二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 考点目录 线段与周长问题 将军饮马问题 面积问题 知识点解析 1.解析式的求解：待定系数法 (1)一次函数解析式：y=x+b(k≠0)： (2)二次函数解析式：y=ax2+bx+c(k≠0) 2.交点的求解： (1)函数与x轴的交点：令y为0，求x; (2)函数与y轴的交点：令x为0，求y; (3)两个函数的交点：联立两个函数解方程得交点 3.平面直角坐标系中距离的表示： (1)与x轴平行的线段长度：若Ax,y),B(x2,乃)，AB=k2-x: (2)与y轴平行的线段长度：若Ax,y),Bx,y2),AB=y2-: (3)任意两点之间线段长度：若A(x,),B(2,),AB=Vx-x)}+(,-片)； 4.求点到斜线的距离，可利用等面积法进行转换 5.利用二次函数求最值 求二次函数y=ax2+bx+c(a>0),当m≤x≤n的最值. (1)若对称轴x=-b ≤m,函数在m≤x≤n上y随x的增大而增大. 2a 当x=m时，函数取得最小值am2+bm+c; 当x=n时，函数取得最大值an2+bn+c. (2)若对称轴x=-力之n,函数在m≤x≤n上y随x的增大而减小 2a 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 当x=n时，函数取得最小值an2+bn+c; 当x=m时，函数取得最大值am2+bm+c. (3)若对称轴m≤-多≤，函数在m≤x≤-力上y随的增大而诚小，在-力≤x≤n上y随X的增大而增大 2a 2a 2a 当：之，西发政高成小省名小个 +c; 20 m,则当x=n时，函数取得最大值an2+bn+c; -m,则当x=m时，函数取得最大值am2+bm+c. 本质上是讨论自变量的端点谁离对称轴更远！ 6.点关于直线对称： (1)点P(x,y)关于x轴的对称点P(x,-y); (2)点P(x,y)关于y轴的对称点P(-x,y): (3)点P(x,y)关于直线x=a的对称点P（2a-x,y); (4)点P(x,y)关于直线y=a的对称点P(x,2a-y). 7.将军饮马问题的处理思路 (1)已知M、N为直线1同侧的两个定点，P为直线I上一动点.求PM+PW的最小值 ①求M关于直线I的对称点M1 ②MW为所求PM+PW的最小值， ③求直线M,N与1的交点为所求P, (2)已知M、N为直线I异侧的两个定点，P为直线I上一动点.求PM-PW的最大值 ①求M关于直线I的对称点M 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 ②MW为所求|PM-PW的最大值 ③求直线M,N与I的交点为所求P 8.三角形面积问题：己知Ax,),B(x2,y2),C(x,3), )若=5，即线段B与x垂直，别Sc=k-x (2)若片=，即线段AB与x轴平行，则Sc=-4- (3)若x≠x2且y≠y2, ①过C(西，)微CM上x轴交AB于点M,则S=-k- ②过C(x,)做CN1y轴交AB于点N,则S.4c=2-x- (4)割补法 注意：方法(3)中的两种方法称为铅垂法，相比前两组方法要多求AB的解析式. 9.割补法：对于任意一个四边形，可连接对角线将四边形分割为两个三角形，分别求分割后两个三角形的面积，累 加可得四边形的面积 10.几种特殊四边形的面积 (1)平行四边形的面积=底×高： (2)梯形的面积=】（上底+下底）×高： 2 (3)菱形的面积=底×高=】对角线长度X对角线长度： (4)矩形的面积=长×宽： (5)对于平行四边形、菱形、矩形与正方形，连接对角线求出一个三角形的面积S，再利用平行四边形的对称性 得四边形面积S=2S, 3 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 真题速递 1.(225四川绵阳中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,点 3 B在y轴右侧的x轴上，抛物线y=ax2+三x+c(a≠0)经过A,B,C三点，顶点为D, 2 D (备用图) (1)求抛物线的解析式及点B,D的坐标； (2)点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标； (3)探究在ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边上)？若能，求出此时矩 形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由 【答案10=方++2.810.D): 2 @侣号) (3)能，AB边上的顶点的坐标为 2203 【详解】(1)解：y=2x+2中， 令x=0,则y=2, “C(0,2), 令y=0,则0=2x+2, ∴x=-1, A-1,0, 3 抛物线y=ax2+二x+c(a≠0)经过A,B,C三点， 2 3 a- +c=0 2 (c=2 c=2 1, a=-2 2+2. 猫物线的解祈式为y三7r+ 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 令y=0,则0=-x2+3x x+2, 2 21 x=-1,或x=4, B(4,0). 2 x+2- 吸点o层》： (2)A-1,0),B(4,0),C0,2), ∴OA=1,OB=4,OC=2, ·AB=5,AC=V0A2+0C2=V5,BC=VOB2+0C2=2√5， AC2+BC2=5+20=25=AB2, ∴∠ACB=90°， AC⊥BC, 延长BC至点B,使B'C=BC=2V5,连接B'D,交直线y=2x+2于点P,如图， 则B,B关于直线y=2x+2对称，此时△BDP的周长最小， 过点作B'E⊥x轴于点E, ~B'E⊥x轴，OC⊥x轴， OC∥B'E, B'C =BC, ∴OC为△BB'E的中位线， ..OE=OB=4,B'E=20C=4, B'(-4,4), 设直线B'D的解析式为y=x+b, 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 -4k+b=4 5+6=25, 8 7 k=- 44 37’ b= 11 直线D的解析式为y=-7+37 44x+ 737 y=- 4411, y=2x+2 [12 X=- 19 62 y 19 p1262 19'19 (3)在ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边上)，此时矩形在AB边上的顶 点的华标为0小20或(0 ①如图，顶点E,F,G,H在ABC各边上，设EF与OC交于点K, AHOG 设EF=m, ~四边形EFGH为矩形，KO⊥AB, ∴四边形EHOK,FGOK为矩形，EF∥AB, .OK=EH EF∥AB, ∴.△CEFn△CAB, EF CF AB OC 2-EH 2 EH=10-2m 5 矩形EFGH的面积=EF·EH 0 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 10-2m =m. 5 2 =-二m2+2m 5 ×a=-2<0, 5 血时，矩形E亞GH的面积取得最大值入 sEH=10-2m=1, 1 EH∥OC,EH=二OC, 2 H为OA的中点， 同理，点G为OB的中点， G2,0. ②如图，顶点E,F,G,H在ABC各边上，H与点C重合， B 设GF=m, ~四边形EFGH为矩形， FG∥AC, ·△BFG△BAC, FG BG AC BC' 2V5-GH 5 2W5 ∴GH=2V5-2m, 矩形EFGH的面积=FG·GH 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 =m2V5-2m） 55 =-2m-2 2 m=-2<0, 长年事￥售制￥皿明9鲜‘用入="宗 2 ∴GH=2V5-2m=√5， ∴点G为BC的中点， FG∥AC, FG为ABC的中位线， BF=4B=2 5 :0F=0B-FB= 3 r(o 综上，在ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边上)，此时矩形在AB边上的顶 点的华标为020或(30 2.(225湖北武汉中考真题)抛物线y=x-3与直线y=x交于4B两点（A在B的左边)。 (1) (2) (1)求A,B两点的坐标. (2)如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点.过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,过点P作y轴的平行线交 线段AB于点N,满足PM=PN,求点P的横坐标 (3)如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C,D两点（点C在第二象限），连接AC,BD分别交x轴于E,F两点.若 3 SAor=SACOE,求直线CD的解析式. 4 【答案】(1)A-2,-2),B(6,6) 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 (2)2或6-4V3 1 (3)y=-x 4 y=x2-3 x=-2x=6 【详解】(1)解：联立 4 ，解得 或 y=x y=-2 y=6 ·A-2,-2,B(6,6): 2解：设P好-小 抛物线解所式为y3 抛物线对称轴为y轴， ~PM∥x轴，PNy轴， M-p4p2-3,N(p,p, *PM-lp-(-pl-p.PN-p-(ip-3--ip+p+3, PM PN -4p2+p+3=2p, p2+p+3=2p或-p+p+3=-2p 解得p=2或p=6(舍去)或p=6-4V3或p=6+4V3(舍去)， ∴点P的横坐标为2或6-4√5； a)解，c-小a- 设直线CD解析式为y=kx, 层-3k -做 erdne-d)-e c≠d, -c+d, -3c.ed. 1 .cd =-12 0 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 设直线AC解析式为y=kx+b”, 「-2k"+b”=-2 ck"+b=c2-3 4 1 b=20-3 2 在e》+-3冲，当y合0》*-3=0时，2。 c-2 E 同理可得F cd=-12, .6d+12 6.-12+12 2c-12 d+6 2+6 c-2 ∴0F=0E, ,:SADOF=AD△coE, rd子对oE 4-小0- 3c2+4d2-84=0, ∴3c2+4d2+7cd=0, (3c+4d(c+d)=0, 3c=-4d或c=-d(此时△C0E,△DOF的面积相等，不符合题意)， cd=-4d=-12, 3 “d=3或d=-3（舍去)， .C=-4, “'=4+3、1 4 =4' 10二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 二次函数综合：线段与周长问题、将军饮马问题、面积问题复习讲义 考点目录 线段与周长问题 将军饮马问题 面积问题 知识点解析 1.解析式的求解：待定系数法 （1）一次函数解析式：； （2）二次函数解析式：. 2.交点的求解： （1）函数与轴的交点：令为0，求； （2）函数与轴的交点：令为0，求； （3）两个函数的交点：联立两个函数解方程得交点. 3.平面直角坐标系中距离的表示： （1）与轴平行的线段长度：若，，； （2）与轴平行的线段长度：若，，； （3）任意两点之间线段长度：若，，； 4.求点到斜线的距离，可利用等面积法进行转换. 5.利用二次函数求最值 求二次函数，当的最值. （1）若对称轴，函数在上随的增大而增大. 当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. （2）若对称轴，函数在上随的增大而减小. 当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. （3）若对称轴，函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大. 当时，函数取得最小值； 若，则当时，函数取得最大值； 若，则当时，函数取得最大值. 本质上是讨论自变量的端点谁离对称轴更远！ 6.点关于直线对称： （1）点关于轴的对称点； （2）点关于轴的对称点； （3）点关于直线的对称点； （4）点关于直线的对称点. 7.将军饮马问题的处理思路 （1）已知、为直线同侧的两个定点，为直线上一动点.求的最小值. ①求关于直线的对称点. ②为所求的最小值. ③求直线与的交点为所求. （2）已知、为直线异侧的两个定点，为直线上一动点.求的最大值. ①求关于直线的对称点. ②为所求的最大值. ③求直线与的交点为所求. 8. 三角形面积问题：已知， （1）若，即线段与轴垂直，则. （2）若，即线段与轴平行，则. （3）若且， ①过做轴交于点，则. ②过做轴交于点，则. （4）割补法 注意：方法(3)中的两种方法称为铅垂法，相比前两组方法要多求的解析式. 9.割补法：对于任意一个四边形，可连接对角线将四边形分割为两个三角形，分别求分割后两个三角形的面积，累加可得四边形的面积. 10.几种特殊四边形的面积 （1）平行四边形的面积=底×高； （2）梯形的面积=（上底+下底）×高； （3）菱形的面积=底×高=对角线长度×对角线长度； （4）矩形的面积=长×宽； （5）对于平行四边形、菱形、矩形与正方形，连接对角线求出一个三角形的面积，再利用平行四边形的对称性得四边形面积. 真题速递 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 考点一 线段与周长问题 例1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式． (3)是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标． 例2．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 例3．（25-26九年级上·河北沧州·月考）定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 变式1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 变式2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接交x轴于点D，若，求点M的横坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作于点D，当动点P在什么位置时，线段的值最大，求线段的最大值，并求此时点P的坐标． 变式3．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 考点二 将军饮马问题 例1．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线的顶点．点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 变式2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 考点二 面积问题 例1．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求出点A、B、C的坐标； (2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值． 例2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，若点为抛物线对称轴上的动点，当点在对称轴上下移动的过程中，求周长的最小值； (3)如图2，点为线段上的一动点，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值． 变式1．（25-26九年级上·山东滨州·月考）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·湖北黄冈·期末）如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一个动点（点不与点重合），连接，，设的面积为，点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点在第四象限，且时，求点的坐标； (3)求与之间的函数关系式； 当时，直接写出的取值范围． 变式3．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴，交轴于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式及对称轴； (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上运动时，连接，，，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大，求四边形的面积最大值； (3)如图2，过点作轴的平行线交直线于点，过点、作轴的平行线交抛物线的对称轴于点、，过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线、之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $