精品解析：北京市顺义区第一中学2025-2026学年第二学期高一年级4月考试数学试卷

顺义一中 2025-2026学年第二学期高一年级4月考试 数学试卷 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ，∴ ， 根据向量加法的三角形法则可得 ，∴ 原式， 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示判断即得. 【详解】对于A，由，得与不共线，A不是； 对于B，由，得与不共线，B不是； 对于C，由，得与不共线，C不是； 对于D，由，得，D是. 故选：D 4. 如图，若直角梯形及其内部各点绕边所在的直线旋转360°，则得到的旋转体是（ ）． A. 圆锥 B. 圆台 C. 圆锥与圆台的组合体 D. 圆锥与圆柱的组合体 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转体：如题将直角三角形和一个矩形，直角三角形的一条直角边与矩形一边重合，所构成的梯形，绕梯形长底边旋转一周，即知所得旋转体构成. 【详解】直角梯形及其内部各点绕边所在的直线旋转360°，即几何体是以AB为中心轴线，上半部分是以AD为母线的圆锥，下半部分是BC为底面半径，CD为高的圆柱. 故答案为：D 【点睛】本题考查了旋转体，根据平面图形的旋转可知对应几何体构成，属于简单题. 5. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 与垂直， ∴ . ∵ ，，∴ ，解得. ∴ ，∴ . 6. 设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的 （ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量共线和充分、必要条件等知识确定正确选项. 【详解】依题意是非零向量， “存在实数λ，使得”， “”同向， 所以“存在实数λ，使得”是“”的必要而不充分条件. 故选：C 7. 在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为的最小角，为的最大角，利用余弦定理求得的大小，即可求解. 【详解】设为的最小角，为的最大角， 由余弦定理，可得， 因为，所以， 所以，即最大角和最小角之和是. 故选：B. 8. 如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将用，表示，然后，再用表示即可. 【详解】 . 故选：B 9. 中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（ ） A. 底角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由得到，再利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】在，上分别取，，使，， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，连接，， 则平分， ，， ，，， 又，，且， ，即， ， 由余弦定理得，， ，， 是底角是的等腰三角形． 故选：A． 10. 已知点， ， ．若平面区域由所有满足（, ）的点组成，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以，为邻边作平行四边形，延长到，使，延长到，使，以，为邻边作平行四边形，平行四边形及内部便是区域，可求出的坐标，然后求出平行四边形的面积即可． 【详解】如图，以，为邻边作平行四边形，延长到，使， 延长到，使，以，为邻边作平行四边形， 因为（， ）， 则平行四边形为区域，且，， 所以，，， ，且，， 区域的面积为． 故选：B． 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 12. 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正棱柱的侧面展开图可知所求最短距离为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】正三棱柱的侧面展开图如下图所示： 则， 则质点绕行一周的最短距离为的长度，则 所求最短距离为 故答案为 【点睛】本题考查最短距离的求解问题，关键是明确此类问题是通过侧面展开图，利用两点之间线段最短来求得结果. 13. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ . 【答案】 【解析】 【详解】∵平面向量与的夹角为， ∴. ∴ 故答案为. 点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) 常用来求向量的模． 14. 在中，，. ①若，则角的大小为_____； ②若角有两个解，则的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用正弦定理求得的值， 结合角的取值范围可求得结果； ②作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】①由正弦定理可得， ，； ②在中，，，如下图所示： 若使得角有两个解，则，即. 故答案为：；. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了利用三角形多解求边长的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 15. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数，； ②不存在正整数，使得为整数； ③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025； ④对于任意正整数，三角形为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据规律判断①，利用特殊值判断②，根据时判断③；利用余弦定理证明从而判断④. 【详解】依题意可得对于任意正整数，，故①正确； 当时，，故②不正确； 由于，解得，故存在正整数，三角形的面积为2025，故③不正确； ， ， ， 因为，所以在三角形中，为最大角， ， 则为锐角，即三角形为锐角三角形，故④正确； 故答案为：①④ 三、解答题，共6小题，共86分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示计算可得； （2）首先求出，再根据向量模的坐标表示计算可得； （3）首先求出，，，再由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 因为， 则， 又，， 则， 即与的夹角的余弦值为． 17. 在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得的值； （2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）因为在中，，所以，； （2）由（1）知，，所以 因为，所以 又因为，由正弦定理，可得 18. 已知复数（为虚数单位）． （1）若是纯虚数，求； （2）若，求的值； （3）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法运算得到，再由纯虚数解出的值，从而得到； （2）由得到和，从而，解出的值； （3）由得到，对应的点为，由点在第二象限解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，，解得. 【小问3详解】 因为，所以，则在复平面上对应的点为， 因为位于第二象限，所以，解得， 所以的取值范围为. 19. 在中，P为边AB上的一点，，且，设． （1）设，试求x，y的值； （2）试求的值； （3）试求的余弦值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算可解； （2）由平面向量数量积的定义和运算律求解； （3）由向量夹角公式求解. 【小问1详解】 由题意，， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可得，； 【小问3详解】 由（1）可得，， . 20. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，即，再结合为三角形内角可求角. （2）选①：由余弦定理可得满足条件的三角形不唯一，故选①不合题意. 选②：根据正弦定理可求边，再利用求，再利用三角形的面积公式求三角形面积. 选③：先由求得，再由余弦定理求边，最后利用三角形的面积公式求三角形面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又因为，所以，则，即，所以. 【小问2详解】 选①：由余弦定理可得，即，解得或3，不符合题意； 选②：因为，，所以， 由正弦定理可得， 此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意， 又， 此时的面积； 选③：因为边上的高，所以，则， 由余弦定理，即，解得，（舍去）， 故唯一，符合题意， 此时的面积． 21. 已知三维向量 其中是两两不相等的正整数.记 其分量之间满足递推关系： （1）当 时，直接写出向量 （2）是否存在 使得 其中 若存在，请给出一组符合条件的三维向量 若不存在，说明理由； （3）证明:存在k∈，当i≥k时，向量 满足 【答案】（1），，； （2）不存在，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式依次计算前几项，确定序列周期后推导的结果. （2）利用反证法，假设存在满足条件的，逆推可得与初始条件矛盾，即可证明不存在. （3）构造每一步三个分量的最大值序列，利用正整数的有界性证明最大值必然递减到出现0分量，再验证出现0分量后乘积恒为0. 【小问1详解】 ∵ ， ∴ ，，，即 . ，，，即 . ，，，即 . ，，，即 . ，，，即 . 可知当时，向量序列以3为周期循环，循环节为. ∵ ， ∴ 与相同，即 . 【小问2详解】 不存在，理由如下： 假设存在，使得，为非负整数. ∵ ，，， ∴ . 不妨设，则，，两式相加得. 又，故，解得. ∴ ，以此类推可得，与题设是两两不相等的正整数矛盾. 故不存在，使得. 【小问3详解】 设，. ∵ ，同理，， ∴ ，即是不增的非负整数序列. 假设对任意，均大于0，则均为正整数，故. 不妨设，则. ∵ ，∴ ， 而，， 故，即是严格递减的正整数序列. 但正整数序列不能无限严格递减，矛盾，故必存在，使得中至少有一个为0，即. 当时，不妨设， （为非负整数，设）， 则 ， ， 后续序列始终存在一个分量为0，故. 【点睛】方法归纳：解决递推类新定义问题可先计算前几项寻找周期或变化规律，存在性问题常用反证法推导矛盾，涉及正整数的变化问题可利用正整数的最小性原理证明结论. 易错归纳：计算周期时需准确对应下标与余数的关系，反证法推导时要保证分类讨论的完整性，避免遗漏特殊情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义一中 2025-2026学年第二学期高一年级4月考试 数学试卷 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若直角梯形及其内部各点绕边所在的直线旋转360°，则得到的旋转体是（ ）． A. 圆锥 B. 圆台 C. 圆锥与圆台的组合体 D. 圆锥与圆柱的组合体 5. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 6. 设是非零向量，则“存在实数λ，使得”是“”的 （ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ） A. B. C. D. 9. 中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（ ） A. 底角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 已知点， ， ．若平面区域由所有满足（, ）的点组成，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数，则______. 12. 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________ 13. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ . 14. 在中，，. ①若，则角的大小为_____； ②若角有两个解，则的取值范围是_____. 15. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数，； ②不存在正整数，使得为整数； ③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025； ④对于任意正整数，三角形为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题，共6小题，共86分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的余弦值． 17. 在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 18. 已知复数（为虚数单位）． （1）若是纯虚数，求； （2）若，求的值； （3）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 19. 在中，P为边AB上的一点，，且，设． （1）设，试求x，y的值； （2）试求的值； （3）试求的余弦值． 20. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 21. 已知三维向量 其中是两两不相等的正整数.记 其分量之间满足递推关系： （1）当 时，直接写出向量 （2）是否存在 使得 其中 若存在，请给出一组符合条件的三维向量 若不存在，说明理由； （3）证明:存在k∈，当i≥k时，向量 满足 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $