精品解析：甘肃省武威市凉州区发放、吴家井中学2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 2. 下列各数中，是正分数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：是负分数，不符合题意； 对于选项B：是负整数，不符合题意； 对于选项C：既不是正数，也不是负数，且是整数，不符合题意； 对于选项D：是正分数，符合题意． 3. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 五边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 即这个多边形是九边形． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，代入系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 整理得， 解得， ∴的取值范围是． 5. 如图，，是的两条切线，，是切点，点在圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由切线的性质可得，利用四边形内角和求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的两条切线，，是切点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6. 一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 7. 已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的中心对称性，得到交点坐标的关系，再结合反比例函数图象上点的坐标特征计算即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两函数的交点，关于原点对称， 可得，， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， 将，代入得： ． 8. 如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再通过面积关系，推导出，设，求出，最后用含有k的代数式表示，最后求出k值． 【详解】解：连接，过点B作轴于点E． ∵轴，轴， ∴， ∵的面积为 ，D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵A是双曲线 上的点， ∴设， ∵轴，交于点D，垂足为C， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴，即C为的中点， ∴， ∵B是双曲线 上的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点旋转得到， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，， ∴． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有， ∴，故①错误；，故②正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，即，故③正确； 由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误； ∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等， ∴当时，，故④正确； 综上所述：正确的结论有②③④共3个． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴正整数m的值有10，11，12，13，14，15共6个． 12. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 13. 若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用整体思想求解，将代入原方程可得对应关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入方程， 可得：， 整理得， 因此． 14. 如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，是的直径，与相切于点B，连接，交于点D，，点E在上，则________． 【答案】40 【解析】 【分析】如图所示，连接，由切线的性质得到，进而求出，由是的直径，得到，则，再由同弧所对的圆周角相等即可得到． 【详解】解：如图所示，连接， 与相切于点B， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 16. 将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，再由折叠的性质得到，结合推出，从而得到．接着利用平行线判定，根据相似三角形的对应边成比例列方程，最后求解的长度． 【详解】解：设， ， ，， 由折叠的性质可知：， ， ， 又， ， , ， ， ， , 即， 解得， 即的长度是． 17. 如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，易证明四边形是矩形，进而得到，由垂径定理得到、，根据勾股定理得到的长，在中，，在中，，进而得到关于的等式，利用、求解即可． 【详解】解：过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h， 、， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径的一部分， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ， ， 、， ． 18. 如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图的投影规律，由主视图确定棱柱的高，由俯视图和左视图确定底面四边形的形状及各边长度．左视图的宽对应俯视图的高，结合角度关系求出底面各边长，进而求得底面周长，最后利用侧面积公式计算即可． 【详解】由主视图可知，该四棱柱的高． 由俯视图可知，底面为四边形，且，． 由左视图可知，底面四边形在垂直于方向上的投影长度为，且存在分界点． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， 根据左视图数据及图形位置关系，可知，， 在中，，则， 在中，，则， ∴， ∵，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴底面周长 ∴这个四棱柱的侧面面积为 三、解答题（共66分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点的坐标为． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，在所给的网格图中画出； （2）在所给的网格图中找到两点，使得均在线段的垂直平分线上，并写出点和点的坐标． 【答案】（1）如图所示即为所求， （2）如图所示即为所求， 点（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质找到点的对应点，即可求解； （2）利用网格作垂直平分线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质、二次根式的化简、负整数指数幂运算、特殊角的三角函数值先分别化简每一项，再进行加减运算得到结果； （2）分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：，  解不等式，，  ， 解得；  解不等式，，  ， 解得 原不等式组的解集为． 21. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，求每天“遗忘”的百分比．（参考数据：） 【答案】约为 【解析】 【分析】设每天“遗忘”的百分比为，依据“两日不练，技艺减半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定的值即可． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为， 由题意得：， 解得：，（大于，舍去）． ， 答：每天“遗忘”的百分比约为． 22. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，结合证明即可； （2）先证明，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 23. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 【答案】 （1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴∠QAF=90°，AQ=AF， ∵∠EAF=45°， ∴∠QAE=45°， 在△AQE和△AFE中， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ=∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线； （2）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴∠ABQ=∠ADF=45°，QB=DF， ∴∠QBE=∠ABQ+∠ABE=90°， 由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE=EF， 在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2， 则EF2=BE2+DF2． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案； （2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】考点：（1）旋转的性质；（2）正方形的性质． 24. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据同弧所对的圆周角相等得出，然后求出，最后根据等腰三角形的判定得出； （2）连接，连接并延长交于点G，先证明垂直平分，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，连接并延长交于点G， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 在中，， ∴． 25. 如图，的顶点在坐标原点，点在轴上，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）设反比例函数的表达式为，将点代入中，求解即可； （2）过点作，垂足为，根据函数的表达式求解即可； 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为， 将点代入中，得， 反比例函数的表达式． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 点为的中点，， 为的中点， ， 点的横坐标为，代入中得， 点的坐标为． 26. 2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺．一架无人机在着陆坡坡道上方水平向右飞行跟踪拍摄．当谷爱凌在点时，无人机在她仰角为45°的斜上方处；当谷爱凌到达点时，无人机恰好飞到她正上方处．已知坡道的坡度为，坡长米，无人机水平飞行距离米，求无人机离地面的高度的长．（，结果保留整数．） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作地面于点，过点作地面于点，交于点，得出四边形、四边形是矩形，由坡道的坡度为，设米，则米，求出，得到米，米，再求出米，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，过点作地面于点，过点作地面于点，交于点， 四边形、四边形是矩形， ，，米，， 坡道的坡度为， ， 设米，则米， 米， 米， ， 解得， 米，米， 米，米， 米， ， 米， 米， 米． 27. 如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）3． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求解即可； （3）过点作于点，作于点，求得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是正分数的是（ ）． A. B. C. D. 3. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 五边形 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，，是的两条切线，，是切点，点在圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 12. 分解因式：2x2﹣8=_______ 13. 若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 14. 如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 15. 如图，是的直径，与相切于点B，连接，交于点D，，点E在上，则________． 16. 将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________． 17. 如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 18. 如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点的坐标为． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，在所给的网格图中画出； （2）在所给的网格图中找到两点，使得均在线段的垂直平分线上，并写出点和点的坐标． 20. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 21. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，求每天“遗忘”的百分比．（参考数据：） 22. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 24. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，的顶点在坐标原点，点在轴上，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标． 26. 2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺．一架无人机在着陆坡坡道上方水平向右飞行跟踪拍摄．当谷爱凌在点时，无人机在她仰角为45°的斜上方处；当谷爱凌到达点时，无人机恰好飞到她正上方处．已知坡道的坡度为，坡长米，无人机水平飞行距离米，求无人机离地面的高度的长．（，结果保留整数．） 27. 如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $