精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区武威三中教研联片中考一模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程中，若，则该一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 3. 若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 4. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等边三角形的三个顶点均在上，，为的直径，则的长为（ ） A 4 B. C. D. 6. 有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒》，《唐探》，《熊出没•重启未来》．小西和小安同学分别从三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以为边作正方形，顶点恰好落在该反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 8. 如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方形纸片的宽为，三角板中，，，．将三角板的顶点固定在纸片的边上，边与纸片的边交于点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 12. 已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为______． 13. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C对应点落在边上．若，则的度数为________． 14. 如图，在中，，，则的长为_______． 15. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为_______________ 16. 如图，在中，，D为中点，E为上一个动点，连接交于F，当时， __________． 17. 如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为_______． 18. 如图，正方形边长是，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是_______． 三、解答题（共68分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O成中心对称的图形； （2）作边上的高．不要求写作法，但要保留作图痕迹． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图，在和中，，且点A在上，连接． （1）求证：； （2）已知，将绕点C按逆时针方向旋转一周，当以为顶点的四边形是平行四边形时，写出旋转角的度数． 23. 已知，四边形内接于，为直径，与的延长线相交于点E，平分．与相交于点F． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，求的长． 24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围． 25. 如图1，内接于，点D为的中点，连接，平分交于点E， （1）求证：； （2）如图2，过点D作交的延长线于点F．若，，求半径的长． 26. 如图，中，D为上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． （1）求证为的切线； （2）若⊙O的直径，求的长． 27. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形 ，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 关于x的一元二次方程中，若，则该一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴，即方程无实数根． 故选：C． 3. 若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线过定点，代数式的值，准确找到定点是解题的关键．把变形得，确定函数过的定点是，从而得到，代入计算即可． 【详解】解：把变形得， 所以函数过的定点是， 因为一次函数都经过同一定点， 所以， 所以． 故选：D． 4. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 5. 如图，等边三角形的三个顶点均在上，，为的直径，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，如图．根据是等边三角形，得出，根据垂径定理和圆周角定理得出，，即可得，根据直角三角形的性质得出，结合勾股定理即可求解． 详解】解：连接，如图． ∵是等边三角形，， ， ∵为的直径， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】该题考查了勾股定理，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 6. 有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒》，《唐探》，《熊出没•重启未来》．小西和小安同学分别从三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题关键．列表可得出所有等可能的结果数以及小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《哪吒》，《唐探》，《熊出没•重启未来》分别记为，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的结果有种， 小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以为边作正方形，顶点恰好落在该反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．求出点的坐标为，点B的坐标为，求出点D的坐标为，根据点B和点D都在反比例函数的图象上得到，进一步即可求出答案． 【详解】解：当时，，解得 ∴点的坐标为， 设点B的坐标为， 过点B作轴于点，过点D作轴于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为 ∵点B和点D都在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A 8. 如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据勾股定理可得，，再证，得，则即：当取得最大值是，的面积取得最大值，由，，根据圆周角定理可知，，，，四点共圆，点在以为直径的圆上，可知的最大值为3，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∵，则， ∵， ∴， ∴，则 即：当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵，， 由圆周角定理可知，，，，四点共圆， ∴点在以为直径的圆上， ∴，即的最大值为3， ∴的最大值为， 故选：B． 9. 如图，长方形纸片的宽为，三角板中，，，．将三角板的顶点固定在纸片的边上，边与纸片的边交于点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，过作于，求解，，，，，，由最大，可得最小，可得最小，可得最小，当时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵三角板中，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵最大， ∴最小， ∴最小， ∴最小， 当时，最小， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键．根据俯视图的画法即可得到答案． 【详解】解：从上面看到的是三个正方形， 则俯视图为： 故选：A． 二、填空题（共24分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出二次函数的解析式，令，则，根据根与系数的关系求出，，求出，根据，得出求出m的取值范围即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 令，则， ∴， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 综上分析可知：． 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角， 根据旋转可得，，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出答案． 【详解】解：根据旋转可得，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，运用弧长公式求解是解题的关键． 先根据圆周角定理得到，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 15. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 16. 如图，在中，，D为中点，E为上一个动点，连接交于F，当时， __________． 【答案】## 【解析】 【分析】将补成矩形，延长交于点，可得，求出，，再由即可求出． 【详解】解：如图，分别过点A，B作的垂线，相较于点H，则四边形是矩形，延长交于点， ∵， D为中点， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴设，则， 又∵在矩形中，， ∴， ∴，即， 解得． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． 17. 如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识点．在中，由勾股定理可得，则，，，由的面积是的3倍，可知，即，得，过点作于点，结合折叠的性质解直角三角形可求得在中，，，，进而可证得，可得，则，得，由即可求解．根据折叠的性质解直角三角形证得是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 则，， ∵为的中点， ∴， ∵的面积是的3倍， ∴，即， ∴， 由折叠可知，，，，， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长是，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据题意可知，左视图是一个长方形，即可得到面积． 【详解】解：由题意可知，左视图是一个以直径作为长，半径为宽的长方形， 故所得几何体的左视图的面积是， 故答案为：． 三、解答题（共68分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O成中心对称的图形； （2）作边上的高．不要求写作法，但要保留作图痕迹． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，分别作出A，B，C三点的对应点，再依次连接即可； （2）根据三角形的高的定义画出图形； 【小问1详解】 解：即为所求， 【小问2详解】 根据1×4方格连接作出边上高，根据2×6方格连接作出边上高，、交于F点，根据三角形三条高交于一点，连接并延长交于H，则即为所求． 【点睛】本题考查了作图中心对称图形，三角形高的定义，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），15 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂、立方根、特殊三角函数值及分式的化简求值，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根、负指数幂、特殊三角函数值及实数的运算可进行求解； （2）先对分式进行运算化简，然后再代值求解即可 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当时， 原式． 21. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元 （2）购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程、分式方程的应用， （1）设“迅捷”模型进价为每个x元，可表示“灵巧”模型进价，再根据购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个，列出分式方程，求出解并检验即可； （2）购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【小问1详解】 解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元， 依题意得， ∴ 解得或（舍去）． 经检验，是原分式方程的解．． 答：“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元． 【小问2详解】 ∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为 ． ∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的， ， 解得：． ，． ∴当时，（元）， 即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元． 22. 如图，在和中，，且点A在上，连接． （1）求证：； （2）已知，将绕点C按逆时针方向旋转一周，当以为顶点的四边形是平行四边形时，写出旋转角的度数． 【答案】（1）见解析 （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，可得三角形全等，根据全等三角形性质，可得对应角相等； （2）分类讨论，根据平行四边形的性质即可解答，可得答案． 【小问1详解】 证明：在和中， ； 【小问2详解】 解：分情况讨论，设旋转后，的对应点为， 当为边时有两种情况， 当在上方时，以为顶点的四边形是平行四边形时如图， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，即旋转； 当在下方时，以为顶点的四边形是平行四边形时如图， ， ， 旋转的角度为； 当为对角线时，以为顶点的四边形是平行四边形时如图， ，， 四边形为正方形， ， 旋转的角度为． 综上，旋转角度为或或，以为顶点的四边形是平行四边形． 23. 已知，四边形内接于，为直径，与的延长线相交于点E，平分．与相交于点F． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键： （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再由弧与弦之间的关系得到，利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：为直径， ， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴． 24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）反比例函数为，一次函数的解析式为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比例系数的几何意义，利用待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式； （）先求出点坐标，由面积关系列出不等式即可求解. 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过于，两点， ∴，解得：，， ∴反比例函数为，， ∵一次函数的图象相交，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点是正半轴上的一个动点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 25. 如图1，内接于，点D为的中点，连接，平分交于点E， （1）求证：； （2）如图2，过点D作交的延长线于点F．若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，结合，，再进一步可得结论； （2）如图，连接，设交于点G，证明，求出，证明，推出，易证是等腰三角形，求出，由勾股定理求出，设，则，在中，，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，设交于点G， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴， 解得：， ∴半径的长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角矮星的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图，中，D为上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． （1）求证为的切线； （2）若⊙O的直径，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为28 【解析】 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知，根据圆周角定理可知，结合，可知，进而证明结论； （2）由（1）可知，进而解直角三角形求得，，连接，由圆周角定理可知，进而解直角三角形求得，，过点作于，则，，得，再证，得，设，则，根据，列方程即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，则， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， 过点作于，则，， ∴， ∵，， ∴， 则， 设，则 ∵，即， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 27. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）最大值为4 【解析】 【分析】（1）中把点、的坐标代入函数解析式列出关于、的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点的横坐标； （3）过点作轴交直线于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 即， 令，则， 解得：或3， ， ， ， ， ， 点为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $