二次函数的性质与折叠问题综合复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

二次函数的性质与折叠问题综合复习讲义 二次函数的性质与折叠问题综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 以平面直角坐标系为桥梁，结合二次函数的核心性质（解析式、对称轴、顶点、图象上点的坐标特征）和折叠的几何性质（折叠前后对应点关于折痕对称、对应边/角相等、折痕为对应点连线的垂直平分线），实现几何折叠关系的代数化转化，通过设坐标、列方程求解未知量，核心是折痕找对称，坐标建等式，函数定关系。 二、通用解题思路（六步法：建系定函数→标已知点→找折叠对称关系→用性质列方程→求解验证→答问题） 1. 建系定函数，明确核心性质 若未建系，以二次函数的对称轴、与坐标轴交点为依托建平面直角坐标系；已知二次函数解析式的，先化简为顶点式，明确对称轴、顶点、开口方向，标注函数图象上关键点坐标（与x/y轴交点、顶点）。 1. 标注折叠相关点，确定折叠对象 明确折叠的原图形点、折叠后对应点（如点折叠后落在点处）、折痕所在直线，将所有已知点坐标标在坐标系中，未知点设为（优先设折叠对应点、折痕上的点）。 1. 紧扣折叠性质，转化为代数关系 折叠的核心几何性质转化为3个关键代数结论（折痕为，点折叠后为）： · 对应点连线垂直于折痕：（斜率乘积为-1，折痕垂直时单独分析）； · 对应点连线的中点在折痕上：中点坐标满足折痕直线解析式； · 折叠后点在二次函数图象上：若折叠后点落在抛物线上，则该点坐标满足二次函数解析式。 1. 结合二次函数性质，列方程/方程组 ① 若求折痕解析式：利用“对应点对称关系”求折痕上两点坐标，或用斜率+中点列一次函数方程； ② 若求未知点坐标：利用“折叠后点在抛物线上”，将对称点坐标代入二次函数解析式，结合对称性质列方程； ③ 若求二次函数参数：利用折叠后对应点的坐标特征，代入函数解析式列方程求。 1. 求解方程，验证结果合理性 解一元二次/二元一次方程组，得到未知点坐标、参数值后，验证2点： · 坐标是否符合二次函数图象范围、折叠的几何位置； · 折痕与对应点的对称关系是否成立（中点在折痕上、连线垂直折痕）。 1. 结合题干问题，整合结论作答 根据所求（如求折痕解析式、抛物线上点的坐标、函数参数、线段长度），结合二次函数性质（如对称轴求距离、顶点求最值）计算最终结果。 三、两大高频考向及专属解法 考向1：已知二次函数，求折叠相关的点/折痕解析式 · 特征：二次函数解析式已知，图形上的点经折叠后落在坐标轴/抛物线上，求折叠对应点、折痕直线解析式； · 解法：① 设折叠对应点坐标，用折叠对称性质列坐标关系；② 若点在抛物线上，代入函数解析式得方程；③ 联立求解得坐标，再用两点式求折痕解析式。 · 关键：未知点设参少，优先设单参数（如折叠后点在x轴上，设为）。 考向2：已知折叠关系，求二次函数解析式/参数 · 特征：已知折叠的点、折痕信息，二次函数含未知参数（如、顶点横坐标），求函数解析式； · 解法：① 用折叠对称性质求折叠后对应点的具体坐标；② 将该点坐标代入二次函数解析式，结合已知条件（如过某点、对称轴）列方程；③ 求解参数，确定函数解析式。 · 关键：先通过折叠求“确定的点坐标”，再代入函数消参。 四、核心技巧与避坑要点 1. 设点技巧：折叠后点在坐标轴上时，设为或（单参数）；在抛物线上时，结合函数解析式设为，减少变量个数。 1. 斜率特殊处理：折痕为竖直线（）时，无斜率，直接利用“对应点横坐标中点为，纵坐标相等”；折痕为水平线（）时，对应点纵坐标中点为，横坐标相等。 1. 二次函数核心性质活用：对称轴是“点的横坐标对称”关键，若两点纵坐标相同，横坐标关于对称（），可快速求坐标。 1. 避免漏解：一元二次方程求解后有两个解时，结合几何位置取舍（如折叠后点在抛物线的左/右支、上/下部分），切勿直接舍去。 1. 距离与坐标转化：折叠中涉及线段长度时，用两点间距离公式转化为坐标运算，结合二次函数性质计算。 例题分析 例1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 例2．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)连接，在线段上任取一点D，过D作的垂线段交抛物线于点，，试说明； (3)将线段BC（含B，C端点）沿翻折，抛物线沿翻折，翻折后两个新图形仍有两个交点，请直接写出n的取值范围． 例3．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． (1)若二次函数的图象上存在唯一的“等值点”，求的值； (2)若将函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后的部分与图象其余部分组成新的图象，求该图象上的所有“等值点”的坐标； (3)若将函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象，当该图象上恰好有三个“等值点”时，请直接写出的值． 例4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为． (1)求定点的坐标； (2)把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式； (3)在（2）中，已知的面积为8． ①当时，求图象中的取值范围； ②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·广东江门·月考）【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 变式2．（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求出该抛物线的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴上方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 变式3．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 变式4．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，且与x轴交于另一点C．已知抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)已知直线在点D下方，将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，点D落在点E处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案. ①当点E落在内部（含边界）时，求t的取值范围； ②当时，将直线向下平移n个单位长度，得到直线l，当直线l与“M”形图案恰有3个公共点时，请直接写出n的值． 实战演练 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点，交y轴于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)把二次函数的图象在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折后得到的图象和原来不变的部分构成一个新的函数图象，点P为新函数图象上y轴右侧一动点，且点P在x轴上方，请求出的取值范围； (3)在（2）的条件下，若直线与新的函数图象有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 2．（2025·吉林·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，函数值的取值范围是___________； (3)若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点． ①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的性质与折叠问题综合复习讲义 二次函数的性质与折叠问题综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 以平面直角坐标系为桥梁，结合二次函数的核心性质（解析式、对称轴、顶点、图象上点的坐标特征）和折叠的几何性质（折叠前后对应点关于折痕对称、对应边/角相等、折痕为对应点连线的垂直平分线），实现几何折叠关系的代数化转化，通过设坐标、列方程求解未知量，核心是折痕找对称，坐标建等式，函数定关系。 二、通用解题思路（六步法：建系定函数→标已知点→找折叠对称关系→用性质列方程→求解验证→答问题） 1. 建系定函数，明确核心性质 若未建系，以二次函数的对称轴、与坐标轴交点为依托建平面直角坐标系；已知二次函数解析式的，先化简为顶点式，明确对称轴、顶点、开口方向，标注函数图象上关键点坐标（与x/y轴交点、顶点）。 1. 标注折叠相关点，确定折叠对象 明确折叠的原图形点、折叠后对应点（如点折叠后落在点处）、折痕所在直线，将所有已知点坐标标在坐标系中，未知点设为（优先设折叠对应点、折痕上的点）。 1. 紧扣折叠性质，转化为代数关系 折叠的核心几何性质转化为3个关键代数结论（折痕为，点折叠后为）： · 对应点连线垂直于折痕：（斜率乘积为-1，折痕垂直时单独分析）； · 对应点连线的中点在折痕上：中点坐标满足折痕直线解析式； · 折叠后点在二次函数图象上：若折叠后点落在抛物线上，则该点坐标满足二次函数解析式。 1. 结合二次函数性质，列方程/方程组 ① 若求折痕解析式：利用“对应点对称关系”求折痕上两点坐标，或用斜率+中点列一次函数方程； ② 若求未知点坐标：利用“折叠后点在抛物线上”，将对称点坐标代入二次函数解析式，结合对称性质列方程； ③ 若求二次函数参数：利用折叠后对应点的坐标特征，代入函数解析式列方程求。 1. 求解方程，验证结果合理性 解一元二次/二元一次方程组，得到未知点坐标、参数值后，验证2点： · 坐标是否符合二次函数图象范围、折叠的几何位置； · 折痕与对应点的对称关系是否成立（中点在折痕上、连线垂直折痕）。 1. 结合题干问题，整合结论作答 根据所求（如求折痕解析式、抛物线上点的坐标、函数参数、线段长度），结合二次函数性质（如对称轴求距离、顶点求最值）计算最终结果。 三、两大高频考向及专属解法 考向1：已知二次函数，求折叠相关的点/折痕解析式 · 特征：二次函数解析式已知，图形上的点经折叠后落在坐标轴/抛物线上，求折叠对应点、折痕直线解析式； · 解法：① 设折叠对应点坐标，用折叠对称性质列坐标关系；② 若点在抛物线上，代入函数解析式得方程；③ 联立求解得坐标，再用两点式求折痕解析式。 · 关键：未知点设参少，优先设单参数（如折叠后点在x轴上，设为）。 考向2：已知折叠关系，求二次函数解析式/参数 · 特征：已知折叠的点、折痕信息，二次函数含未知参数（如、顶点横坐标），求函数解析式； · 解法：① 用折叠对称性质求折叠后对应点的具体坐标；② 将该点坐标代入二次函数解析式，结合已知条件（如过某点、对称轴）列方程；③ 求解参数，确定函数解析式。 · 关键：先通过折叠求“确定的点坐标”，再代入函数消参。 四、核心技巧与避坑要点 1. 设点技巧：折叠后点在坐标轴上时，设为或（单参数）；在抛物线上时，结合函数解析式设为，减少变量个数。 1. 斜率特殊处理：折痕为竖直线（）时，无斜率，直接利用“对应点横坐标中点为，纵坐标相等”；折痕为水平线（）时，对应点纵坐标中点为，横坐标相等。 1. 二次函数核心性质活用：对称轴是“点的横坐标对称”关键，若两点纵坐标相同，横坐标关于对称（），可快速求坐标。 1. 避免漏解：一元二次方程求解后有两个解时，结合几何位置取舍（如折叠后点在抛物线的左/右支、上/下部分），切勿直接舍去。 1. 距离与坐标转化：折叠中涉及线段长度时，用两点间距离公式转化为坐标运算，结合二次函数性质计算。 例题分析 例1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 例2．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)连接，在线段上任取一点D，过D作的垂线段交抛物线于点，，试说明； (3)将线段BC（含B，C端点）沿翻折，抛物线沿翻折，翻折后两个新图形仍有两个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)说明见解析 (3)n的取值范围为或 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于 将两点坐标代入解析式得：， 即． 用第二个方程减去第一个方程消去 解得． 将代入解得． ∴抛物线的解析式为． 令代入抛物线解析式得 ∴C点坐标为． （2）证明：在线段上任取一点过D作的垂线段交抛物线于点点 且从而图象对称轴为直线 因为图象开口向下，离对称轴距离越远的点的函数值越小，反之越大， 故点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离要远， 因此． （3）∵ ∴由待定系数法可得直线的解析式为 将线段（含端点）沿翻折（相当于关于直线做轴对称）后，由中点坐标公式可得点B的对应点的坐标为点C的对应点的坐标为 抛物线的顶点坐标为 沿翻折（相当于关于直线作轴对称）后的顶点坐标为 因此翻折后的抛物线的解析式可设为顶点式 直线沿翻折后的直线表达式为 翻折后的图象如图所示， ∵翻折后两个新图形仍有两个交点， 所以分为以下两种情况： ①两个端点在的图象上， 故必须满足以下方程组，即， 解得， 故； ②当线段内部点（含端点）与的图象有两个交点时： 当时，，即，可解得或 当直线与抛物线的图象相切时（只有一个交点）， 令整理可得 令，解得， 所以， 综上，n的取值范围为或 例3．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． (1)若二次函数的图象上存在唯一的“等值点”，求的值； (2)若将函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后的部分与图象其余部分组成新的图象，求该图象上的所有“等值点”的坐标； (3)若将函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象，当该图象上恰好有三个“等值点”时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)等值点坐标为， (3) 【详解】（1）解：根据题意得：方程只有一个实数根， 整理得：， ， 解得：； （2）解：对于， 当时，， ， 抛物线与轴的交点坐标为，， 翻折后的函数解析式为或或， 当时，解得：（舍去）， 当时，解得：（舍去）， ∴该图象上的所有“等值点”的坐标为，； （3）解：该图象上恰好有三个“等值点”时，即可理解为翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象与直线有三个交点， 当时，解得：， ∴函数的图象上的“等值点”的坐标为，， 如图，当时，该图象与直线有三个交点，即该图像上恰好有三个“等值点” ∴符合题意， 如图，当时，该图象与直线有四个交点，即该图象上恰好有四个“等值点” ∴不符合题意， 如图，当时，该图象与直线的交点少于三个，即该图象上的“等值点”少于三个， ∴不符合题意， 综上所述，当该图象上恰好有三个“等值点”时，． 例4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为． (1)求定点的坐标； (2)把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式； (3)在（2）中，已知的面积为8． ①当时，求图象中的取值范围； ②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）原函数可化为， 可得该函数图象恒过两点，， 故定点为． （2）解：∵直线就是x轴， ∴折叠即为沿x轴向上折叠， ∴解析式为； （3）①∵ ∴对称轴，代入得 的面积为8， ． ∴图象向上翻折部分的函数解析式为． ，顶点在之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，；当时，的最小值为0． 在图象中，的取值范围为． ②若直线与图象从左到右依次交于四点， ∴图象与直线交于点，可得， ∴ ∵与直线交于点， ∴，则． ， ，即， 两边平方解得． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·广东江门·月考）【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、、三点的坐标分别为、、 (2)或 (3) 【详解】（1）解：令， 解得或， 则点、的坐标分别为、，函数的对称轴为直线， 当时，， 则点的坐标为； （2）由题意得翻折部分翻折后的表达式为：， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得， 整理得有且只有1个解， 则， 解得； ②当直线经过点时： 将点的坐标代入得， 则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得点翻折后的点坐标为， 直线经过该点时，与新的函数图象恰有3个公共点，此时， 直线向下移动且保持在轴上方时，与新的函数图象有4个公共点， 则． 变式2．（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求出该抛物线的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴上方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，函数最小值为；当时，函数最小值为 (3) 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，函数取得最小值，即； 当时，抛物线在顶点处取得最小值，即， 综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为； （3）解：由函数的对称性知，，则， 即， 解得：． 变式3．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，点的坐标为 (2) 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵过点作轴的垂线， ∴垂线的方程为， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴图形为， ∵点和点是图形上的点，且， ∴，， ∴， ∵过点作轴的垂线交轴于点， ∴， ∵随着的增大而增大， ∴随着的增大而增大， ∵，且， ∴当时，随着的增大而增大． 变式4．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，且与x轴交于另一点C．已知抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)已知直线在点D下方，将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，点D落在点E处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案. ①当点E落在内部（含边界）时，求t的取值范围； ②当时，将直线向下平移n个单位长度，得到直线l，当直线l与“M”形图案恰有3个公共点时，请直接写出n的值． 【答案】(1)， (2)①；②6或8 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ，． 抛物线过点， ． 将代入，得， 抛物线的解析式为． ， ． （2）解：①依题意，设点E的坐标为， 点，关于直线对称， ， ． 对于，当时，， 当点落在上时，，解得； 当点落在上时，，解得， 当点落在内部（含边界）时，． ②的值为或． 【提示】对于，令， 解得，， ． 当时，易知翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式为． 设直线的解析式为． 当直线l与“M”形图案恰有3个公共点时，分两种情况讨论： a．当直线过点时， 将代入，得， ； b．当直线不经过点时， 令，整理，得，易知该方程有两个相等的实数根， ，解得， ． 综上可知，的值为或． 实战演练 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点，交y轴于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)把二次函数的图象在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折后得到的图象和原来不变的部分构成一个新的函数图象，点P为新函数图象上y轴右侧一动点，且点P在x轴上方，请求出的取值范围； (3)在（2）的条件下，若直线与新的函数图象有且只有两个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）交x轴于点，两点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点K， 根据题意得：y轴右侧新函数的解析式为，点， 设点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 即点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大为16，当时，随s的增大而增大，当时，随s的增大而减小， ∵，且， ∴当时，最小，为12， ∴的取值范围为； （3）解：如图，设当时，新函数图象与y轴交于点D，则点， 当直线与的图象有唯一公共点时， ，即， 此时， 解得：； 当直线过点时，； 此时直线过点， 当直线过点时，， ∵直线与新的函数图象有且只有两个交点， ∴m的取值范围为或． 2．（2025·吉林·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，函数值的取值范围是___________； (3)若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点． ①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①的值为或 ② 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 把配方， 得， 顶点的坐标为：； （2）解：， 时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大， 当时，时，， 时，， ， 故答案为：； （3）解：①令，则， 解得， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ， 点为第四象限的抛物线上一点， 轴， ，即，， ， 轴， ， ； Ⅰ当点在点左侧即时，如图所示： ，当矩形的周长为时，， 即， 解得（舍），； Ⅱ当点在点右侧即时，如图所示： ， 当矩形的周长为时，， 即， 解得； 综上所述，当矩形的周长为时，的值为或； ②如图所示： 当点关于直线的对称点在轴上时，； 当点关于直线的对称点过原点时， ， ， ， ， 综上所述，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $