二次函数与相似问题综合复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

二次函数与相似问题综合复习讲义 二次函数与相似问题综合复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 二次函数基础：能根据已知条件（点坐标、顶点、对称轴等）求解析式（一般式/顶点式/交点式）；能将函数上点的横坐标代入解析式求纵坐标，或设动点坐标（如抛物线上动点设为），用含参代数式表示线段长度（注意根据点的位置判断线段正负，通常加绝对值或利用坐标系方向定符号）。 1. 相似三角形核心：判定定理（AA/ SAS/ SSS）是解题依据，其中AA（两角对应相等） 为最常用判定方法（因坐标系中易求角度或找等角）；相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等）是列方程的关键，找准对应顶点是避免错解的核心。 二、通用处理思路（五步核心法） 步骤1：求二次函数解析式，梳理已知坐标/线段 根据题干给出的点坐标、对称轴、与坐标轴交点等条件，求出二次函数的确定解析式（或含参解析式），标注出题干中所有定点的坐标（如抛物线与x/y轴交点、顶点、已知点），将几何定点转化为代数坐标，为后续表示线段做准备。 步骤2：设动点坐标，用含参式表示相关线段长度 分析题干中的动点位置（仅在抛物线上/仅在直线上/在指定线段上），设出动点的坐标： - 抛物线上的动点：若抛物线解析式为，设为（单参数，简化计算）； - 直线/坐标轴上的动点：如x轴上设为，y轴上设为，定直线上设为。 再根据坐标系中两点间距离公式或水平/竖直线段直接作差，用含参代数式表示出待证相似三角形的所有边长（水平/竖直线段优先作差，斜线段用距离公式，减少计算量）。 步骤3：确定相似三角形的判定类型，分类讨论对应关系 根据题干条件，确定用哪种判定定理（优先AA，次选SAS），核心关键：分类讨论顶点的对应关系（题干明确对应顶点的除外）。 - 若题干表述为“△ABC与△DEF相似”，未明确对应顶点，则需分所有可能的对应情况（如△ABC∽△DEF、△ABC∽△DFE等，一般2~3种情况）； - 若题干有角度提示（如∠A=∠D），则以该等角为对应角，仅讨论另外两组角的对应情况，减少分类数。 步骤4：根据相似性质列比例方程，求解参数 针对每一种对应情况，根据“相似三角形对应边成比例”列出分式方程，将步骤2中表示的含参线段代入比例式，消去分母转化为整式方程后求解参数（注意：比例式中需保证线段长度为正，可提前确定参数的取值范围）。 步骤5：检验参数，确定最终答案 将求解出的参数代入动点坐标，检验两个条件： 1. 动点是否在题干指定的范围内（如“在抛物线的第一象限部分”“在线段AB上而非其延长线”）； 2. 比例方程的分母是否为0（避免线段长度为0的无效解）。 剔除无效解后，确定最终的动点坐标、参数值或线段长度。 三、高频题型解题技巧 1. 存在性问题（最常考）：题干问“是否存在某点，使两个三角形相似”，按上述五步走，分类讨论所有对应情况，有合理解则存在，无则不存在，注意分类时不重不漏。 1. 求值/求坐标问题：题干明确相似或给出部分对应条件，直接锁定对应关系，列比例方程求解，重点关注线段的表示是否准确（含参式的符号）。 1. 结合最值的综合问题：先根据相似条件求出含参的目标表达式（如面积、线段长度的表达式），再利用二次函数的顶点性质（配方法/顶点公式）求最值，注意参数的取值范围对最值的影响。 四、注意事项 1. 对应顶点不混淆：相似表述中“△A∽△B”的顶点顺序为对应关系，未明确时必须分类，切勿默认一种情况导致漏解； 1. 线段长度非负性：坐标系中表示线段时，水平线段为，竖直线段为，或根据点的位置直接作差（如点在右侧/上方则大减小），避免出现负的线段长度； 1. 动点范围限制：严格按照题干要求检验动点位置，如“线段OA上的动点”与“直线OA上的动点”范围不同，前者为线段，后者为直线，需剔除延长线上的解； 1. 简化计算技巧：优先利用坐标系中的等角（如垂直的直线夹角为90°、平行线的同位角/内错角相等）用AA判定，减少斜线段的计算；水平/竖直线段优先作差，避免频繁使用两点间距离公式导致计算复杂。 例题分析 例1．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． (1)如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； (2)求D点的坐标． (3)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． (4)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 例3．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 例4．（2026·陕西延安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)点为第四象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交线段于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 变式训练 变式1．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)抛物线的表达式是：___________；顶点的坐标为（___________，___________）． (2)如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段（点在点的上方），已知，当的值最大时，求四边形的面积． (3)如图3，沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点，在平移过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出此时平移后的抛物线顶点的坐标；若不存在，请简要说明理由． 变式2．（24-25九年级下·浙江温州·月考）如图，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于点 ，交轴于点，其中点的横坐标为，若直线为抛物线的对称轴，点为直线 上的一动点，则轴上是否存在一点，使、，、四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和C点坐标； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 实战演练 1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，其中两点的坐标分别为和． (1)求该抛物线的解析式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，作于点E，过点E作轴于点F，当最大时，求点P的坐标； (3)如图2，点M是抛物线对称轴上位于x轴上方的一动点，点N是第二象限内该二次函数图像上的动点，且位于抛物线对称轴左侧．若以点N为直角顶点的与相似，直接写出符合条件的点N的坐标． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第二象限是否存在这样的点P，Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数与相似问题综合复习讲义 二次函数与相似问题综合复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 1. 二次函数基础：能根据已知条件（点坐标、顶点、对称轴等）求解析式（一般式/顶点式/交点式）；能将函数上点的横坐标代入解析式求纵坐标，或设动点坐标（如抛物线上动点设为），用含参代数式表示线段长度（注意根据点的位置判断线段正负，通常加绝对值或利用坐标系方向定符号）。 1. 相似三角形核心：判定定理（AA/ SAS/ SSS）是解题依据，其中AA（两角对应相等） 为最常用判定方法（因坐标系中易求角度或找等角）；相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等）是列方程的关键，找准对应顶点是避免错解的核心。 二、通用处理思路（五步核心法） 步骤1：求二次函数解析式，梳理已知坐标/线段 根据题干给出的点坐标、对称轴、与坐标轴交点等条件，求出二次函数的确定解析式（或含参解析式），标注出题干中所有定点的坐标（如抛物线与x/y轴交点、顶点、已知点），将几何定点转化为代数坐标，为后续表示线段做准备。 步骤2：设动点坐标，用含参式表示相关线段长度 分析题干中的动点位置（仅在抛物线上/仅在直线上/在指定线段上），设出动点的坐标： - 抛物线上的动点：若抛物线解析式为，设为（单参数，简化计算）； - 直线/坐标轴上的动点：如x轴上设为，y轴上设为，定直线上设为。 再根据坐标系中两点间距离公式或水平/竖直线段直接作差，用含参代数式表示出待证相似三角形的所有边长（水平/竖直线段优先作差，斜线段用距离公式，减少计算量）。 步骤3：确定相似三角形的判定类型，分类讨论对应关系 根据题干条件，确定用哪种判定定理（优先AA，次选SAS），核心关键：分类讨论顶点的对应关系（题干明确对应顶点的除外）。 - 若题干表述为“△ABC与△DEF相似”，未明确对应顶点，则需分所有可能的对应情况（如△ABC∽△DEF、△ABC∽△DFE等，一般2~3种情况）； - 若题干有角度提示（如∠A=∠D），则以该等角为对应角，仅讨论另外两组角的对应情况，减少分类数。 步骤4：根据相似性质列比例方程，求解参数 针对每一种对应情况，根据“相似三角形对应边成比例”列出分式方程，将步骤2中表示的含参线段代入比例式，消去分母转化为整式方程后求解参数（注意：比例式中需保证线段长度为正，可提前确定参数的取值范围）。 步骤5：检验参数，确定最终答案 将求解出的参数代入动点坐标，检验两个条件： 1. 动点是否在题干指定的范围内（如“在抛物线的第一象限部分”“在线段AB上而非其延长线”）； 2. 比例方程的分母是否为0（避免线段长度为0的无效解）。 剔除无效解后，确定最终的动点坐标、参数值或线段长度。 三、高频题型解题技巧 1. 存在性问题（最常考）：题干问“是否存在某点，使两个三角形相似”，按上述五步走，分类讨论所有对应情况，有合理解则存在，无则不存在，注意分类时不重不漏。 1. 求值/求坐标问题：题干明确相似或给出部分对应条件，直接锁定对应关系，列比例方程求解，重点关注线段的表示是否准确（含参式的符号）。 1. 结合最值的综合问题：先根据相似条件求出含参的目标表达式（如面积、线段长度的表达式），再利用二次函数的顶点性质（配方法/顶点公式）求最值，注意参数的取值范围对最值的影响。 四、注意事项 1. 对应顶点不混淆：相似表述中“△A∽△B”的顶点顺序为对应关系，未明确时必须分类，切勿默认一种情况导致漏解； 1. 线段长度非负性：坐标系中表示线段时，水平线段为，竖直线段为，或根据点的位置直接作差（如点在右侧/上方则大减小），避免出现负的线段长度； 1. 动点范围限制：严格按照题干要求检验动点位置，如“线段OA上的动点”与“直线OA上的动点”范围不同，前者为线段，后者为直线，需剔除延长线上的解； 1. 简化计算技巧：优先利用坐标系中的等角（如垂直的直线夹角为90°、平行线的同位角/内错角相等）用AA判定，减少斜线段的计算；水平/竖直线段优先作差，避免频繁使用两点间距离公式导致计算复杂。 例题分析 例1．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；对称轴为直线； (2)或 (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出点坐标，进而求出的解析式，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，列出方程进行求解即可； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入，得 ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是第四象限内抛物线上的一个动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， ∵，，， ∴， 由题意，，解得或， ∴当时，；当时，； ∴或； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 例2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． (1)如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； (2)求D点的坐标． (3)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． (4)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)能，P点坐标为或 (4)点Q的坐标是或或或 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，勾股定理，旋转的性质得到，，运用待定系数法求解即可； （2）得出，设，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意运用待定系数法得到直线的解析式为：，根据平行四边形的判定方法分类讨论：当时，四边形是平行四边形；，时是平行四边形，结合图形分析即可求解； （4）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时，若；当时，若；当时，若；当时，若；结合图形分析求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由旋转得：， ∴， ∴，且直线是抛物线的对称轴， ∴， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得，， ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，由旋转得：， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：如图2，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线是平移所得， ∴， 过作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图3， 由题意得：， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 即当直线向上平移0个单位时，F、E与O重合，以B、、F、P为顶点的四边形是平行四边形， 此时， 综上所述，P点坐标为或； （4）解：分四种情况： ①如图4， 当时，若， 由题意可知：， ∴， 过Q作轴于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴， ∴； ②如图5， 当时，若， ∴， 设，则， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ③如图6， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设，则， 同理得：， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ④如图7， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设， 同理得：，， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； 综上所述，点Q的坐标是或或或． 例3．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 例4．（2026·陕西延安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)点为第四象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交线段于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为， (2)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出抛物线的表达式，再令，求出的值，即可得出点的坐标； （2）求出直线的解析式为，设，则，，分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出结果 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵以、、为顶点的三角形与相似，且， ∴如图，当时， ， 此时， ∴，即点和点的纵坐标相同， 在中，当时，， 解得：，， ∴此时； 如图，当时， ， 此时，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：，， 此时，即点的坐标为； 综上所述，当以、、为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 变式训练 变式1．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)抛物线的表达式是：___________；顶点的坐标为（___________，___________）． (2)如图2，在抛物线的对称轴上，有一条自由滑动的线段（点在点的上方），已知，当的值最大时，求四边形的面积． (3)如图3，沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点，在平移过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出此时平移后的抛物线顶点的坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，依此求出a即可． （2）将点向下平移2个单位得到点，推出四边形是平行四边形，推出，可得，推出当共线时，的值最大，再根据计算即可； （3）设，根据平移得到，，则，，再根据两点的位置分情况讨论，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设抛物线的表达式为：， ∴，解得：， 故抛物线的表达式为：． ∵ ∴顶点； （2）解：∵， ∴， 如图2中， 将点向下平移2个单位得到点，此时，． ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，的值最大， ∴； （3）解：由，，可得直线的解析式为， ∵沿射线方向或其反方向平移抛物线，平移过程中两点的对应点分别记为，抛物线顶点的对应点记为点， ∴设， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，即， ∴，， ①如图2中，当两点都在x轴的上方时，，，， 只有当和都是钝角三角形时才能满足， ∴， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∵， ∴； ②当两点都在x轴的下方时，，，， 只有当和都是钝角三角形时才能满足， ∴， ∴， 整理得，， 解得（舍去）或， ∵， ∴； ③如图3中，当在x轴的两侧时， 始终是钝角三角形，且， 此时与不相似． 综上所述，满足条件的抛物线的顶点或． 变式2．（24-25九年级下·浙江温州·月考）如图，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于点 ，交轴于点，其中点的横坐标为，若直线为抛物线的对称轴，点为直线 上的一动点，则轴上是否存在一点，使、，、四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，；最小值为 (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，然后将点的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，交对称轴于，四边形的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点、的坐标； （3）首先设的坐标为，求得与的长，由平行线分线段成比例定理，求得的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得，则可得到关于的一元二次方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为：， 点的坐标为． ， ， 此抛物线的解析式为：； （2）解：存在． 抛物线的对称轴方程为：， 点的横坐标为， 点， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 点， 与关于对称， 作关于轴的对称点， 连接交轴于，交对称轴于， 四边形的周长即为最小， 设直线的解析式为：， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，，得， 即， 当时，， ，，，， 使、、、四点所围成的四边形周长最小值为：； （3）解：存在． ， 设， ， ∴， 即， ，， 要使， 需，即， 可得：， 解得：或舍去． 当时，． 存在，点的坐标为 变式3．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和C点坐标； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，根据二次函数性质求解即可； （3），则，，以点O，D，E为顶点的三角形与相似，分两种情况：①当时两三角形相似；②当时两三角形相似，求解即可． 【详解】（1）解：由A、B的坐标分别为、， 则抛物线的表达式为：， 解得：，， 故抛物线的表达式为：； 对于，令，则， 故点； （2）解：由点A、C的坐标得直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m， 则点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，点； （3）解：存在，理由：   点，则，， 以点O，D，E为顶点的三角形与相似， 则或，即或， 即或， 解得：或（舍去） 解得或（舍去）， 综上：或． 变式4．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 【答案】(1)的面积为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数，一次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标与相关线段的长度． （1）先利用待定系数法求出抛物线的表达式，随即可得到相关点的坐标，利用待定系数法求出直线BC所在的一次函数表达式，过点作垂直于轴，交于点，可得出点E的坐标，结合即可求出的面积； （2）先计算出的三条边长，设点坐标为，对可能的相似情况进行分类讨论，求出对应的即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， 将代入 ， 得，解得， 函数表达式为， ∴点、、， 令直线表达式为， 由、， 得，解得， ∴直线表达式为， 过点作垂直于轴，交于点，如下图所示： 当时，， ∴， ∴， ∴， 故的面积为． （2）解：， ， ， 设点坐标为，根据题意，可判断出有可能的相似情况有如下三种： 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 当时， 有，即， 由，解得，该方程无解， 则不存在该情况； 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 综上，点的坐标为或． 实战演练 1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，其中两点的坐标分别为和． (1)求该抛物线的解析式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，作于点E，过点E作轴于点F，当最大时，求点P的坐标； (3)如图2，点M是抛物线对称轴上位于x轴上方的一动点，点N是第二象限内该二次函数图像上的动点，且位于抛物线对称轴左侧．若以点N为直角顶点的与相似，直接写出符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】已知抛物线过和两点，将两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求出b和c的值，从而得到抛物线解析式. 【详解】（1）解：两点的坐标分别为和，且都在抛物线的图像上 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）∵抛物线与x轴交于点两点，对称轴为直线，B点的坐标为． ∴ 设直线的解析式为 解得 ∴直线的解析式为：   设，则      延长交于点G， ，     是等腰直角三角形             ∴当时，最大为 此时 （3）由题意可得： 抛物线对称轴为，设， 已知，分两种相似情况： ①当时，，解得： ②当时，，解得： 2．（2026·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第二象限是否存在这样的点P，Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点P的坐标是或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，难度大，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点D作交于H，证明，则，再转化为二次函数求最值； （3）分两种情况讨论，构造一线三等角的相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， 得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1中，过点D作交于H， 设， 设直线 ∵，， ∴， 解得， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴的最大值为1． （3）解：①当点P在直线左侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M， 对于抛物线，当，则， 解得：, ∵，，， ∴， ∵直线， ∴直线l的解析式为， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或． ∴； ②当点P在直线右侧时，构造同样辅助线，如图： 设， 同理可证明：， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或． 此时点P的坐标为． 综上所述，符合条件的点P的坐标是或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $