面。据此可得出答案。 【详解】它的棱长总和为： （cm） 六个面中最大面积的面是长和宽组成的面，面积为：（cm2） 8． 8 12 【分析】 据正方体表面涂色的特点可知小正方体涂色面的位置：三面涂色的小正方体在顶点处，两面涂色的小正方体在每条棱上；据此解答。 【详解】从图中可知，这个魔方的每条棱上有3个小正方体。 三面涂色的小正方体在魔方的顶点处，每个顶点上有1个，8个顶点共有8个； 两面涂色的小正方体位于魔方的棱上，每条棱上有1个，12条棱共有12个。 所以，三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个。 9．80 【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 10．100 【分析】这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；代入数据计算即可。 【详解】5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 所以表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少100平方厘米。 11．√ 【分析】长方体有6个面，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同。根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面。由此解答。 【详解】在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体最多同时只能看到三个面。 故答案为：√ 12．√ 【分析】分别数出从各个方向看到的这些正方形的面数，相加即可。 【详解】从正面看，可以看到2个正方形； 从右面看，可以看到3个正方形； 从上面看，可以看到5个正方形。 露在外面的面有： 2＋3＋5 ＝5＋5 ＝10（个） 故答案为：√ 【点睛】此题考查了数立体图形露在外面的面的个数，按照观察方位顺序逐一数出即可。 13．√ 【分析】根据长方体、正方体的特征，长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点。据此判断即可。 【详解】根据长方体、正方体的特征可知：长方体和正方体都有8个顶点这种说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的共同特征。 14．× 【分析】两个立体图形（比如正方体之间、圆柱之间）拼起来，因为面数目减少，所以表面积减少；反之，一个立体图形分割开，因为面数目增加，所以表面积增加；据此解答。 【详解】将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相比，增加了两个切面，表面积增加；原说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查立体图形的切拼及长方体表面积的认识。 15．× 【分析】解答此题应根据题意，通过举例进行分析、进而得出结论。 【详解】例如：长方体的长宽高分别为4厘米、3厘米、2厘米，棱长之和为 （4＋3＋2）×4 ＝（7＋2）×4 ＝9×4 ＝36（厘米） 表面积则为： （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 与其棱长之和相等的正方体的棱长：36÷12＝3（厘米） 其表面积： 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 所以如果一个长方体和一个正方体棱长和相等，那么他们的表面积一定相等，是错的。 故答案为：× 【点睛】此题应根据长方体和正方体的棱长总和与棱长之间的关系及长方体和正方体的表面积计算方法进行解答。 16．D 【分析】长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，把题目中的数据代入公式计算，即可求得这个长方体的棱长总和。 【详解】（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（厘米） 所以，它的棱长总和是24厘米。 故答案为：D 17．D 【分析】1厘米大概相当于一个成年人的指甲盖的宽度，1分米大概相当于1张身份证的长度，1米大概相当于1块地板砖的长度，1米＝100厘米，根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位。 【详解】一个家电的形状近似长方体，其长是60cm，宽50cm，高180cm，它最有可能是电冰箱。 故答案为：D 18．A 【分析】由图可知，甲和乙两个立体图形除了去掉小正方体的部分露在外面的面不同，其它部分面积相同；甲去掉这个小正方体之前，这个小正方体露在外面的是2个小正方形，去掉小正方体之后露在外面的有4个小正方形，则甲立体图形比原来完整正方体的表面积增加了4－2＝2（个）小正方形的面积；乙去掉这个小正方体之前，这个小正方体露在外面的有3个小正方形，去掉小正方体之后露在外面的还是3个小正方形，则乙立体图形与原来完整正方体相比表面积没有变化；从而可知甲立体图形的表面积更大。据此解答。 【详解】根据分析可知： 甲、乙两个立体图形的表面积：甲大。 故答案为：A 19．B 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；分别代入数据计算即可。 【详解】2×2×4＝16（平方厘米） 把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了16平方厘米。 故答案为：B 20．C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此逐项分析解答。 【详解】 A．，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，是正方体展开图； B．，符合正方体展开图的“2－2－2”结构，是正方体展开图； C．，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图； D．，符合正方体展开图的“1－3－2”结构，是正方体展开图。 不是正方体展开图的是。 故答案为：C 21．54平方分米；376平方分米 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×棱长和长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代数即可解答。 【详解】（1）3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方分米） （2）（10×6＋10×8＋6×8）×2 ＝（60＋80＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方分米） 22．见详解 【分析】依据长方体的特征，即相对的面面积相等，从而可以作出符合要求的图。 【详解】如图： 23．10138平方厘米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（50×37＋50×37＋37×37）×2即可求出做一个这样的保温包至少需要的材料面积。 【详解】（50×37＋50×37＋37×37）×2 ＝（1850＋1850＋1369）×2 ＝5069×2 ＝10138（平方厘米） 答：做一个这样的保温包至少需要10138平方厘米的材料。 24．77厘米 【分析】根据图形可知，所需带子的长度等于2条长棱＋两条宽棱＋4条高棱＋打结用的25厘米。由此列式解答。 【详解】12×2＋8×2＋3×4＋25 ＝24＋16＋12＋25 ＝40＋12＋25 ＝52＋25 ＝77（厘米） 答：张亮需要的带子长77厘米。 25．31.1千克 【分析】根据题意，粉刷教室的四壁和顶棚，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米需石灰的质量乘粉刷的面积，即可求出一共需要石灰的总质量。 【详解】8×6＋（8×3.5＋6×3.5）×2 ＝48＋（28＋21）×2 ＝48＋49×2 ＝48＋98 ＝146（平方米） 146－21.6＝124.4（平方米） 124.4×0.25＝31.1（千克） 答：一共需31.1千克的石灰。 26．900平方厘米 【分析】铁盒的表面积＝长方形铁皮的面积－切掉的4个正方形的面积，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答。 【详解】   （平方厘米） 答：这个铁盒的表面积是900平方厘米。 27．3面涂色的有8个；2面涂色的有60个；1面涂色的有136个。 【分析】3面涂色的小正方体在长方体的顶点位置，共8个；2面涂色的小正方体在每条棱的中间，即在每条棱除顶点处的两个小正方体外的中间位置，共有（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4＝60（个）；1面涂色的小正方体在每个面上除棱上的小正方体外的中间位置，在长10厘米、宽6厘米的面上，一面涂色的小正方形组成一个长10－2＝8（厘米）、宽6－2＝4（厘米）的长方形，这个长方形中共有8×4÷（1×1）＝32（个）小正方形，同理可求出在长10厘米、宽5厘米的面上和长6厘米、宽5厘米的面上涂色的小正方形的个数。小正方形的个数即小正方体的个数，所以1面涂色的小正方体有（10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2＝136（个）。 【详解】（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4 ＝8×4＋4×4＋3×4 ＝32＋16＋12 ＝48＋12 ＝60（个） （10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2 ＝8×4×2＋8×3×2＋4×3×2 ＝32×2＋24×2＋12×2 ＝64＋48＋24 ＝112＋24 ＝136（个） 答：3面涂色的有8个，2面涂色的有60个，1面涂色的有136个。 28．9000平方厘米 【分析】先判断出露在外面一共有多少个面，再根据正方形的面积＝边长×边长，用正方形一个面的面积乘露在外面的面的数量，所得结果即为露在外面的面积。 【详解】露在外面一共有10个面。 30×30×10＝9000（平方厘米） 答：露在外面的面积是9000平方厘米。 29．见详解 【分析】根据，代入数据计算长方体的表面积，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算两种包装纸的面积，结合实际情况，包装纸的面积应该大于长方体的表面积，因为会浪费一些面积，据此解答。长方体的表面积展开图如下： （展开图不唯一） 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：包装纸①的面积虽然等于长方体纸盒的表面积，但是包装时会有接头且包装纸①的宽度无法包住长方体纸盒的前面和后面，所以应该选包装纸②。 30．1550平方米 【分析】求需要瓷砖的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为上面不需要贴瓷砖，所以需要减去一个底面积，据此解答。 【详解】（50×25＋50×2＋25×2）×2－50×25 ＝（1250＋100＋50）×2－50×25 ＝1400×2－50×25 ＝2800－1250 ＝1550（平方米） 答：需要1550平方米的瓷砖。 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $