精品解析：江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学 2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟试卷押题卷（一）

苏科版2025～2026学年八年级数学下学期期中考试 模拟试卷押题卷（一） （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 全国初中生每天的运动量 B. 某校九年级1班所有同学的视力 C. 一批新生产的电池的续航时间 D. 某种品牌节能灯的使用寿命 2. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 4. 已知菱形的周长为，两对角线的长度相等，那么两对角线的长为 （ ） A. B. C. D. 5. 小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（　　） A. 只有说法①正确 B. 只有说法①错误 C. 说法①②都正确 D. 说法①②都错误 6. 下列说法正确的是（ ） A. “明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C. 一个事件发生的概率可能为200% D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 7. 在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，已知个球中有4个红球，若将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率如图所示，则的值约为（ ） A. 20 B. 16 C. 10 D. 8 8. 今年某市有近 名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取 名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这 名考生是总体的一个样本 B. 名学生是样本容量 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 名考生是总体 9. 如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形 的面积是，三角形的面积是，则有（ ）． A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 正方形的一条对角线长为3，则这个正方形的面积是______． 12. 某班有名同学，按出生月份的不同分成 组，其中，月的频率是，月的频率是，月的有人，则 月的有______人． 13. 已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组所占百分比是，那么第六组的频数是________． 14. 年月日是第个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形统计图，则的值为____ 15. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是_______． 16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是______．（填写序号） 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明．） 17. 某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． （1）本次共调查了　　　　名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m的值是　　　　，D对应的扇形圆心角的度数是　　　　； （3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； 18. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 19. 不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 20. 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交 边于点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）当 时，求的长． 21. 在矩形中，， ，E、F分别是 上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形 为菱形； （2）求的长． 22. 如图，中，，平分， ， ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）作 于点F，若，求的长． 23. 如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． （1）求证：； （2）若，当四边形 是平行四边形时，求的长． 24. 如图，在边长为 的正方形中，为边上一动点（点不与，重合），连接，以为直角边作等腰直角，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，连接和，设，以下结论：①；②；③．你认为哪个正确？并证明； （3）如图3，等腰直角的斜边与 边相交于点，若点是的中点，求的长． 25. 观察发现 （1）如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 （2）在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证： ． 拓展应用 （3）如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且 ，连接，将正方形沿折叠，使点 分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版2025～2026学年八年级数学下学期期中考试 模拟试卷押题卷（一） （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 全国初中生每天的运动量 B. 某校九年级1班所有同学的视力 C. 一批新生产的电池的续航时间 D. 某种品牌节能灯的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：∵A项全国初中生数量大，调查成本高，难以全面调查； C项电池续航测试具有破坏性，只能抽样； D项节能灯寿命测试亦具有破坏性且耗时，不宜普查； 而B项某班级同学数量有限，易于全面调查且需精确数据， ∴最适合普查的是B． 故选：B． 2. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形和正方形的性质与判定．菱形的对角线互相垂直，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，矩形的对角线相等，这些均正确．但有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，据此选出不正确的选项． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直，∴A正确； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴B正确； ∵矩形的对角线相等，∴C正确； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴D不正确， 故选：D． 4. 已知菱形的周长为，两对角线的长度相等，那么两对角线的长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和正方形的判定和性质，根据菱形的周长可以计算菱形的边长，结合两对角线的长度相等，可知该图形是正方形，进而即可求出对角线的长度． 【详解】解：菱形的周长为，则菱形的边长为， 该菱形的两对角线的长度相等， 该图形是正方形， 对角线的长为， 故选：C． 5. 小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（　　） A. 只有说法①正确 B. 只有说法①错误 C. 说法①②都正确 D. 说法①②都错误 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是可能性的大小及随机事件，根据可能性大小的定义解答即可，熟知随机事件与必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：∵四个小球分别标号为1，2，3，4， 摸出的小球标号都小于4是不可能事件，故①错误； ∵每个标号只有一个小球， ∴摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误， 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. “明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C. 一个事件发生的概率可能为200% D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念，包括概率的含义、随机事件的独立性以及概率的取值范围．根据概率的意义进行解答即可． 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是， ∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次， ∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到 ，不可能为， ∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率 并不保证买100张一定中奖， ∴ D错误． 故选：A． 7. 在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，已知个球中有4个红球，若将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率如图所示，则的值约为（ ） A. 20 B. 16 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的概率计算公式列出方程．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而估计出概率，再根据概率公式列出方程求解． 【详解】解：由题意可得 ， 解得，． 经检验，是原方程的解， ∴的值约为16． 故选：B． 8. 今年某市有近 名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取 名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这 名考生是总体的一个样本 B. 名学生是样本容量 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 名考生是总体 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体（要考察的全体对象）、个体（组成总体的每一个考察对象）、样本（被抽取的个体组成一个样本）、样本容量（样本中个体的数目）的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．这 名考生的数学成绩是总体的一个样本，原说法不正确，故此选项不符合题意； B．样本容量为 ，没有单位，原说法不正确，故此选项不符合题意； C．每位考生的数学成绩是个体，原说法正确，故此选项符合题意； D． 名考生的数学成绩的全体是总体，原说法不正确，故此选项不符合题意． 9. 如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形 的面积是，三角形的面积是，则有（ ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证 ，得到 ，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∴ ， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是 的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴ ， ， ． 在中， ． ． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 正方形的一条对角线长为3，则这个正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．正方形边长相等设为，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积． 【详解】解：设边长为， ∵对角线为3， ∴ ， ∴这个正方形的面积是． 故答案为：． 12. 某班有名同学，按出生月份的不同分成组，其中，月的频率是，月的频率是，月的有人，则 月的有______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率的计算，用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出 月的频率与月的频率和，再用乘频率和得到这两组的人数和，最后再减去月的人数即可得解． 【详解】解：由题意知： 月的频率与月的频率和是， 这两组的人数和是（人）， 月人数是（人）， 故答案为：． 13. 已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组所占百分比是，那么第六组的频数是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查求频数，利用总数乘以频率求出第五组的频数，再用总数减去其它组的频数进行计算即可． 【详解】解：， ； 故答案为：8． 14. 年月日是第个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形统计图，则的值为____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，计算条形统计图中某项的数量，正确分析条形统计图是解答本题的关键． 用减去一、三等奖和优胜奖的件数即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则四边形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图以及等边三角形的判定与性质．理解是的角平分线是解题的关键． 根据尺规作图可知是的角平分线，再结合平行四边形的性质得到，从而得到，进而推出，，再根据证明是等边三角形得到 ，最后把四边形各边长长度相加即可． 【详解】解：由尺规作图可知，是的角平分线，所以 ． 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． ． ， 是等边三角形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形为正方形，面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法正确的是______．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， 由题意得，， ∴ ， 在和中， ， ∴，故①正确； 由①得， ∴ = = = ∵， ∴， 即 故②错误； 用x，y表示直角三角形的两条边( )， ∵大正方形面积为9，小正方形面积为2， ∴，， ∴直角三角形的面积和为， 于是得到， 解得； 即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明．） 17. 某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． （1）本次共调查了　　　　名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m的值是　　　　，D对应的扇形圆心角的度数是　　　　； （3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； 【答案】（1）5，图见解析 （2）30， （3）400 【解析】 【分析】（1）根据组的实际数据和占比求出总数，求出组数据补全条形统计图； （2）根据条形统计图数据求出组的百分比，利用乘组的占比即可求出圆心角度数； （3）根据样本频数估计总体频数即可． 【小问1详解】 解：学生总数为： （名）， B组人数为（名）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴； D对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：该校不合格的学生人数为（名）． 18. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】（1）117，0.80 （2）0.8 （3） 【解析】 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； 【小问3详解】 解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买 棵树苗． 19. 不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）先求出原来共有黄球和白球的总数，再根据经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，列出分式方程，解分式方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到黄球的概率为， 则估计摸到白球的概率是 故答案为：； 【小问2详解】 ∵经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近．袋中有5个黄球， ∴原来共有黄球和白球（个）， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以． 20. 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交 边于点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）当 时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（ ）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （）由 得四边形 是菱形，即得，，，再利用矩形的性质和勾股定理求出和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， ∴当 时，四边形 是菱形， ∴，，， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设 ，则 ， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 21. 在矩形中，， ，E、F分别是 上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形 为菱形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出 ．根据线段垂直平分线的性质，得出 ， ，即易证，得出，从而即可证明； （2）根据菱形的性质可设，则，结合勾股定理即可求出x的值，即得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴ ． ∵垂直平分，垂足为O． ∴， ． 在和 中，， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形； 【小问2详解】 解：设，则． 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 22. 如图，中，，平分， ， ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）作 于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）根据勾股定理，矩形的性质，三角形面积不变性，解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形面积性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴四边形 是矩形； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． （1）求证：； （2）若，当四边形 是平行四边形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明△△则 ，进而证明△△，得出，即可证明△△； （2）根据四边形 是平行四边形，结合已知条件得出，由勾股定理，可求得．根据△△ ，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和 中， ， ． 【小问2详解】 解：四边形 是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与，重合），连接，以为直角边作等腰直角，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，连接和，设，以下结论：①；②；③．你认为哪个正确？并证明； （3）如图3，等腰直角的斜边与 边相交于点，若点是的中点，求的长． 【答案】（1） （2）②正确，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到 ，从而根据勾股定理求得，进而在等腰直角中求出； （2）在上取点，使得，得到等腰直角，从而，证明（），得到，进而推出，从而根据勾股定理有，即可得到； （3）由中点的定义得到．延长 至点，使得，连接．证明（ ），得到，，进而证明，可得（ ），因此．设，则，．在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴ ， ∵，， 在 中，由勾股定理得：， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【小问2详解】 解：②正确； 证明：在上取点，使得，如图， ∵四边形是正方形， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴，即， ∵， ， ∴， 在 和 中 ， ∴（）， ∴． 在正方形中，，平分 ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在 中，由勾股定理得：， ∴，即． 【小问3详解】 解：∵点是的中点， ∴． 延长 至点，使得，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 在和 中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． 25. 观察发现 （1）如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 （2）在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证： ． 拓展应用 （3）如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且 ，连接，将正方形沿折叠，使点 分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接 ，，， 在和 中， ， ∴， ∴ ， ， ∵垂直平分， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴在四边形 中， ， ∴ ， 又∵， ∴， ∵由（1）有， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）2或8 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得垂直平分，再构造十字架模型证 即可； （2）连接 ，，，易证，可得 ， ，再证 ，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得 ， ， ，则或12，进而分别在 中，，在 中，，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点F作 于点H，设与交于点O． 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ， ∵垂直平分， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段的长为2或8． 连接，设 ， ∵ ， ， ∴ ， ， 在 中， ， 当点Q落在线段上时，如图， 此时 ， 在 中， ， 在 中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时 ， 在 中， ， 在 中，， 则， 解得， ∴ ； 综上，线段的长为2或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $