北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高一4月阶段测评数学试题（A卷）

2025-2026学年第二学期高一年级4月阶段测评 数学试题(A卷) 一、单选题（每小题4分，共48分） 1.两平行直线3x+2y-1=0与6x+4y+1=0之间的距离为（) A.13 B.3 c.2f3 D.3f3 13 26 13 26 2.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,),则B点坐标为. A.(2,-2) B.(-2,2) C.(-2,-2) D.(2,2) 3.若一动圆的圆心在抛物线x2=16y上，且与直线y+4=0相切，则此圆恒过定点() A.(0,-8) B.(0,4) C.(0,-4) D.(0,8) 手受箱后 +京=1(m>0>0)的一个焦点为(0,2)，离心率为；，则此椭圆的方程为（) 2=1 c.+=1 D.+=1 1612 B. 16'12 6448 6448 5.点M为双曲线。-2=1上任意一点，点0是坐标原点，则OM的最小值是 2 A.1 B.√2 C.2 D.2N2 6.“0<m<2是x+y =1为椭圆方程的（) m 2-m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以 看成是双曲线C:兰是=a>00>0前一部分能关虑轴所在直线旋转所形成的重面者该花有 横截面圆的最小直径为40cm,最大直径为60cm,双曲线的离心率为√6，则该花瓶的高为() A.90cm B.100cm C.110cm D.120cm 试卷第1页， 8.已知圆锥曲线女+上=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根，则满足条件的m有几个不同 4 m 的值() A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知精圆E:苦+少=1，直线1与两个坐标轴分别交于点M,从且与椭圈E有且只有一个公 共点，O是坐标原点，则aOMW面积的最小值是() A.4V2 B.4 C.22 D.2 10。已知双曲线C花1a>0,b>0的右焦点为P,过点F耳倾斜角为的直线与双曲线 的右支有且只有一个交点，则C的离心率取值范围是() A.(1,2] B.[2,+o) c.,5 D.「V5,+o) 11.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，如果 |BF=3,∠BFO=2π ,那么4的值为《) A.1 B.3 C.3 D.6 12数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:(x2+y2°=4x2y2被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： 页，共2页 ①曲线C关于直线y=x对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心、边长为√2的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）， 其中，正确结论的序号是（) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 13.若直线：(a-1)x+2y+1=0与直线l2:3x+ay-1=0平行，则a= 14.已知点A(2,0),Q为圆x2+y2=1上任一点，则线段Ag中点M的轨迹方程是 15.已知双曲线兰+y=1的一条渐近线方程为x+5y=0,则该双曲线方程为 16.若抛物线y2=ax(a>0)上横坐标为2的点到焦点的距离为5，则a= 17,已知椭圆女+上=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以 9 5 原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是 18.设点，B分别为椭圆C:父+上=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得 95 PEP瓦=m成立的点恰好是4个，则实数m的范围是 试卷第2 三、解答题 19.（14分)已知箱测C:兰+是=1eb>0)的右焦点为F0,离心率为返.直线/过点厅且 不垂直于坐标轴，I与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。 (1)求椭圆C的方程； (2)证明：直线OM的斜率与1的斜率的乘积为定值： (3)若点P是椭圆C上一动点，当直线1的斜率为1时，求△ABP面积的最大值. 2业(4分》已知题c手+茶-a6>0过a5 过其右焦点E且垂直于x轴的直 线交椭圆C于4，B两点，且A8=25 3 (1)求椭圆C的方程； 2若直线：y=x-}与椭圆C交于E,F两点，线段EF的中点为Q,在y轴上是否存在定点 P,使得∠EOP=2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 r 卷第2页，共2页 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高一年级4月阶段测评 数学试题（A卷） 参考答案 一、单选题（每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B B B C D B 题号 11 12 答案 A A 1．D 【详解】将直线化为，则这两条平行直线间的距离为. 2．A 【详解】设B的坐标为（a,b），由题意可知，解得a=2，b=−2， 所以B点坐标为是（2,−2）. 3．B 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切， 则动圆圆心到的距离等于到准线的距离， 由抛物线定义可知，动圆恒过定点． 4．A 【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以焦点在轴上，又离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为， 5．B 【详解】设M（x,y）,∵ 点M为双曲线上,∴ = 6．B 【详解】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 7．B 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，得， 又由双曲线的离心率为，得，即，则， 可得双曲线的方程为，因为最大直径为，所以把代入双曲线方程，解得，故该花瓶的高为． 8．C 【详解】由，则或， 当时，曲线为椭圆，当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当时，曲线为双曲线，则， 则，可得符合. 综上，有3个不同的值. 9．D 【详解】若要直线l与两个坐标轴分别交于点M，N， 则直线l的斜率存在，故设直线l方程为， 代入到椭圆方程可得， 根据提意可得，所以， 根据题意对方程，， 所以令得，令得， 所以， 当且仅当时取等，所以面积的最小值是. 10．B 【详解】双曲线的右焦点为， 因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率， 即，所以离心率. 11．A 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由对称性不妨令点在第四象限， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为和，作于，    则，由，得，， 因此，而，则， 即，于是，所以. 12．A 【详解】解：对于①，用替换方程中的，方程形式不变， 所以曲线关于直线对称，故①正确， 对于②，设点是曲线上任意一点，则， 则点到原点的距离为， 由，解得，当且仅当时取等号，故②正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错误. 二、填空题（每小题4分，共24分） 13． 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等，． 14． 【详解】解：设，，根据题意得，则， 又，将，代入上式得：. 15． 【详解】由题意得a<0,所以标准方程为，由渐近线，所以，，填． 16． 【详解】由题可得抛物线是开口向右的抛物线，可得 ，即， 因此准线方程为， 由横坐标为的点到焦点的距离为，可得：， 即，解得. 17． 【详解】方法1：由题意可知， 由中位线定理可得，设可得， 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方， 求得，所以    方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知， 由中位线定理可得，即，求得，所以. 18． 【详解】由题知，解得，所以， 设，则，， 又，得到，整理得到， 由于使得成立的点恰好是个， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又，所以，得到，    三、解答题（每小题14分，共28分） 19．（1） （2）证明见解析 （3） 【详解】（1）由题知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y得，， 由韦达定理知，因为为线段的中点， 所以，，所以， 所以为定值. （3）当直线的斜率为时，由（2）知直线l的方程为， 由，消去y得，，解得或， 当时，，当时，，所以， 设， 则点到直线的距离为， 其中，当时取到最大值为， 此时面积最大，最大值为. 20．（1） （2）存在定点， 【详解】（1）由题知，椭圆C过点和， 所以，解得 所以椭圆C的方程为． （2）   假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，， 由，得，∴， ∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP ∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF ， ∴ ∴恒成立 ∴，解得 ∴ ∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立． 答案第4页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高一年级4月阶段测评 数学试题（A卷） 一、单选题（每小题4分，共48分） 1．两平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知线段的中垂线方程为且，则点坐标为． A． B． C． D． 3．若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 4．设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是 A．1 B． C．2 D． 6．“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知椭圆，直线l与两个坐标轴分别交于点M，N．且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（    ） A． B．4 C． D．2 10．已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为（   ） A．1 B． C．3 D．6 12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心､边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 13．若直线与直线平行，则实数a的值为________． 14．已知点，Q为圆上任一点，则线段AQ中点M的轨迹方程是___________. 15．已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线方程为______. 16．若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为，则___________． 17．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______. 18．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的范围是______． 三、解答题（每小题14分，共28分） 19．（14分）已知椭圆的右焦点为，离心率为．直线过点且不垂直于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为． （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若点是椭圆上一动点，当直线的斜率为时，求面积的最大值． 20．（14分）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $