题号猜押02 江苏无锡中考数学8～10题（7大考点，选择题）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押02 江苏无锡中考数学8~10题（选择题） 考点1 由实际问题抽象出分式方程 1．（2026·鼓楼区·校级模拟）某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A型机器的进价比每台B型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（　　） A．12.6x＝21（2x﹣0.7） B． C． D． 2．（2025·沭阳县·校级三模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·建湖县·三模）DeepSeek掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 考点2 命题与定理 1．（2026·海门区·校级模拟）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若|a|＝|b|，那么a＝b B．如果ab＞0，那么a，b都是正数 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两条直线与第三条直线相交，同位角相等 2．（2026·沭阳县·校级模拟）下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．对角线相等的四边形是矩形 C．若a＞b，b＞c，则a＞c D．若x2＝4，则x＝2 3．（2025·新吴区·二模）下列命题中的假命题是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 考点3 旋转的性质 1．（2025·淮安区·校级二模）如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上．若CD＝2，BC＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·建邺区·校级模拟）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝4，BC＝3，则MN＝（　　） A． B． C． D． 3．（2026·泰兴市·模拟）如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AF，使F点落在正方形ABCD内部，延长BF交∠DAF的平分线于点H，连接FD交AH于点G，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． 考点4 反比例函数系数k的几何意义 1．（2026·江阴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，AO＝AB，点C为OA的中点，若△ABC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 2．（2026·滨湖区·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长OA至点B，使AB＝2OA，过点B作BC∥x轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作AD∥OC，交BC于点D．若四边形OADC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．﹣3 3．（2026·海门区·模拟）如图，反比例函数的图象经过点A（2，4），连接AO并延长，交双曲线于点C．以AC为对角线作正方形ABCD，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．5π+5 D．5π﹣5 考点5 解直角三角形 1．（2025·惠山区·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 2．（2025·连云港·一模）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AC上一点，，∠CBD＝15°，则sin∠BDC的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·涟水县·一模）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC， 若，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 考点6 几何（四边形、相似、解直角三角形）与函数综合 1．（2025·镇江·模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则矩形DEFG面积的最大值为（　　） A．5 B． C． D． 2．（2025·梁溪区·三模）在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（　　） A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2 3．（2025·梁溪区·校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是边AC的中点，点E是边AB上一动点，将四边形BCDE沿DE翻折，得到四边形B′C′DE，B、C的对应点分别是B'、C'，连接BB'、CC'，当点E从点B运动到点A的过程中，设BE＝x，三角形BB'E的面积、三角形CC'D的面积、三角形ADE的面积分别用S1、S2、S3表示，则下列结论正确的是（　　） ①；②；③当B'、A、C三点在一条直线上时，；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 考点7 新定义函数综合辨析题 1．（2026·锡山区·一模）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 2．（2026·江阴市·一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，且y1≠y2），若|x1﹣x2|＝m|y1﹣y2|（m是常数），则称线段PQ是一条“m倍率线段”．下列说法中其中正确的是（　　） ①若A（1，1），B（4，2），则线段AB是一条3倍率线段； ②若C（﹣1，2），D在函数的图象上，则有且只有一条2倍率线段CD； ③若A（5，5），B在函数图象上，且AB是1倍率线段，则AB长为或； ④二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，点Q在该二次函数位于第一象限内的图象上，且线段PQ是倍率线段，当PQ的长度最大时，点Q的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（2026·宜兴市·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）是“k型闭函数”．则k的取值范围是k≥1.5． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 1．（2025·新吴区·一模）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·滨湖区·一模）某校学生去20km外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余学生乘乙车出发，两车同时到达．已知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·滨湖区·一模）下列命题中是假命题的是（　　） A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 4．（2025·锡山区·校级二模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等 C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形 5．（2025·新吴区·一模）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接AE．若AE∥BD，则∠EAD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 6．（2026·高新区·校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠C＝36°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，AE与BD相交于点F．当DE∥AB时，∠AFD＝（　　） A．76° B．14° C．76°或14° D．74°或16° 7．（2026·锡山区·一模）如图，A、B是双曲线y上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 8．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O，延长AD交x轴于点E，若AD＝2DE，▱ABCD的面积为16，则k的值为（　　） A．3 B． C． D．6 9．（2026·锡山区·一模）如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC·AC，tanα＝2，则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣3，6） C．（，） D．（，） 10．（2025·江阴市·一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，连接AF，点G为AF的中点，连接GE，若，则tan∠GEF的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2026·启东市·模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．则CF的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 12．（2025·惠山区·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝2，tanB＝4，P为边BC上一动点，且满足∠EPF＝∠C，点E在边AB上，点F在边AC上，连结EF，以下结论：①若P为BC的中点，则PE的最小值为；②若CF＝3，则BE的最大值为；③若PE＝2PF，则BE+2CF的值为4；④若∠EPB＝90°，则当时，EF有最小值．其中正确的为（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 13．（2026·惠山区·一模）已知y是x的函数，x1，x2（x1≠x2）是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为y1，y2.若存在常数k（k＞0），使得|y1﹣y2|≤k|x1﹣x2|，则称此函数为“k﹣利普希兹条件函数”． 下列四个结论： ①函数y＝﹣3x+1是“3﹣利普希兹条件函数”； ②函数y＝5x2是“5﹣利普希兹条件函数”； ③若函数y＝mx+n是“2026﹣利普希兹条件函数”，则m的最大值为2026； ④已知函数y＝2x2+3x+1，当1≤x≤2时，此函数是“k﹣利普希兹条件函数”恒成立，则k的最小值为11． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 14．（2026·新吴区·一模）若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数y1＝x+2与函数y2＝3x﹣1存在奇对称点； ②函数y1＝2x+2与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数y1＝2x+3与函数的“奇对称值”，则k＝﹣1或； ④若函数与函数y2＝x+t（x＜0）存在奇对称点，则﹣0.25≤t≤2． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 15．（2025·无锡·校级模拟）若一次函数y＝mx+n与反比例函数同时经过点P（x，y）则称二次函数y＝mx2+nx﹣k为一次函数与反比例函数的“致远函数”，称点P为致远点． ①函数y＝x+2与函数的“致远函数”最小值是﹣4； ②若一次函数y＝x+m和反比例函数在自变量x的值满足m≤x≤m+6的情况下，其“致远函数”的最小值为3，则该“致远函数”的解析式为y＝x2+4x﹣29； ③若函数y＝mx+4m（m＞0）与函数的“致远函数”图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的△OAB是以OA为底的等腰三角形，则点B的坐标为； ④若函数y＝ax+b与函数的“致远函数”的图象过点（1，﹣a），且满足abc≠0，a＞2c＞3b．则点离原点O的距离OD的取值范围为． 其中正确的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①③ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www .zxxk.com 题号猜押02江苏无锡中考数学8~10 押题预测 考点1由实问题抽象出分式方程 1.C 2.A 3.B 考点2命题与定理 1.C 2.C 3.D 考点3旋转的性质 1.C 2.A 3.B 考点4反比例函数系数k的几何意义 1.B 2.B 3.A 考点5解直角三角形 1.B 2.A 3.B ~考点6几何（四边形、相似、解直角三角形）与函数综合 1.D 2.C 3.A 考点7新定义函数综合辨析题 1.D 2.A 3.D 通关特训 1.A 2.D 3.A 4.D 5.B 6.C 1/2 上好每一堂课 题（选择题） 命学科网·上好课 7.B 8.A 9.A 10.A 11.D 12.c 13.D 14.B 15.D www zxxk com 2/2 卷系一每并丁 题号猜押02 江苏无锡中考数学8~10题（选择题） 考点1 由实际问题抽象出分式方程 1．（2026·鼓楼区·校级模拟）某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A型机器的进价比每台B型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（　　） A．12.6x＝21（2x﹣0.7） B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每台B型机器的进价为x万元，则每台B型机器的进价为（2x﹣0.7）万元， 由题意可得：． 故选：C． 2．（2025·沭阳县·校级三模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得：2． 故选：A． 3．（2025·建湖县·三模）DeepSeek掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理数据的时间（x+2）小时， 由题意可得：． 故选：B． 考点2 命题与定理 1．（2026·海门区·校级模拟）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若|a|＝|b|，那么a＝b B．如果ab＞0，那么a，b都是正数 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两条直线与第三条直线相交，同位角相等 【答案】C 【详解】解：A、若|a|＝|b|，那么a＝b，或a＝﹣b，故A错误； B、如果ab＞0，那么a，b都是同号，故B错误； C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故C正确； D、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故D错误． 故选：C． 2．（2026·沭阳县·校级模拟）下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．对角线相等的四边形是矩形 C．若a＞b，b＞c，则a＞c D．若x2＝4，则x＝2 【答案】C 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A是假命题，不合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B是假命题，不合题意； C、若a＞b，b＞c，则a＞c，是真命题，符合题意； D、若x2＝4，则x＝±2，故D是假命题，不合题意． 故选：C． 3．（2025·新吴区·二模）下列命题中的假命题是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题，不合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意． 故选：D． 考点3 旋转的性质 1．（2025·淮安区·校级二模）如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上．若CD＝2，BC＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE， ∴DE＝BC＝1，∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴△ACE是等腰直角三角形，CE＝CD+DE＝2+1＝3， ∴ACCE． 故选：C． 2．（2026·建邺区·校级模拟）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝4，BC＝3，则MN＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接BD，BF，DF， ∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点， ∴点M是BD的中点，点N是BF的中点， ∴MNDF， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC5， ∴AC＝BD＝5， ∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置， ∴DB＝BF＝10，∠DBF＝90°， ∴DFBD＝5， ∴MN． 故选：A． 3．（2026·泰兴市·模拟）如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AF，使F点落在正方形ABCD内部，延长BF交∠DAF的平分线于点H，连接FD交AH于点G，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设∠BAF＝2x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°﹣2x， 由旋转的性质可得：AF＝AB＝AD， ∴， ∵BF交∠DAF的平分线于点H， ∴AH⊥DF，DF＝2FG，， ∴∠H＝∠AFB﹣∠HAF＝45°， ∴△HFG是等腰直角三角形， ∴FG＝HG， ∴， ∴． 故选：B． 考点4 反比例函数系数k的几何意义 1．（2026·江阴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，AO＝AB，点C为OA的中点，若△ABC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵点C为OA的中点，若△ABC的面积为4， ∴△ABO的面积为8， ∵AB＝AO，AD⊥OB， ∴BD＝DO， ∴△ADO的面积＝4|k|， 又∵反比例函数的图象位于第二象限，k＜0， ∴k＝﹣8． 故选：B． 2．（2026·滨湖区·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长OA至点B，使AB＝2OA，过点B作BC∥x轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作AD∥OC，交BC于点D．若四边形OADC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．﹣3 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2026·海门区·模拟）如图，反比例函数的图象经过点A（2，4），连接AO并延长，交双曲线于点C．以AC为对角线作正方形ABCD，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．5π+5 D．5π﹣5 【答案】A 【详解】解：如图，连接OB，过点O作OE⊥AB于点E，设AB交x轴于点F，CD交x轴于点H， ∵反比例函数的图象经过点A（2，4）， ∴k＝2×4＝8，OA， ∴反比例函数的表达式为：， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴OB＝OA＝OC，∠AOB＝90°，AB∥CD， ∴△AOB是等腰直角三角形， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB， ∵OE⊥AB， ∴OE＝AE＝BEAB，∠OEB＝90°， ∴S△AOBAB·OE10， ∵∠AOB＝90°， ∴过点A，O，B的弧是以点E为圆心，以OE为半径的半圆， ∴S弓形OB＝S扇形EOB﹣S△OEB， ∵AB∥CD， ∴∠OAF＝∠OCH，∠OFA＝∠OHC， 在△OAF和△OCH中， ， ∴△OAF≌△OCH（AAS）， ∴S△OAF＝S△OCH， ∴S△OCH+S△OBF＝S△OAF+S△OBF＝S△AOB＝10， ∴S阴影＝S△OCH+S△OBF+S弓形OB． 故选：A． 考点5 解直角三角形 1．（2025·惠山区·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【详解】解：如图，连接BF， ∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴S△AFE＝S△BFE＝25，∠FBA＝∠A， ∴S△AFB＝50AF·BC． ∵CE＝AE＝BEAB， ∴∠A＝∠FBA＝∠ACE， 又∵∠BCA＝90°＝∠BEF， ∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A， ∴∠CEF＝∠CBF， ∴sin∠CEF＝sin∠CB， 设BF＝AF＝x，则CFx， 又∵BC·AF＝50， ∴BC， 又∵BC2+CF2＝BF2， ∴（）2+（x）2＝x2，解得：x＝5， ∴BC4． 故选：B． 2．（2025·连云港·一模）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AC上一点，，∠CBD＝15°，则sin∠BDC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵等腰三角形ABC，AC＝BC，∠C＝90°， ∴∠A＝45°， ∵DE⊥AB， ∴∠EDA＝∠DAE＝45°， ∴△DEA为等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，∵AD＝2， ∴AE＝ADsin45°＝2， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣15°＝30°， 在Rt△DBE中，BD＝2DE＝2×2＝4， 在Rt△DBC中，设BC＝x，则CD＝x﹣2， 由勾股定理可得：BC2+CD2＝BD2， ∴，解得：（舍去）， ∴sin∠BDC． 故选：A． 3．（2025·涟水县·一模）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC， 若，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作CE垂直AD的延长线于E， 在Rt△BAD中，， ∴， 设AB＝3a，AD＝4a， ∴BD5a， ∵CE⊥AE，BA⊥AD， ∴△BAD∽△CED， ∴， ∵DCBD， ∴DEAD＝2a，CEABa， ∴在Rt△AEC中，tan∠CAD． 故选：B． 考点6 几何（四边形、相似、解直角三角形）与函数综合 1．（2025·镇江·模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则矩形DEFG面积的最大值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作FH⊥AC于H， ∴∠EFH+∠FEH＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEC+∠FEH＝90°， ∴∠EFH＝∠DEC， ∴tan∠EFH＝tan∠DEC， ∴， 令EH＝3x，FH＝4x，DC＝3y，CE＝4y， ∴FE5x，DE5y， ∵∠C＝90°，AC＝BC＝4， ∴∠A＝45°， ∴△AFH是等腰直角三角形， ∴AH＝FH＝4x， ∴AC＝4x+3x+4y＝4， ∴y， ∵矩形DEFG的面积＝DE·FE＝25xy＝25x·， ∴矩形DEFG面积的最大值为． 故选：D． 2．（2025·梁溪区·三模）在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60o，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（　　） A．cm2 B．21cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C 【详解】解：如图1，作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F， ∴∠BFE＝∠AEF＝90°， ∴AE∥BF， ∵AB∥CD， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∴▱AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝6，AE＝BF， ∵∠C＝∠D， ∴△AED≌△BFC（AAS）， ∴DE＝CF＝3， ∴AD＝BC＝2CF＝6，AE＝BF＝3， ∴梯形ABCD的面积S27； 如图2，当点Q在BC上时， 当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积最大，此时AP＝PQ＝3， ∴四边形ABQP的面积＝2718； 如图3，当点Q在CD上，点P在AD上时，设四边形ABQP的面积为S， ∵， S△PDQ， ∴S＝27， ∴当t时，S最大； 综上，四边形ABQP的面积的最大值为cm2． 故选：C． 3．（2025·梁溪区·校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是边AC的中点，点E是边AB上一动点，将四边形BCDE沿DE翻折，得到四边形B′C′DE，B、C的对应点分别是B'、C'，连接BB'、CC'，当点E从点B运动到点A的过程中，设BE＝x，三角形BB'E的面积、三角形CC'D的面积、三角形ADE的面积分别用S1、S2、S3表示，则下列结论正确的是（　　） ①；②；③当B'、A、C三点在一条直线上时，；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：∵AB＝AC＝2，D是边AC的中点， ∴AD＝1，S△CDC'＝S△ADC'， ∵BE＝x， ∴AE＝2﹣x， ∴，故①正确； ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， 由折叠可得：∠B'ED＝∠BED，∠C'B'E＝∠CBE＝∠BCD＝∠B'C'D＝45°，AD＝DC＝DC'，BE＝BE'， 如图，连接AC'， 设∠B'ED＝∠BED＝α， ∴∠EDC'＝360°﹣45°×2﹣α＝270°﹣α，∠EDA＝∠BED﹣∠A＝α﹣90°， ∴∠ADC'＝270°﹣α﹣（α﹣90°）＝360°﹣2α， ∵∠BEB'＝360°﹣2α， ∴∠ADC'＝∠BEB'， 又∵， ∴△BEB'∽△ADC'， ∴，故②正确； 如图，当B'、A、C三点在一条直线上时，∠BAB'＝∠BAC＝90°， ∴，， 设BE＝EB'＝x，则AE＝2﹣x， 在Rt△B'AE中，，解得：，故③正确； ， 如图，延长DE交BB'于点K， ∵∠BEB'＝360°﹣2α，BE＝B'E， ∴，∠AED＝∠BEK＝∠B'EK＝180°﹣α， ∴点K是BB'中点， ∴S△BKE＝S△B'KE， ∵∠EBK＝∠ADE＝α﹣90°，∠AED＝∠BEK， ∴△BKE∽△DAE， ∴， ∴，故④正确． 故选：A． 考点7 新定义函数综合辨析题 1．（2026·锡山区·一模）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 【答案】D 【详解】解：∵|x1+y2|+|x2+y1|＝0， ∴x2+y1＝0，x1+y2＝0， ∴x2＝﹣y1，y2＝﹣x1， A、∵， 当点（x1，y1）在反比例函数上时，则x1y1＝2， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴x2y2＝﹣x1·（﹣y1）＝x1y1＝2； ∴点（x1，y1）的反射点（x2，y2），必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”，故正确，不合题意； B、对于y＝x2+1，若点（x1，y1），（x2，y2）是反射点，则，， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， ∴二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点”，故正确，不合题意； C、∵y＝kx﹣4是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2），即（x1，y1），（﹣y1，﹣x1）在直线y＝kx﹣4上， ∴， ∴y1+x1＝k（x1+y1）， ∵y1≠﹣x1， ∴y1+x1≠0， ∴k＝1， ∴y＝x﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝x﹣4＝0时，x＝4， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为（0，﹣4），（4，0）， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为，故正确，不合题意； D、∵二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2）， ∴，， ∴， ∴， ∴x2+x1＝1或x2﹣x1＝0， 当x2﹣x1＝0时，即x2＝x1，则； ∴x2+x1＝1， ∴x2＝﹣x1+1， ∴， ∴， 当时，，此时， ∴，故错误，符合题意． 故选：D． 2．（2026·江阴市·一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，且y1≠y2），若|x1﹣x2|＝m|y1﹣y2|（m是常数），则称线段PQ是一条“m倍率线段”．下列说法中其中正确的是（　　） ①若A（1，1），B（4，2），则线段AB是一条3倍率线段； ②若C（﹣1，2），D在函数的图象上，则有且只有一条2倍率线段CD； ③若A（5，5），B在函数图象上，且AB是1倍率线段，则AB长为或； ④二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，点Q在该二次函数位于第一象限内的图象上，且线段PQ是倍率线段，当PQ的长度最大时，点Q的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：①对于， ，， ，故①正确； ②设，由是2倍率线段得：， 化简得：，即或， 当时，方程无解； 当时，解得：， 只有一个解， 只有一条，故②正确； ③设，由是1倍率线段得：， 即或， 当时，解得：； 当时，解得：或； ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，长度为或，故③错误； ④令，得，即， 令，得，解得：或， ∵图像与轴正半轴交于点， ∴， 设线段表达式为：， 将代入得：，解得：， ∴线段表达式为：， 设，则 ∴， 由是倍率线段得：， 化简得：或， 当时，， 令， 当对称轴时，取最小值， ∴此时的最大值为，此时； 当时，， ∵， ∴， ∵在上的长度随着的增大而增大， ∴时，的最大值为，此时； ∵， ∴最大时，，故④错误； 综上，①②正确． 故选：A． 3．（2026·宜兴市·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）是“k型闭函数”．则k的取值范围是k≥1.5． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：①由一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）可知：y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，m＝1，当x＝5时，n＝9， ∴n﹣m＝k（5﹣1）＝8，故k＝2，故①正确； ②∵一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”， ∴n﹣m＝1×（8﹣3）＝5， 当a＞0时，y随x的增大而增大，n﹣m＝（8a+2）﹣（3a+2）＝5a＝5，得a＝1； 当a＜0时，y随x的增大而减小，n﹣m＝（3a+2）﹣（8a+2）＝﹣5a＝5，得a＝﹣1， 综上，a＝±1，故②错误； ③对于反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b），可知y随x的增大而减小， ∴n，m， ∴n﹣m， 又∵反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”， ∴k（b﹣a），可得ab＝1， ∵a+b， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2026﹣2＝2024，故③正确； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）的开口向下，对称轴为直线x＝a，且b﹣a＝2， 由定义可得：n﹣m＝2k，故k． 当a≤﹣1时，最大值在x＝﹣1处取得，n＝﹣3﹣6a+a2+2a＝a2﹣4a﹣3， 最小值在x＝1处取得，m＝﹣3+6a+a2+2a＝a2+8a﹣3， ∴n﹣m＝﹣12a≥12， ∴k≥6； 当a≤0时，最大值在x＝a处取得，n＝﹣3a2﹣6a2+a2+2a＝4a2+2a， 最小值在x＝1处取得，m＝﹣3+6a+a2+2a＝a2+8a﹣3， ∴n﹣m＝3a2﹣6a+3＝3（a﹣1）2， ∵a≤0， ∴n﹣m＝3（a﹣1）2在a≤0上的函数值随a的增大而减小， ∴n﹣m≥3，解得：k≥1.5； 当a＞0时，最大值在x＝a处取得，n＝4a2+2a， 最小值在x＝﹣1处取得，m＝a2﹣4a﹣3， ∴n﹣m＝3（a+1）2， ∵a＞0， ∴n﹣m＝3（a+1）2在a＞0上的函数值随a的增大而减小， ∴n﹣m＞3，解得：k＞1.5； 当a≥1时，最大值在x＝1处取得，n＝a2+8a﹣3； 最小值在x＝﹣1处取得，m＝a2﹣4a﹣3， ∴n﹣m＝12a＞12，解得：k≥6； 综上，k≥1.5，故④正确． 综上，正确结论为①③④， 故选：D． 1．（2025·新吴区·一模）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 2．（2026·滨湖区·一模）某校学生去20km外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余学生乘乙车出发，两车同时到达．已知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设甲车的速度为x km/h，则乙车的速度为1.2x km/h， 由题意可得：，即． 故选：D． 3．（2026·滨湖区·一模）下列命题中是假命题的是（　　） A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】A 【详解】解：一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，符合题意； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故B是真命题，不合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是真命题，不合题意； 对角线相等的菱形是正方形，故D是真命题，符合题意． 故选：A． 4．（2025·锡山区·校级二模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等 C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形 【答案】D 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，是假命题； B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误，是假命题； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题； D、圆内接平行四边形必为矩形，故正确，是真命题． 故选：D． 5．（2025·新吴区·一模）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接AE．若AE∥BD，则∠EAD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】B 【详解】解：由旋转可得：AB＝AD，∠BAD＝100°， ∴∠ADB＝∠ABD40°． ∵AE∥BD， ∴∠EAD＝∠ADB＝40°． 故选：B． 6．（2026·高新区·校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠C＝36°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，AE与BD相交于点F．当DE∥AB时，∠AFD＝（　　） A．76° B．14° C．76°或14° D．74°或16° 【答案】C 【详解】解：∵∠C＝36°，∠BAC＝64°， ∴∠ABC＝180°﹣64°﹣36°＝80°， ∴∠ADE＝∠ABC＝80°， ∵AB∥DE， ∴∠ADE+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝100°， ∵AB＝AD， ∴∠ADF＝40°， ∵∠CAB＝∠EAD＝64°， ∴∠AFD＝180°﹣40°﹣64°＝76°； 如图2， ∵AB∥DE， ∴∠BAD＝∠ADE＝80°， ∵AD＝AB， ∴∠ADF＝∠ABD＝50°， ∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝80°+50°＝130°， ∵∠E＝∠C＝36°， ∴∠AFD＝180°﹣∠E﹣∠EDF＝180°﹣36°﹣130°＝14°； 综上，∠AFD＝76°或14°． 故选：C． 7．（2026·锡山区·一模）如图，A、B是双曲线y上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：解法一：如图，过点B作BG⊥x轴于点G，则CD是△OBG的中位线， 设A（a，），B（2a，）， ∴CD，AD， ∵·AD·OC＝1， ∴a1， ∴k； 解法二：如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为E， ∵A、B是双曲线y上的两点，过A点作AC⊥x轴， ∴S△AOC＝S△BOE， ∵AC∥BE， ∴△OCD∽△OEB， ∴（）2， 又∵D是OB的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵S△AOD＝1， ∴S△AOC|k|， ∵k＞0， ∴k． 故选：B． 8．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O，延长AD交x轴于点E，若AD＝2DE，▱ABCD的面积为16，则k的值为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：如图，分别过点A，D作x轴的垂线，垂足分别为F，H， ∵对角线AC、BD相交于点O，▱ABCD的面积为16， ∴△OAD的面积是4， ∵点O到AE的距离是△OAD与△OAE△ODE共同的高， ∵AD＝2DE， ∴△OAD的面积是△ODE面积的2倍， ∴△ODE的面积是2， ∴△OAE的面积是6， ∵AD＝2DE， ∴DE：AE＝1：3， ∵∠AFE＝∠DHE＝90°，∴DH∥AF， ∴△EDH∽△EAF， ∴， 设D（d，），则A（d，）， ∴FH＝ddd， ∴EHd， ∴OEd， ∴6， ∴k＝3． 故选：A． 9．（2026·锡山区·一模）如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC·AC，tanα＝2，则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣3，6） C．（，） D．（，） 【答案】A 【详解】解：∵OC2＝BC·AC，∠C＝∠C， ∴， ∴△OBC∽△OAC， ∴∠A＝∠COB， ∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝α， ∵tanα＝2， ∴tan∠ABO， ∴OA＝2OB， ∵AB＝3， 由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2， ∴，解得：OB＝3， ∴OA＝6， ∴tan∠A， 如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵tanα＝2， ∴设C（﹣m，2m），m＞0， ∴AD＝6+m， ∵tan∠A， ∴， ∴，解得：m＝2， 经检验，m＝2是原方程的解． ∴点C坐标为：（﹣2，4）． 故选：A． 10．（2025·江阴市·一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，连接AF，点G为AF的中点，连接GE，若，则tan∠GEF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过A点作AH⊥BC于点H，GM⊥BF于点M， ∵∠ACB＝120°， ∴∠ACH＝60°， 在Rt△ACH中，∵∠CAH＝90﹣∠ACH＝30°， ∴CHAC4＝2， ∴AHCH＝2， ∵点G为AF的中点， ∴FGFA， ∵GM∥AH， ∴， ∴GMAH，FM＝HM， 设BE＝x，则FC＝2x， ∴CE＝4﹣x，MH＝FMx﹣1， ∴ME＝MH+CH+CE＝x﹣1+2+4﹣x＝5， ∴在Rt△GEM中，tan∠GEM． 故选：A． 11．（2026·启东市·模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．则CF的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，当点F在CD左侧时，过点F作MN∥AB交AD于点M，交BC于点N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝4， ∵MN∥AB， ∴AB∥MN∥CD， ∴四边形AMNB为矩形，四边形CDMN为矩形， ∴MN＝AB＝4，CN＝DM， ∵∠A＝90°， ∴∠AEB+∠ABE＝90°， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠DMF＝90°， ∴∠A＝∠EMF＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠MEF＝90°， ∴∠ABE＝∠MEF， ∴△BAE∽△EMF， ∴， 设MF＝x，则NF＝4﹣x， ∴， ∴EM＝2，AE＝2x， ∴CN＝DM＝AD﹣EM﹣AE＝5﹣2﹣2x＝3﹣2x， ∴CF2＝FN2+CN2， ∴CF2＝（4﹣x）2+（3﹣2x）2＝5（x﹣2）2+5， 如图，当点F在CD右侧时，过点F作MN∥AB交AD延长线于M，交BC延长线于点N， 同理可得：CN＝DM＝AM﹣AD＝2x+2﹣5＝2x﹣3， ∴CF2＝FN2+CN2＝（4﹣x）2+（2x﹣3）2＝5（x﹣2）2+5， 当x＝2时，CF2的最小值为5， ∴CF的最小值是． 故选：D． 12．（2025·惠山区·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝2，tanB＝4，P为边BC上一动点，且满足∠EPF＝∠C，点E在边AB上，点F在边AC上，连结EF，以下结论：①若P为BC的中点，则PE的最小值为；②若CF＝3，则BE的最大值为；③若PE＝2PF，则BE+2CF的值为4；④若∠EPB＝90°，则当时，EF有最小值．其中正确的为（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：如图，若P为BC的中点，连接AP， ∵AB＝AC，P为BC的中点， ∴AP⊥BC，， 在Rt△ABP中，tanB＝4， ∴， ∴AP＝4， ∴， 由垂线段最短可知：当PE⊥AB时，PE有最小值， 此时， ∴，故①正确； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠EPF＝∠C， ∴∠EPF＝∠C＝∠B， ∴∠BEP+∠BPE＝180°﹣∠B，∠BPE+∠CPF＝180°﹣∠EPF， ∴∠BEP＝CPF， ∴△BPE∽△CFP， ∴， ∵BC＝2，CF＝3， 设BP＝x，则CP＝2﹣x， ∴， ∴， ∵， ∴当x＝1，即BP＝1时，BE有最大值为，故②正确； ∵△BPE∽△CFP， ∴， ∵PE＝2PF， ∴BE＝2CP，BP＝2CF， ∴BE+2CF＝2CP+BP＝CP+BC， ∵BC＝BP+CP＝2， ∴BE+2CF＝CP+2＜4，故③错误； 如图，过点E作EH⊥PF于点H，当∠EPB＝90°时， 设BP＝a，则CP＝2﹣a， 在Rt△BPE中，tanB＝4， ∴， ∴EP＝4a， ∴， ∴． 在Rt△EHP中，∠EPH＝∠B， ∴，tan∠EPH＝tanB＝4． ∴，， ∴， ∵△BPE﹣△CFP， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△EHF中，EF2＝EH2+FH2， ∴， 令y＝320a2﹣128a+64， 则， ∵320＞0， ∴当时，y有最小值， 即当时，EF有最小值，故④正确． 故选：C． 13．（2026·惠山区·一模）已知y是x的函数，x1，x2（x1≠x2）是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为y1，y2.若存在常数k（k＞0），使得|y1﹣y2|≤k|x1﹣x2|，则称此函数为“k﹣利普希兹条件函数”． 下列四个结论： ①函数y＝﹣3x+1是“3﹣利普希兹条件函数”； ②函数y＝5x2是“5﹣利普希兹条件函数”； ③若函数y＝mx+n是“2026﹣利普希兹条件函数”，则m的最大值为2026； ④已知函数y＝2x2+3x+1，当1≤x≤2时，此函数是“k﹣利普希兹条件函数”恒成立，则k的最小值为11． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【详解】设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为 ①已知函数， ∴， ， ∴． ∵，满足，此时， ∴函数是“3-利普希兹条件函数”，故①正确； ②对于函数， ∴，， ∴， 当时，，， 而，不满足， ∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，故②错误； ③已知函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴， ∴． ∵函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴，即 ． ∵， ∴，两边同时除以可得：， ∴m的最大值为2026，故③正确； ④已知函数，当时， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴，满足， ∴k的最小值为11，故④正确； 综上，正确的有：①③④． 故选：D． 14．（2026·新吴区·一模）若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数y1＝x+2与函数y2＝3x﹣1存在奇对称点； ②函数y1＝2x+2与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数y1＝2x+3与函数的“奇对称值”，则k＝﹣1或； ④若函数与函数y2＝x+t（x＜0）存在奇对称点，则﹣0.25≤t≤2． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：①设点M（a，a+2）在y1＝x+2上， ∴其关于原点的对称点N（﹣a，﹣a﹣2）需在y2＝3x﹣1上， ∴将N（﹣a，﹣a﹣2）代入y2的解析式：﹣a﹣2＝3（﹣a）﹣1， ∴， ∴存在这样的a，使得，关于原点对称， 即函数y1＝x+2与函数y2＝3x﹣1存在奇对称点，故①正确； ②设点M（a，2a+2）在y1＝2x+2上， ∴其关于原点的对称点N（﹣a，﹣2a﹣2）需在上， ∴将N（﹣a，﹣2a﹣2）代入y2的解析式：，即a2+a﹣6＝0， ∴a＝﹣3或a＝2． ∴当a＝2时，M（2，6），到原点的距离为， 当a＝﹣3时，M（﹣3，﹣4），到原点的距离为， ∴奇对称值应为5或，故②错误； ③∵是函数y1＝2x+3与函数的“奇对称值”， ∴设M（a，2a+3），则M到原点的距离为， ∴，则5a2+12a+7＝0， ∴a＝﹣1或， ∴当a＝﹣1时，M（﹣1，1），对称点N（1，﹣1）在上，代入得k＝﹣1， 当时，，对称点 在上，代入得， ∴k＝﹣1或，故③正确； ④设点M（a，﹣a2+2a）（0≤a≤2）在y1上， ∴其关于原点的对称点N（﹣a，a2﹣2a）需在y2＝x+t（x＜0）上， ∴将N（﹣a，a2﹣2a）代入y2的解析式：a2﹣2a＝﹣a+t，化简得：t＝a2﹣a（0＜a≤2，因x＝﹣a＜0） ∵二次函数t＝a2﹣a的对称轴直线为， ∴在0＜a≤2内，最小值为，最大值为t（2）＝2， ∴t的范围为﹣0.25≤t≤2，故④正确． 故选：B． 15．（2025·无锡·校级模拟）若一次函数y＝mx+n与反比例函数同时经过点P（x，y）则称二次函数y＝mx2+nx﹣k为一次函数与反比例函数的“致远函数”，称点P为致远点． ①函数y＝x+2与函数的“致远函数”最小值是﹣4； ②若一次函数y＝x+m和反比例函数在自变量x的值满足m≤x≤m+6的情况下，其“致远函数”的最小值为3，则该“致远函数”的解析式为y＝x2+4x﹣29； ③若函数y＝mx+4m（m＞0）与函数的“致远函数”图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的△OAB是以OA为底的等腰三角形，则点B的坐标为； ④若函数y＝ax+b与函数的“致远函数”的图象过点（1，﹣a），且满足abc≠0，a＞2c＞3b．则点离原点O的距离OD的取值范围为． 其中正确的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【详解】解：①函数y＝x+2与函数的“致远函数”为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点为（﹣1，﹣4）， ∴函数y＝x+2与函数的“致远函数”最小值是﹣4，故①正确； ②由y＝x+m和反比例函数得：“致远函数”的解析式为y＝x2+mx﹣（m2+13）， ∴函数的对称轴为：， （i）当时，即m≤﹣4， 函数在x＝m+6时取得最小值，即（m+6）2+m（m+6）﹣m2﹣13＝3， 解得：或（舍去）； （ii）当，即﹣4＜m＜0， 函数在处取得最小值，即，无解； （iii）当m≥0时， 函数在x＝m处，取得最小值，即m2+m2﹣m2﹣13＝3，解得：m＝±4（舍去﹣4）， 综上，或4， ∴“致远函数”的解析式为或y＝x2+4x﹣29，故②不正确； ③函数与函数的“致远函数”为， ∴顶点，， ∵由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形， ∴， 如图，过A作轴于点C，则， ∴，解得：， ∴， ∴，故③正确； ④函数与函数的“致远函数”为， 将点代入得：，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 点离原点O的距离， 设，则， ∵， ∴当时，的最小值为， 当时，， 当时，， ∴原点O的距离的取值范围为，故④不正确． 故选：D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $