模块二 压轴题讲练(范围：第1-3章 期中备考必刷练 37个题型 共74题）-2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册

2025-2026学年北师大版数学七年级下册期中考前必刷练精讲练【压轴题重难点题型】 模块二 压轴题题型讲练『期中备考必刷练』 ［北师大版（新教材）七年级下册第1-3章］ 题型序列 题型名称 压轴题型一 负整数指数幂 压轴题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 压轴题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 压轴题型四 幂的混合运算 压轴题型五 计算单项式乘多项式及求值 压轴题型六 多项式乘多项式与图形面积 压轴题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 压轴题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 压轴题型九 多项式乘法中的规律性问题 压轴题型十 平方差公式与几何图形 压轴题型十一 运用完全平方公式进行运算 压轴题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 压轴题型十三 整式乘法混合运算 压轴题型十四 多项式乘多项式——化简求值 压轴题型十五 通过对完全平方公式变形求值 压轴题型十六 求完全平方式中的字母系数 压轴题型十七 用科学记数法表示数的除法 压轴题型十八 整式四则混合运算 压轴题型十九 整式的混合运算 压轴题型二十 与余角、补角有关的计算 压轴题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 压轴题型二十二 同位角相等两直线平行 压轴题型二十三 内错角相等两直线平行 压轴题型二十四 同旁内角互补两直线平行 压轴题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 压轴题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 压轴题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 压轴题型二十八 根据平行线判定与性质证明 压轴题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 压轴题型三十 用频率估计概率的综合应用 压轴题型三十一 列举法求概率 压轴题型三十二 根据概率公式计算概率 压轴题型三十三 已知概率求数量 压轴题型三十四 游戏的公平性 压轴题型三十五 几何概率 压轴题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 压轴题型三十七 概率在比赛中的应用 压轴题型一 负整数指数幂 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝                 ，（2，1）＝              ，（3，）＝                 ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 【答案】(1)2，0，-2 (2)①0；②见解析 【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可； （2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ 52=25， ∴（5，25）=2； ∵20=1， ∴（2，1）=0； ∵ ∴ 故答案为：2，0，-2； （2）①（8，1000）-（32，100000） =（23，103）-（25，105） =（2，10）-（2，10） =0； ②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10， 所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y， 所以（3，2）+（3，5）=（3，10）． 压轴题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 3．（2024七年级·全国·竞赛）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【分析】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【详解】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 4．（2025·广西梧州·一模）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“万亿”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“万亿”． 故答案为：． 压轴题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 5．（23-24七年级下·重庆万州·期中）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示成（其中，为整数），即可得到答案． 【详解】解：由科学记数法的定义可得：， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·河北保定·期末）中国是世界上稀土资源最丰富的国家之一，素有“稀土王国”之称．铈是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，是稀土元素中丰度最高的．将数据“”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义进行解题即可． 【详解】解：根据科学记数法的定义可得：. 故选:A． 压轴题型四 幂的混合运算 7．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【详解】（1）解： （2）解：， ， 8．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值； （2）如果，求x的值； 【答案】（1）（2） 【分析】（1）逆运用幂的运算性质求解即可； （2）根据幂的运算性质将原式整理为，即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． ∴． 压轴题型五 计算单项式乘多项式及求值 9．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 10．（25-26七年级下·湖南湘西·月考）已知，求的值________． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 压轴题型六 多项式乘多项式与图形面积 11．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知长方形，，，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，求的值． 【答案】 【分析】设，根据图形，易得，，再根据，列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：设， 由图可知，，， 当时，， ， 等式两边同除以（），得， ， 则的值为． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 【答案】6 【分析】由题意可得的面积，的面积，四边形的面积，设，，则，，，求出的面积为，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 压轴题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，则______ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，根据多项式乘法法则将括号展开后再合并，根据系数相等求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 又 ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 压轴题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 15．（24-25七年级下·重庆·期末）如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义，求出的值，判断①，根据新定义得到，判断②，将转化为，计算后，根据不含一次项，得到，判断③，根据新定义得到，判断④． 【详解】解：若， 则：， ∴， ∴；故①正确； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为常数， ∴；故②正确； ∵， ∴ ∵代数式（k为正整数）不含一次项， ∴， ∵均为非0常数， ∴， ∴， ∵k为正整数， ∴当时，最大为；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选C． 16．（2023七年级·全国·专题练习）若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，的等式，求出后再求代数式值． 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 压轴题型九 多项式乘法中的规律性问题 17．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果： = = ； = = ． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)，，；，， (2)；理由见解析 【分析】（1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）解：， ； 故答案是：；． （2）解：用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 18．（25-26七年级下·山东德州·月考）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算：____．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 压轴题型十 平方差公式与几何图形 19．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 根据题意，面积之差为117，即，结合，即，DG的长度恰为，根据平方差公式即可求出的值． 【详解】解：∵两正方形面积之差为117， ∴， ∵， ∴， ∵，将上述数值代入计算， 解出， 则的长度为， 故选C． 20．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 【答案】总结：（1），；（2）；应用：；拓展： 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，平方差公式与几何图形，数字类规律探索，解题关键是掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式求解． （1）根据图写出阴影部分的面积即可； （2）利用两个面积相等列式即可；利用探究中的公式计算即可；算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即；图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，其面积为． 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，， 故答案为：； [应用] [拓展] ∵，，，，，… 以2，4，8，6，四个为一个循环， ， ∴与的末位数相同，即为6． 故答案为：6． 压轴题型十一 运用完全平方公式进行运算 21．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知有理数x、y满足，求的最小值为________． 【答案】 【分析】由已知式子得到，因此，根据平方的非负性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的最小值为． 22．（25-26七年级下·陕西西安·月考）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）设，则，根据得到，再化简，配方求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （2）解： ， ， 当时，有最小值； （3）解：设，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴当时，面积的最大值为． 压轴题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）解答： (1)【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； (2)若满足，求的值； (3)【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）直接利用题目给出的完全平方公式变形，代入已知数值计算； （2）通过换元法将两个整式设为整体，结合完全平方公式的变形公式求解； （3）通过平移阴影部分的边，发现花圃总周长与长方形周长的关系，结合长与宽的差求出长和宽，进而计算面积． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴． （2）解：设，， 则，，． ∵， ∴， 即． （3）解：设，． 根据题意，得，，， ∴，． ∵长方形和长方形(阴影部分)的总周长为， ∴．即． ∵， ∴，解得． 答：长方形空地的面积为． 24．（25-26七年级下·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 压轴题型十三 整式乘法混合运算 25．（22-23七年级下·江西新余·月考）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是________． 【答案】2或6 【分析】可分析确定，进而或，分别求解； 【详解】； ∵ ， ∴ ∴或 解得或 时，， 时，， 故答案为：2或6 26．（2024·重庆·二模）对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论： ①若为正整数，则多项式的值一定是正数； ②存在有理数，，使得的值为； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定大于．上述结论中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据整式的乘法混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解． 【详解】解：①， 当时，．故①是错误的； ②当， 即， ∴， 当时，或者．所以②是正确的． ③∵ ， ∵不含x的一次项， ∴， ∴， ∴，∴③是错误的； 综上，只有②是正确的． 故选：B． 压轴题型十四 多项式乘多项式——化简求值 27．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… （1）第5个等式是________； （2）根据上述规律猜想第n个等式是________（用含n的等式表示）． 【答案】 【分析】（1）结合题意，发现数字规律即可求解； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为，减数为，右边均为，即可求解． 【详解】解：（1）依据规律可知， 第5个等式：， 故答案为：； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为，减数为，右边均为， 猜想第n个等式：， ， 故猜想成立， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案． 【详解】如图所示，对需要的交点标注字母： ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 故答案为：． 压轴题型十五 通过对完全平方公式变形求值 29．（25-26七年级下·山东济南·期末）数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．某数学兴趣小组探究图1、图2，分别用两种不同的方法列代数式表示了阴影图形的面积． (1)知识探究 观察图1，方法一：______，方法二：______； 观察图2，方法一：______，方法二：______； (2)尝试应用：观察图3，解决下面的问题：若，，求的值； (3)拓展延伸：若，求的值． 【答案】(1)，；， (2)； (3)． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示出阴影图形的面积，即可得出结论； （2）用两种不同的方法表示出阴影图形的面积，得到，再整体代入求解即可； （3）设，，根据题意得到，，再利用（1）得到公式，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：观察图1，方法一：，方法二：； 观察图2，方法一：，方法二：； 故答案为：，；，； （2）解：观察图3，方法一：，方法二：； ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴，即． 30．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 【答案】（1），；（2）①；②1 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据正方形的面积公式即可得到结论； （2）①根据完全平方公式即可得到结论；②根据完全平方公式即可得到结论． 【详解】解：（1） ； 故答案为：，； （2）①，， ， ； ②，， ， ． 压轴题型十六 求完全平方式中的字母系数 31．（25-26七年级下·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 32．（25-26七年级下·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 压轴题型十七 用科学记数法表示数的除法 33．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 34．（24-25七年级下·全国·单元测试）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可； （2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）10亿， ∴10亿元的总张数为张， （厘米）； 答：大约高厘米； （2）， ， （天）． 答：点钞机大约要点25天 压轴题型十八 整式四则混合运算 35．（25-26七年级下·四川成都·期末）在个连续正整数中，最小的正整数记为k，最大正整数是，若存在正整数k满足，且，则称这个连续正整数为“友好连续正整数”．当时，m的最小值=______；在某个“友好连续正整数”中，当m的最小值为677时，______． 【答案】 10 26 【分析】本题考查了数字规律探究，勾股数的应用，掌握通过举例归纳出数字规律，再利用规律求解参数是解题的关键． 先通过举例找到时满足的等式，计算出对应的值，再从例子中归纳出和的表达式，得到与的关系式，最后代入求出的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，可得：； 当时，可得： 的最小值为； 归纳可得： 根据以上计算可得：，， 故答案为：． 36．（25-26七年级下·重庆渝北·期末）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“双九数”，此时，规定．例如，1287，因为，所以1287是“双九数”，；又如3257，因为，所以3257不是“双九数”． 则_____．对于一个“双九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“双九数”，若是7的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“双九数”的最大值为_____． 【答案】 68 8415 【分析】本题主要考查了新定义”双九数”、整式运算等知识，理解题目中”双九数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设M千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则N千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，，根据”双九数”的定义可得，结合为7的倍数，且a、b均不为0，找到符合条件的a、b的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）6732中，，则6732是”双九数”， ； 故答案为：68； （2）设M千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则N千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，， ， 为7的倍数，且a、b均不为0， 也是7的倍数， 又，a、b在到中选择， 则当时，满足条件，此时M为2178； 当时，，满足条件，此时M为4257； 当时，满足条件，此时M为6336（不符合题意，舍去）； 当时，；满足条件，此时M为7722（不符合题意，舍去）或8415， 又∵M取最大值， ∴M为8415． 故答案为：8415． 压轴题型十九 整式的混合运算 37．（25-26七年级下·四川眉山·期末）先化简再求值：，其中 【答案】； 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 当时，原式． 38．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握利用非负数的性质求值是解题的关键．先将括号内的二次三项式配方，然后用整式乘法化简整理，再对整理后关于z的二次三项式配方，再根据非负数的性质分别求得x，y，z的值，即可进一步求解答案． 【详解】解：原方程可化为， ， ， ， ，，， ，， ， ，，， ． 故答案为：． 压轴题型二十 与余角、补角有关的计算 39．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 【答案】或 【分析】设，则，根据题意列方程求出，然后分两种情况：①当射线在内部；②当射线在外部，分别求出的度数即可． 【详解】解：设，则， 依题意得：， 解得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ①当射线在内部时， ； ②当射线在外部时， ； 综上所述，的度数为或． 40．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 压轴题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 41．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． 42．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解； （）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 压轴题型二十二 同位角相等两直线平行 43．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 压轴题型二十三 内错角相等两直线平行 45．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角的和差可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角的余角相等，平行线的判定，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据和互余，和互余得到，又因为，所以，即可得证． 【详解】解： 和互余， ， 和互余， ， ， ， ， ． 压轴题型二十四 同旁内角互补两直线平行 47．（24-25七年级下·广东佛山·月考）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 48．（2024·四川达州·一模）如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是________． 【答案】1 【分析】作直径AC，连接CP，得到△APC∽△PBA，得到，得到，所以，得到当时，有最大值是1． 【详解】解：如图，作直径AC，连接CP， ∵AC为直径， ∴∠CPA=90°， ∵AB为切线， ∴CA⊥AB， 又∵PB⊥l， ∴AC∥PB， ∴△APC∽△PBA， ∴， ∵PA=x，PB=y，r=2， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是1， 故答案为：1． 压轴题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边，碰到上的点B后便反弹而滚向桌边，碰到上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 50．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，若的3倍比大，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分在右侧和左侧两种情况讨论，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶当在右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵的3倍比大， ∴，即 ∴； 当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的3倍比大， ∴，即 ∴． 压轴题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 51．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知点， 点， 点， 且． (1)求A、 B、 C三点的坐标： (2)将线段平移到线段， 点A对应点C， 点B对应点D． ①如图1，连接交x轴于点E，求三角形的面积； ②如图2，点M 从原点O出发以2个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动，过点M作的平行线交y轴于点N，点P在直线上，设点M运动时间为t秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①6；②或10 【分析】（1）利用非负数的性质求得a、b、c的值即可； （2）①先根据平移的性质可得，如图1中，过D作轴于H，设，再根据列方程求得x，最后根据计算即可； ②由题意可得依题意，再说明，进而得到；再证明，最后根据构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：①由平移的性质，可得． 过D作轴于H，设， 由得：， 解得：， ∴． ∴． ②依题意，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得或10(舍去)． 52．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）由可得，，由可得，代入即可求解； （）分三种情况：当与相遇前，两灯的光线；当与相遇后， 为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线；当与相遇后，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线；列出方程解答即可求解； 本题考查了补角性质、平行线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴，解得，不合题意，舍去； 当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴， 解得； 综上，或时，两灯的光线互相平行， 故答案为：或． 压轴题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 53．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则 ， ． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒,请求出符合条件t的值． 【答案】(1)， (2) (3)2或6或 【分析】（1）如图1中，过点E作，证明，可得结论； （2）如图2中，同法可证利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）分五种情形：如图，当时．如图，当时．如图，当时．如图，当时．如图中，当时，分别求出的度数． 【详解】（1）解：如图1中，过点E作， ，， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图2中，过H点作， ， ∴， ∴， ∴， 即， ， ， ， ， ， ，分别平分，， ，， ； （3）解：如图，当时， 此时， ，，（秒）， ； 如图，当时， 此时， ，（秒）， ； 如图，当时， 此时，，， ，（秒）， ， 满足条件的t的值为2或6或． 54．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ (2)如图3，，分别平分和，且点P在左侧． ①若，则______． ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】（1）对于图1，过点P作，根据平行线的判定与性质，可得，，两式相加即可得到答案；对于图2，过点P作，根据平行线的判定与性质，可得，，两式相加，即可求得答案； （2）①根据（1）可得，逐步求出，，再根据（1）的结论，即可求得答案； ②根据（2）①可逐步推得，结合，可推得，再由（1）知，可得，即得答案； ③根据（1），可逐步求得，，以此类推，可得，再由②知，，可得，即得答案． 【详解】（1）解：如图①，当点在左侧（图1位置） 过点P作， ， ， ， ， ； 如图②，当点在右侧（图2位置） 过点P作， ， ， ， ， ， 即； （2）解：①当时，如图3， 由（1）可知， ， ， ，分别平分和， ，， ， 同（1）得，； ②由（2）①知，， ， 由（2）①知， ， 由（1）知， ， 整理得； ③由（1）知，， 与的角平分线交于点， ，， 同（1）， ， ，， 以此类推，可得， 由②知，， ， ， 当时，． 压轴题型二十八 根据平行线判定与性质证明 55．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：当点P在的右侧时，．理由： 如图，过P点作． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①如图，当P在的左侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，． ． 解得． 如图，当P在的右侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，， ． 解得． 综上：为或． 56．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 压轴题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 57．（24-25七年级下·山东滨州·开学考试）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列结论正确的是（    ） A．甲盒中的总球数等于乙盒与丙盒中的球数之和 B．甲盒中的红球数等于乙盒中的总球数 C．乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数相等 D．乙盒中的黑球数不多于丙盒中的黑球数 【答案】ABC 【分析】本题考查随机事件，根据题意列出所有可能的情况，取两个球往盒子中放有4种情况，分别是①取得的两个球都是红球，②取得的两个球都是黑球，③取得的两个球是一红一黑，④取得的两个球是一黑一红； 分别得出当出现这4种情况时，盒子中球的数量变化，分别判断各个选项，问题即可迎刃而解． 【详解】解：取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个． 袋中装有偶数个球，每取两个球，其中一个放到甲盒，另一个放到乙盒或丙盒， 甲盒中的总球数等于乙盒与丙盒中的球数之和， 故选项A正确； 只有放入甲盒的球是红球时，才将另一个球放入乙盒， 甲盒中的红球数等于乙盒中的总球数， 故选项B正确； 红球和黑球个数一样， ①和②的情况一样多，对乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样， ③和④的情况．对乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响， 乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数相等 故选项C正确； 假设每次摸球都是情况③，则红球都放进了甲盒，黑球都放进了乙盒，此时丙盒中没有球，乙盒中的黑球数大于丙盒中的黑球数， 故选项D错误； 综上可知，结论正确的是ABC， 故选：ABC． 58．（24-25七年级下·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 【答案】C 【分析】根据可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的求解即可． 【详解】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8张； B、卡片上的数字是2的倍数有：，，，，，，，，，，共10张； C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张； D、卡片上的数字是3的倍数有：，，，，，，共6张． ∵， ∴卡片上的数字是合数可能性最大． 故选：C． 压轴题型三十 用频率估计概率的综合应用 59．（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）某种油菜籽在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽粒数m 65 111 a 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 b (1)填空：_____，_____； (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率． 【答案】(1)136，0.70 (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率为0.7 【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，用频率估计概率： （1）根据频率等于频数除以总数进行求解即可； （2）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可． 【详解】（1）解；由题意得，， 故答案为：136；； （2）解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，这种油菜籽发芽的频率逐渐稳定在左右， ∴任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率为0.7． 60．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______． (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 【答案】(1)0.6 (2)， (3)白色12个，黑色8个 【分析】（1）根据摸球的次数1000次时摸到白球的频率，即可估计出摸到白球的频率． （2）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． （3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只． 本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． 【详解】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6． （2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是． 故答案为：，． （3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球个，黑球个． 压轴题型三十一 列举法求概率 61．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 62．（24-25七年级下·重庆渝中·自主招生）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 【答案】 【分析】先计算出A到B共有多少种走法，然后再计算出从A到C,再由C到B有多少种走法，然后代入概率公式计算即可得出结果. 【详解】解： 先计算出A到B共有多少种走法要向上走两个单位，分成两种情况： 当一次向上走两个单位时，即从4列中选一列，一次向上走2个单位，共有种走法， 当分两次向上走一个单位时，即从4列中选2列，共有种， 所以从从A点到B点共有4+6=10种； 再计算由A到C再到B情况 步骤一从A点到C点，共有3种； 步骤二从C点到B点，共有2种； 所以从A点经过B点再到C点一共种， 所以小明能够不绕路的概率是：. 故答案为：. 压轴题型三十二 根据概率公式计算概率 63．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案． 【详解】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形， 故P（所作三角形是等腰三角形）=． 故选D． 64．（23-24七年级下·北京海淀·开学考试）小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是______有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可． 【详解】解：黑卡8在左边， 白卡数字可能为8或9， 又白卡9排在第一行， 第四行最后一张白色卡片上数字只能是8； 每行能确定的数字为： 第一行：1 5 6 7 9 第二行： 3 4 5 第三行：0 6 7 9 第四行：0 2 8 8 不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为， 故答案为：8；． 压轴题型三十三 已知概率求数量 65．（25-26七年级下·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 66．（2025七年级·全国·专题练习）数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． (1)活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (2)活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (3)活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 【答案】(1)3 (2)①4②7 (3)袋中有33个小球． 【分析】本题考查随机事件的含义，必然事件的含义，探索规律的方法，通过例举，寻找规律是解题的关键． （1）活动一：通过列举得出答案； （2）活动二：通过列举得出答案； （3）活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：仅摸一次，不可能出现两相同编号， 摸两次，有可能出现不同的编号，如，或，，不符合必然事件， 摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （2）解：①摸两次时，不符合题意，如摸到，， 摸三次时，不符合题意，如摸到，，， 摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件， 故答案为：； ②摸六次时，不符合题意，如，，，，，， 摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴袋中有个小球． 压轴题型三十四 游戏的公平性 67．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键． 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 【详解】解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： （1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 68．（2025七年级下·全国·专题练习）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2)①公平，理由见解析；②不公平，理由见解析 (3)为了获胜，选择猜不是3的倍数 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，正确根据概率计算公式求出对应游戏规则下获胜的概率是解题的关键． （1）分别计算出两人获胜的概率，比较即可得到答案； （2）①分别计算出猜奇数和猜偶数获胜的概率，比较即可得到答案；②分别计算出猜3的倍数和猜不是3的倍数获胜的概率，比较即可得到答案； （3）根据（2）所求可得答案． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： ∵一共有12个数字，小佳猜对的数字只有一个，猜错的数字有11个， ∴小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平； （2）解：①公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中奇数和偶数分别有6个， ∴猜奇数或者猜偶数获胜的概率都为， ∴公平； ②不公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中3的倍数有4个，不是3的倍数有8个， ∴猜3的倍数获胜的概率为，猜不是3的倍数获胜的概率为， ∵， ∴不公平； （3）解：由（2）可得，猜不是3的倍数的获胜概率比较大，故为了获胜，选择猜不是3的倍数． 压轴题型三十五 几何概率 69．（2024·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 70．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 压轴题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 71．（2024·山东青岛·一模）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 72．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 【答案】(1)不公平，理由见详解 (2)游戏规则见详解 【分析】本题考查的是概率，熟练掌握如何计算概率是解题的关键． （1）分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可． （2）设计出两者胜算相等的方案即可． 【详解】（1）不公平， ∵转出的数字是的倍数，有三种情况，即为、、，总共会出现九种情况， ∴小芳获胜的概率为， 又∵转出的数字是的倍数，有两种情况，即为、，总共会出现九种情况 ∴小亮获胜的概率为， ∴这样的游戏规则不公平． （2）我设计的方法是：转出数字大于小亮胜，转出数字小于小芳胜（方法不唯一，合理即可）， ∵转出数字大于的情况有四种，转出数字小于的情况也有四种， ∴双方获胜的概率都是， 故这样的游戏方法就公平了． 压轴题型三十七 概率在比赛中的应用 73．（23-24七年级下·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 74．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学七年级下册期中考前必刷练精讲练【压轴题重难点题型】 模块二 压轴题题型讲练『期中备考必刷练』 ［北师大版（新教材）七年级下册第1-3章］ 题型序列 题型名称 压轴题型一 负整数指数幂 压轴题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 压轴题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 压轴题型四 幂的混合运算 压轴题型五 计算单项式乘多项式及求值 压轴题型六 多项式乘多项式与图形面积 压轴题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 压轴题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 压轴题型九 多项式乘法中的规律性问题 压轴题型十 平方差公式与几何图形 压轴题型十一 运用完全平方公式进行运算 压轴题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 压轴题型十三 整式乘法混合运算 压轴题型十四 多项式乘多项式——化简求值 压轴题型十五 通过对完全平方公式变形求值 压轴题型十六 求完全平方式中的字母系数 压轴题型十七 用科学记数法表示数的除法 压轴题型十八 整式四则混合运算 压轴题型十九 整式的混合运算 压轴题型二十 与余角、补角有关的计算 压轴题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 压轴题型二十二 同位角相等两直线平行 压轴题型二十三 内错角相等两直线平行 压轴题型二十四 同旁内角互补两直线平行 压轴题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 压轴题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 压轴题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 压轴题型二十八 根据平行线判定与性质证明 压轴题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 压轴题型三十 用频率估计概率的综合应用 压轴题型三十一 列举法求概率 压轴题型三十二 根据概率公式计算概率 压轴题型三十三 已知概率求数量 压轴题型三十四 游戏的公平性 压轴题型三十五 几何概率 压轴题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 压轴题型三十七 概率在比赛中的应用 压轴题型一 负整数指数幂 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝ ， （2，1）＝ ， （3，）＝   ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 压轴题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 3．（2024七年级·全国·竞赛）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 4．（2025·广西梧州·一模）广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为______． 压轴题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 5．（23-24七年级下·重庆万州·期中）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米米，用科学记数法表示为______． 6．（23-24七年级下·河北保定·期末）中国是世界上稀土资源最丰富的国家之一，素有“稀土王国”之称．铈是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为，是稀土元素中丰度最高的．将数据“”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 压轴题型四 幂的混合运算 7．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值； （2）如果，求x的值； 压轴题型五 计算单项式乘多项式及求值 9．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 10．（25-26七年级下·湖南湘西·月考）已知，求的值________． 压轴题型六 多项式乘多项式与图形面积 11．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知长方形，，，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，求的值． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 压轴题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，则______ 压轴题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 15．（24-25七年级下·重庆·期末）如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2023七年级·全国·专题练习）若的乘积中不含 与 项，求的值． 压轴题型九 多项式乘法中的规律性问题 17．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果： = = ； = = ． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 18．（25-26七年级下·山东德州·月考）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算：____．（为正整数）． 压轴题型十 平方差公式与几何图形 19．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 压轴题型十一 运用完全平方公式进行运算 21．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知有理数x、y满足，求的最小值为________． 22．（25-26七年级下·陕西西安·月考）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 压轴题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）解答： (1)【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； (2)若满足，求的值； (3)【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 24．（25-26七年级下·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 压轴题型十三 整式乘法混合运算 25．（22-23七年级下·江西新余·月考）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是________． 26．（2024·重庆·二模）对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论： ①若为正整数，则多项式的值一定是正数； ②存在有理数，，使得的值为； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定大于．上述结论中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 压轴题型十四 多项式乘多项式——化简求值 27．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… （1）第5个等式是________； （2）根据上述规律猜想第n个等式是________（用含n的等式表示）． 28．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 压轴题型十五 通过对完全平方公式变形求值 29．（25-26七年级下·山东济南·期末）数形结合思想是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．某数学兴趣小组探究图1、图2，分别用两种不同的方法列代数式表示了阴影图形的面积． (1)知识探究 观察图1，方法一：______，方法二：______； 观察图2，方法一：______，方法二：______； (2)尝试应用：观察图3，解决下面的问题：若，，求的值； (3)拓展延伸：若，求的值． 30．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 压轴题型十六 求完全平方式中的字母系数 31．（25-26七年级下·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 32．（25-26七年级下·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 压轴题型十七 用科学记数法表示数的除法 33．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 34．（24-25七年级下·全国·单元测试）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 压轴题型十八 整式四则混合运算 35．（25-26七年级下·四川成都·期末）在个连续正整数中，最小的正整数记为k，最大正整数是，若存在正整数k满足，且，则称这个连续正整数为“友好连续正整数”．当时，m的最小值=______；在某个“友好连续正整数”中，当m的最小值为677时，______． 36．（25-26七年级下·重庆渝北·期末）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“双九数”，此时，规定．例如，1287，因为，所以1287是“双九数”，；又如3257，因为，所以3257不是“双九数”． 则_____．对于一个“双九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“双九数”，若是7的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“双九数”的最大值为_____． 压轴题型十九 整式的混合运算 37．（25-26七年级下·四川眉山·期末）先化简再求值：，其中 38．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为______． 压轴题型二十 与余角、补角有关的计算 39．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 40．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 压轴题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 41．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 42．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 压轴题型二十二 同位角相等两直线平行 43．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 压轴题型二十三 内错角相等两直线平行 45．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 压轴题型二十四 同旁内角互补两直线平行 47．（24-25七年级下·广东佛山·月考）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 48．（2024·四川达州·一模）如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是________． 压轴题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边，碰到上的点B后便反弹而滚向桌边，碰到上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为 ． 50．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，若的3倍比大，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 压轴题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 51．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知点， 点， 点， 且． (1)求A、 B、 C三点的坐标： (2)将线段平移到线段， 点A对应点C， 点B对应点D． ①如图1，连接交x轴于点E，求三角形的面积； ②如图2，点M 从原点O出发以2个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动，过点M作的平行线交y轴于点N，点P在直线上，设点M运动时间为t秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，直接写出t的值． 52．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 压轴题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 53．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则 ， ． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒,请求出符合条件t的值． 54．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ (2)如图3，，分别平分和，且点P在左侧． ①若，则______． ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 压轴题型二十八 根据平行线判定与性质证明 55．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 56．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 压轴题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 57．（24-25七年级下·山东滨州·开学考试）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列结论正确的是（    ） A．甲盒中的总球数等于乙盒与丙盒中的球数之和 B．甲盒中的红球数等于乙盒中的总球数 C．乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数相等 D．乙盒中的黑球数不多于丙盒中的黑球数 58．（24-25七年级下·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 压轴题型三十 用频率估计概率的综合应用 59．（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）某种油菜籽在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽粒数m 65 111 a 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 b (1)填空：_____，_____； (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率． 60．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______． (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 压轴题型三十一 列举法求概率 61．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 62．（24-25七年级下·重庆渝中·自主招生）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 压轴题型三十二 根据概率公式计算概率 63．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）    A．1 B． C． D． 64．（23-24七年级下·北京海淀·开学考试）小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是______有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是______． 压轴题型三十三 已知概率求数量 65．（25-26七年级下·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 66．（2025七年级·全国·专题练习）数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． (1)活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (2)活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (3)活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 压轴题型三十四 游戏的公平性 67．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 68．（2025七年级下·全国·专题练习）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 压轴题型三十五 几何概率 69．（2024·福建厦门·二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 70．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 压轴题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 71．（2024·山东青岛·一模）小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 72．（23-24七年级下·陕西西安·月考）如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 压轴题型三十七 概率在比赛中的应用 73．（23-24七年级下·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 74．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $