精品解析：广东肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高一下学期4月份质量检测数学试卷

2025-2026学年高一级4月份质量检测数学试卷 一、单选题 1. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 已知平面向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（   ） A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 4. 为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（ ）. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 7. 已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 10. 是虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 三、填空题 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 13. 如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 14. 如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 四、解答题 15. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 17. （1）已知，，且，求； （2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A； （2）若，，求的面积． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一级4月份质量检测数学试卷 一、单选题 1. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题设. 2. 已知平面向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以，解得. 3. 下列说法中，正确的是（   ） A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 4. 为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（ ）. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 5. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 6. 若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，互为共轭复数，由，得， 因此，A正确. 7. 已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，则， 所以. 8. 在中，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. 二、多选题 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 10. 是虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，可判断AB选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断D选项. 【详解】对于AB选项，，A对B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 三、填空题 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由直观图，作出其对应的原图，即可求得答案. 【详解】由题意，作出直观图对应的原图， 可得， 所以的面积等于. 故答案为：4. 13. 如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】在中， ， 根据正弦定理，代入，，， 得，解得. 在中，，，， 所以，且， 根据余弦定理，在中，， 代入得， 因此. 故答案为：. 14. 如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果. 【详解】设，， 则； 设，， 则； 又不共线，故，解得，则. 四、解答题 15. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，， 则； 【小问2详解】 由已知，， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 16. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列式求解即可. 【小问1详解】 若复数为实数，则，解得或． 【小问2详解】 若复数为纯虚数，则，解得，所以． 【小问3详解】 若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 17. （1）已知，，且，求； （2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）把两个复数代入条件，利用复数除法化简，可得． （2）由于是方程的一个根，所以把它代入方程，整理成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得方程组，即可解得. 【详解】（1）由，得． （2）由于是方程的一根，则， 即， 所以， 解得，，． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题设，根据诱导公式、二倍角公式及辅助角公式求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，得， 代入条件得：， 即， 则，即， 因为，则， 所以，则． 【小问2详解】 由余弦定理得， 代入，可得， 整理得，解得（舍去负根）， 因此，的面积为． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； 【小问2详解】 方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $