9.1 认识二元一次方程组 讲义 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

9.1认识二元一次方程组 知 识 清 单 知识点1 二元一次方程 两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项都是一次的方程，叫作二元一次 方程。 【知识解读】 二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元 ”是指未知数，“二元 ”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为 1 ”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式，即未知数不能出现在分母中. 素 养 提 升 考点1 二元一次方程的判别 例题讲解： 例1．下列方程中是二元一次方程的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．x﹣y＝5 C．x+1＝0 D．xy＝3 跟踪训练： 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x+y2＝1 B． C．2x+3y＝5 D．xy＝3 2．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A．x﹣y＞1 B．x+3y C．2x﹣y+1＝0 D．x2﹣2xy﹣1＝0 3．下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥； ⑦x（x﹣1）＝x2+y． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列方程：①4x+5＝1；②3x﹣2y＝1；③x﹣2＝1；④xy+y＝14．其中二元一次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题讲解： 例2．若x3﹣|m|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．4 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2 跟踪训练： 1．（m﹣2）x+4y|m﹣1|＝17是关于x，y的二元一次方程，则m＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．已知x2m﹣1﹣3y4﹣2n＝﹣7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣n的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　 ． 4．已知（5﹣a）x+y|a|﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 　 　 ． 知 识 清 单 知识点2 二元一次方程组 一般而言，由几个一次方程联立的一组方程，叫作一次方程组。含有两个未知数的一次方程 组，叫作二元一次方程组。 【知识解读】 组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组. 素 养 提 升 考点2 二元一次方程组的判别 例题讲解： 例1．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 跟踪训练： 1．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列方程中，是二元一次方程组的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是　 　 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 例题讲解： 例2．若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　 　 ． 跟踪训练： 1．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式b+c的值是 　 　 ． 2．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　 　 ． 3．已知方程组是二元一次方程组，则m＝　 　 ． 知 识 清 单 知识点3 二元一次方程（组）的解 1 、满足二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。 【知识解读】 （1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如 . （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程. 2 、二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。 求方程组的解的过程，叫作解方程组。 【知识解读】 （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成 的形式. （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解， 而方程组 的解有无数个. 素 养 提 升 考点3 二元一次方程（组）的解 例题讲解： 例1．若是二元一次方程组的解，则a+2b的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 跟踪训练： 1．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 2．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，那么a，b的值分别为（　　） A．a＝2，b＝0 B．a＝﹣2，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝1 例题讲解： 例2．关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练： 1．李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 2．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则∅和∞代表的数分别是（　　） A．3、﹣1 B．1、5 C．﹣1、3 D．5、1 3．关于x、y的方程组的解为，则☆，△的值分别为（　　） A．9，﹣1 B．9，1 C．5，1 D．7，﹣1 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1认识二元一次方程组 知 识 清 单 知识点1 二元一次方程 两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项都是一次的方程，叫作二元一次 方程。 【知识解读】 二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元 ”是指未知数，“二元 ”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为 1 ”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式，即未知数不能出现在分母中. 素 养 提 升 考点1 二元一次方程的判别 例题讲解： 例1．下列方程中是二元一次方程的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．x﹣y＝5 C．x+1＝0 D．xy＝3【解答】解：A、方程x2﹣4＝0中，项x的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程x﹣y＝5是整式方程，含两个未知数x和y，且x和y的次数均为1，是二元一次方程，符合题意； C、方程x+1＝0中只含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程xy＝3中，项xy的次数为2（x和y的次数之和），不是二元一次方程，不符合题意． 故选：B． 跟踪训练： 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x+y2＝1 B． C．2x+3y＝5 D．xy＝3【解答】解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程． A、（0≤x≤1，﹣1≤y≤1），y的次数为2，不符合题意； B、，含分式，不是整式方程，不符合题意； C、2x+3y＝5，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合题意； D、xy＝3，xy项次数为2，不符合题意． 故选：C． 2．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A．x﹣y＞1 B．x+3y C．2x﹣y+1＝0 D．x2﹣2xy﹣1＝0【解答】解：x﹣y＞1，是不等式，它不是二元一次方程，则A不符合题意， x+3y，是代数式，它不是二元一次方程，则B不符合题意， 2x﹣y+1＝0，符合二元一次方程的定义，它是二元一次方程，则C符合题意， x2﹣2xy﹣1＝0，含未知数的项的次数为2，它不是二元一次方程，则D不符合题意， 故选：C． 3．下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥； ⑦x（x﹣1）＝x2+y． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：根据定义可知①②③是二元一次方程，④中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；⑤是代数式，不是方程；⑥是分式方程，⑦整理后为x+y＝0，是二元一次方程．故正确的有①②③⑦，共4个， 故选：C． 4．下列方程：①4x+5＝1；②3x﹣2y＝1；③x﹣2＝1；④xy+y＝14．其中二元一次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①4x+5＝1只含有1个未知数，是一元一次方程； ②3x﹣2y＝1含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是二元一次方程； ③x﹣2＝1只含有1个未知数，是一元一次方程； ④xy+y＝14中xy项的次数是2，不是二元一次方程； 故符合条件的二元一次方程只有1个． 故选：A． 例题讲解： 例2．若x3﹣|m|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．4 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵x3﹣|m|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程， ∴3﹣|m|＝1且m﹣2≠0， 解得：m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：C． 跟踪训练： 1．（m﹣2）x+4y|m﹣1|＝17是关于x，y的二元一次方程，则m＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：根据题意可知，m﹣2≠0，|m﹣1|＝1， 解得：m＝0． 故选：B． 2．已知x2m﹣1﹣3y4﹣2n＝﹣7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣n的值是（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：根据题意得2m﹣1＝1，4﹣2n＝1，‘ 解得m＝1，n， ∴m﹣n＝1， 故选：D． 3．（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　1　 ． 【解答】解：∵（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程， ∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， 解得m＝1， 故答案为：1． 4．已知（5﹣a）x+y|a|﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 　﹣5　 ． 【解答】解：由题意可得，5﹣a≠0，|a|﹣4＝1， 解得：a＝﹣5． 故答案为：﹣5． 知 识 清 单 知识点2 二元一次方程组 一般而言，由几个一次方程联立的一组方程，叫作一次方程组。含有两个未知数的一次方程 组，叫作二元一次方程组。 【知识解读】 组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组. 素 养 提 升 考点2 二元一次方程组的判别 例题讲解： 例1．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：、、、、是二元一次方程组，共5个， 故选：D． 跟踪训练： 1．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：二元一次方程组有：，，共2个， 故选：A． 2．下列方程中，是二元一次方程组的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②【解答】解：①，含有三个未知数，是三元一次方程组，故不符合题意； ②，各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③，是二元一次方程组，故符合题意； ④，是二元一次方程组，故符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：C． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是　④⑤　 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【解答】解：④⑤是二元一次方程组，①②③不是二元一次方程组， 故答案为：④⑤． 例题讲解： 例2．若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　﹣1　 ． 【解答】解：若是关于x，y的二元一次方程组， ∴， ∴解得：m＝±1，n＝3， ∵m≠1， ∴m＝﹣1， ∴mn＝（﹣1）3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 跟踪训练： 1．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式b+c的值是 　﹣5　 ． 【解答】解：由二元一次方程组的概念，得 c+3＝0，b+3＝1， 解得c＝﹣3，b＝﹣2， 所以b+c＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 2．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　1　 ． 【解答】解：根据题意知，， 解得m＝﹣1，n＝2， 则mn＝（﹣1）2＝1， 故答案为：1． 3．已知方程组是二元一次方程组，则m＝　﹣2　 ． 【解答】解：由题意得，， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 知 识 清 单 知识点3 二元一次方程（组）的解 1 、满足二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。 【知识解读】 （1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如 . （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程. 2 、二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。 求方程组的解的过程，叫作解方程组。 【知识解读】 （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成 的形式. （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解， 而方程组 的解有无数个. 素 养 提 升 考点3 二元一次方程（组）的解 例题讲解： 例1．若是二元一次方程组的解，则a+2b的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：根据题意，把代入方程组， 得， 解得：， ∴． 故选：B． 跟踪训练： 1．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、解方程组得，不符合题意； B、解方程组得，符合题意； C、解方程组得，不符合题意； D、解方程组得，不符合题意； 故选：B． 2．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：把代入方程组，得， 解得：m＝1，n＝﹣3， ∴m﹣n＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4． 故选：D． 3．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，那么a，b的值分别为（　　） A．a＝2，b＝0 B．a＝﹣2，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝1 【解答】解：由题意可得： ∴， 解得：； 即a＝﹣2，b＝0； 故选：B． 例题讲解： 例2．关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴把x＝1代入x+y＝3得：1+y＝3， 解得：y＝2， 把x＝1，y＝2代入x+my＝0得：1+2m＝0， 解得：． 故选：A． 跟踪训练： 1．李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【解答】解：∵方程组的解为， ∴把x＝6代入2x+y＝16中，得：2×6+y＝16，解得：y＝4， ∴■＝4， ∴x+y＝6+4＝10， ∴▲＝10． 故选：A． 2．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则∅和∞代表的数分别是（　　） A．3、﹣1 B．1、5 C．﹣1、3 D．5、1 【解答】解：∵是二元一次方程组的解， ∴将x＝4代入2x﹣3y＝5，得2×4﹣3y＝5， 解得：y＝1，即∞＝1， 将y＝1，x＝4代入x+y＝∅， 得：∅＝4+1＝5， 故∅和∞代表的数分别是5和1， 故选：D． 3．关于x、y的方程组的解为，则☆，△的值分别为（　　） A．9，﹣1 B．9，1 C．5，1 D．7，﹣1 【解答】解：关于x、y的方程组的解为， 将x＝4代入x+y＝3，解得y＝﹣1， 则2x+y＝2×4+（﹣1）＝7， 则☆，△的值分别为7，﹣1， 故选：D． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $