圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托圆的核心性质（圆周角、圆心角、弦切角、垂径定理等）推导等角/等线段关系，结合相似三角形的判定定 理证明三角形相似，再利用相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长面积比与相似比的关系）建立线 段比例等式，实现角的转化→形的相似→边的计算，核心是以圆的性质找等角，以等角证相似，以相似建比例求线 段。 二、通用解题思路（五步核心法：找圆中角→定等角关系→证三角形相似→用相似建比例→求解验证) 1.梳理圆的条件，标注核心角/线 明确题干中圆的相关元素（圆心、直径、弦、切线、圆周角等），依托圆的性质标注等角/直角等弧对应的 角： ·同弧/等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为90°； ·弦切角等于所夹弧对应的圆周角；对顶角、邻补角相等； ·垂径定理推导的垂直关系、等腰三角形（半径相等）的底角相等。 2.锁定目标三角形，找等角证相似 结合题干所求（求线段长、比例、角度），锁定需要证明相似的两个三角形，通过圆的性质转化角，满足相 似判定的核心条件(AA为最常用，优先找两组对应角相等)： ·一组角：圆的性质直接推导的等角/公共角； ·二组角：再找一组由圆的性质（如圆周角、弦切角、直角）推导的等角，直接证AA相似； ·若遇两边成比例，需结合圆的性质证夹角相等，用SAS相似。 3.明确相似比，列比例等式 证明相似后，按对应顶点顺序写相似三角形（避免对应边混淆），根据相似三角形对应边成比例列核心等式： 若涉及面积/周长，用“面积比=相似比？、周长比=相似比”列等式。 4.结合圆的线段性质，代换求解 利用圆的相关线段性质（如垂径定理的弦长平分、切线长相等、直径是半径的2倍、相交弦定理/切割线定 理)，对比例等式中的线段进行等量代换已知数代入，将比例式转化为一元一次/二次方程，求解未知线段 长/比例。 5.验证结果，贴合几何实际 求解后验证结果：线段长度为正、角度符合圆的范围（如圆周角小于180°)、比例关系与图形一致，避免因 对应边混淆导致的计算错误。 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 三、三大高频考向及专属解法 考向1：圆周角/直径结合相似（最常考，含直角三角形相似） ·特征：题干含直径、同弧圆周角，易出现直角三角形、等角，多证AA相似； ·解法：①直径推直角(90°)，同弧推等角；②证两个直角三角形有一组锐角相等，得AA相似；③列直 角边/斜边的比例式求解。 ·关键：优先标注直径对应的直角，利用公共角/等圆周角找第二组等角。 考向2：切线（弦切角）结合相似 ·特征：题干含圆的切线，需用弦切角定理转化角，再证相似； ·解法：①切线性质：圆心与切点连线垂直切线；弦切角定理：弦切角=所夹弧的圆周角；②用弦切角找等 角，结合公共角/对顶角证AA相似；③列比例式求切线长/弦长。 ·关键：弦切角是连接切线和圆周角的核心，必用此定理转化角。 考向3：垂径定理/相交弦结合相似 ·特征：题干含弦的垂直平分线、相交弦，易出现等腰三角形、相等的弦弧，推导等角证相似： ·解法：①垂径定理推：弦的中点、垂直关系、弧相等一→圆周角相等；②相交弦推对顶角相等，结合弧的 等角证AA相似；③利用弦的平分关系代换线段，列比例求解。 ·关键：垂径定理的核心是“垂直+平分”，优先推导垂直关系和等弧对应的等角。 核心技巧：圆中找等角的常用路径（证相似的关键） 1.公共角/对顶角：直接作为相似的第一组等角，无需推导； 2.同弧/等弧：所对的圆周角/圆心角相等（最核心的等角来源）； 3.直径：直径所对的圆周角为90°，易构造直角三角形相似： 4.弦切角：切线与弦的夹角=所夹弧对应的圆周角（切线题的必用转化）； 5.半径等腰三角形：半径相等→等腰三角形底角相等； 6.垂直平行：垂径定理的垂直、平行线的同位角/内错角相等。 2 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 四、注意事项 1. 对应边勿混淆：证明相似后，严格按对应顶点写比例式（如△ABC~△DEF,则是=二=二），避 免交叉对应： 2. 相似判定选AA:圆中易找等角，优先用AA证相似，减少SAS/SSS的复杂推导； 3.圆的性质用透：不要遗漏弦切角、直径直角、垂径定理等核心性质，这些是找等角的关键，无等角则无法 证相似； 4. 线段代换要严谨：用圆的性质代换线段时，需明确“等量关系”（如垂径定理得AC=CB),不可主观代换； 5. 切割线/相交弦定理可辅助：若比例式复杂，可结合切割线定理(PA2=PB·PC)、相交弦定理 (PA·PB=PC·PD)快速建等式，简化计算。 例题分析 例1.(2026天津北辰·一模)已知ABC中，AB=AC,AB为圆O的直径，AC,BC与圆O分别相交于点D,E, 弦EF⊥AB,垂足为G,连接DF. G G B 图① 图② (I)如图①，若LBAC=50°，求∠BEF和∠ADF的大小： (②)如图②，若DF经过点O,过点E作OO的切线EH,交AC于点H,圆O的半径为3，求EF和EH的长. 【答案】(I)LBEF=25°，∠ADF=65 ②EF=35,EH=35 【详解】(1)解：：ABC中，AB=AC,LBAC=50°， :∠ABC=∠C=180P-∠B1C=65, 2 :弦EF⊥AB,垂足为G, .∠BGE=90°， .∠BEF=180°-∠GEB-∠BGE=25°， 如图：连接AE, B 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 :AB为⊙0的直径， .∠AEB=90°， .∠AEF=∠AEB-∠BEF=65°， AF=4F, .∠ADF=∠AEF=65°： (2)解：如图，连接OE、DE、AE, 0 D E :AB为OO的直径， .∠AEB=90°，即AE⊥BC, :AB=AC, .BE=CE,LBAE=∠CAE, :BE=DE, :FD为O0的直径， .∠DEF=90°， DE=DE .∠DAE=∠DFE, ∴.LCAE=∠BAE=∠DFE, 设∠CAE=LBAE=∠DFE=a, EF⊥AB, ∠F0G=90°-a, LA0D=∠F0G=90°-a, :∠ABE=90°-a, ∴LA0D=LABE=90°-a, .OD∥BE, ∠FDE=90°-a, ∴LFDE=LABE=90°-a, .OE=OD, .∠FDE=∠0ED=90°-a, 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 .OE=OF,EF⊥AB, ∴.∠E0B=∠F0G=90°-a,FG=GE, .∠E0B=L0ED=90°-a, OB∥DE, .四边形OBED为平行四边形， BE=DE, 四边形OBED为菱形， ∴.BE=OB=DE=OD=3, 0E=3, .0B=BE=0E=3, .△B0E为等边三角形，CE=BE=3,AE=VAB2-BE2=3V5, .·EG⊥OB, GE=BE,sin∠0BE=3×sin60=3V5, :EF =2GE =33, AB=AC, .LABC=∠C, :过点E作⊙O的切线EH, .∠0EH=90°， ∠CEH+∠0EB=180°-∠0EH=90°， .∠ABE+∠BAE=90°， .∠CEH=∠BAE, .△BAEn△CEH, AB CE AE EH 63 “3N5E丽’ EH= 33 2 例2.(2025·河南商丘·模拟预测)如图，ABC内接于圆O,AB=AC,射线AD切圆O于点A,过点B作 BF∥AC,交圆O于点E,交AD于点F. 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 D F A E 0 B (1)求证：四边形ACBF为平行四边形； (2)连接CE,延长BO交FA的延长线于点G,若BC=6,CE=3V0,求BG的长. 【答案】(1)见解析 号 【详解】(1)证明：连接A0并延长交BC于H, 4 G B :AF与⊙0相切于点A, 0A⊥FA, OB=0C,AB=AC, .AO为BC的垂直平分线， A0⊥BC, BC∥AF, :BF∥CA, 四边形BCAF为平行四边形； (2)解：：BF∥CA, .∠FBA=∠CAB, 弧AE=弧BC, :弧AE+弧BE=弧BC+弧BE,即弧AB=弧CE, .AC=AB=CE=310 AH⊥BC, 1 :BH-CH-7BC=3, 在RtaBAH中，AH=VAB2-BH2=3O-32=9, 6 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 设⊙0的半径为r,则0H=9-r, 在Rt△0BH中，OH2+BH2=OB2, (9-r2+32=2, 解得r=5, .0H=4, BH∥AG, .△BOH∽△G0A, 8胎品 即06-3」 54 解得0G=25 BG=B0+0G=5+25=45 44 例3.(2026陕西宝鸡一模)如图，ABC内接于O0,AB是⊙0的直径，OE⊥BC于点D,交⊙0于点E,连 接AE交BC于点F,过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点G, G E F B (I)求证：BF=BG: (2)若0D=1, AF 2 EF3,求o0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】(1)证明：：BG是⊙0的切线， :AB⊥BG,则∠BAG+∠G=90 :0A=0E, LBAG=∠AEO :OE⊥BC于点D,则∠EDF=90°， LAE0+LDFE=90°， LG=∠DFE, :BF=BG 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 (2)解：AB是⊙0的直径，BC⊥OE, ∠ACB=∠EDF=90°， :∠AFC=∠EFD, △AFC∽△EFD, 、ACAF2 ED EF 3 :0E⊥BC, :CD =BD, :O是AB的中点， :OD是ABC的中位线，则AC=2OD=2, DE=3, ∴.OE=OD+DE=4, 00的半径为4 例4.(2026北京·一模)如图，△ABC中，AB=BC,⊙O是△ABC的外接圆，过点B作⊙O的切线BM. M (I)求证：∠ABM=∠ACB; (Q连接C0并延长，交AB于点，交O0于点B,交BM于点F.若8F=15,an∠8CF=求半径和CH的长。 【答案】()证明见解析 2半径的长为20，CH的长为1206-V10 13 【详解】(1)解：连接BO并延长，交AC于点D,如下图所示： AB BC, 由垂径定理得BD垂直平分AC,∠ACB=LBAC, 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 LBDC=90°， :BM为⊙O的切线， .∠MBD=90°=∠BDC, .BMI AC, :ZABM =ZBAC ·.LABM=∠ACB. (2)解：连接BE,作图如下： M D :CE为⊙O的直径， tan∠BCF=tan∠BCE=BE_L, BC3 OB-OC 令BE=x,则BC=3x, ∴CE=√BE2+BC2=V10x, ∴.OB=OE=OC= 10x 2 :0B=0C, .∠BCE=∠DBC, 又：∠EBC=∠BDC=90°， △BEC∽△DCB, BE EC BC DC-BC-BD' 故x=0x3r DC 3x BD DC=3/10x 10 BD=910r 10 OD-BD-0B-910xox20x 10 2 5 :BMI‖AC, .△CODn△FOB, DC OD BF-OB' 0 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 3V10x2V10x :1 5 15=V10x = 2 解得x=4V10, 0B=而r-Dx4N0=20,BE=x=4i0,4C=2DC=2×30x-=24, 22 10 CE=V10x=V10×4V10=40, :∠EHB=∠CHA,∠EBH=∠HCA, .△EHB∽△CHA, EH BE ·HCAC 即EH_4v10 HC 24 .EH=10 HC, 6 EC EH+HC=40, .1HC+HC=40. 6 解得HC= 1206-V10 13 10圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 圆的性质与相似三角形的性质综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托圆的核心性质（圆周角、圆心角、弦切角、垂径定理等）推导等角/等线段关系，结合相似三角形的判定定理证明三角形相似，再利用相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长/面积比与相似比的关系）建立线段比例等式，实现角的转化→形的相似→边的计算，核心是以圆的性质找等角，以等角证相似，以相似建比例求线段。 二、通用解题思路（五步核心法：找圆中角→定等角关系→证三角形相似→用相似建比例→求解验证） 1. 梳理圆的条件，标注核心角/线 明确题干中圆的相关元素（圆心、直径、弦、切线、圆周角等），依托圆的性质标注等角/直角/等弧对应的角： · 同弧/等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为90°； · 弦切角等于所夹弧对应的圆周角；对顶角、邻补角相等； · 垂径定理推导的垂直关系、等腰三角形（半径相等）的底角相等。 1. 锁定目标三角形，找等角证相似 结合题干所求（求线段长、比例、角度），锁定需要证明相似的两个三角形，通过圆的性质转化角，满足相似判定的核心条件（AA为最常用，优先找两组对应角相等）： · 一组角：圆的性质直接推导的等角/公共角； · 二组角：再找一组由圆的性质（如圆周角、弦切角、直角）推导的等角，直接证AA相似； · 若遇两边成比例，需结合圆的性质证夹角相等，用SAS相似。 1. 明确相似比，列比例等式 证明相似后，按对应顶点顺序写相似三角形（避免对应边混淆），根据相似三角形对应边成比例列核心等式；若涉及面积/周长，用“面积比=相似比²、周长比=相似比”列等式。 1. 结合圆的线段性质，代换求解 利用圆的相关线段性质（如垂径定理的弦长平分、切线长相等、直径是半径的2倍、相交弦定理/切割线定理），对比例等式中的线段进行等量代换/已知数代入，将比例式转化为一元一次/二次方程，求解未知线段长/比例。 1. 验证结果，贴合几何实际 求解后验证结果：线段长度为正、角度符合圆的范围（如圆周角小于180°）、比例关系与图形一致，避免因对应边混淆导致的计算错误。 三、三大高频考向及专属解法 考向1：圆周角/直径结合相似（最常考，含直角三角形相似） · 特征：题干含直径、同弧圆周角，易出现直角三角形、等角，多证AA相似； · 解法：① 直径推直角（90°），同弧推等角；② 证两个直角三角形有一组锐角相等，得AA相似；③ 列直角边/斜边的比例式求解。 · 关键：优先标注直径对应的直角，利用公共角/等圆周角找第二组等角。 考向2：切线（弦切角）结合相似 · 特征：题干含圆的切线，需用弦切角定理转化角，再证相似； · 解法：① 切线性质：圆心与切点连线垂直切线；弦切角定理：弦切角=所夹弧的圆周角；② 用弦切角找等角，结合公共角/对顶角证AA相似；③ 列比例式求切线长/弦长。 · 关键：弦切角是连接切线和圆周角的核心，必用此定理转化角。 考向3：垂径定理/相交弦结合相似 · 特征：题干含弦的垂直平分线、相交弦，易出现等腰三角形、相等的弦/弧，推导等角证相似； · 解法：① 垂径定理推：弦的中点、垂直关系、弧相等→圆周角相等；② 相交弦推对顶角相等，结合弧的等角证AA相似；③ 利用弦的平分关系代换线段，列比例求解。 · 关键：垂径定理的核心是“垂直+平分”，优先推导垂直关系和等弧对应的等角。 核心技巧：圆中找等角的常用路径（证相似的关键） 1. 公共角/对顶角：直接作为相似的第一组等角，无需推导； 1. 同弧/等弧：所对的圆周角/圆心角相等（最核心的等角来源）； 1. 直径：直径所对的圆周角为90°，易构造直角三角形相似； 1. 弦切角：切线与弦的夹角=所夹弧对应的圆周角（切线题的必用转化）； 1. 半径等腰三角形：半径相等→等腰三角形底角相等； 1. 垂直/平行：垂径定理的垂直、平行线的同位角/内错角相等。 四、注意事项 1. 对应边勿混淆：证明相似后，严格按对应顶点写比例式（如，则），避免交叉对应； 1. 相似判定选AA：圆中易找等角，优先用AA证相似，减少SAS/SSS的复杂推导； 1. 圆的性质用透：不要遗漏弦切角、直径直角、垂径定理等核心性质，这些是找等角的关键，无等角则无法证相似； 1. 线段代换要严谨：用圆的性质代换线段时，需明确“等量关系”（如垂径定理得），不可主观代换； 1. 切割线/相交弦定理可辅助：若比例式复杂，可结合切割线定理（）、相交弦定理（）快速建等式，简化计算。 例题分析 例1．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为圆的直径，，与圆分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作圆的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 例2．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，内接于圆，，射线切圆于点A，过点B作，交圆于点E，交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，延长交的延长线于点G，若，，求的长． 例3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，内接于，是的直径，于点，交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 例4．（2026·北京·一模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 变式训练 变式1．（2026·福建泉州·一模）如图，在锐角中，，过点B作交的外接圆于点D．连接，延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若，，求的半径． 变式2．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径，点C在上，是的切线，于点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的直径的长． 变式3．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，以边为直径作交于点，为的切线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 变式4．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，连接、，弦平分，交于点F，连接、． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 实战演练 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，是直径，延长至点，切于点，且点是的中点，连接，为上一点，连接，延长，交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 2．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $