广东省广州开元中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一下期中数学模拟测（满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. C. 6 D. 3. 在中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交 D. 若，，，则 5. 下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 6. 如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，，，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 7 7. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为 B. 当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动 C. 当时，圆锥SO的外接球表面积为 D. 当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数是方程的两根，则（ ） A. 是方程的一个根 B. C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角A，C，B满足关系 C. 外接圆半径为 D. 中线CD的长为 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线，平面，则平面 B. 若直线与异面，则过空间任意一点与和都平行的平面有且仅有一个 C. 三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域 D. 已知直线与异面，不同的两点，不同的两点，则直线与可能相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则_____________． 13. 内角的对边分别为，若，则的面积__________． 14. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 17. 在中，是的中点，，，. （1）求的面积. （2）若为上一点，且，求值. 18. 记的内角的对边分别为，，， （1）已知， （i）若，求； （ii）求的最小值； （2）已知点D在边AC上且，，，求． 19. 如图，设A是由 个实数组成的n行n列的数表，其中 表示位于第i行第j列的实数，且 记向量 若 则称 与 为正交向量. 若对任意不同的， 都有 与 为正交向量，则称A为正交数表. （1）直接判断是否为正交数表(不需要说明理由)； （2）当时， 设 且 与 为正交向量， 与 为正交向量，求证： 与 不是正交向量： （3）求证: 对任意，当时， A不是正交数表. 高一下期中数学模拟测（满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【16题答案】 【答案】（1） 如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； （2） 证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 【17题答案】 【答案】（1）（2） 【18题答案】 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【19题答案】 【答案】（1）是正交数表，不是正交数表. （2）证明见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $